2.2.2 直线的方程（分层作业练题型）数学人教B版高二选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练以“分层进阶+素养导向”为特色，通过A/B/C组及高考拓展四层设计，实现直线方程从概念辨析到综合应用的梯度巩固，培养数学思维与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|直线图象辨析、面积问题、过定点问题|基础选择与解答题，聚焦单一知识点，强化概念理解| |B组能力进阶|倾斜角、截距、直线与线段交点|综合选择与填空，提升运算推理能力，衔接知识综合应用| |C组思维拔高|欧拉线、面积最值、多直线综合|探究性问题，融入跨情境分析，发展创新意识| |拓展链接高考|高考真题情境题|对接高考题型，强化实际应用，培养问题解决能力|

分层作业 2.2.2　直线的方程 目 录 A组 巩固过关 题型01 直线图象的辨析 题型02 直线与坐标轴围成图形的面积问题 题型03 直线过定点问题 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考   直线图象的辨析题型01 1．（多选）下列说法一定正确的是（   ） A．过点的直线方程为 B．直线的倾斜角为 C．若，，则直线不经过第三象限 D．过、两点的直线方程为 2．已知直线l过点，且与x轴、y轴的正方向分别交于A，B两点，分别求满足下列条件的直线方程： (1)时，求直线l的方程． (2)当的面积最小时，求直线l的方程． 3．（25-26高二上·上海·期中）已知直线的方程为： (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的值； (2)若直线不经过平面直角坐标系的第二象限，求的取值范围； 直线与坐标轴围成图形的面积问题题型02 4．过点且斜率为2的直线与坐标轴围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 5．已知直线：. (1)求证：直线过定点，并求出此定点的坐标； (2)若直线与两坐标轴的正半轴围成三角形，求三角形面积的最小值，并求此时直线的方程. 6．已知直线的斜率小于，且经过点，并与坐标轴交于两点，，当的面积取得最小值时，直线的斜率为__________. 直线过定点问题题型03 7．已知直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则的倾斜角范围为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·北京海淀·期中）对于直线，下列说法不正确的是（   ） A．的斜率有可能不存在 B．恒过定点 C．的倾斜角有可能是 D．恒过第一象限 9．（25-26高二上·四川德阳·期中）已知点，若直线与线段有公共点，则实数的取值范围（   ） A． B．或 C．或 D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 1．（25-26高二上·上海·期末）直线的倾斜角的大小为________． 2．（25-26高二上·重庆·期末）直线：在轴上的截距为（   ） A．3 B． C．6 D． 3．（24-25高二上·江西赣州·期末）对于直线，下列选项正确的是（    ） A．直线倾斜角为 B．直线经过第四象限 C．直线在轴上的截距为 D．直线的一个方向向量为 4．下列说法正确的是（   ） A．过点的直线方程都可以表示为 B．若直线在轴，轴的截距分别为，则该直线方程为 C．方程表示过两点的一条直线 D．若直线经过第一、二、四象限，则点在第三象限 5．直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 6．已知点和点，若直线与线段有交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知直线的方程为（），点，设到的距离为，则（   ） A．的最小值为0，最大值为 B．无最小值，最大值为 C．的最小值为0，无最大值 D．无最小值，也无最大值 8．过、两点的直线方程是 （    ） A． B． C． D． 9．已知直线的方向向量为，且在轴上的截距为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·江苏南通·期中）过两点的直线在轴上的截距为_______________． 11．（25-26高二上·江苏镇江·期中）（多选）下列说法中，正确的有（    ） A．直线可以表示过点的所有直线 B．直线在轴上的截距是 C．直线的倾斜角为 D．过点并且倾斜角为的直线方程为 12．