2.2 直线及其方程 2.2.1 直线的倾斜角与斜率 (Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（人教B版）

本讲义聚焦直线的倾斜角、斜率、方向向量与法向量核心知识点，从倾斜角定义及取值范围切入，通过斜率公式建立与两点坐标的联系，再引入方向向量和法向量深化对直线倾斜程度的刻画，构建完整知识支架。 资料设计亮点突出，诊断分析辨析倾斜角取值范围、斜率存在条件等易错点，培养数学思维的推理意识。探究点结合三点共线求参数等实例，引导学生用数学语言表达关系，提升应用能力。课中辅助教师突破重难点，课后帮助学生查漏补缺，强化知识理解。

2.2　直线及其方程 2.2.1　直线的倾斜角与斜率 【课前预习】 知识点一 1.逆时针方向　最小正角　0°　2.[0,π)或0°≤θ<180° 3.(1)0°　(2)90°　(3) 诊断分析 1.(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　[解析] (1)这条直线可能与x轴平行,也可能与x轴重合. (2)直线的倾斜角θ的取值范围是0°≤θ≤180°. (4)直线的倾斜角是直线向上的方向与x轴正方向所成的角. 2.解:(1)当直线的倾斜角为锐角时,直线一定过第一、三象限. (2)当直线不过第一象限时,直线的倾斜角α一定不是锐角,其取值范围是{α|α=0°或90°≤α<180°}. 知识点二 1.tan θ　不存在　2.不存在　0 诊断分析 (1)×　(2)√　(3)×　(4)×　[解析] (1)任何一条直线都有倾斜角,但不一定都有斜率,如与x轴垂直的直线的倾斜角为90°,但它没有斜率. (3)当直线的倾斜角α为时,直线的斜率不存在. (4)当倾斜角为锐角时,斜率为正值,斜率越大倾斜角越大;当倾斜角为钝角时,斜率为负值,倾斜角越大斜率越大. 知识点三 1.平行或重合　a∥l　2.共线　3.=(x2-x1,y2-y1) 5.(1)不存在　(2)　 诊断分析 (1)×　(2)×　(3)√　(4)×　[解析] (1)零向量的方向是任意的,不可以作为直线的方向向量. (2)直线的方向向量与x轴正方向所成的角与直线的倾斜角互补或相等. (3)=(1,-4)是直线l的一个方向向量. (4)由直线上两点可以确定直线的方向,求出直线的一个方向向量=(x2-x1,y2-y1),但是当x1=x2时,无意义,即直线的斜率不存在. 知识点四 1.垂直　v⊥l　2.互相垂直　互相垂直　法向量 【课中探究】 探究点一 例1　D　[解析] 由题意可知,A,B两点的横坐标相等,则直线AB的倾斜角为.故选D. 变式　D　[解析] 因为直线l经过第二、四象限,所以tan α<0,又因为0°≤α<180°,所以90°<α<180°,故选D. 探究点二 例2　(1)解:①存在,直线AB的斜率为=1. ②存在,直线CD的斜率为=-1. ③∵xP=xQ=-3,∴直线PQ的斜率不存在. (2)　[解析] 设直线l的倾斜角为θ,由斜率计算公式得,直线l的斜率k=tan θ=,得θ=,故直线l的倾斜角为. 变式　解:(1)因为5≠-4,所以A,B,C三点所在直线的斜率存在.因为kAB==,kBC==, 所以=,解得a=2或a=. (2)设直线l的倾斜角为θ,由题可知sin θ=,则θ=30°或150°,所以tan θ=或tan θ=-,所以直线l的斜率为或-. (3)①由题意,kMN===1,解得m=. ②若直线l的倾斜角为90°,则m+1=2m,解得m=1. 探究点三 例3　解:(1)因为A(-3,4),B(3,2),P(1,0),所以kPA==-1,kPB==1,因为直线l与线段AB有公共点,所以由图可知直线l的斜率k满足k≤kPA或k≥kPB, 所以直线l的斜率k的取值范围是(-∞,-1]∪[1,+∞). (2)由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间,因为直线PB的倾斜角是45°,直线PA的倾斜角是135°,所以α的取值范围是45°≤α≤135°. 变式　(1)A　(2)∪　[解析] (1)设l的倾斜角为θ,0°≤θ<180°,直线m的倾斜角为α,则tan θ=,解得θ=30°,所以α=θ-45°+180°=165°,则tan 165°=-tan 15°=-tan(45°-30°)=-=-=-2.故选A. (2)设直线l的斜率为k,因为P(-2,-1),A(-4,2),B(1,3),所以kPA==-,kPB==,因为直线l与以AB为端点的线段相交,所以由图可知直线l的斜率的取值范围为∪. 探究点四 例4　(1)C　(2)2　[解析] (1)由直线l的一个方向向量为(1,-),得直线l的斜率k==-,所以倾斜角θ满足k=tan θ=-,可得θ=120°.故选C. (2)依题意得,直线l的一个方向向量为(2,4),所以直线l的斜率k==2. 变式　解:(1)因为A(4,2),B(5,1),所以=(5-4,1-2)=(1,-1),所以直线AB的一个方向向量为(1,-1),所以(1,1)是直线AB的一个法向量. (2)①当a=4时,A(4,2),B(5,1),所以=(5-4,1-2)=(1,-1),即直线AB的一个方向向量为(1,-1),所以(-1,-1)是直线AB的一个法向量.直线AB的斜率k==-1,直线AB的倾斜角θ满足tan θ=-1,则θ=135°. ②因为5≠-4,所以A,B,C三点所在直线的斜率存在,因为kAB==,kBC==,且kAB=kBC,所以=,解得a=2或a=. 【课堂评价】 1.B　[解析] 由题意可知,直线y=1的倾斜角为0,斜率为0.故选B. 2.A　[解析] 由题意知,=(1-m,-1),由与(-3,-3)共线得=,解得m=2.故选A. 3.D　[解析] 因为-1<k<1,所以-1<tan θ<1,又0≤θ<π,所以θ∈∪.故选D. 4.CD　[解析] 对于A,若倾斜角为锐角,则斜率为正,若倾斜角为钝角,则斜率为负,故A错误;对于B,当α=时,直线的斜率不存在,故B错误;对于C,因为A(1,-3),B(1,3)两点的横坐标相同,所以直线AB的倾斜角为90°,故C正确;对于D,过(1,2),(3,4)两点的直线的斜率k==1=tan 45°,故D正确.故选CD. 5.解:直线AB的斜率kAB==;直线BC的斜率kBC===-;直线CA的斜率kCA===1.因为kAB>0,kCA>0,kBC<0,所以直线AB与直线CA的倾斜角均为锐角,直线BC的倾斜角为钝角. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2　直线及其方程 2.2.1　直线的倾斜角与斜率 【学习目标】 1.理解直线的倾斜角、斜率的概念,掌握过两点的直线的斜率公式; 2.体会用斜率和倾斜角刻画直线的倾斜程度,并掌握它们之间的关系. ◆ 知识点一　直线的倾斜角 1.定义:一般地,给定平面直角坐标系中的一条直线,如果这条直线与x轴相交,将x轴绕着它们的交点按　　　　　　　旋转到与直线重合时所转的　　　　　记为θ,则称θ为这条直线的倾斜角;如果这条直线与x轴平行或重合,则规定这条直线的倾斜角为　　　　.  2.倾斜角θ的取值范围:　　　　　　　　.  3.一般地,如果A(x1,y1),B(x2,y2)是直线l上两个不同的点,直线l的倾斜角为θ,则: (1)当y1=y2时(此时必有x1≠x2),θ=　　　　.  (2)当x1=x2时(此时必有y1≠y2),θ=　　　　.  (3)当x1≠x2时,tan θ=　　　　.  【诊断分析】 1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若一条直线的倾斜角为0°,则这条直线与x轴平行. (　 ) (2)某条直线的倾斜角可能为240°. (　 ) (3)任何一条直线有且只有一个倾斜角和它对应. (　 ) (4)直线的倾斜角是直线向上的方向与x轴所成的角. (　 ) 2.(1)当直线的倾斜角为锐角时,直线一定过哪个象限? (2)当直线不过第一象限时,直线倾斜角的取值范围是什么? ◆ 知识点二　直线的斜率 1.定义:一般地,如果直线l的倾斜角为θ,则当θ≠90°时,称k=　　　　 为直线l的斜率;当θ=90°时,称直线l的斜率　　　　　.  2.两点的斜率公式 若A(x1,y1),B(x2,y2)是直线l上两个不同的点,则当x1≠x2时,直线l的斜率为k=,当x1=x2时,直线l的斜率　　　　;当y1=y2时,直线l的斜率为　　　　.  【诊断分析】 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)任何一条直线都有且只有一个斜率和它对应. (　 ) (2)直线的倾斜角是锐角时,直线的斜率为正;直线的倾斜角是钝角时,直线的斜率为负.(　 ) (3)若直线的倾斜角为α,则直线的斜率为tan α. (　 ) (4)直线的斜率随着倾斜角的增大而增大. (　 ) ◆ 知识点三　直线的方向向量 1.定义:一般地,如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l　　　　　　,则称向量a为直线l的一个方向向量,记作　　　　.   2.如果a为直线l的一个方向向量,那么对于任意的实数λ≠0,向量λa都是l的一个方向向量,而且直线l的任意两个方向向量一定　　　　.  3.如果A(x1,y1),B(x2,y2)是直线l上两个不同的点,则直线l的一个方向向量为　　　　　　　　　.  4.(1)如果直线l的倾斜角为θ,则a=(cos θ,sin θ)为直线l的一个方向向量. (2)如果直线l的斜率为k,则a=(1,k)为直线l的一个方向向量. 5.如果a=(u,v)为直线l的一个方向向量,则: (1)当u=0时,直线l的斜率　　　　　,倾斜角为90°;  (2)当u≠0时,直线l的斜率k存在,且(1,k)与a=(u,v)都是直线l的一个方向向量,由直线的任意两个方向向量共线可知1×v=k×u,从而k=　　　　,tan θ=　　　　.  【诊断分析】 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)零向量可以作为直线的方向向量. (　 ) (2)一条直线的方向向量与x轴正方向所成的角与直线的倾斜角相等. (　 ) (3)直线l上有两点A(1,2),B(2,-2),则直线l的一个方向向量为(1,-4). (　 ) (4)已知直线上的两个点P1(x1,y1),P2(x2,y2),可以确定直线的方向,求出直线的一个方向向量,进而可以求出它的斜率. (　 ) ◆ 知识点四　直线的法向量 1.定义:一般地,如果表示非零向量v的有向线段所在直线与直线l　　　　,则称向量v为直线l的一个法向量,记作　　　　.  2.一条直线的方向向量与法向量　.  特别地,当x0与y0不全为0时,向量(x0,y0)与(y0,-x0)是　　　　　　的,如果其中一个为直线l的一个方向向量,则另一个一定是直线l的一个　　　　　.  ◆ 探究点一　直线的倾斜角问题 例1 已知A(1,-1),B(1,2),则直线AB的倾斜角为 (　 ) A.0 B. C. D. 变式 若直线l经过第二、四象限,则直线l的倾斜角α的取值范围是 (　 ) A.0°≤α<90° B.0°≤α<180° C.90°≤α<180° D.90°<α<180° [素养小结] 关于直线的倾斜角问题应注意: ①当直线与x轴平行或重合时,倾斜角为0,当直线与x轴垂直时,倾斜角为;②直线倾斜角的取值范围是[0,π). ◆ 探究点二　直线的斜率问题 例2 (1)经过下列两点的直线的斜率是否存在?如果存在,求其斜率. ①A(2,3),B(4,5); ②C(-2,3),D(2,-1); ③P(-3,1),Q(-3,10). (2)[2026·天津滨海新区高二月考] 已知直线l的斜率为,则直线l的倾斜角为　　　　.  变式 (1)已知A(a,2),B(5,1),C(-4,2a),若A,B,C三点共线,求a的值. (2)已知直线l的倾斜角的正弦值为,求直线l的斜率. (3)已知直线l过点M(m+1,m-1),N(2m,1). ①当m为何值时,直线l的斜率是1? ②当m为何值时,直线l的倾斜角为90°? [素养小结] 利用斜率公式求直线的斜率时应注意的事项: ①运用公式的前提条件是“x1≠x2”,即直线不与x轴垂直(当直线与x轴垂直时,斜率是不存在的); ②斜率公式与两点P1,P2的先后顺序无关,也就是说公式中的x1与x2,y1与y2可以同时交换位置. ◆ 探究点三　直线的斜率与倾斜角的综合应用 例3 [2026·广东佛山高二期中] 已知两点A(-3,4),B(3,2),过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点. (1)求直线l的斜率k的取值范围; (2)求直线l的倾斜角α的取值范围. 变式 (1)已知直线l的斜率k=,且与x轴交于点A,把l绕点A顺时针旋转45°得到的直线m的斜率为 (　 ) A.-2 B.2- C.--2 D.+2 (2)[2025·福建莆田十中高二月考] 已知直线l过点P(-2,-1),且与以A(-4,2),B(1,3)为端点的线段相交,则直线l的斜率的取值范围为　　　　　　　　.  [素养小结] (1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k=tan α(α≠90°)解决. (2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k=(x1≠x2)求解. (3)涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合及公式求解. ◆ 探究点四　直线的方向向量、法向量的应用 例4 (1)若直线l的一个方向向量是(1,-),则l的倾斜角为 (　 ) A.30° B.60° C.120° D.150° (2)已知直线l的一个法向量为(4,-2),则直线l的斜率为　　　　.  变式 (1)[2026·湖北黄石高二期中] 已知点A(4,2),B(5,1),求直线AB的一个方向向量和一个法向量. (2)已知点A(a,2),B(5,1),C(-4,2a). ①当a=4时,求直线AB的一个方向向量和一个法向量,并确定直线AB的斜率与倾斜角; ②若A,B,C三点共线,求a的值. [素养小结] 已知直线的方向向量或法向量求参数问题,一般根据方向向量或法向量的性质,利用向量共线或垂直来列方程求解.同时要注意,直线的方向向量与法向量不能为零向量. 1.直线y=1的倾斜角和斜率分别是 (　 ) A.,1 B.0,0 C.,不存在 D.不存在,不存在 2.若经过A(m,3),B(1,2)两点的直线的一个方向向量为(-3,-3),则m等于 (　 ) A.2 B.1 C.-1 D.-2 3.设直线的斜率为k,倾斜角为θ,若-1<k<1,则θ的取值范围是 (　 ) A. B.∪ C.∪ D.∪ 4.(多选题)下列说法中正确的是 (　 ) A.若直线的倾斜角越大,则直线的斜率越大 B.若直线的倾斜角为α,则直线的斜率为tan α C.若A(1,-3),B(1,3),则直线AB的倾斜角为90° D.若直线过点(1,2),且它的倾斜角为45°,则这条直线必过点(3,4) 5.[2026·江苏连云港高级中学高二月考] 已知A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),求直线AB,BC,CA的斜率,并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角. 学科网（北京）股份有限公司 $