第2章 2.2.3 两条直线的位置关系（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦高中数学“两条直线的位置关系”，系统梳理用方程组求交点坐标，依据斜截式和一般式判定平行、重合，应用平行与垂直求参数或方程的核心内容，通过“情境引入-问题探究-知识梳理-例题训练”搭建学习支架。 以过山车轨道平行等现实情境激发兴趣，体现“数学眼光”观察现实，通过多方法判断位置关系培养“数学思维”的逻辑推理，规范符号表达强化“数学语言”。课中助力教师高效授课，课后通过练习题帮助学生巩固知识、查漏补缺。

2.2.3　两条直线的位置关系 学习目标　1.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.2.能根据斜截式方程和一般式方程判定两条直线是否平行或重合.3.能应用两直线平行、重合、垂直求参数或直线方程. 导语 过山车是一种富有刺激性的娱乐游戏，那种风驰电掣、有惊无险的快感令不少人着迷.实际上，过山车运动包含了许多数学、物理学原理，人们在设计过山车时巧妙地运用了这些原理.过山车的铁轨是两条平行、起伏的轨道，你能感受到过山车中的平行吗？那么两条直线的平行用什么来刻画呢？一起走进今天的课堂去看看吧！ 一、两条直线位置关系的判断 问题1　如何判断两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(≠0)和l2：A2x＋B2y＋C2＝0(≠0)的位置关系？ 提示　方法一　通过解方程组 判断解的情况. 方法二　直线的方向向量，直线l1的方向向量为a＝(B1，－A1)，直线l2的方向向量为b＝(B2，－A2)，l1与l2相交的充要条件是a＝(B1，－A1)与b＝(B2，－A2)不共线，即A1B2≠A2B1；l1与l2平行或重合的充要条件是a＝(B1，－A1)与b＝(B2，－A2)共线，即A1B2＝A2B1，此时需要检验两直线是平行还是重合. 知识梳理 1.已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(≠0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(≠0)，则l1与l2的位置关系和方程组的解的情况有下列关系： 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1和l2的公共点的个数 1 无数 0 直线l1和l2的位置关系 相交 重合 平行 2.利用直线的斜截式方程判断两直线相交、平行与重合 直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2. l1与l2相交⇔k1≠k2； l1与l2平行⇔k1＝k2且b1≠b2； l1与l2重合⇔k1＝k2且b1＝b2. 3.利用直线的一般式方程判断两直线相交、平行与重合 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0. l1，l2相交⇔A1B2≠A2B1， l1∥l2⇔A1B2＝A2B1且A1C2≠A2C1(或B1C2≠B2C1)， l1与l2重合⇔A1B2＝A2B1且A1C2＝A2C1(或B1C2＝B2C1). 4.l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0， l1∥l2⇔C1≠C2， l1与l2重合⇔C1＝C2. 注意点：(1)两直线的位置关系有相交、重合、平行，其中垂直是相交的一种特殊情况. (2)判断两直线平行时一定要检验. 例1　判断下列各组中两条直线的位置关系. (1)l1：y＝3x＋4，l2：2x－6y＋1＝0； (2)l1：2x－6y＋4＝0，l2：y＝； (3)l1：(－1)x＋y＝3，l2：x＋(＋1)y＝2； (4)l1：x＝5，l2：x＝6. 解　(1)A1＝3，B1＝－1，C1＝4； A2＝2，B2＝－6，C2＝1. 因为≠，所以l1与l2相交. (2)A1＝2，B1＝－6，C1＝4； 把l2化为x－3y＋2＝0， 所以A2＝1，B2＝－3，C2＝2. 因为，所以l1与l2重合. (3)A1＝－1，B1＝1，C1＝－3； A2＝1，B2＝＋1，C2＝－2. 因为≠，所以l1与l2平行. (4)A1＝1，B1＝0，C1＝－5；A2＝1，B2＝0， C2＝－6，因为A1B2－A2B1＝0， 而A2C1－A1C2≠0，所以l1与l2平行. 反思感悟　两条直线位置关系的判断方法 (1)把直线方程都化为斜截式，利用直线的斜率与截距的关系判断； (2)把直线的方程化为一般式，利用方程中的x，y的系数之间的关系判断； (3)解由直线的方程组成的方程组，利用方程组的解的个数判断； (4)求两条直线的法向量，利用两个法向量的关系进行判断. 跟踪训练1　已知两直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，当m为何值时，直线l1与l2：(1)相交？(2)平行？(3)重合？ 解　因为直线l1：x＋my＋6＝0， 直线l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0， 所以A1＝1，B1＝m，C1＝6， A2＝m－2，B2＝3，C2＝2m. (1)若l1与 l2相交，则A1B2－A2B1≠0， 即1×3－m(m－2)≠0， 即m2－2m－3≠0，所以(m－3)(m＋1)≠0， 解得m≠3且m≠－1. 故当m≠3且m≠－1时，直线l1与l2相交. (2)若l1∥l2，则有 即即 解得 所以m＝－1. 故当m＝－1时，直线l1与l2平行. (3)若l1与l2重合，则有 即 解得所以m＝3. 故当m＝3时，直线l1与l2重合. 二、两条直线的平行 例2　(1)求过点A(1，－4)且与直线2x＋3y＋5＝0平行的直线方程； (2)已知A(－2，m)，B(m，4)，直线AB与直线l：y＝－2x＋1平行，求m的值. 解　(1)方法一　已知直线的斜率为－， ∵所求直线与已知直线平行， ∴所求直线的斜率为－. 由点斜式，得所求直线的方程为y＋4＝－(x－1)， 即2x＋3y＋10＝0. 方法二　设与直线2x＋3y＋5＝0平行的直线l的方程为2x＋3y＋λ＝0(λ≠5). ∵l经过点A(1，－4)， ∴2×1＋3×(－4)＋λ＝0，解得λ＝10， ∴所求直线方程为2x＋3y＋10＝0. (2)kl＝－2， ∵AB∥l，∴kAB＝－2， ∴＝－2，解得m＝－8. 反思感悟　(1)求与直线y＝kx＋b平行的直线的方程时，根据两直线平行的条件可巧设为y＝kx＋m(m≠b)，然后通过待定系数法，求参数m的值. (2)求与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程时，可设方程为Ax＋By＋m＝0(m≠C)，代入已知条件求出m即可. (3)对于斜率为零及不存在的情形要单独讨论. 跟踪训练2　若直线l与直线2x＋3y＋5＝0平行，且在两坐标轴上的截距之和为，求直线l的方程. 解　设直线l的方程为2x＋3y＋C＝0(C≠5)， 令x＝0，得y＝－， 令y＝0，得x＝－. 由题意，得－， 解得C＝－1. 所以直线l的方程为2x＋3y－1＝0. 三、两条直线的垂直 问题2　两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的条件是什么？ 提示　思路一：两任意直线互相垂直的充要条件是这两条直线的方向向量或法向量相互垂直，直线l1的法向量是(A1，B1)，直线l2的法向量是(A2，B2)，故l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 思路二：若两直线的斜率都存在，设两条直线的倾斜角分别为α1，α2，斜率分别为k1，k2，则这两条直线互相垂直的充要条件是|α1－α2|＝，即l1⊥l2⇔k1·k2＝－1. 知识梳理 1.利用直线的斜截式方程判断两条直线的垂直 在平面直角坐标系中，直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1⊥l2⇔k1·k2＝－1. 2.利用直线的一般式方程判断两条直线的垂直 (1)在平面直角坐标系中，直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0， l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. (2)若直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Bx－Ay＋C2＝0，则直线l1与l2相互垂直. 注意点：(1)利用k1·k2＝－1仅能判断斜率存在且不为0时的直线垂直关系. (2)一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，这两条直线也垂直. (3)与已知直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线的设法Bx－Ay＋C0＝0. (4)过点(x0，y0)且与已知直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程为B(x－x0)－A(y－y0)＝0. 例3　判断下列各题中l1与l2是否垂直. (1)l1经过点A(－3，－4)，B(1，3)，l2经过点M(－4，－3)，N(3，1)； (2)l1的斜率为－10，l2经过点A(10，2)，B(20，3)； (3)l1经过点A(3，4)，B(3，10)，l2经过点M(－10，40)，N(10，40). 解　(1)k1＝， k2＝， k1k2＝1，∴l1与l2不垂直. (2)k1＝－10，k2＝， k1k2＝－1，∴l1⊥l2. (3)l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴； k2＝＝0，则l2∥x轴，∴l1⊥l2. 反思感悟　(1)若所给的直线方程都是一般式方程，则运用条件：l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0判断. (2)若所给的直线方程都是斜截式方程，则运用条件：l1⊥l2⇔k1·k2＝－1判断. (3)若所给的直线方程不是以上两种情形，则把直线方程化为一般式再判断. (4)两条直线垂直关系判断可以转化为两条直线的方向向量数量积为0，避免对斜率的讨论. 跟踪训练3　(1)与直线y＝2x＋1垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程是(　　) A.y＝x＋4 B.y＝2x＋4 C.y＝－2x＋4 D.y＝－x＋4 答案　D 解析　因为所求直线与y＝2x＋1垂直，所以设直线方程为y＝－x＋b.又因为直线在y轴上的截距为4，所以直线的斜截式方程为y＝－x＋4. (2)直线(2－m)x＋my＋3＝0与直线x－my－3＝0垂直，则m的值为　　　　.  答案　－2或1 解析　由题意知，(2－m)·1＋m·(－m)＝0， 解得m＝－2或m＝1. 1.知识清单： (1)利用直线方程的斜截式和一般式判断两直线的位置关系. (2)两条直线平行、垂直的应用. 2.方法归纳：公式法、待定系数法、分类讨论. 3.常见误区：利用直线一般式方程判断两直线平行时，需检验是否重合. 1.直线2x－y＋k＝0和直线4x－2y＋1＝0的位置关系是(　　) A.平行 B.不平行 C.平行或重合 D.既不平行也不重合 答案　C 解析　当k＝时，两直线重合，当k≠时，两直线平行. 2.已知直线l1：3x＋4y－5＝0与l2：3x＋5y－6＝0相交，则它们的交点是(　　) A. B. C. D. 答案　B 3.已知直线l1的倾斜角为30°，且直线l1⊥l2，则直线l2的斜率为(　　) A.－ B. C.－ D. 答案　C 解析　∵＝tan 30°＝，∴＝－. 4.直线l过点P(3，2)，且与经过点A(0，1)，B(－2，－1)的直线平行，则直线l的方程为　　　　.  答案　x－y－1＝0 解析　经过点A(0，1)，B(－2，－1)的直线的斜率为 k＝＝1.∵所求直线经过点P(3，2)， ∴所求直线方程为y－2＝x－3， 即x－y－1＝0. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共25分；多选题每小题6分，共18分 1.直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点坐标为(　　) A.(－4，－3) B.(4，3) C.(－4，3) D.(3，4) 答案　C 解析　由方程组得 2.已知直线l1：x＋3y＋1＝0，若直线l2与l1垂直，则l2的倾斜角是(　　) A.150° B.120° C.60° D.30° 答案　C 解析　由x＋3y＋1＝0，得y＝－x－， 则＝－， 因为直线l2与l1垂直，所以·＝－1， 所以－·＝－1，得， 设直线l2的倾斜角为θ，则tan θ＝， 因为0°≤θ<180°，所以θ＝60°. 3.已知直线l1：ax＋y－a＝0，l2：4x＋ay－a－2＝0，则“a＝－2”是“l1∥l2”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　C 解析　若a＝－2，则l1：－2x＋y＋2＝0， l2：4x－2y＋2－2＝0，即2x－y＝0， 所以两直线的斜率k1＝k2＝2， 且l1，l2不重合，所以l1∥l2. 若l1∥l2， 则k1＝－a＝k2＝－，解得a＝±2， 当a＝2时，l1：2x＋y－2＝0， l2：4x＋2y－4＝0，即2x＋y－2＝0， 两直线重合，舍去； 当a＝－2时，经检验符合题意， 所以“a＝－2”是“l1∥l2”的充要条件. 4.已知点A(2，3)，B(4，1)，直线x－2y＋4＝0与y轴相交于点C，则△ABC中AB边上的高CE所在直线的方程是(　　) A.x＋y－2＝0 B.x＋y＋2＝0 C.x－y＋2＝0 D.x－y－2＝0 答案　C 解析　∵直线x－2y＋4＝0与y轴相交于点C， 令x＝0，得y＝2，∴C(0，2). 由题知CE⊥AB， 且直线AB的斜率kAB＝＝－1， ∴kCE·kAB＝－1，得kCE＝1， 易知点C在直线CE上，根据点斜式得y－2＝x， 即x－y＋2＝0. 5.(多选)已知直线l1，l2，l3的斜率分别是k1，k2，k3，其中l1∥l2，且k1，k3是方程2x2－3x－2＝0的两根，则k1＋k2＋k3的值是(　　) A.1 B. C. D.3 答案　AC 解析　由k1，k3是方程2x2－3x－2＝0的两根， 解方程得或 又l1∥l2，所以k1＝k2，所以k1＋k2＋k3＝1或. 6.(多选)设点P(－4，2)，Q(6，－4)，R(12，6)，S(2，12)，下面四个结论正确的是(　　) A.PQ∥SR B.PQ⊥PS C.PS∥QS D.PR⊥QS 答案　ABD 解析　由斜率公式知，kPQ＝＝－， kSR＝＝－，kPS＝， kQS＝＝－4，kPR＝， ∴PQ∥SR，PQ⊥PS，PR⊥QS. 而kPS≠kQS，∴PS与QS不平行，ABD正确. 7.(5分)已知直线ax＋2y－1＝0与直线2x－5y＋c＝0垂直相交于点(1，m)，则m＝　　　.  答案　－2 解析　由两直线垂直得2a－10＝0，解得a＝5. 又点(1，m)在直线上，所以a＋2m－1＝0， 所以m＝－2. 8.(5分)过点(－1，－3)且与直线2x＋y－1＝0平行的直线方程为　　　　　　　　　　　.  答案　2x＋y＋5＝0 解析　设所求直线方程为2x＋y＋C＝0(C≠－1)， 将点(－1，－3)代入方程，得2×(－1)－3＋C＝0，得C＝5.∴直线方程为2x＋y＋5＝0. 9.(10分)已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0(a≠1)，试求a为何值时， (1)l1∥l2；(5分) (2)l1⊥l2.(5分) 解　(1)∵l1∥l2， ∴≠，解得a＝－1. (2)∵l1⊥l2，∴a＋2(a－1)＝0，解得a＝. 10.(10分)求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和直线l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程. 解　方法一　解方程组 得 所以l1与l2的交点坐标为(－1，2). 又直线l垂直于直线l3，所以直线l的斜率为－， 由直线的点斜式方程，得l：y－2＝－(x＋1)， 即5x＋3y－1＝0. 方法二　解方程组得 所以l1与l2的交点坐标为(－1，2). 由于l⊥l3，故设直线l的方程为5x＋3y＋C＝0， 又l过l1与l2的交点(－1，2)， 故5×(－1)＋3×2＋C＝0，解得C＝－1， 故直线l的方程为5x＋3y－1＝0. 11.当0<k<时，直线l1：kx－y＝k－1与直线l2：ky－x＝2k的交点在(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案　B 解析　由方程组 得两直线的交点坐标为. 因为0<k<，所以<0，>0， 所以交点在第二象限. 12.(多选)已知直线l的一个方向向量为u＝(1，－)，且l经过点(1，－2)，则下列结论中正确的是(　　) A.l的倾斜角等于150° B.l在x轴上的截距等于 C.l与直线x－3y＋2＝0垂直 D.l与直线x＋y＋2＝0平行 答案　CD 解析　因为直线l的一个方向向量为u＝(1，－)，所以直线l的斜率k＝－， 因为直线l经过点(1，－2)， 所以直线l的方程为y＋2＝－(x－1)， 即x＋y＋2－＝0. 对于A，设直线l的倾斜角为θ，则tan θ＝－， 因为0°≤θ<180°，所以θ＝120°，所以A错误； 对于B，当y＝0时，2＝－(x－1)， 得x＝1－，所以直线l在x轴上的截距等于1－，所以B错误； 对于C，因为直线x－3y＋2＝0的斜率为， 且×(－)＝－1， 所以直线l与直线x－3y＋2＝0垂直，所以C正确； 对于D，因为直线x＋y＋2＝0的斜率为－， 且在y轴上的截距为－2， 而直线l的斜率为－， 且在y轴上的截距为－2， 所以直线l与直线x＋y＋2＝0平行，所以D正确. 13.(5分)已知直线l的倾斜角为135°，直线l1经过点A(3，2)，B(a，－1)，且直线l1与l垂直，直线l2：2x＋by＋1＝0与直线l1平行，则a＋b＝　　　　.  答案　－2 解析　kl＝tan 135°＝－1，故＝1， 即＝1，解得a＝0， 直线l2的方程可化为y＝－x－， ∴＝1，∴－＝1，∴b＝－2， 故a＋b＝－2. 14.(5分)已知直线l1：3x－y＋1＝0，l2：x＋y－5＝0，l3：x－ay－3＝0，则l1与l2的交点坐标为　　　　　　；若直线l1，l2，l3不能围成三角形，写出一个符合要求的实数a的值为　　　　　　　　.  答案　(1，4)　－1(答案不唯一.只需写出－1，－，中的一个即可) 解析　解方程组得 所以l1与l2的交点坐标为(1，4)； 由x－ay－3＝0得，直线l3恒过定点(3，0)， 易知l1与l3，l2与l3不重合， 若直线l1，l2，l3不能围成三角形， 只需l3经过点(1，4)，或l1与l3平行，或l2与l3平行. 当l3经过点(1，4)时，如图1所示，1－4a－3＝0， ∴a＝－； 当l1与l3平行时，如图2所示，－3a＝－1， ∴a＝； 当l2与l3平行时，如图3所示，－a＝1， ∴a＝－1. 综上，a的值为－1，－，. 图1　　　　　图2　　　　　图3 15.(5分)已知点A(－4，0)，B(4，0)，C(2，2)，D(－2，2)，直线y＝ax＋b(a>0)将四边形ABCD分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是　　　　　　　　.  答案　(4－，1] 解析　显然四边形ABCD为等腰梯形， 因为a>0，根据等腰梯形的对称性可知，当b>1或b≤0时不符合题意，所以0<b≤1， 当a＝，b＝1时，设直线y＝ax＋b即直线EC：y＝x＋1与y轴的交点F(0，1)， 根据等腰梯形的对称性可得符合题意； 当a>，b＝1时，设直线y＝ax＋1与梯形上、下底分别交于M，N， 因为△MCF与△NEF全等， 所以直线y＝ax＋1将四边形ABCD分割为面积相等的两部分； 当0<a<时，设直线y＝b与y轴交于G点，与梯形两腰交于Q，P， 直线y＝ax＋b(a>0)将四边形ABCD分割为面积相等的两部分，则该直线与梯形的两腰交于K，H， 可知直线AD：y＝x＋4，BC：y＝4－x， 联立解得 即K， 同理可得Q(b－4，b)，H，P(4－b，b)， 由题意可得S四边形ABHK＝S梯形ABPQ－S△GKQ＋S△GHP ＝(4－b) ＋(4－b)＝6， 整理得a2＝∈， 且0<b≤1，解得4－<b≤1. 综上所述，b的取值范围是(4－，1]. 16.(12分)已知直线l1：y＝kx＋b，l2：x＝ky＋b，k∈(0，1)，b≠0. (1)证明：l1与l2的交点不在x轴上；(6分) (2)已知l1与l2交于A点，l1，l2分别与x轴交于B，C点，记△ABC的面积为S，求的取值范围.(6分) (1)证明　联立可得 y＝k(ky＋b)＋b＝k2y＋b(k＋1)， 又k∈(0，1)，b≠0， 所以y＝≠0， 即l1与l2的交点不在x轴上. (2)解　设A(xA，yA)，B(xB，0)，C(xC，0)，由(1)知，yA＝， 由y＝kx＋b，令y＝0，有xB＝－， 由x＝ky＋b，令y＝0，可得xC＝b， 则|BC|＝， 所以S＝， 故， 由k∈(0，1)，令t＝1＋k∈(1，2)， 则， 因为－t－＝－≤－2＝－2， 当且仅当t＝，即k＝－1时取等号， 所以－t－∈(－3，－2]， 故－t－＋3∈(0，3－2]， 则≥×. 所以的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $