1.2.5 空间中的距离 (Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（人教B版）

**基本信息** 聚焦“空间中的距离”，分层设计基础巩固、能力提升、综合应用三阶练习，覆盖从单一到综合的知识路径，适配新授课差异化教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|点到直线、点到平面距离|直接应用公式，如第1-2题，强化运算能力| |提升层|线面垂直、体积最值与距离综合|结合几何体（圆柱、阳马），如第3-7题，发展空间观念| |综合层|异面直线、面面距离及动态问题|正方体、三棱锥多情境，如第10、14题，培养模型观念与推理能力|

1.2.5　空间中的距离 1.已知A(0,0,0),B(1,1,1),M,则点M到直线AB的距离为 (　 ) A. B. C.1 D. 2.[2026·辽宁抚顺六校协作体高二期末] 已知平面α的一个法向量为n=(0,1,-1),点A(1,1,0)在平面α内,则点P(0,1,-2)到平面α的距离为 (　 ) A. B. C. D. 3.[2025·哈尔滨高二期末] 如图,圆柱的轴截面ABCD是正方形,点E是底面圆周上异于A,B的一点,若AB=4,当三棱锥D-ABE的体积最大时,点C到平面BDE的距离为 (　 ) A.2 B.2 C. D. 4.如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=2,点E和F分别是线段AC1和BD上的动点,则E,F间的最小距离为 (　 ) A. 　　　　B.1 C. 　　　　D. 5.[2026·山西晋中高二月考] 如图,四棱锥P-ABCD的底面是边长为4的正方形,E为棱BC上的点,F为棱PC的中点,PD⊥底面ABCD,PD=2,CE=1,则点A到平面DEF的距离为(　 ) A. B. C. D. 6.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1A=5,AB=12,则直线B1C1与平面A1BCD1之间的距离是 (　 ) A.5 B.8 C. D. 7.(多选题)《九章算术》是我国古代的数学名著,书中将底面为矩形,且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图,在阳马P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,若PA=AB=AD=2,E,F分别为棱PD,PB的中点,则 (　 ) A.EF⊥平面PAC B.AB∥平面EFC C.点F到直线CD的距离为 D.AC与平面EFC所成的角的正弦值为 8.[2025·广东东莞五校高二期中] 已知平面α的一个法向量为n=(-2,-2,1),点A(x,3,0)在平面α内,若点P(-2,1,4)到平面α的距离d=2,则x=　　　　.  9.[2026·石家庄高二期中] 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PD⊥平面ABCD且PD=AD=1,AB=2,点E是棱AB上一点,当平面PEC与平面ABCD所成的角为时,点D到平面PEC的距离为　　　　.  10.(13分)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E为棱D1C1的中点. (1)求异面直线D1B与A1E之间的距离; (2)求点B1到平面A1BE的距离; (3)求直线D1C到平面A1BE的距离; (4)求平面A1DB与平面D1CB1之间的距离. 11.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,BC=1,点P在侧面A1ABB1上.若点P到直线AA1和CD的距离相等,则A1P的最小值是 (　 ) A. B. C.2 D. 12.(多选题)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点E,O分别是A1B1,A1C1的中点,P在正方体内部且满足=++,则下列说法正确的是 (　 ) A.点A到直线BE的距离为 B.点O到平面ABC1D1的距离为 C.平面A1BD与平面B1CD1间的距离为 D.点P到直线AB的距离为 13.我们知道用平面截正方体可以得到不同形状的截面,若棱长为1的正方体被某平面截得的多边形为正六边形,则以该正六边形为底,此正方体的顶点为顶点的棱锥的体积的最大值是　　　　.  14.(15分)如图,在三棱锥P-ABC中,平面PAC⊥平面ABC,△PAC是边长为2的等边三角形,AB=2,∠BAC=45°. (1)证明:BC⊥PA; (2)若棱PC上的点Q满足直线AP与直线BQ所成角的余弦值为,求点Q到直线AB的距离. 15.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E为棱B1C1的中点,F为棱BC上一动点(包括端点),则点F到直线DE的距离的最小值为　　　　.  16.(15分)[2025·福建福州十八中高二期中] 如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面四边形ABCD为梯形,AD∥BC,AB=AD=2,BD=2,BC=4. (1)证明:A1B1⊥AD1; (2)若直线AB与平面B1CD1所成角的正弦值为,求直线BD到平面B1CD1的距离. 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2.5　空间中的距离 1.A　[解析] 由A(0,0,0),B(1,1,1),M,得=(1,1,1),=,则cos<,>===,又0≤<,>≤π,所以sin<,>=,所以点M到直线AB的距离为||sin<,>=×=.故选A. 2.A　[解析] 由题意知=(-1,0,-2),所以点P到平面α的距离d===.故选A. 3.D　[解析] 方法一:因为三棱锥D-ABE的高即为圆柱的高,所以当三棱锥D-ABE的体积最大时,Rt△ABE的面积最大,当E为弧AB的中点时,△ABE的面积最大.以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,当E为弧AB的中点时,E(2,2,0),B(0,4,0),D(0,0,4),C(0,4,4),所以=(0,4,-4),=(2,2,-4),=(0,0,4).设n=(x,y,z)为平面BDE的一个法向量,则即令y=1,则n=(1,1,1),所以点C到平面BDE的距离h===.故选D. 方法二:因为三棱锥D-ABE的高即为圆柱的高,所以当三棱锥D-ABE的体积最大时,Rt△ABE的面积最大,当E是弧AB的中点时,△ABE的面积最大,此时AE=2,DE==2.如图,连接AC交BD于点O,易知O为AC的中点,所以点C到平面BDE的距离等于点A到平面BDE的距离.过点A作AF⊥DE,交DE于点F,因为AD⊥平面ABE,BE⊂平面ABE,所以AD⊥BE,又AE⊥BE,AD∩AE=A,AD,AE⊂平面ADE,所以BE⊥平面ADE,又AF⊂平面ADE,所以AF⊥BE,又DE∩BE=E,DE,BE⊂平面BDE,所以AF⊥平面BDE,所以点A到平面BDE的距离即为AF==.故选D. 方法三:因为三棱锥D-ABE的高即为圆柱的高,所以当三棱锥D-ABE的体积最大时,Rt△ABE的面积最大,当E是弧AB的中点时,△ABE的面积最大,此时AE=BE=2,S△ABE=×2×2=4,VD-ABE=S△ABE·AD=×4×4=.如图,连接AC交BD于点O,易知O为AC的中点,所以点C到平面BDE的距离等于点A到平面BDE的距离,设点A到平面BDE的距离为h.因为AD⊥平面ABE,BE⊂平面ABE,所以AD⊥BE,又AE⊥BE,AD∩AE=A,AD,AE⊂平面ADE,所以BE⊥平面ADE,又DE⊂平面ADE,所以BE⊥DE,又DE==2,所以S△BDE=×2×2=4,由VD-ABE=VA-BDE=S△BDE·h=,解得h=.故选D. 4.C　[解析] 因为点E和F分别是线段AC1和BD上的动点,所以E,F间的最小距离即为异面直线AC1与BD间的距离,以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),B(1,1,0),A(1,0,0),C1(0,1,2),所以=(1,1,0),=(-1,1,2),=(0,1,0).设与异面直线AC1与BD都垂直的一个向量为n=(x,y,z),则取x=1,得n=(1,-1,1),则异面直线间的距离为==,即E,F间的最小距离为.故选C. 5.B　[解析] 以D为坐标原点,DA,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(4,0,0),E(1,4,0),F(0,2,1),∴=(1,4,0),=(0,2,1).设平面DEF的一个法向量为n=(x,y,z),则 令x=-4,则n=(-4,1,-2).又=(4,0,0),所以点A到平面DEF的距离为==.故选B. 6.C　[解析] 以D为坐标原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则C(0,12,0),D1(0,0,5).设B(x,12,0)(x>0),则B1(x,12,5).设平面A1BCD1的一个法向量为n=(a,b,c),由n⊥,n⊥,得n·=(a,b,c)·(-x,0,0)=-ax=0,n·=(a,b,c)·(0,-12,5)=-12b+5c=0,所以a=0,b=c,可取n=(0,5,12).因为=(0,0,-5),所以点B1到平面A1BCD1的距离d==.易知B1C1∥平面A1BCD1,所以直线B1C1与平面A1BCD1之间的距离为.故选C. 7.AC　[解析] 对于A,连接BD,易知BD⊥AC,因为E,F分别为PD,PB的中点,所以EF∥BD,因为PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以PA⊥BD,又PA∩AC=A,PA,AC⊂平面PAC,所以BD⊥平面PAC,又EF∥BD,所以EF⊥平面PAC,故A正确;对于B,因为PA⊥平面ABCD,AB,AD⊂平面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AD,又AB⊥AD,所以以A为坐标原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系,如图,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),E(0,1,1),F(1,0,1),所以=(1,-1,0),=(2,1,-1),=(2,0,0),设平面EFC的一个法向量为m=(x,y,z),则令x=1,则m=(1,1,3),因为·m=2≠0,所以AB与平面EFC不平行,故B错误;对于C,设点F到直线CD的距离为h,因为=(-1,-2,1),=-=(-2,0,0),所以h2=-=5,所以h=,故C正确;设AC与平面EFC所成的角为θ,因为=(2,2,0),所以sin θ===,故D错误.故选AC. 8.-3或-9　[解析] 由题知=(x+2,2,-4),所以d==2,即=2,解得x=-3或x=-9. 9.　[解析] 因为底面ABCD是矩形,PD⊥平面ABCD,所以PD⊥DA,PD⊥DC,DA⊥DC.以D为原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则P(0,0,1),C(0,2,0),设E(1,y,0)(0≤y≤2),则=(0,-2,1),=(1,y-2,0).设平面PEC的一个法向量为n=(a,b,c),则即令b=1,则n=(2-y,1,2).平面ABCD的一个法向量为m=(0,0,1).因为平面PEC与平面ABCD所成的角为,所以cos=|cos<n,m>|===,可得y=2-,则n=(,1,2),又=(0,-2,0),所以点D到平面PEC的距离为===. 10.解:(1)如图,以D为原点,建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A1(1,0,1),B1(1,1,1),D1(0,0,1),E, 所以=,=(1,1,-1). 设n=(x,y,z)是与和都垂直的一个向量, 则即令x=1,得n=(1,2,3),又=(1,0,0),所以A1E与BD1之间的距离d1===. (2)=(0,1,-1),=(0,1,0). 设m=(a,b,c)为平面A1BE的一个法向量,则即 令a=1,得m=(1,2,2),又=(0,1,0), 所以点B1到平面A1BE的距离d2==. (3)由(2)可知,平面A1BE的一个法向量为m=(1,2,2), 又=(1,0,0),所以直线D1C到平面A1BE的距离d3==. (4)=(1,0,1),=(1,1,0),=(0,1,-1),=(1,1,0),设n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2)分别为平面A1DB与平面D1CB1的一个法向量, 则令x1=1,得n1=(1,-1,-1), 令x2=1,得n2=(1,-1,-1), 所以n1=n2,所以平面A1DB∥平面D1CB1, 可得点A1到平面D1CB1的距离即为所求, 又=(1,0,0),所以点A1到平面D1CB1的距离d4===, 故平面A1DB与平面D1CB1之间的距离为. 11.B　[解析] 以D为坐标原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(1,0,2),D(0,0,0),C(0,2,0),设P(1,m,n),其中m,n∈[0,2],所以=(1,m,n),=(0,-2,0).点P到直线AA1的距离为m,点P(1,m,n)到直线CD的距离为==, 所以m=.因为=(0,m,n-2),所以A1P===, 因为n∈[0,2],所以当n=1,m=时,A1P取得最小值,最小值为.故选B. 12.BC　[解析] 如图,以A为原点建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),C1(1,1,1),D1(0,1,1),E,O,所以=(-1,0,0),=.设∠ABE=θ,则cos θ==,所以sin θ==,则点A到直线BE的距离d1=||sin θ=1×=,故A错误.=,易知平面ABC1D1的一个法向量为=(0,-1,1),则点O到平面ABC1D1的距离d2===,故B正确.=(1,0,-1),=(0,1,-1),=(0,1,0),设平面A1BD的一个法向量为n=(x,y,z),则即令z=1,得n=(1,1,1),所以点D1到平面A1BD的距离d3===.因为=,所以D1C∥A1B,又D1C⊄平面A1BD,A1B⊂平面A1BD,所以D1C∥平面A1BD,同理B1C∥平面A1BD,所以平面A1BD∥平面B1CD1,所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离,所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离为,故C正确.因为=++,所以=,又=(1,0,0),所以=,所以点P到AB的距离d===,故D错误.故选BC. 13.　[解析] 如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,取BC,CD,DD1,D1A1,A1B1,B1B的中点分别为E,F,G,H,M,N,顺次连接,由正方体的几何性质可知,六边形EFGHMN为正六边形,且其边长为,所以正六边形EFGHMN的面积S=6××=.以A为坐标原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),C1(1,1,1),E,F,G,所以=(1,1,1),=,=,=.因为·=-+=0,·=-+=0,所以AC1⊥EF,AC1⊥FG,因为EF∩FG=F,EF,FG⊂平面EFGHMN,所以AC1⊥平面EFGHMN,当棱锥的顶点为点A或C1时,棱锥的高最大,则该棱锥的高的最大值为==,所以该棱锥的体积的最大值是××=. 14.解:(1)证明:在△ABC中,AC=2,AB=2,∠BAC=45°, 由余弦定理可得BC2=AC2+AB2-2AB·AC·cos 45°=4,则BC=2,所以BC2+AC2=AB2,所以BC⊥AC.因为平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC, 且BC⊥AC,BC⊂平面ABC,所以BC⊥平面PAC, 又PA⊂平面PAC,所以BC⊥PA. (2)取AC,AB的中点分别为O,M,连接OP,OM.由△PAC为正三角形知,OP⊥AC, 结合(1)中BC⊥平面PAC,由OM∥BC,可知OM⊥平面PAC,则AC,OM,OP两两垂直. 如图所示,以O为坐标原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),C(-1,0,0),B(-1,2,0),P(0,0,), 所以=(1,0,),=(-1,0,),=(-2,2,0). 设=λ=(λ,0,λ)(0≤λ≤1),则Q(λ-1,0,λ),则=(λ,-2,λ), 所以cos<,>==, 由|cos<,>|=,解得λ=或λ=-(舍去),则Q,则=,所以点Q到直线AB的距离d===. 15.　[解析] 以D为坐标原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系,则有E(1,2,2),D(0,0,0),设F(x,2,0)(0≤x≤2).设FO⊥DE于点O,因为=(1,2,2),点O在直线DE上,所以设O(λ,2λ,2λ),所以=(λ-x,2λ-2,2λ),因为⊥,所以·=0,即λ-x+2(2λ-2)+2×2λ=0,可得x=9λ-4,所以||===,当6λ-3=0,即λ=时,||取得最小值,此时x=,故点F到直线DE的距离的最小值为. 16.解:(1)证明:因为AB=AD=2,BD=2,所以BD2=AB2+AD2,所以AB⊥AD, 因为ABCD-A1B1C1D1为直四棱柱,所以AA1⊥平面ABCD,又AB⊂平面ABCD,所以AA1⊥AB, 又AA1∩AD=A,AA1,AD⊂平面ADD1A1,所以AB⊥平面ADD1A1,又AD1⊂平面ADD1A1, 所以AB⊥AD1,又A1B1∥AB,所以A1B1⊥AD1. (2)以A为坐标原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.设A1A=a(a>0),则A(0,0,0),B(2,0,0),D1(0,2,a),B1(2,0,a),C(2,4,0), 所以=(2,0,0),=(2,2,-a),=(0,4,-a). 设n=(x,y,z)为平面B1CD1的一个法向量, 则即令y=1,则n=.设直线AB与平面B1CD1所成的角为θ,因为直线AB与平面B1CD1所成角的正弦值为, 所以sin θ=|cos<,n>|===,可得a=2,所以n=(1,1,2). 直线BD到平面B1CD1的距离可转化为点B到平面B1CD1的距离,因为=(0,0,-2),所以直线BD到平面B1CD1的距离为==. 学科网（北京）股份有限公司 $