2.2 直线及其方程 2.2.2 直线的方程 第3课时 直线的一般式方程 (Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（人教B版）

**基本信息** 聚焦直线的一般式方程，分层设计从基础概念到综合应用，题量配比合理，梯度衔接自然，助力知识巩固与数学思维发展。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|截距、斜率、基本方程形式|选择填空为主，直接考查概念理解与基本运算，如第1题求斜率、第8题平行坐标轴方程| |提升层|法向量、斜率关系、定点问题|结合已知方程转化与参数运算，如第5题含参直线过定点、第9题斜率互为相反数求参数| |综合层|轨迹方程、面积等分、复杂情境应用|解答题为主，需建模与逻辑推理，如第14题轨迹方程、第16题面积等分，体现数学思维与语言表达|

第3课时　直线的一般式方程 1.若直线x+my+4=0在y轴上的截距为2,则该直线的斜率为 (　 ) A.-2 B.2 C.- D. 2.[2026·重庆九龙坡区高二期中] 已知直线的点斜式方程为y-4=2(x+5),则该直线的一个法向量为 (　 ) A.(2,-1) B.(-1,2) C.(1,2) D.(2,1) 3.[2025·贵州遵义高二期末] 经过点(-1,1),且倾斜角是直线x-2y+1=0的倾斜角的2倍的直线方程为 (　 ) A.x=-1 B.4x-3y+7=0 C.x-y+2=0 D.y=1 4.过点(-1,2)且以直线2x-3y-7=0的法向量为方向向量的直线的一般式方程为 (　 ) A.3x-2y-1=0 B.2x-3y-1=0 C.2x+3y-1=0 D.3x+2y-1=0 5.无论k为何值,直线(2k+1)x-(k-2)y-(k+8)=0过一个定点,则这个定点的坐标是 (　 ) A.(0,0) B.(2,3) C.(3,2) D.(-2,3) 6.已知直线l:(2m2+m-1)x+(1+m-m2)y=2m-1(m≠0)在y轴上的截距为1,则直线l在x轴上的截距为 (　 ) A.-5或 B.-1或 C.-1或5 D.-5或5 7.(多选题)已知直线l:Ax+By+C=0(A,B不同时为0),则 (　 ) A.当A=0,B≠0时,l与x轴垂直 B.当A≠0,B=0,C=0时,l与y轴重合 C.当C=0时,l过原点 D.当A>0,B>0时,l的倾斜角为锐角 8.过点(2,1)且平行于y轴的直线的方程为　　　　;过点(2,1)且平行于x轴的直线的方程为　　　　.  9.若直线l1:3kx-(k+2)y+6=0和直线l2:kx+(2k-3)y+2=0的斜率互为相反数,则k=　　　　.  10.(13分)[2026·福建龙岩高二期中] 已知直线l:kx-y+1+k=0(k∈R). (1)求直线l所过定点A的坐标; (2)若直线l不经过第四象限,求k的取值范围. 11.在同一坐标系中画出直线ax-by-c=0与bx-ay+c=0,则下列选项中不可能是这两条直线图象的是 (　 ) A B C D 12.已知直线l1:ax-2y=2a-4,l2:2x+a2y=2a2+4,当0<a<2时,直线l1,l2与两坐标轴围成一个四边形,则该四边形的面积的最小值为　　　　,此时实数a=　　　　.  13.若实数x,y满足3x+2|y|=6,则的取值范围是　　　　.  14.(15分)如图,在平行四边形OABC中,点O是坐标原点,点A和点C的坐标分别是(3,0),(1,3),D为线段AB上的动点. (1)当点D运动到线段AB的中点时,求直线CD的一般式方程; (2)求线段CD的中点M的轨迹方程. 15.[2026·重庆九龙坡区高二期中] 已知直线l:(a+2)x-ay-3a-8=0,O为坐标原点,若直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,当|OA|+|OB|最小时,a=　　　　.  16.(15分)已知点A(6,6),B(0,0),C(12,0),直线l:(k+)x-y-2k=0. (1)证明:直线l经过某一定点,并求此定点坐标; (2)若直线l等分△ABC的面积,求直线l的一般式方程. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3课时　直线的一般式方程 1.D　[解析] 因为直线x+my+4=0的纵截距为2,所以2m+4=0,解得m=-2,所以该直线的斜率k=-=.故选D. 2.A　[解析] 由题得直线的一般式方程为2x-y+14=0,所以直线的一个法向量为(2,-1).故选A. 3.B　[解析] 设所求直线的倾斜角为α,直线x-2y+1=0的倾斜角为β,则tan β=,所以tan α=tan 2β==,所以所求直线的方程为y-1=(x+1),即4x-3y+7=0.故选B. 4.D　[解析] 由题意可得所求直线的一个方向向量为(2,-3),则该直线的斜率为-,故所求直线的方程为y-2=-(x+1),即3x+2y-1=0.故选D. 5.B　[解析] 原方程可化为(2x-y-1)k+(x+2y-8)=0,由解得所以该直线过定点(2,3).故选B. 6.B　[解析] 直线l:(2m2+m-1)x+(1+m-m2)y=2m-1可变形为x+y=,因为点(0,1)在直线l上,所以1+m-m2≠0且=1,解得m=1或m=-2.当m=1时,直线l的方程为2x+y=1,此时直线l在x轴上的截距是;当m=-2时,直线l的方程为-x+y=1,此时直线l在x轴上的截距是-1.综上所述,直线l在x轴上的截距为-1或.故选B. 7.BC　[解析] 对于A,当A=0,B≠0时,直线l:By+C=0(B≠0),即y=-,表示与x轴平行(或重合)的直线,故A错误;对于B,当A≠0,B=0,C=0时,直线l:Ax=0,即x=0,即l与y轴重合,故B正确;对于C,当C=0时,直线l:Ax+By=0,此时满足方程Ax+By=0,即l过原点,故C正确;对于D,当A>0,B>0时,直线l:Ax+By+C=0,即y=-x-,斜率k=-<0,所以l的倾斜角为钝角,故D错误.故选BC. 8.x=2　 y=1　[解析] 过点(2,1)且平行于y轴的直线的方程为x=2,过点(2,1)且平行于x轴的直线的方程为y=1. 9.或0　[解析] 当k+2=0,即k=-2时,l1:x=1,l2:2x+7y-2=0,不符合题意;当2k-3=0,即k=时,l1:9x-7y+12=0,l2:x=-,不符合题意;当k≠-2且k≠时,因为直线l1:3kx-(k+2)y+6=0和直线l2:kx+(2k-3)y+2=0的斜率互为相反数,所以-=0,解得k=0或k=.综上,k=或0. 10.解:(1)直线l的方程可化为k(x+1)-y+1=0,即y-1=k(x+1),因此直线l恒过定点A(-1,1). (2)如图,由图知若直线l不经过第四象限,则k≥0. 11.D　[解析] 观察各选项知a,b均不为0,ax-by-c=0可化为y=x-,其斜率k1=,在y轴上的截距为-,bx-ay+c=0可化为y=x+,其斜率k2=,在y轴上的截距为,显然k1·k2=1>0,故两直线的斜率同号.对于A,由图知两直线在y轴上的截距异号,得×<0,所以abc2>0,所以ab>0,则两直线的斜率均大于0,故A正确;对于B,C,D,由两直线在y轴上的截距同号,得×>0,所以abc2<0,所以ab<0,则两直线的斜率均小于0,故B,C正确,D错误.故选D. 12.　　[解析] 直线l1的方程可整理为(x-2)a-(2y-4)=0或y=x-(a-2),则直线l1过定点(2,2),且其斜率k1=,在y轴上的截距为2-a,∵0<a<2,∴k1>0,0<2-a<2.直线l2的方程可整理为(2x-4)+(y-2)a2=0或y=-x+2+,则直线l2过定点(2,2),且其斜率k2=-,在x轴上的截距为a2+2,∵0<a<2,∴k2<0,a2+2>2.故直线l1,l2与两坐标轴围成的四边形的面积S=×2×(2-a)+×(a2+2)×2=a2-a+4=+,所以当a=时,S取得最小值,最小值为. 13.　[解析] 由题意得|y|=≥0,解得x≤2,设k=,则y=k(x-3),由题得直线y=k(x-3)与3x+2|y|=6的图象有交点.易知直线y=k(x-3)过定点(3,0),当y≥0时,3x+2y=6,当y<0时,3x-2y=6,作出3x+2|y|=6的图象,如图所示,由图可得若直线y=k(x-3)与3x+2|y|=6的图象有交点,则k∈,即∈. 14.解:(1)∵C(1,3),∴B(4,3),∴D,∴kCD=-, ∴直线CD的方程为y-3=-(x-1),即3x+5y-18=0,∴直线CD的一般式方程为3x+5y-18=0. (2)设点M的坐标为(x,y),点D的坐标为(x0,y0), ∵M是线段CD的中点,∴y=,x=,∴x0=2x-1,y0=2y-3. 易知直线AB的方程为y=3(x-3), ∵点D在线段AB上运动,∴3x0-y0-9=0(3≤x0≤4), ∴3(2x-1)-(2y-3)-9=0,即6x-2y-9=0. 故点M的轨迹方程为6x-2y-9=0. 15.-　[解析] 由(a+2)x-ay-3a-8=0,可得a(x-y-3)+2x-8=0,令解得即直线l过定点P(4,1).假设直线l的截距式方程为+=1(s>0,t>0),则+=1,所以|OA|+|OB|=s+t=(s+t)=++5≥2+5=9,当且仅当=,即s=6,t=3时等号成立,此时直线l的方程为x+2y-6=0,所以=-,解得a=-. 16.解:(1)直线l:(k+)x-y-2k=0可化为k(x-2)+x-y=0, 令解得故直线l经过的定点坐标为(2,2). (2)因为A(6,6),B(0,0),C(12,0),所以|AB|=|AC|=|BC|=12, 由题意得直线AB的方程为y=x, 直线l经过的定点M(2,2)在直线AB上,且|AM|==8, 设直线l与AC交于点D,则S△AMD=S△ABC, 即|AM||AD|sin A=××|AB||AC|sin A,解得|AD|=9. 设D(x0,y0),因为=,所以(x0-6,y0-6)=(6,-6), 所以x0=,y0=,所以D, 将点D的坐标代入直线l的方程,解得k=-,所以直线l的方程为x-y-2×=0,即x+17y-36=0. 学科网（北京）股份有限公司 $