（25-26高二下·安徽滁州·期末）设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 13．（25-26高二上·河南郑州·期中）公元1765年瑞士数学家莱昂哈德•欧拉（LeonhardEuler）在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：三角形的外心（三条中垂线的交点）､重心（三条中线的交点）､垂心（三条高线的交点）在同一条直线上.后来，人们把这条直线称为欧拉线.若的顶点，则其欧拉线方程为（    ） A． B． C． D． 14．（25-26高二上·浙江·期中）过点且斜率小于0的直线与轴，轴围成的封闭图形面积的最小值为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 15．（25-26高二上·浙江杭州·期中），过定点的动直线和过定点的动直线交于点（与不重合，为坐标原点），则以下结论：（1）为定值；（2）的面积的最大值为；（3）的最大值为5；（4）的最大值为.其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 16．（25-26高二上·上海·期中）四条不重合的直线、、、都经过点，且其中任意一条直线与两坐标轴正半轴围成的三角形面积都是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17．（25-26高二上·江苏盐城·阶段检测）已知点，若直线与线段AB相交，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是_________. 19．直线的一个方向向量是（   ） A． B． C． D． 3 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 2.2.2直线的方程 A组 巩固过关 题型01 直线图象的辨析 1.CD 2.(1)x+y-3=0 (2)x+2y-4=0 3.(1)0或2 (2)(-0,-1] 颗型02 直线与坐标轴围成图形的面积问题 4.B 5.(1)1,2）. (2)4,2x+y-4=0 6.、 4V5 3 颗型03 直线过定点问题 7.D 8.B 1/2 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9.B B组 能力进阶 2π 1.3120 题号 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D C B C c A C组 思维拔高 题号 9 11 12 13 14 15 16 17 19 答案 C BD C C B D D C C 7 10.3 212 分层作业 2.2.2　直线的方程 目 录 A组 巩固过关 题型01 直线图象的辨析 题型02 直线与坐标轴围成图形的面积问题 题型03 直线过定点问题 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考   直线图象的辨析题型01 1．（多选）下列说法一定正确的是（   ） A．过点的直线方程为 B．直线的倾斜角为 C．若，，则直线不经过第三象限 D．过、两点的直线方程为 【答案】CD 【分析】取倾斜角为直角的直线可判断A选项；取，可判断B选项；化直线方程为斜截式，数形结合可判断C选项；利用两点式方程可判断D选项. 【详解】对于A选项，过点且斜率不存在的直线的方程为，A错； 对于B选项，若，则直线的倾斜角不是，B错； 对于C选项，因为，，则直线的方程可化为， 故直线的斜率为，该直线在轴上的截距为， 作出直线的图象如下图所示： 由图可知，当，时，直线不经过第三象限，C对； 对于D选项，当过点、的直线的斜率存在且不为零时， 则该直线的两点式方程为，可化为， 当直线与轴垂直时，直线的方程为，满足， 当直线与轴垂直时，直线的方程为，满足， 综上所述，过、两点的直线方程为，D对. 故选：CD. 2．已知直线l过点，且与x轴、y轴的正方向分别交于A，B两点，分别求满足下列条件的直线方程： (1)时，求直线l的方程． (2)当的面积最小时，求直线l的方程． 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据条件可知点是的三等分点，构造直角三角形，利用相似三角形比值关系即可求出A，B两点坐标，继而求出方程; （2）利用截距式找出两截距关系，再根据代入三角形面积计算中即可找出面积的最小值，继而求出方程. 【详解】（1）作，则.    由三角形相似，，可求得，， ∴方程为，即； （2）根据题意，设直线l的方程为，由题意，知，， ∵l过点，∴，解得，∴的面积， 化简，得.① ∴，解得或（舍去）. ∴S的最小值为4， 将代入①式，得，解得， ∴.∴直线l的方程为. 3．（25-26高二上·上海·期中）已知直线的方程为： (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的值； (2)若直线不经过平面直角坐标系的第二象限，求的取值范围； 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）讨论直线经过坐标原点和不过坐标原点的情况，根据截距相等可构造方程求得结果； （2）讨论直线斜率为和斜率不为的情况，根据直线不过第二象限可构造不等式组求得结果. 【详解】（1）若直线经过坐标原点，则，解得：； 若直线不经过坐标原点，即时， 则直线在两坐标轴的截距分别为和，且，解得：； 综上所述：或. （2）当直线斜率为时，，即时，直线方程为，不经过第二象限，符合题意； 当直线斜率不为时，若直线不经过第二象限，则，解得：； 综上所述：的取值范围为. 直线与坐标轴围成图形的面积问题题型02 4．过点且斜率为2的直线与坐标轴围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用点斜式求得直线的方程，求得直线与坐标轴的交点坐标，从而求得三角形的面积. 【详解】依题意得直线的方程为，即， 则直线与坐标轴的交点分别为， 所以． 故选：B 5．已知直线：. (1)求证：直线过定点，并求出此定点的坐标； (2)若直线与两坐标轴的正半轴围成三角形，求三角形面积的最小值，并求此时直线的方程. 【答案】(1) 由直线方程变形可得， 所以直线过直线与直线的交点， 联立，解得， 所以直线过定点. (2) 【分析】（1）直线方程可化为，故直线过直线与直线的交点，联立求交点可得结论； （2）求直线与坐标轴的交点，表示三角形面积，结合二次函数性质求最值可得结论. 【详解】（1）略 （2）已知直线：， 令，得，得. 令，得，得， 则三角形面积为， 当时，分母取得最大值，则此时取到最小值. 此时，直线的方程为，即. 6．已知直线的斜率小于，且经过点，并与坐标轴交于两点，，当的面积取得最小值时，直线的斜率为__________. 【答案】 【分析】由题意可设直线，分别求出两点坐标，即可表示出的面积，再由均值不等式即可求出答案. 【详解】设直线l的方程为，令，得，令，得. 则和坐标轴的交点为，. 所以， 可得的面积为，当且仅当，即等号成立； 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是设出直线的方程并求出两点坐标. 直线过定点问题题型03 7．已知直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则的倾斜角范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由直线的方程得到直线过定点，再由直线与线段有交点得直线的斜率变化范围，进而可得直线倾斜角的范围. 【详解】由直线， 令，解得，所以直线经过定点. 由，则，， 要使直线与连接两点的线段总有公共点， 则直线的斜率需满足， 则直线的倾斜角范围为. 故选：D. 8．（25-26高二上·北京海淀·期中）对于直线，下列说法不正确的是（   ） A．的斜率有可能不存在 B．恒过定点 C．的倾斜角有可能是 D．恒过第一象限 【答案】B 【分析】对A：整理方程后令的系数为即可得；对B：整理方程后令的系数为即可得；对C：令，解出即可得；对D：由直线所过定点即可得. 【详解】对A：直线可化为， 令，则，此时，斜率不存在，故A正确； 对B：直线可化为， 令，解得，故恒过定点，故B错误； 对C：令，解得， 此时直线，斜率为，倾斜角为，故C正确； 对D：由B知，恒过定点，故恒过第一象限，故D正确. 故选：B. 9．（25-26高二上·四川德阳·期中）已知点，若直线与线段有公共点，则实数的取值范围（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】利用特殊值排除错误答案，进而得到结果，数形结合由斜率列式求解计算得到结果. 【详解】因为直线， 变形为，进而，解得， 所以直线恒过定点， 求线段的两个端点与定点的斜率：， 如图可知，当，即时，设直线的斜率为， 则或， 情况1：，即， 可得，解得或， 情况2：，即， 可得，解得； 当，即时，直线与线段有一个公共点.符合题意， 结合以上分析，解得或. 故选：B. 1．（25-26高二上·上海·期末）直线的倾斜角的大小为________． 【答案】/ 【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系即可求解. 【详解】可化为， 所以直线的斜率， 设直线的倾斜角为，则， 又，所以. 故答案为：. 2．（25-26高二上·重庆·期末）直线：在轴上的截距为（   ） A．3 B． C．6 D． 【答案】A 【分析】将直线方程化为斜截式求解. 【详解】将直线化为斜截式得， 所以直线在轴上的截距为， 故选：A. 3．（24-25高二上·江西赣州·期末）对于直线，下列选项正确的是（    ） A．直线倾斜角为 B．直线经过第四象限 C．直线在轴上的截距为 D．直线的一个方向向量为 【答案】D 【分析】由直线的斜率和倾斜角的关系可判断；令，求出直线过点可判断和； 根据直线过两点，可求得两点间的向量，判断所得向量是否与向量共线可判断. 【详解】设直线的倾斜角为， 对于，直线的斜率为，所以，则，故错误； 对于，当时，，即直线过点，且倾斜角为， 所以直线经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故错误； 对于，由知，直线在轴上的截距为，故错误； 对于，当时，，即直线过点， 则，所以直线的一个方向向量为，故正确. 故选：. 4．下列说法正确的是（   ） A．过点的直线方程都可以表示为 B．若直线在轴，轴的截距分别为，则该直线方程为 C．方程表示过两点的一条直线 D．若直线经过第一、二、四象限，则点在第三象限 【答案】C 【分析】根据直线的点斜式方程的含义判断A；根据直线的截距式方程的含义判断B；根据直线的两点式方程的含义判断C；直线经过第一、二、四象限，确定的符号，即可判断D. 【详解】对于A，过点的直线斜率不存在时，表示为， 当直线的斜率存在时，方程才可以表示为，A错误； 对于B，直线在轴，轴的截距分别为， 当均不为0时，则该直线方程才可写为，B错误； 对于C，当时，直线的两点式方程为， 则可化为， 当或时，直线方程为或，依然满足上式，C正确； 对于D，若直线经过第一、二、四象限，则， 则点在第二象限，D错误， 故选：C 5．直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将直线的方程化为斜截式求出斜率，再根据斜率与倾斜角的关系求出倾斜角. 【详解】由，得. 设直线的倾斜角为，则，又，∴. 故选：B. 6．已知点和点，若直线与线段有交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将点和点分别代入直线中，数形结合可得. 【详解】将点代入直线中，得，得； 将点代入直线中，得，得； 画出图形如图所示， 则该直线与线段有交点时，实数的取值范围是． 故选：C． 7．已知直线的方程为（），点，设到的距离为，则（   ） A．的最小值为0，最大值为 B．无最小值，最大值为 C．的最小值为0，无最大值 D．无最小值，也无最大值 【答案】C 【分析】先求得直线所过定点，然后分析直线与垂直，直线过点两种情况，即可得解. 【详解】直线， 即，由，解得， 所以直线过定点， 因为, 若时，则 可取最大值，最大值为， 若，则其斜率应为1， 当时，直线的斜率为，令可得，此方程无解，矛盾， 当时，直线为，斜率不存在，不满足垂直条件，矛盾， 故不存在使得， 所以，无最大值. 当直线过点时，即时，到的距离最小. 故选：C 8．过、两点的直线方程是 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线的截距式定义求解. 【详解】根据截距式方程得出 过、两点的直线方程是 . 故选：A. 9．已知直线的方向向量为，且在轴上的截距为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意求得直线的斜率，再利用斜截式方程求解，化为一般式方程即可. 【详解】由直线的方向向量为得直线的斜率为， 又在轴上的截距为，所以直线的方程为，即. 故选：C 10．（25-26高二上·江苏南通·期中）过两点的直线在轴上的截距为_______________． 【答案】 【分析】先求直线斜率，再根据点斜式得到直线方程求出截距即可． 【详解】， 则直线的方程为，即， 当时，， 则直线在轴上的截距为． 故答案为：． 11．（25-26高二上·江苏镇江·期中）（多选）下列说法中，正确的有（    ） A．直线可以表示过点的所有直线 B．直线在轴上的截距是 C．直线的倾斜角为 D．过点并且倾斜角为的直线方程为 【答案】BD 【分析】对于AD，通过斜率不存在的直线方程可判断，对于B由可判断，对于C，由斜率可得倾斜角，即可判断. 【详解】对于A，不含这条直线，错误； 对于B，令，得，即直线在轴上的截距是，正确； 对于C，直线斜率为，可知倾斜角为，错误； 对于D，过点并且倾斜角为的直线方程，正确， 故选：BD 12．（25-26高二下·安徽滁州·期末）设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据和进行分类讨论，结合余弦函数的值域计算出的范围，则倾斜角的取值范围可知. 【详解】当时，此时直线方程，垂直于轴，所以倾斜角； 当时，此时直线的斜率， 因为，所以， 结合正切函数的图象可知， 综上所述，倾斜角的取值范围是， 故选：C. 13．（25-26高二上·河南郑州·期中）公元1765年瑞士数学家莱昂哈德•欧拉（LeonhardEuler）在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：三角形的外心（三条中垂线的交点）､重心（三条中线的交点）､垂心（三条高线的交点）在同一条直线上.后来，人们把这条直线称为欧拉线.若的顶点，则其欧拉线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形顶点坐标得重心的坐标，确定，垂直平分线确定外接圆圆心即外心坐标，从而可得其欧拉线方程. 【详解】因为的顶点，可得的重心的坐标为， 由，，可得中点的坐标为， 所以的垂直平分线所在直线的斜率， 所以可得的垂直平分线所在直线的方程为， 又由，可得的垂直平分线所在直线的方程为， 联立方程组，解得， 即的外心的坐标为， 则，所以的方程为，即， 所以的欧拉线方程为. 故选：C. 14．（25-26高二上·浙江·期中）过点且斜率小于0的直线与轴，轴围成的封闭图形面积的最小值为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】设直线为，代入得，表示出所围成封闭图形面积为，进而结合基本不等式求解即可. 【详解】设直线为，代入得， 即，， 设直线与x轴交点，与y轴交点， 则所围成封闭图形面积为， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以所围成的封闭图形面积的最小值为6. 故选：B. 15．（25-26高二上·浙江杭州·期中），过定点的动直线和过定点的动直线交于点（与不重合，为坐标原点），则以下结论：（1）为定值；（2）的面积的最大值为；（3）的最大值为5；（4）的最大值为.其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】先求出定点的坐标，根据直线方程可得两条直线垂直即，进而判断（1），结合基本不等式可判断（2），进而可得点P的轨迹方程，然后根据圆的性质及柯西不等式判断（3）（4）. 【详解】对于直线，变形为， 令，解得，定点， 对于直线，变形为， 令，解得，定点， 对直线和直线， ，故两条直线垂直，, ,，为定值，故（1）正确， 设，由以上可知，根据基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 的面积， 的面积的最大值为，故（2）正确； 设，，，则，， ，即，在以为圆心，为半径的圆上， 故的最大值为，故（3）正确； 设，由上可知，根据柯西不等式可得，即， ，当且仅当时取等号，的最大值为，故（4）正确. 故选：. 16．（25-26高二上·上海·期中）四条不重合的直线、、、都经过点，且其中任意一条直线与两坐标轴正半轴围成的三角形面积都是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线的截距式结合基本不等式计算求解. 【详解】设直线与与两坐标轴交于，所以设直线为， 因为直线过点，所以， ，所以，， 所以. 当且仅当时取面积最小值，所以. 故选：D. 17．已知点，若直线与线段AB相交，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线恒过定点且斜率为，数形结合确定直线与线段AB相交情况下参数的范围. 【详解】由题设，恒过点且斜率为，如下图示， 所以，， 由图知，要使直线与线段有交点，则或，故或. 故选：C 18．设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是_________. 【答案】 【分析】时，倾斜角为；时，将方程化为斜截式，根据斜率的范围，求出倾斜角范围. 【详解】当时，此时直线方程为，不存在，故， 当时，方程可化为，所以， 由可得或， 即， 设直线的倾斜角为，由可得， 综上，. 故答案为：. 19．直线的一个方向向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方向向量的定义即可求解. 【详解】的一个方向向量是. 故选：C 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $