2.2.1 直线的倾斜角与斜率（高效培优讲义）高二数学人教B版选择性必修第一册

本讲义聚焦直线的倾斜角与斜率核心知识点，系统梳理从倾斜角定义及范围，到斜率概念、与倾斜角变化关系、斜率公式，再到方向向量与法向量的知识脉络，通过定义解析、关系对比、公式推导及即时练习构建学习支架。 该资料亮点在于题型系统分类（含8大题型及典例、变式），结合奥运会射击瞄准等实际情境，注重概念辨析与几何意义应用。通过这些设计培养学生用数学眼光观察现实、用数学思维推理关系，课中助力教师分层教学，课后帮助学生巩固提升。

2.2.1 直线的倾斜角与斜率 教学目标 1.理解直线倾斜角和斜率的概念。 2.掌握直线倾斜角和斜率的变化关系。 3.会求解直线的斜率。 4.能够应用直线斜率的几何意义解决简单的几何问题。 教学重难点 1.重点 （1）掌握直线倾斜角与斜率的变化关系； （2）能够求解直线的斜率。 2.难点 会利用直线斜率的几何意义解决解析几何问题。 知识点01 直线的倾斜角 1、倾斜角的定义：当直线与轴相交时，我们把轴称为基准，轴的正向与向上的方向之间所产生的角叫做直线的倾斜角． 2、倾斜角的范围： 当直线与轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°．因此，直线的倾斜角的取值范围为，具体如下： 倾斜角 直线图示 3、对倾斜角的理解 （1）定义中含有的三个条件：①直线向上方向；②轴正向；③小于的角． （2）从运动学观点看，直线的倾斜角是由轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角． （3）直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应． （4）已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定直线的位置． 【即学即练】 （25-26高一下·全国·课堂例题）关于直线的倾斜角和斜率，下列正确的个数是（   ） ①任一条直线都有倾斜角，也都有斜率；②直线的倾斜角越大，它的斜率就越大；③平行于轴的直线的倾斜角是0或；④两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等；⑤直线斜率的范围是． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据倾斜角和斜率的定义逐项判断即可. 【详解】对于①，任一条直线都有倾斜角，但当直线的倾斜角为时，此直线的斜率不存在，所以①不正确； 对于②，当直线的倾斜角大于时，它的斜率为负数，而倾斜角为锐角时，其斜率为正数，大于所有负数， 所以不能说直线的倾斜角越大，它的斜率就越大，所以②不正确； 对于③，平行于轴的直线的倾斜角只能是0，所以③不正确； 对于④，一般地，两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等；但如果这两条直线的倾斜角都是， 它们斜率都不存在，也就不能说它们斜率相等，所以④不正确； 对于⑤，直线斜率的范围是，满足定义，所以⑤正确． 故选：A． 知识点02 直线的斜率 1、斜率的定义：我们把一条直线的倾斜角（）的正切值叫做这条直线的斜率，常用小写字母表示，即． 2、倾斜角与斜率的关系 直线的情况 平行于轴 由左向右上升 垂直于轴 由左向右下降 的大小 的取值范围 不存在 的增减性 — 随的增大而增大 — 随的增大而减增大 3、倾斜角与斜率的区别和联系 （1）每条直线都有唯一的倾斜角，但不是所有的直线都有斜率，倾斜角为90°的直线没有斜率； （2）不同的倾斜角对应不同的斜率，当倾斜角不是90°时，倾斜角的正切值是斜率，此时斜率和倾斜角可以互相转化．因此，确定一条不垂直于轴的直线，只要知道直线上的一个点和直线的斜率即可． 4、斜率公式：经过两点、的直线的斜率公式为． 5、对斜率公式的理解 （1）当时，直线与轴垂直，直线的倾斜角为90°，斜率不存在，此时公式不适用．因此，在研究直线的斜率问题时，一定要注意斜率的存在与不存在两种情况． （2）直线的斜率公式中的值与，两点都在该直线上的位置无关，即在直线上任取不同的两点，其斜率均不变． （3）斜率公式与两点坐标的顺序无关，即两纵坐标和两横坐标在公式中的顺序可以同时调换，也就是说，如果分子式，分母必须是；如果分子是，分母必须是，即． 【即学即练】 例1：（25-26高二上·浙江台州·期中）已知直线过，两点，则直线的倾斜角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断直线的斜率，得到直线方程，再得出倾斜角. 【详解】由直线过，两点，可得不存在， 所以直线方程为，倾斜角为. 故选：C.: 例2：（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）设直线的倾斜角，则其斜率的取值范围是____________；若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是____________. 【答案】 【分析】根据直线的倾斜角和斜率的关系，，即可求解. 【详解】因为，，，， 所以或， 所以斜率的取值范围是； 当时，. 知识点03 直线的方向向量与法向量 1.直线的斜率与方向向量的关系 我们知道直线上的向量以及与它平行的向量都是直线的方向向量，直线的方向向量的坐标为．当直线与轴不垂直时，此时向量也是直线的方向向量，且它的坐标，即，其中是直线的斜率．因此，若直线的斜率为，它的一个方向向量的坐标为，则斜率为． 2.直线的法向量 一般地，如果表示非零向量的有向线段所在的直线与直线垂直，则称向量为直线的一个法向量，记做. 【即学即练】 例1：（25-26高二上·湖北·阶段检测）已知向量是直线的方向向量，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直线方向向量与直线斜率以及倾斜角的关系即可求解. 【详解】已知向量是直线的方向向量，则直线的斜率为，故直线的倾斜角为. 故选：A. 例2：（25-26高二上·福建厦门·期末）若直线的一个法向量为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据法向量与直线l垂直，即可得答案. 【详解】取坐标平面内两点和，则， 则直线OA的斜率与直线的斜率乘积为，而， 所以直线的斜率为. 故选：C 题型01 直线的倾斜角 【典例1】（25-26高二上·河南南阳·期末）在平面直角坐标系中，轴的倾斜角为（    ） A．0 B． C． D．不存在 【答案】A 【分析】根据直线倾斜角的定义:轴正方向与直线向上的方向之间所成的角，我们规定：当直线与轴平行或重合时，直线的倾斜角为0，可得答案. 【详解】因为轴是水平的直线，所以其倾斜角为0， 故选：A． 【变式1】（25-26高二下·上海徐汇·期末）直线的倾斜角的大小为____________． 【答案】 【分析】根据直线与倾斜角的关系可求解. 【详解】将直线方程整理得，可知该直线为垂直于轴的直线， 因此该直线的倾斜角大小为. 【变式2】（25-26高二上·江西·期中）倾斜角为钝角的直线l一定经过（    ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第二、三象限 【答案】B 【分析】根据直线倾斜角的概念并结合一次函数性质判断即可. 【详解】因为直线的倾斜角为钝角，所以斜率为负， 由一次函数性质得直线l一定经过第二、四象限. 故选：B. 【变式3】（25-26高二·全国·寒假作业）下列说法中，正确说法的个数是（   ） ①任何一条直线都有唯一的倾斜角；②任何一条直线都有唯一的斜率；③倾斜角为的直线不存在；④倾斜角为的直线只有一条． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据倾斜角和斜率的概念逐项判断即可. 【详解】对于①，根据倾斜角定义知，任何一条直线都有唯一的倾斜角，正确； 对于②，当直线的倾斜角为时，直线的斜率不存在，错误； 对于③，倾斜角为的直线与x轴垂直，有无数条，错误； 对于④，倾斜角为的直线与x轴重合或平行，有无数条，错误； 综上，只有①说法正确. 故选：B 【变式4】（25-26高二上·四川德阳·期中）直线的倾斜角是__________. 【答案】/ 【分析】根据直线的形式，直接求直线的倾斜角. 【详解】直线是平行于轴的直线，所以直线的斜率为0，倾斜角为0. 故答案为： 题型02 直线斜率的概念及求解 【典例1】1．（25-26高一下·海南海口·期末）已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用两点求出斜率，再结合倾斜角及斜率关系求解. 【详解】直线经过，两点，直线斜率为， 设直线的倾斜角为，则，得， 即直线的倾斜角为. 【变式1】（25-26高二下·安徽芜湖·期末）在平面直角坐标系中，过，两点的直线的斜率为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【详解】. 【变式2】（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知直线经过， 两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先计算直线AB的斜率，再根据斜率与倾斜角的关系，结合倾斜角的取值范围求出倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为，其中 . 根据过两点的直线斜率公式，得 ， 由 ，结合 ，可得. 【变式3】（25-26高二·全国·暑假作业）若经过两点，的直线的倾斜角为锐角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由斜率计算公式，列出不等式求解即可. 【详解】因为直线的倾斜角为锐角， 所以斜率，所以. 即的取值范围是. 【变式4】（25-26高三·全国·一轮复习）过，两点的直线的一个方向向量为，则（　　） A． B．1 C．5 D．3 【答案】C 【详解】解法一：由题意可知，解得. 解法二：∵，∴，解得. 【变式5】（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）已知直线的一个方向向量为，则直线的斜率为__________ . 【答案】 【详解】因为直线l的一个方向向量为， 所以直线l的斜率为 【变式6】（25-26高二上·山东德州·期中）已知直线l经过点，，则正确的是（   ） A．直线l的斜率为1 B．直线l的倾斜角为 C．直线l的方向向量为 D．直线l的法向量为 【答案】B 【分析】由两点求得斜率，进而逐项判断即可. 【详解】由斜率公式得， 所以倾斜角为，方向向量为， 法向量为，其中，所以A，C，D错误，B正确. 故选：B 题型03 倾斜角和斜率的变化关系 【典例1】（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）设直线的倾斜角，则其斜率的取值范围是____________；若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是____________. 【答案】 【分析】根据直线的倾斜角和斜率的关系，，即可求解. 【详解】因为，，，， 所以或， 所以斜率的取值范围是； 当时，. 【变式1】（24-25高二上·天津红桥·阶段检测）若直线的斜率为，倾斜角为，而，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】由直线倾斜角的范围再结合正切函数的单调性即可求出的取值范围. 【详解】当时，，所以； 当时，，即； 所以的取值范围是. 【变式2】（25-26高二上·江西抚州·阶段检测）直线的斜率的取值范围为，则其倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由斜率的定义及正切函数的性质，即可求得结果. 【详解】设直线的倾斜角为，斜率为，因为， 又因为，由正切函数的性质可得， 故选：C. 【变式3】（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）设，且，点，过点的直线l与线段始终有交点，则直线l的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用斜率公式，分别求得，结合题意，得到且，进而求得直线l的倾斜角的取值范围，得到答案. 【详解】由点过点的直线l与线段始终有交点， 如图所示，可得， 设直线l的倾斜角为，可得且， 又因为，且，所以或， 所以直线l的倾斜角的取值范围是. 故选：D. 题型04 图象中的斜率与倾斜角 【典例1】（25-26高二上·广西·阶段检测）图中的直线，，的斜率分别为，，，则有（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先得到倾斜角，根据斜率和倾斜角的关系，结合正切函数单调性，得到. 【详解】由图象可得，倾斜角， 故， 又在上单调递增， 故. 故选：A. 【变式1】（25-26高二上·四川南充·期中）如图所示，直线的斜率分别为，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，结合图象应用斜率与倾斜角的关系即可判断． 【详解】直线倾斜角为，当时，其斜率，函数的图象如图， 直线对应的倾斜角为钝角，则， 直线与都为锐角，且的倾斜角大于的倾斜角，则， 所以． 故选：C 【变式2】（25-26高二上·江苏无锡·阶段检测）（多选）如图，直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则下列选项正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据直线斜率与倾斜角定义，依图象分别判断各选项即可. 【详解】由图可知，，则. 故选：AD. 【变式3】（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）（多选）若直线，，的斜率分别为，，，且，则，，的部分图象可能为（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】AB 【分析】根据倾斜角与斜率的关系判断即可. 【详解】设直线，，的倾斜角分别为， 对于：，所以，故正确； 对于：，所以，故正确； 对于：，所以，故错误； 对于：，所以，故错误. 故选：. 题型05 已知斜率求参数 【典例1】（25-26高二上·广东·阶段检测）若过点的直线的倾斜角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用斜率的定义及坐标公式列式求解. 【详解】由过点的直线的倾斜角为，得， 所以. 故选：D 【变式1】（25-26高二上·山东枣庄·阶段检测）过两点的直线l的倾斜角为135°，求m的值为_____. 【答案】 【分析】根据倾斜角计算出斜率值，然后根据斜率的坐标公式求解出的值. 【详解】因为的倾斜角为，所以的斜率， 所以且，解得， 故答案为：. 【变式2】（25-26高二下·贵州毕节·期中）直线经过、两点，且倾斜角是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由直线的倾斜角为，所以 直线的斜率； 又直线经过、两点，可得，且， 整理得， 解得，经检验符合题意. 【变式3】（25-26高二上·山东菏泽·期末）已知经过两点的直线的方向向量为，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】应用两点得出直线斜率，再根据方向向量得出斜率，最后列式求参数. 【详解】经过两点的直线斜率为， 又因为直线的方向向量为，则直线斜率为， 所以，即. 故选：C. 题型06 利用直线斜率处理共线问题 【典例1】（25-26高二上·江苏淮安·阶段检测）下列三点在同一直线上的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】对于ABD：利用斜率来判断三点是否共线；对于C：根据三点结合直线分析判断. 【详解】对于选项A：因为，且， 所以三点不在同一直线上，故A错误； 对于选项B：因为，且， 所以三点不在同一直线上，故B错误； 对于选项C：显然三点在同一直线上，故C正确； 对于选项D：因为，且， 所以三点不在同一直线上，故D错误； 故选：C. 【变式1】（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）已知三点，则“三点共线”是“或”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】求出三点共线时的所有值，再根据必要不充分条件的判断即可得到答案. 【详解】当时，三点均在直线上； 当时，，而直线的斜率不存在，显然三点不在一条直线上； 当时，若三点共线，则，即，解得或． 综上，若三点共线，则或或， 故“三点共线”是“－4或”的必要不充分条件． 故选：C. 【变式2】（25-26高二上·浙江台州·期末）台州学子黄雨婷夺得巴黎奥运会10米气步枪比赛1金1银两块奖牌后，10米气步枪射击项目引起了大家的关注.在10米气步枪比赛中，瞄准目标并不是直接用眼睛对准靶心，而是通过觇孔式瞄具来实现.这种瞄具有前后两个觇孔（觇孔的中心分别记为点），运动员需要确保靶纸上的黑色圆心（记为点）与这两个觇孔的中心对齐，以达到三圆同心的状态.若某次射击达到三圆同心，且点，点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意三点共线，结合两点式斜率公式，利用斜率相等列式求解即可. 【详解】由题意三点共线，设，因为，， 所以，解得，所以. 故选：B 【变式3】（25-26高二上·江苏宿迁·期中）已知三点共线，则实数的值为______. 【答案】4 【分析】根据A，B，C三点共线可得，然后利用两点间的斜率公式代入求解即可. 【详解】因为三点共线，所以， 所以，解得. 故答案为：. 题型07 直线与线段有公共点问题 【典例1】（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知点，，过点的直线l与线段AB有交点，则直线l斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用斜率公式，分别求得直线和直线的斜率，结合图象，即可求解. 【详解】由，得直线的斜率分别为，， 而过点的直线与线段有交点，如图， 所以直线l斜率的取值范围为. 【变式1】（25-26高二下·上海·期中）已知点，若过点的直线与线段相交，则直线斜率的取值范围是_________ ． 【答案】 【详解】点，点，可得，， 如下图示，所以. 【变式2】（25-26高二上·四川成都·阶段检测）（多选）下列结论正确的是（    ） A．若三点共线，则m的值为0 B．已知两点，过点的直线与线段有公共点，则的斜率k的取值范围为 C．已知点，点B在坐标轴上，经过两点直线的方向向量为，则可以是点B的坐标 D．若两直线的倾斜角分别为，斜率分别是，则 【答案】AC 【分析】A选项，利用斜率相等求解即可；B选项，结合图像求出临界情况分析即可；C选项根据方向向量与平行来判断即可；D选项，根据倾斜角与斜率的关系举反例即可. 【详解】对于A选项，由可得，由三点共线得，得，A选项正确； 对于B选项，由、，， 则，， 由图可知，要使过点的直线与线段MN有公共点， 则或，即的斜率k的取值范围为，故B错误； 对于C选项，若，则，故与平行，故C选项正确； 对于D选项，若，但是，故D选项错误； 故选：AC. 【变式3】（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）经过点作直线l，且直线l与连接点，的线段总有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是______________．（用弧度制表示，写成区间形式） 【答案】 【分析】由题意画出图形，数形结合能求出使直线与线段有公共点的直线的斜率的范围与倾斜角的范围． 【详解】    因为，，， ，， 则使直线与线段有公共点的直线的斜率的范围为 又直线倾斜角的范围是：，且， 所以直线l的倾斜角的范围为. 故答案为：． 【变式4】（2025高二·全国·专题练习）已知直线l过点P，点A的坐标为，点B的坐标为，若直线与线段有公共点，求l的倾斜角的取值范围． 【答案】 【分析】结合图形，根据过点的直线与线段有公共点，求出对应斜率，再求出倾斜角的取值范围。 【详解】 则， 当直线l过A时，设直线l的倾斜角为， 则， 所以要使直线l与线段AB有公共点， 则直线l的倾斜角的取值范围是． 故答案为： 题型08 斜率公式的几何意义应用 【典例1】（25-26高二上·广东广州·阶段检测）设点，若点在线段上（含端点），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将求“的取值范围”转化为求点与点连线的斜率问题，并结合图象分析，可得结果. 【详解】由题可知，. 令，且. 则可以看作是线段上（含端点）的点与点连线的斜率. 如图，记，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则直线的倾斜角的范围是. 所以，或. 所以的取值范围是. 故选：A. 【变式1】（25-26高二上·湖南长沙·阶段检测）已知实数x，y满足，且，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出对应图象，利用斜率与倾斜角的关系，找出其边界情况即可求解. 【详解】的几何意义为动点与定点所在直线的斜率， 动点满足关系式，且， 可知在线段（除点外）上移动，且， 如图，，， 点与定点所在直线的斜率不存在， 所以的取值范围是， 故选：A. 【变式2】（25-26高二上·内蒙古兴安·阶段检测）已知，，，不能构成三角形，则______． 【答案】/ 【分析】根据已知分析出三点共线且斜率存在，应用斜率两点式列方程得，整理变形即可得. 【详解】三点不能构成三角形的情况，即三点共线， 因为斜率存在，所以，即，即, 因为，所以，即. 故答案为： 【变式3】（2026高三·全国·专题练习）已知实数，满足，则的最大值为________，最小值为________． 【答案】 8 【分析】由题可知表示定点和曲线上任一点的连线的斜率，再结合函数图像求解． 【详解】解析：如图，作出的图像（曲线段）， 则表示定点和曲线段上任一点的连线的斜率， 连接，，则．易得，， 所以，，所以， 故的最大值是8，最小值是． 1．（25-26高二上·江苏无锡·阶段检测）下列叙述正确的是（    ） A．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率 B．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 C．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 D．若直线与轴相交，其向上的方向与轴正方向所成的角为，则其倾斜角为 【答案】C 【分析】根据倾斜角与斜率的关系，数形结合依次判断各项的正误. 【详解】A：任意一条直线都存在倾斜角，但倾斜角为的直线不存在斜率，错； B：由于直线倾斜角的取值范围是，因此不在此范围内时不是直线的倾斜角， 如当时，直线斜率，但直线倾斜角为，错； C：与轴垂直的直线的倾斜角是，与轴垂直的直线的倾斜角是，对； D：如图，当向上方向的部分在轴左侧时，倾斜角为； 当向上方向的部分在轴右侧时，倾斜角为，错． 故选：C 2．（25-26高二上·陕西渭南·阶段检测）（多选）下列说法正确的是：（   ） A．斜率随倾斜角增大而增大 B．在上斜率随倾斜角增大而增大 C．在上，斜率随倾斜角增大而减小 D．在上，斜率随倾斜角增大而增大 【答案】BD 【分析】利用正切函数的单调性来判断即可． 【详解】由斜率与倾斜角的关系知， 因为正切函数在区间上单调递增，但它不是定义域内的增函数， 故A错误，B正确，C错误，D正确； 故选：BD 3．（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）（多选）下列叙述错误的是（   ） A．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 B．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 C．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大 D．若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行 【答案】BCD 【分析】根据倾斜角与斜率的关系，逐项判断各项的正误即可. 【详解】对于A，与轴垂直的直线的倾斜角为，与轴垂直的直线的倾斜角为， 所以与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或，故A正确； 对于B：由于直线倾斜角的取值范围是， 因此不在此范围内时不是直线的倾斜角， 如当时，直线斜率，但直线倾斜角为，故B错误； 对于C，设直线的倾斜角为， 当，斜率，当，斜率，故C错误； 对于D，若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行或重合，故D错误. 故选：BCD. 4．（25-26高二上·河南南阳·开学考试）（多选）给出下列结论，其中说法正确的是（    ） A．若是直线的一个方向向量，则是该直线的斜率 B．若直线的斜率是，则是该直线的一个方向向量 C．任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 D．任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 【答案】ABC 【分析】根据直线的斜率和倾斜角，方向向量等概念，结合正切函数的性质逐一判断即得. 【详解】对于A，因是直线的一个方向向量，则直线斜率为，即A正确； 对于B，因直线的斜率是，若设直线的方向向量为，则有，不妨取，则得，即是该直线的一个方向向量，故B正确； 对于C，根据直线的倾斜角定义可知，任一条直线都有倾斜角，而当倾斜角为时，直线的斜率不存在，故C正确； 对于D，因直线的倾斜角的正切值为直线的斜率，根据正切函数的性质可知，当倾斜角为时，直线的斜率不存在，故D错误. 故选：ABC. 5.（25-26高二·全国·暑假作业）经过两点，的直线的斜率为_________，倾斜角为_________. 【答案】 【详解】设此直线的倾斜角为，则. 因为，所以. 6．（2026高二·全国·专题练习）过点，的直线的斜率为1，那么m的值为（    ） A．1或4 B．4 C．1或3 D．1 【答案】D 【详解】因为直线过点，，且斜率为1， 所以，解得． 7.（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）直线经过两点，，将绕其与轴的交点逆时针旋转得到直线，则的斜率为（   ） A． B．3 C．-3 D． 【答案】C 【分析】计算出的斜率，利用倾斜角的定义，建立起的倾斜角与的倾斜角的关系，可得答案. 【详解】直线的斜率，逆时针旋转后，则直线的倾斜角为， 直线的斜率. 故选：C. 8．（2026高三·全国·专题练习）如果直线经过，两点，那么直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【详解】由点和，得， 所以直线的一个方向向量为，所以直线的斜率， 所以，又，所以或． 9．（25-26高二上·云南保山·期末）已知直线的倾斜角为，则“直线的斜率”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由直线的斜率，得，则或， 又，解得或； 反之当时，，则直线的斜率， 所以“直线的斜率”是“”的必要不充分条件. 10．（25-26高二上·湖南·期中）已知直线过点，，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由斜率公式求得斜率，再由倾斜角和斜率关系即可求解. 【详解】直线的斜率， 设直线的倾斜角为，所以， 所以倾斜角的取值范围为. 故选：B． 11．（25-26高二上·安徽·阶段检测）（多选）已知直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】由斜率与倾斜角的关系逐项判断即可得. 【详解】对A：若，则，因，故，故A正确； 对B：当时，有，故B错误； 对C：若，则，因，故，故C正确； 对D：若，，则，故D正确. 故选：ACD. 12．（25-26高二上·贵州·期中）（多选）已知直线的倾斜角分别为，斜率分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用直线斜率与倾斜角之间关系求解即可. 【详解】由题可得三条直线在坐标系中的大概位置如下： 因为， 所以， 所以A不正确；B正确；C正确；D不正确； 故选：BC 13．（25-26高二下·上海·期中）若直线的一个法向量为，则的倾斜角为_______． 【答案】 【分析】利用直线的法向量与方向向量的关系，进而得直线的斜率，最后求得倾斜角. 【详解】因为直线的一个法向量为， 可得直线的其中一个方向向量为， 所以直线的斜率，设直线的倾斜角为，， 可得，所以． 14．（25-26高二上·北京通州·阶段检测）已知直线的方向向量为，则直线的倾斜角是__________. 【答案】/ 【分析】求出直线的斜率，即可得到直线的倾斜角. 【详解】因为直线的一个方向向量是， 所以直线的斜率， 设直线的倾斜角为，则， 又，所以， 故答案为：. 15．（25-26高二上·全国·期中）已知直线的斜率为，若直线的倾斜角是的两倍，则的斜率为______． 【答案】 【分析】由直线斜率和倾斜角的关系得到直线的倾斜角，再由二倍角正切公式得到直线的斜率. 【详解】设直线的斜率为，倾斜角为，直线的斜率为，倾斜角为， 则，因为，所以． 所以的斜率为. 故答案为：. 16．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知点，直线的倾斜角，那么的取值范围是__________． 【答案】 【分析】先根据倾斜角的取值范围确定直线斜率的取值范围，再利用表示斜率，解不等式即可． 【详解】因为直线的倾斜角，可得直线的斜率， 又因为，可得直线的斜率，解得， 即的范围为， 故答案为：． 17．（25-26高二上·天津南开·阶段检测）已知，，三点共线，则________. 【答案】 【分析】利用三点共线有，结合斜率的两点式列方程求参数值. 【详解】由题意，则，即. 故答案为： 18．（25-26高二上·河南郑州·期末）若经过，两点的直线的斜率是2，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知，整理得，解得. 19．（25-26高三·全国·一轮复习）过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】利用斜率与倾斜角的关系可求解. 【详解】当时，直线的斜率不存在，此时； 当时，直线的斜率，即，解得； 当时，直线的斜率，即，解得； 综上可得实数的取值范围是. 20．（25-26高二上·四川乐山·阶段检测）已知直线经过两点，问：当取何值时： (1)直线与轴平行？ (2)直线的倾斜角为？ (3)直线的倾斜角为锐角？ 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）结合两点斜率公式，根据直线斜率列方程求解即可. （2）结合两点斜率公式和斜率的定义，根据直线斜率列方程求解即可. （3）根据直线的倾斜角为锐角得，利用两点斜率公式列不等式求解即可. 【详解】（1）若直线与轴平行，则直线的斜率，所以； （2）由直线的倾斜角为可知，直线的斜率， 所以，解得； （3）由题意可知，直线的斜率，所以， 即，解得. 21．（第一单元直线的斜率与倾斜角、直线的方程）已知坐标平面内两点． (1)当直线MN的斜率不存在时，求的值； (2)当直线MN的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围． 【答案】(1)； (2)答案见解析． 【分析】（1）根据斜率不存在时横坐标相等列方程，即可求参数； （2）由倾斜角为锐角、钝角时对应斜率的符号列不等式求参数范围. 【详解】（1）直线MN的斜率不存在时，点的横坐标相等， 即，解得； （2）直线MN的倾斜角为锐角时，斜率，解得． 直线MN的倾斜角为钝角时，斜率，解得或． 综上可得，直线MN的倾斜角为锐角时，的取值范围为， 直线MN的倾斜角为钝角时，的取值范围为. 1.（25-26高二上·天津·阶段检测）设直线l的斜率为k，且关于x的一元二次不等式的解集为空集，则直线l的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由关于的一元二次不等式的解集为空集，利用判别式小于等于0求得的范围，再由斜率是倾斜角的正切值求得直线的倾斜角的取值范围． 【详解】关于的一元二次不等式的解集为空集， ，解得． 即，又， ． 故选：C． 2．（25-26高二上·湖北荆州·期末）在平面直角坐标系中，已知四边形为正方形，所在直线的斜率存在且分别为．若，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】不妨设直线的倾斜角为，则直线的斜率分别为，由得到，由，得到的方程，计算得解. 【详解】不妨设直线的倾斜角为， 则直线的斜率分别为， ，， 又，，即． 又，， 化简得， 解得（负值舍去）． 故选：D. 3．（25-26高二上·北京海淀·阶段检测）已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】首先充分性验证：通过举反例直接否定充分性; 必要性验证：设()，由推出，进而得. 【详解】直线的斜率(，且). 充分性，已知，设，，则，，，，则充分性不成立. 必要性，由可知，异号，设： ，则； ，令()，则. 已知，代入得， 即. 因为正切函数在上单调递增， 所以，所以， 又因为，所以，代入得 化简得，所以， 必要性成立. 故选：B 4．（25-26高二上·广东揭阳·阶段检测）已知、，点在线段上，则的取值范围为________. 【答案】 【分析】根据直线与倾斜角的关系，再结合数形结合可得. 【详解】由直线的斜率公式可得：；.    将看成线段上一点与定点连线的斜率， 结合图形，要使直线经过点，且与线段有交点， 的斜率需满足或. 故答案为： 5．（2025高二上·河南安阳·专题练习）已知实数满足，则的最大值为______． 【答案】8 【分析】根据斜率的两点式确定目标式的几何意义，再应用数形结合求目标式的最大值. 【详解】由的几何意义是图象上的点与点连线的斜率． 如图所示，直线的倾斜角始终为锐角，结合正切函数在上单调递增， 当直线过点时斜率最大，将代入，得最大值为8． 故答案为：8 6．（25-26高二上·辽宁大连·期中）已知为直线的倾斜角，若直线的法向量为，，那么当实数变化时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直线的法向量得到直线的方向向量，进而求得直线的斜率，利用斜率与 倾斜角的关系求范围. 【详解】由直线的法向量为可得：直线的方向向量可取为. 当时，，此时直线垂直于轴，. 当时，直线的斜率，， 则当时，由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立，此时； 则当时，由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立，此时； 综上可得：的取值范围是. 故选：A. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2.1 直线的倾斜角与斜率 教学目标 1.理解直线倾斜角和斜率的概念。 2.掌握直线倾斜角和斜率的变化关系。 3.会求解直线的斜率。 4.能够应用直线斜率的几何意义解决简单的几何问题。 教学重难点 1.重点 （1）掌握直线倾斜角与斜率的变化关系； （2）能够求解直线的斜率。 2.难点 会利用直线斜率的几何意义解决解析几何问题。 知识点01 直线的倾斜角 1、倾斜角的定义：当直线与轴相交时，我们把轴称为基准，轴的正向与向上的方向之间所产生的角叫做直线的倾斜角． 2、倾斜角的范围： 当直线与轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°．因此，直线的倾斜角的取值范围为，具体如下： 倾斜角 直线图示 3、对倾斜角的理解 （1）定义中含有的三个条件：①直线向上方向；②轴正向；③小于的角． （2）从运动学观点看，直线的倾斜角是由轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角． （3）直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应． （4）已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定直线的位置． 【即学即练】 （25-26高一下·全国·课堂例题）关于直线的倾斜角和斜率，下列正确的个数是（   ） ①任一条直线都有倾斜角，也都有斜率；②直线的倾斜角越大，它的斜率就越大；③平行于轴的直线的倾斜角是0或；④两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等；⑤直线斜率的范围是． A．1 B．2 C．3 D．4 知识点02 直线的斜率 1、斜率的定义：我们把一条直线的倾斜角（）的正切值叫做这条直线的斜率，常用小写字母表示，即． 2、倾斜角与斜率的关系 直线的情况 平行于轴 由左向右上升 垂直于轴 由左向右下降 的大小 的取值范围 不存在 的增减性 — 随的增大而增大 — 随的增大而减增大 3、倾斜角与斜率的区别和联系 （1）每条直线都有唯一的倾斜角，但不是所有的直线都有斜率，倾斜角为90°的直线没有斜率； （2）不同的倾斜角对应不同的斜率，当倾斜角不是90°时，倾斜角的正切值是斜率，此时斜率和倾斜角可以互相转化．因此，确定一条不垂直于轴的直线，只要知道直线上的一个点和直线的斜率即可． 4、斜率公式：经过两点、的直线的斜率公式为． 5、对斜率公式的理解 （1）当时，直线与轴垂直，直线的倾斜角为90°，斜率不存在，此时公式不适用．因此，在研究直线的斜率问题时，一定要注意斜率的存在与不存在两种情况． （2）直线的斜率公式中的值与，两点都在该直线上的位置无关，即在直线上任取不同的两点，其斜率均不变． （3）斜率公式与两点坐标的顺序无关，即两纵坐标和两横坐标在公式中的顺序可以同时调换，也就是说，如果分子式，分母必须是；如果分子是，分母必须是，即． 【即学即练】 例1：（25-26高二上·浙江台州·期中）已知直线过，两点，则直线的倾斜角的大小为（    ） A． B． C． D． 例2：（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）设直线的倾斜角，则其斜率的取值范围是____________；若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是____________. 知识点03 直线的方向向量与法向量 1.直线的斜率与方向向量的关系 我们知道直线上的向量以及与它平行的向量都是直线的方向向量，直线的方向向量的坐标为．当直线与轴不垂直时，此时向量也是直线的方向向量，且它的坐标，即，其中是直线的斜率．因此，若直线的斜率为，它的一个方向向量的坐标为，则斜率为． 2.直线的法向量 一般地，如果表示非零向量的有向线段所在的直线与直线垂直，则称向量为直线的一个法向量，记做. 【即学即练】 例1：（25-26高二上·湖北·阶段检测）已知向量是直线的方向向量，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 例2：（25-26高二上·福建厦门·期末）若直线的一个法向量为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 题型01 直线的倾斜角 【典例1】（25-26高二上·河南南阳·期末）在平面直角坐标系中，轴的倾斜角为（    ） A．0 B． C． D．不存在 【变式1】（25-26高二下·上海徐汇·期末）直线的倾斜角的大小为____________． 【变式2】（25-26高二上·江西·期中）倾斜角为钝角的直线l一定经过（    ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第二、三象限 【变式3】（25-26高二·全国·寒假作业）下列说法中，正确说法的个数是（   ） ①任何一条直线都有唯一的倾斜角；②任何一条直线都有唯一的斜率；③倾斜角为的直线不存在；④倾斜角为的直线只有一条． A．0 B．1 C．2 D．3 【变式4】（25-26高二上·四川德阳·期中）直线的倾斜角是__________. 题型02 直线斜率的概念及求解 【典例1】1．（25-26高一下·海南海口·期末）已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二下·安徽芜湖·期末）在平面直角坐标系中，过，两点的直线的斜率为（    ） A． B．1 C． D．2 【变式2】（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知直线经过， 两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二·全国·暑假作业）若经过两点，的直线的倾斜角为锐角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4】（25-26高三·全国·一轮复习）过，两点的直线的一个方向向量为，则（　　） A． B．1 C．5 D．3 【变式5】（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）已知直线的一个方向向量为，则直线的斜率为__________ . 【变式6】（25-26高二上·山东德州·期中）已知直线l经过点，，则正确的是（   ） A．直线l的斜率为1 B．直线l的倾斜角为 C．直线l的方向向量为 D．直线l的法向量为 题型03 倾斜角和斜率的变化关系 【典例1】（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）设直线的倾斜角，则其斜率的取值范围是____________；若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是____________. 【变式1】（24-25高二上·天津红桥·阶段检测）若直线的斜率为，倾斜角为，而，则的取值范围是__________． 【变式2】（25-26高二上·江西抚州·阶段检测）直线的斜率的取值范围为，则其倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）设，且，点，过点的直线l与线段始终有交点，则直线l的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型04 图象中的斜率与倾斜角 【典例1】（25-26高二上·广西·阶段检测）图中的直线，，的斜率分别为，，，则有（   ）    A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二上·四川南充·期中）如图所示，直线的斜率分别为，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·江苏无锡·阶段检测）（多选）如图，直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则下列选项正确的是（   ）    A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）（多选）若直线，，的斜率分别为，，，且，则，，的部分图象可能为（   ） A．   B．   C．   D．   题型05 已知斜率求参数 【典例1】（25-26高二上·广东·阶段检测）若过点的直线的倾斜角为，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二上·山东枣庄·阶段检测）过两点的直线l的倾斜角为135°，求m的值为_____. 【变式2】（25-26高二下·贵州毕节·期中）直线经过、两点，且倾斜角是，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·山东菏泽·期末）已知经过两点的直线的方向向量为，则的值为（    ） A． B． C． D．2 题型06 利用直线斜率处理共线问题 【典例1】（25-26高二上·江苏淮安·阶段检测）下列三点在同一直线上的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式1】（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）已知三点，则“三点共线”是“或”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】（25-26高二上·浙江台州·期末）台州学子黄雨婷夺得巴黎奥运会10米气步枪比赛1金1银两块奖牌后，10米气步枪射击项目引起了大家的关注.在10米气步枪比赛中，瞄准目标并不是直接用眼睛对准靶心，而是通过觇孔式瞄具来实现.这种瞄具有前后两个觇孔（觇孔的中心分别记为点），运动员需要确保靶纸上的黑色圆心（记为点）与这两个觇孔的中心对齐，以达到三圆同心的状态.若某次射击达到三圆同心，且点，点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·江苏宿迁·期中）已知三点共线，则实数的值为______. 题型07 直线与线段有公共点问题 【典例1】（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知点，，过点的直线l与线段AB有交点，则直线l斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二下·上海·期中）已知点，若过点的直线与线段相交，则直线斜率的取值范围是_________ ． 【变式2】（25-26高二上·四川成都·阶段检测）（多选）下列结论正确的是（    ） A．若三点共线，则m的值为0 B．已知两点，过点的直线与线段有公共点，则的斜率k的取值范围为 C．已知点，点B在坐标轴上，经过两点直线的方向向量为，则可以是点B的坐标 D．若两直线的倾斜角分别为，斜率分别是，则 【变式3】（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）经过点作直线l，且直线l与连接点，的线段总有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是______________．（用弧度制表示，写成区间形式） 【变式4】（2025高二·全国·专题练习）已知直线l过点P，点A的坐标为，点B的坐标为，若直线与线段有公共点，求l的倾斜角的取值范围． 题型08 斜率公式的几何意义应用 【典例1】（25-26高二上·广东广州·阶段检测）设点，若点在线段上（含端点），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二上·湖南长沙·阶段检测）已知实数x，y满足，且，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·内蒙古兴安·阶段检测）已知，，，不能构成三角形，则______． 【变式3】（2026高三·全国·专题练习）已知实数，满足，则的最大值为________，最小值为________． 1．（25-26高二上·江苏无锡·阶段检测）下列叙述正确的是（    ） A．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率 B．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 C．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 D．若直线与轴相交，其向上的方向与轴正方向所成的角为，则其倾斜角为 2．（25-26高二上·陕西渭南·阶段检测）（多选）下列说法正确的是：（   ） A．斜率随倾斜角增大而增大 B．在上斜率随倾斜角增大而增大 C．在上，斜率随倾斜角增大而减小 D．在上，斜率随倾斜角增大而增大 3．（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）（多选）下列叙述错误的是（   ） A．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 B．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 C．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大 D．若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行 4．（25-26高二上·河南南阳·开学考试）（多选）给出下列结论，其中说法正确的是（    ） A．若是直线的一个方向向量，则是该直线的斜率 B．若直线的斜率是，则是该直线的一个方向向量 C．任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 D．任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 5.（25-26高二·全国·暑假作业）经过两点，的直线的斜率为_________，倾斜角为_________. 6．（2026高二·全国·专题练习）过点，的直线的斜率为1，那么m的值为（    ） A．1或4 B．4 C．1或3 D．1 7.（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）直线经过两点，，将绕其与轴的交点逆时针旋转得到直线，则的斜率为（   ） A． B．3 C．-3 D． 8．（2026高三·全国·专题练习）如果直线经过，两点，那么直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 9．（25-26高二上·云南保山·期末）已知直线的倾斜角为，则“直线的斜率”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．（25-26高二上·湖南·期中）已知直线过点，，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高二上·安徽·阶段检测）（多选）已知直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 12．（25-26高二上·贵州·期中）（多选）已知直线的倾斜角分别为，斜率分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 13．（25-26高二下·上海·期中）若直线的一个法向量为，则的倾斜角为_______． 14．（25-26高二上·北京通州·阶段检测）已知直线的方向向量为，则直线的倾斜角是__________. 15．（25-26高二上·全国·期中）已知直线的斜率为，若直线的倾斜角是的两倍，则的斜率为______． 16．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知点，直线的倾斜角，那么的取值范围是__________． 17．（25-26高二上·天津南开·阶段检测）已知，，三点共线，则________. 18．（25-26高二上·河南郑州·期末）若经过，两点的直线的斜率是2，则（    ） A． B． C． D． 19．（25-26高三·全国·一轮复习）过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D．或 20．（25-26高二上·四川乐山·阶段检测）已知直线经过两点，问：当取何值时： (1)直线与轴平行？ (2)直线的倾斜角为？ (3)直线的倾斜角为锐角？ 21．（第一单元直线的斜率与倾斜角、直线的方程）已知坐标平面内两点． (1)当直线MN的斜率不存在时，求的值； (2)当直线MN的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围． 1.（25-26高二上·天津·阶段检测）设直线l的斜率为k，且关于x的一元二次不等式的解集为空集，则直线l的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·湖北荆州·期末）在平面直角坐标系中，已知四边形为正方形，所在直线的斜率存在且分别为．若，则（    ） A． B． C．2 D． 3．（25-26高二上·北京海淀·阶段检测）已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（25-26高二上·广东揭阳·阶段检测）已知、，点在线段上，则的取值范围为________. 5．（2025高二上·河南安阳·专题练习）已知实数满足，则的最大值为______． 6．（25-26高二上·辽宁大连·期中）已知为直线的倾斜角，若直线的法向量为，，那么当实数变化时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $