2.2.3 两条直线的位置关系（分层作业练题型）数学人教B版高二选择性必修第一册

**基本信息** 该同步练习围绕“两条直线的位置关系”，通过A、B、C组及拓展的分层设计，构建从基础巩固到高考衔接的进阶路径，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|平行/垂直关系求方程、简单综合|基础选择填空题，直接应用判定公式，强化概念理解| |B组能力进阶|参数讨论、垂直斜率、夹角计算|含多选及中档解答题，提升推理与运算能力| |C组思维拔高|三角形中的直线问题、面积最值、充要条件|综合应用题（如三角形高所在直线方程），发展创新意识| |拓展链接高考|高考模拟题（如平行条件的充要条件判断）|对接高考题型，培养应试能力|

分层作业 2.2.3　两条直线的位置关系 目 录 A组 巩固过关 题型01 利用平行关系求直线的方程 题型02 利用垂直关系求直线的方程 题型03 平行垂直综合 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考   利用平行关系求直线的方程 题型01 1．（25-26高一下·陕西西安·期末）已知两条直线：，：，若，则实数______. 2．（25-26高二下·广东河源·期末）经过点，且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·山西长治·期末）若直线：与直线：平行，则实数________. 利用垂直关系求直线的方程题型02 4．（25-26高二下·上海宝山·期末）若与垂直，则________. 5．（24-25高二上·湖南株洲·期末）若直线与直线垂直，则（     ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·内蒙古赤峰·期末）已知直线：和直线：，若，则（    ） A． B． C． D． 平行垂直综合题型03 7．（23-24高二上·湖南长沙·阶段检测）已知的三个顶点是，求： (1)边所在的直线的方程； (2)边上的高所在直线的方程． 8．（20-21高一下·贵州铜仁·期末）已知的顶点坐标为. (1)试判断的形状： (2)求边上的高所在直线的方程. 9．（23-24高二上·全国·课后作业）（多选）已知直线与，则下列说法正确的是（    ） A．与的交点坐标是 B．过与的交点且与垂直的直线的方程为 C．，与x轴围成的三角形的面积是 D．的倾斜角是锐角 1．（25-26高二上·江苏苏州·期末）若直线和直线平行，则的值为（    ） A．1 B． C．1或 D． 2．（25-26高二下·上海·期末）过点且与直线垂直的直线方程为_______. 3．（25-26高一下·浙江宁波·期末）已知直线与经过，两点的直线垂直，则直线的斜率为_______． 4．（25-26高一下·上海黄浦·期末）直线与直线夹角的大小为________. 5．（25-26高二下·河南平顶山·期中）若直线与直线垂直，则这两条直线的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·江苏南通·期末）已知直线.若，则实数的值为（    ） A． B． C．2 D．3 7．（25-26高三上·山东聊城·期末）已知直线和直线，若，则（   ） A．1或 B．1 C． D．不存在 8．（25-26高二上·贵州铜仁·期末）过点且与直线垂直的直线方程是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高一下·上海嘉定·期末）已知直线． (1)讨论直线与直线的位置关系； (2)若直线交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 10．（25-26高一下·上海嘉定·期末）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，直线与直线平行，则是______． 11．（25-26高二下·上海黄浦·期末）直线：，直线：，若，则实数a的值为（    ） A．或 B． C． D． 12．（25-26高二下·上海浦东新·期中）已知中，，. (1)若，求边上的高所在直线的一般式方程； (2)若点为边的中点，求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程. 13．（2026·江苏扬州·模拟预测）“”是“直线与直线平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．（25-26高二上·四川宜宾·期末）已知直线，若，则a的值为________． 15．（25-26高二上·上海·期末）已知直线过点； (1)若直线与的夹角为，求直线的方程； (2)若直线与坐标轴围成的三角形面积为，求直线的斜率； 16．（25-26高二上·江苏常州·期末）已知直线平行，则实数的值为（    ） A．－1 B．－7 C．－1或－7 D．1或7 17．（25-26高二上·江苏常州·期末）若直线平行，则实数的值为（    ） A．1或2 B．2 C．1或2 D．1 18．（25-26高二上·云南曲靖·期末）已知直线，若，则___________ 19．（25-26高二上·安徽亳州·期末）（多选）已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．可能垂直于轴 B．可能垂直于轴 C．若，则 D．若，则 20．（25-26高二上·广东深圳·期末）已知直线与平行，则实数的值为（    ） A．1 B．-1 C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第2页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 2.2.3　两条直线的位置关系 目 录 A组 巩固过关 题型01 利用平行关系求直线的方程 题型02 利用垂直关系求直线的方程 题型03 平行垂直综合 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考   利用平行关系求直线的方程 题型01 1．（25-26高一下·陕西西安·期末）已知两条直线：，：，若，则实数______. 【答案】 【详解】两条直线：，：， 因为，则，所以. 2．（25-26高二下·广东河源·期末）经过点，且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线可化为，斜率为. 所求直线与已知直线平行，故斜率也为. 又所求直线经过点，由点斜式得 ， 整理得，即. 3．（25-26高一下·山西长治·期末）若直线：与直线：平行，则实数________. 【答案】 【详解】直线的斜率为，在轴上的截距为， 因为两条直线平行， 故直线的斜率存在，且与直线的斜率相等，在轴上的截距不为，故， 所以直线的斜率为，在轴上的截距为， 所以，且， 解得，即实数. 利用垂直关系求直线的方程题型02 4．（25-26高二下·上海宝山·期末）若与垂直，则________. 【答案】 【详解】因为与垂直，则，解得. 5．（24-25高二上·湖南株洲·期末）若直线与直线垂直，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由于直线与垂直，故，解得． 6．（25-26高二下·内蒙古赤峰·期末）已知直线：和直线：，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知直线：，可变形为，其斜率为， 直线：，可变形为，其斜率为， 因为， 所以，解得． 平行垂直综合题型03 7．（23-24高二上·湖南长沙·阶段检测）已知的三个顶点是，求： (1)边所在的直线的方程； (2)边上的高所在直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)由两点式可直接得出. (2)由斜率之积为，再用点斜式求出. 【详解】（1）由两点式可知 化简可得 即为边所在的直线的方程， （2）因为边上的高垂直， 所以斜率为， 又点在高线上， 所以由点斜式可知 即 8．（20-21高一下·贵州铜仁·期末）已知的顶点坐标为. (1)试判断的形状： (2)求边上的高所在直线的方程. 【答案】(1)直角三角形 (2) 【分析】（1）求出，得到，故得到垂直关系，得到三角形形状； （2）由得到边上高线所在直线的斜率，进而由点斜式求出直线方程，得到答案. 【详解】（1），， ， ，又，， 为直角三角形 （2）因为， 所以边上高线所在直线的斜率为, 直线的方程是，即 9．（23-24高二上·全国·课后作业）（多选）已知直线与，则下列说法正确的是（    ） A．与的交点坐标是 B．过与的交点且与垂直的直线的方程为 C．，与x轴围成的三角形的面积是 D．的倾斜角是锐角 【答案】BC 【分析】由已知联立方程即可求解直线的交点坐标可判断A；由直线垂直确定垂直的直线的斜率则可求得直线方程，即可判断B；根据直线与直线的位置确定，与x轴围成的三角形的对应坐标即可得面积，从而可判断C；由直线斜率与倾斜角的关系即可判断D. 【详解】与 可得，， 解得交点坐标为，所以A错误； 由所求直线与直线垂直得所求直线的斜率为， 由点斜式得，即，所以B正确； 如图，与轴相交于，与轴相交于， 与相交于    所以，与x轴围成的三角形的面积，所以C正确； 的斜率，所以的倾斜角是钝角，所以D错误. 故选：BC. 1．（25-26高二上·江苏苏州·期末）若直线和直线平行，则的值为（    ） A．1 B． C．1或 D． 【答案】B 【分析】由两直线平行，根据平行的判定求的值即可. 【详解】直线和直线平行， ，解得或，经检验时两条直线重合舍去， 所以． 2．（25-26高二下·上海·期末）过点且与直线垂直的直线方程为_______. 【答案】 【详解】直线的斜率为， 设待求直线斜率为，则由题意，得，解得. 所以待求直线方程为，即. 3．（25-26高一下·浙江宁波·期末）已知直线与经过，两点的直线垂直，则直线的斜率为_______． 【答案】 【分析】根据斜率的定义和斜率垂直的知识计算即可. 【详解】因为直线与经过，两点的直线垂直，直线的斜率为. 所以直线的斜率为. 4．（25-26高一下·上海黄浦·期末）直线与直线夹角的大小为________. 【答案】/60° 【详解】由得到，斜率为，倾斜角为， 又，即，与轴平行，所以直线与直线夹角的大小为. 5．（25-26高二下·河南平顶山·期中）若直线与直线垂直，则这两条直线的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为直线的斜率为1，所以直线的斜率存在， 则其斜率为，由题意得，，解得， 由解得，所以这两条直线的交点坐标为. 6．（25-26高二上·江苏南通·期末）已知直线.若，则实数的值为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据直线一般式的平行关系列式求解即可. 【详解】因为已知直线，且， 所以，解得， 当时，的方程为，即，此时满足. 故选：B 7．（25-26高三上·山东聊城·期末）已知直线和直线，若，则（   ） A．1或 B．1 C． D．不存在 【答案】C 【分析】根据可列出关于的方程，求解再舍去不符合题意的项即可. 【详解】因为，所以，解得 时，两直线方程均为，两直线重合，故舍去. 时，两直线不重合，满足题意. 故选：C 8．（25-26高二上·贵州铜仁·期末）过点且与直线垂直的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直线方程垂直的条件求出目标直线斜率，进而得到直线方程即可. 【详解】对于直线方程，其斜率为， 而目标直线与垂直，则目标直线斜率为， 则目标直线方程为，化简得，故C正确. 故选：C 9．（25-26高一下·上海嘉定·期末）已知直线． (1)讨论直线与直线的位置关系； (2)若直线交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 【答案】(1)当时，直线与重合；当时，直线与相交 (2)的最小值为，此时直线的方程为。 【分析】（1）先将两直线方程化为斜截式，再进行判断即可； （2）由题设易得，，，进而表示出，再根据基本不等式求解即可. 【详解】（1）直线，即， 直线，即， 当时，直线即为，此时两直线重合； 当时，直线与直线斜率不相等，即两直线相交. （2）直线：， 当时，直线：，显然不满足题意，所以， 令，得，令，得，即，． 依题意得，解得， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以，此时直线的方程为． 10．（25-26高一下·上海嘉定·期末）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，直线与直线平行，则是______． 【答案】 等腰三角形或直角三角形 【分析】根据两直线平行的条件得到边角等式，结合正弦定理边化角与三角恒等变换判断三角形形状. 【详解】直线与直线平行， 则有，由正弦定理得，即， 中，，当时，有2种情况， 情况1：，即，此时为等腰三角形； 情况2：，即，则，此时为直角三角形， 综上， 是等腰三角形或直角三角形. 11．（25-26高二下·上海黄浦·期末）直线：，直线：，若，则实数a的值为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两直线平行的系数关系列方程求解，再排除两直线重合的情况即可得到正确结果. 【详解】对于两条直线，，若，则满足且（不重合）； 由题得，， 首先由列等式：， 整理得，解得或， 当时，，，即，两直线重合，不符合题意，舍去； 当时，，，两直线斜率均为2，在轴上的截距分别为和，不重合，满足平行条件. 综上，. 12．（25-26高二下·上海浦东新·期中）已知中，，. (1)若，求边上的高所在直线的一般式方程； (2)若点为边的中点，求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程. 【答案】(1) (2)或， 【分析】（1）根据互相垂直两直线斜率的关系，结合直线的点斜式方程进行求解即可； （2）根据中点坐标公式得出，再设直线方程进而代入点的坐标即可得出直线方程. 【详解】（1）因为，， 所以， 因为是边上的高， 所以， 所以高所在直线的方程为； （2）因为点为边的中点， 所以， 设在两坐标轴上截距相等的直线方程为或， 因为直线过点，所以或，所以或， 所以过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为或. 13．（2026·江苏扬州·模拟预测）“”是“直线与直线平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据充分条件、必要条件的定义即可得解. 【详解】当时，直线的方程为， 直线的方程为，即， 此时直线与直线重合，而不是平行， 因此“”是“直线与直线平行”的不充分条件； 当直线与直线平行时， 有，解得或， 经检验，时两直线重合，不满足平行条件；时两直线平行， 所以“直线平行”的必要条件是， 该条件无法推出，故“”是不必要条件； 综上所述，“”是“直线与直线平行”的 既不充分也不必要条件，故D正确. 14．（25-26高二上·四川宜宾·期末）已知直线，若，则a的值为________． 【答案】3 【分析】根据两直线平行的条件列式求解，即可得答案. 【详解】由题意直线，，， 得且， 即且 解得. 15．（25-26高二上·上海·期末）已知直线过点； (1)若直线与的夹角为，求直线的方程； (2)若直线与坐标轴围成的三角形面积为，求直线的斜率； 【答案】(1)或 (2)或或或 【分析】(1)利用两直线的夹角公式，即可列方程求解斜率，然后求直线方程； (2)利用设直线方程求与坐标轴的横纵截距，结合面积可得斜率方程求解即可. 【详解】（1）已知，则直线斜率， 设​斜率为 ​，两直线夹角，由两直线夹角公式： 代入得： ​，整理得，解得 ​或， 结合过，整理得的方程为：或 ； （2）设斜率为，方程为，令得：纵截距， 令得：横截距， 由题意面积， 整理得： ，分情况求解： 当时，方程化为，解得或； 当时，方程化为，解得或， 综上可得直线的斜率为或或或. 16．（25-26高二上·江苏常州·期末）已知直线平行，则实数的值为（    ） A．－1 B．－7 C．－1或－7 D．1或7 【答案】B 【详解】直线平行，则， ，解得或； 检验当时，两直线重合； 当时，，两直线平行. 实数的值应为－7． 17．（25-26高二上·江苏常州·期末）若直线平行，则实数的值为（    ） A．1或2 B．2 C．1或2 D．1 【答案】D 【详解】∵平面内两条直线平行， ∴，解得或2． 时的方程为，的方程为，两条直线重合． 时的方程为，的方程为，两条直线平行． 因此． 18．（25-26高二上·云南曲靖·期末）已知直线，若，则___________ 【答案】 【分析】由一般式得到两直线斜率，再由两直线平行，斜率相等求解即可； 【详解】当时，，，两直线不平行， 当时，两直线平行斜率相等， ，则 ，则， 又，则两直线斜率相等，即， 化简计算得：，解得：或， 又时，，，两直线重合， 故. 故答案为： 19．（25-26高二上·安徽亳州·期末）（多选）已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．可能垂直于轴 B．可能垂直于轴 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】根据直线平行的条件、直线垂直的条件逐项判断即可. 【详解】对于A，因为直线，的系数不为0，所以不垂直于轴，A错误； 对于B，当时，，与轴垂直，B正确； 对于C，当时，. 因为直线的斜率均为且不重合，所以两直线平行，C正确； 对于D，因为，所以，解得或. 当时，由C选项知两直线是平行的； 当时，，斜率均为，且两直线不重合，所以两直线平行. 故时或，D错误； 故选：BC. 20．（25-26高二上·广东深圳·期末）已知直线与平行，则实数的值为（    ） A．1 B．-1 C． D． 【答案】A 【分析】由两直线平行的条件计算． 【详解】由题意，， 时，方程是，的方程是，平行； 时，方程可化为，方程化为，两直线重合，舍去， 故选：A. 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 2.2.3 两条直线的位置关系 A组 巩固过关 题型01 利用平行关系求直线的方程 3 1. 【答案】 2.【答案】A 3.【答案】1 题型02 利用垂直关系求直线的方程 4.【答案】-2 5.【答案】C 6.【答案】C 颗型03 平行垂直综合 7. 【答案】(1)AB:2x+y-12=0 (2)x-2y+6=0 8.【答案】(1)直角三角形 (2)3x+4y-1=0 9.【答案】BC B组 能力进阶 题号 1 5 6 7 8 答案 B B C C 2.x-2y-3=0 1 3.3 1/2 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C组 思维拔高 题号 11 13 16 17 19 20 答案 B D B D BC A 12.(1)x+5y-3=0 (②)y=8或x+y-9=0, 14.3 15.(1)x-3y+5=0或3x+y+5=0 ②，或或k=-13+317 8 或k=-l3-37 18.-2 2/2