2.2 直线及其方程 2.2.1 直线的倾斜角与斜率 (Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（人教B版）

**基本信息** 分层设计清晰，从基础概念到综合应用层层递进，适配新授课知识巩固与能力提升，培养数学眼光与思维。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|倾斜角、斜率的基本概念及简单运算|直接应用定义，如第1题方向向量与倾斜角关系，强化抽象能力| |提升|参数范围、斜率与倾斜角综合比较|结合参数与图形分析，如第6题★题倾斜角范围求m，发展推理能力| |综合|几何情境中的综合应用|跨情境问题解决，如第16题反射问题求斜率范围，体现模型观念|

2.2　直线及其方程 2.2.1　直线的倾斜角与斜率 1.D　[解析] 若直线的倾斜角为45°,则直线的斜率k=1.对于A,若直线的一个方向向量为(2,),则直线的斜率k=,故A不符合题意;对于B,若直线的一个方向向量为,则直线的斜率k=,故B不符合题意;对于C,若直线的一个方向向量为(1,-2),则直线的斜率k=-2,故C不符合题意;对于D,若直线的一个方向向量为(1,1),则直线的斜率k=1,故D符合题意.故选D. 2.D　[解析] 因为直线经过A(-1,2),B(2,)两点,所以该直线的斜率k==-,设直线的倾斜角为α,则tan α=-,因为0°≤α<180°,所以α=150°.故选D. 3.C　[解析] 因为直线l的一个方向向量为=(1,m-2),且直线l的一个法向量为v=(,1),所以×1+(m-2)×1=0,解得m=2-.故选C. 4.B　[解析] 直线l的斜率k==a2+1≥1,设直线l的倾斜角为θ,θ∈[0,π),所以tan θ≥1,所以直线l的倾斜角的取值范围为.故选B. 5.D　[解析] 方法一:因为A,B,C三点共线,所以kAB=kAC,即=,解得m=. 方法二:由题意可知C在A,B之间,所以|AC|+|BC|=|AB|,即+=,可得m=. 6.B　[解析] 由直线l的倾斜角α的取值范围是,得直线l的斜率k存在时,k<-1或k>1.当m≠2时,k==,所以<-1或>1,解得0<m<2或2<m<4.当直线l的斜率不存在时,m=2符合题意.综上,实数m的取值范围是(0,4).故选B. [技巧点拨] 已知倾斜角的取值范围求直线斜率的取值范围或已知斜率的取值范围求直线倾斜角的取值范围时,可结合直线的倾斜角与斜率关系的图象,即k=tan α,α∈∪的图象进行求解,特别要注意倾斜角为,即斜率不存在的情况,必要时要分类讨论. 7.AD　[解析] 由图象可知0<α3<α2<<α1,所以k1=tan α1<0,k2=tan α2>0,k3=tan α3>0,又函数y=tan x在上单调递增,所以0<k3<k2,综上所述,k1<k3<k2.故选AD. 8.　[解析] 易知A,B,C三点不重合,因为A,B,C三点不能构成三角形,所以A,B,C三点共线.易知直线AC的斜率存在,且kAB=kAC,所以=,即ab=2a+2b,因为ab≠0,所以1=+,即+=. 9.15°　[解析] 若直线l的斜率为-1,则其倾斜角为135°,逆时针旋转60°后得195°角,由倾斜角的定义知直线l'的倾斜角为195°-180°=15°. 10.解:(1)当直线MN的倾斜角为锐角时,k=>0,解得-<m<4; 当直线MN的倾斜角为钝角时,k=<0,解得m<-或m>4. (2)由题知=(m-4,-3m-4),因为直线MN的一个方向向量为a=(1,-2025),所以-2025(m-4)=-3m-4,解得m=. 11.A　[解析] 因为kPA==-1,kPB==1,所以kPA≤k≤kPB,即-1≤k≤1,所以-1≤tan α≤1,可得0≤α≤或≤α<π.故选A. 12.ACD　[解析] 设直线l1,l2,l的倾斜角分别为α,β,γ,则tan α=2,tan β=,直线l的斜率k=tan γ.不妨设直线l1,l2过原点,设直线l与直线l1,l2分别交于A,B两点.当∠ABO为钝角时,如图①所示,由题意知tan∠AOB=tan(α-β)==,因为△AOB为等腰三角形,所以∠AOB=∠OAB,所以tan γ=tan(∠OAB+α)==-,此时直线l的斜率为-,故A正确;若∠OAB为钝角,则∠AOB=∠ABO,如图②所示,所以tan∠OAB=tan(π-∠AOB-∠ABO)=tan(π-2∠AOB)=-tan 2∠AOB=-=-,所以tan γ=tan(∠OAB+α)==-,此时直线l的斜率为-,故C正确;当∠AOB为钝角时,如图③所示,tan∠AOB=tan[π-(α-β)]=-tan(α-β)=-,因为△AOB为等腰三角形,所以∠OAB=∠OBA,所以tan∠AOB=tan(π-∠OAB-∠OBA)=tan(π-2∠OAB)=-tan 2∠OAB=-,由-=-,解得tan∠OAB=或tan∠OAB=-3(舍去),所以tan γ=tan(β+∠OBA)=tan(β+∠OAB)==1,此时直线l的斜率为1,故D正确.故选ACD. 13.-　[解析] 由题可得∠ABC=∠xCB-∠xAB,∵kAB=,∴tan∠xAB=,∵kBC=-,∴tan∠xCB=-,∴tan∠ABC=tan(∠xCB-∠xAB)===-. 14.解:(1)记N(-1,-1),则可看作过点M(x,y)与点N(-1,-1)的直线的斜率, 因为kNA=-,kNB=,所以的取值范围为∪. (2)=2×,记P,则可看作过点M(x,y)与点P的直线的斜率,因为kPA=-,kPB=-,所以的取值范围为. 15.B　[解析] =表示函数y=ln x的图象上的点(x,y)与点D(1,0)连线的斜率,如图所示.取A(2,ln 2),B(3,ln 3),C(5,ln 5),则a=kDA,b=kDB,c=kDC,由图知kDC<kDB<kDA,则c<b<a. 16.解:由题意知OP1∥P2P3,P1P2∥P3P4,设P1(1,b),则直线OP1的斜率k==b,为使点P4落在线段OA上(不包括端点),所以当点P4落到点O,点A时为相应的两种临界位置. 当点P4落到点O时,由题意知,点O为AB的中点,且从点O出发又回到点O,所以此时P1位于线段BC的中点位置,此时OP1的斜率k1=b=; 当点P4落到点A时,点P4与点P3重合,设∠P1OB=θ,可得∠P1P2C=∠DP2P3=θ,且tan θ=b, 所以|CP1|=1-b,则|CP2|==-1, 则|DP2|=3-,所以tan θ===b,解得b=,此时直线OP1的斜率k2=. 综上可得,直线OP1的斜率的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2　直线及其方程 2.2.1　直线的倾斜角与斜率 1.[2025·云南昭通市直中学高二月考] 倾斜角为45°的直线的一个方向向量是 (　 ) A.(2,) B. C.(1,-2) D.(1,1) 2.经过A(-1,2),B(2,)两点的直线的倾斜角为 (　 ) A.30° B.60° C.120° D.150° 3.若过A(1,2),B(2,m)两点的直线l的一个法向量为v=(,1),则m= (　 ) A.2 B. C.2- D.2+ 4.[2026·长沙高二期中] 已知直线l过点P(0,1),Q(1,a2+2)(a∈R),则直线l的倾斜角的取值范围为 (　 ) A. B. C.∪ D.∪ 5.[2026·江苏镇江高二期中] 若A(-2,3),B(3,-2),C三点在同一条直线上,则m的值为(　 ) A.-2 B.2 C.- D. ★6.已知直线l过A(2,1),B(m,3)两点,直线l的倾斜角α的取值范围是,则实数m的取值范围是 (　 ) A.(0,2] B.(0,4) C.[2,4) D.(0,2)∪(2,4) 7.(多选题)[2026·宁夏中卫高二月考] 如图,直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,倾斜角分别为α1,α2,α3,则下列选项正确的是 (　 ) A.k1<k3<k2 B.k1<k2<k3 C.α1<α2<α3 D.α3<α2<α1 8.已知A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab≠0)不能构成三角形,则+=　　　　.  9.已知直线l的斜率为-1,将直线l绕其与x轴的交点逆时针旋转60°所得直线l'的倾斜角为　　　　.  10.(13分)已知坐标平面内两点M(m+3,3m+5),N(2m-1,1). (1)当直线MN的倾斜角为锐角和钝角时,分别求出m的取值范围; (2)若直线MN的一个方向向量为a=(1,-2025),求m的值. 11.经过点P(0,-1)作直线l,若直线l与以A(1,-2),B(2,1)为端点的线段总有公共点,设直线l的倾斜角为α,斜率为 k,则 (　 ) A.α∈∪ B.α∈ C.k∈(-1,1) D.k∈(-∞,-1]∪[1,+∞) 12.(多选题)已知直线l1,l2的斜率分别为2,,直线l与直线l1,l2围成一个等腰三角形,且顶角为钝角,则直线l的斜率可能是 (　 ) A.- B.-1 C.- D.1 13.如图,△ABC的顶点都在坐标轴上,直线AB的斜率为,直线BC的斜率为-,则tan∠ABC=　　　　.  14.(15分)已知点A(-3,2),B(5,18),若点M(x,y)在线段AB上运动,求: (1)的取值范围; (2)的取值范围. 15.若a=,b=,c=,则 (　 ) A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<a<c 16.(15分)一质点在矩形ABCD内运动,从AB的中点O沿一确定方向发射该质点,依次由线段BC,CD,DA反射.反射点分别为P1,P2,P3(入射角等于反射角),最后落在线段OA上的点P4处(不包括端点).若A(-1,0),B(1,0),C(1,1),D(-1,1),求直线OP1的斜率的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $