1.2.5 空间中的距离(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教B版)

**基本信息** 以一题多解构建空间距离求解体系，覆盖点线、点面、线面、面面及异面直线距离，融合几何构造与向量坐标法，培养空间观念与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |A级基础巩固|10题（含3道一题多解）|几何构造（如长方体中构造直角三角形）、向量坐标法（求法向量、数量积公式）、体积转化法|从点线距离（定义法）到点面距离（法向量公式），递进至线面、面面距离（转化为点面距离），形成距离求解逻辑链| |B级综合运用|4题（含高考真题）|复杂几何体坐标系建立、法向量求夹角与距离综合应用|结合正四棱锥、正六棱柱等复杂模型，强化距离公式在折叠、动态问题中的迁移，关联空间角与体积计算|

1.2.5　空间中的距离 1.〔一题多解〕在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=BC=a，AA1=2a，则点D1到直线AC的距离为（　　） A．a　 B．a C．　 D． 2.已知棱长为1的正方体 ABCD－A1B1C1D1，则平面 AB1C 与平面 A1C1D 之间的距离为（　　） A．　 B． C．　 D． 3.在四棱锥P－ABCD中，=（4，－2，3），=（－4，1，0），=（－6，2，－8），则这个四棱锥的高h=（　　） A．1　 B．2 C．13　 D．26 4. 如图，已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1A=5，AB=12，则直线B1C1到平面A1BCD1的距离是（　　） A．5　 B．8 C．　 D． 5.〔一题多解〕在三棱锥P－ABC中，PC⊥底面ABC，∠BAC=90°，AB=AC=4，∠PBC=45°，则点C到平面PAB的距离是（　　） A．　 B． C．　 D． 6.（2026•大连高二期末）已知空间四点A（3，0，0），B（3，3，2），C（0，3，0），D（0，0，3），则四面体ABCD的体积为（　　 ） A．　 B． C．15　 D． 7.〔多选〕下列命题中正确的是（　　） A．可以用||2=•求空间两点A，B的距离 B．设n是平面α的法向量，AB是平面α的一条斜线，点A在平面α内，则点B到α的距离为d= C．若直线l与平面α平行，直线l上任意一点与平面α内任意一点的距离就是直线l与平面α的距离 D．若平面α与平面β平行，则平面α内任意一点到平面β的距离就是平面α与平面β之间的距离 8.平面α经过点B（1，0，0），且α的法向量n=（1，1，1），则P（1，2，3）到平面α的距离为　　　　． 9.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若AB=AA1=2BC=2，则直线BD1与CD之间的距离为　　　　． 10.〔一题多解〕如图， 在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点． （1）证明：FC1∥平面AB1E； （2）求直线BB1与平面AB1E所成角的正弦值； （3）求点F到平面AB1E的距离． 11.埃及金字塔是世界古代建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．若正四棱锥P－ABCD的高为3，AB=3，点E满足=2，则点D到平面AEC的距离为（　　） A．　 B． C．　 D． 12.〔多选〕如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为面A1ABB1的中心，E，F分别为BC和D1C1的中点，则（　　） A．B1D⊥平面A1EF B．平面ACD1与平面A1EF相交 C．点O到直线A1E的距离为 D．点O到平面A1EF的距离为 13.在正六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1中，AA1=2AB=4，M，N分别为EE1，BB1的中点，平面CMN与直线DD1交于点G，则D1G=　　　　；点A到平面CMN的距离为　　　　． 14.（2024•天津高考17题）如图，已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD⊥AB，AB∥CD，AA1=2，AB=2AD=2，DC=1，N是B1C1的中点，M是DD1的中点． （1）求证D1N∥平面CB1M； （2）求平面CB1M与平面BB1C1C夹角的余弦值； （3）求点B到平面CB1M的距离． 1.2.5　空间中的距离 1.D　法一　连接BD，AC交于点O（图略），则d=D1O==． 法二　如图建立空间直角坐标系，易得C（a，a，0），D1（0，a，2a），取a==（－a，0，2a），u==（，，0），则点D1到直线AC的距离为==． 2.B　建立如图所示的空间直角坐标系，则 A1（1，0，0） ， C1（0，1，0） ， D（0，0，1） ， A（1，0，1） ，所以 =（1，0，－1） ，=（0，1，－1） ，=（－1，0，0） ，设平面 A1C1D 的一个法向量为m=（x，y，1） ，则即解得故m=（1，1，1），显然平面AB1C∥平面A1C1D，所以平面AB1C与平面A1C1D之间的距离d=== ． 3.B　设平面ABCD的一个法向量为n=（x，y，z），则即令y=4，则x=1，z=，所以n=（1，4，），则cos〈n，〉===－，所以h=×2=2.故选B． 4.C　易知B1C1∥平面A1BCD1， 以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则C（0，12，0），D1（0，0，5）．设B（x，12，0），B1（x，12，5）（x＞0）．设平面A1BCD1的一个法向量为n=（a，b，c），则所以令b=5，则c=12，所以n=（0，5，12）．又=（0，0，－5），所以点B1到平面A1BCD1的距离为d==．因为B1C1∥平面A1BCD1，所以B1C1到平面A1BCD1的距离为．故选C． 5.A　法一　建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（4，0，0），C（0，4，0），P（0，4，4），∴=（0，4，4），=（4，0，0），=（0，0，－4）．设平面PAB的法向量为m=（x，y，z），则即令y=，则z=－1，∴m=（0，，－1），∴点C到平面PAB的距离为=． 法二　∵PC⊥底面ABC，∴PC⊥AB，又AB⊥AC，且PC⋂AC=C，PC，AC⊂平面PAC，∴AB⊥平面PAC，∴AB⊥PA，∵AC=AB=4，∴BC=4，∴PC=4，PB=8，在Rt△PAB中，PA==4，设点C到平面PAB的距离为d，∵VP－ABC=VC－PAB，∴××4×4×4=××4×4×d，∴d=． 6.B　由题设可得△ACD为边长为3的等边三角形，且=（3，0，－3），=（3，－3，0），=（0，3，2），若m=（x，y，z）是平面ACD的一个法向量，则令x=1，则m=（1，1，1），则B到面ACD的距离d==，所以四面体ABCD的体积为d×S△ACD=×××（3）2×=．故选B． 7.ABD　根据向量数量积的定义可知A显然正确；由点到平面的距离、平行平面间距离的定义以及向量公式易知B、D正确；C中，直线l上任意一点到平面α的垂线段的长度为直线l与平面α的距离，故C错误．故选A、B、D． 8.　解析：因为平面α经过点B（1，0，0），所以=（0，2，3），又平面α的法向量n=（1，1，1），所以点P（1，2，3）到平面α的距离d===． 9.　解析：以AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴建立空间直线坐标系Axyz，则=（－2，1，2），=（－2，0，0），=（0，1，0），设与BD1，CD都垂直的一个向量n=（x，y，z），则取z=1，则x=0，y=－2，所以与BD1，CD都垂直的一个向量n=（0，－2，1），所以直线BD1与CD之间的距离为==． 10.解：（1）证明：以D为原点， DA，DC，DD1所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A（2，0，0），E（0，0，1），B1（2，2，2），F（2，2，1），C1（0，2，2）． 法一　因为=（－2，0，1），=（－2，0，1），则=，所以∥， 又因为A，E，F，C1四点不共线，所以AE∥FC1，又因为AE⊂平面AB1E，FC1⊄平面AB1E， 所以FC1∥平面AB1E． 法二　因为=（－2，0，1），=（0，2，2），设平面AB1E的一个法向量为n=（x，y，z）， 则有即取x=1，所以n=（1，－2，2）， 因为=（－2，0，1），所以•n=（－2）×1＋0×（－2）＋1×2=0，得⊥n， 又因为FC1⊄平面AB1E，所以FC1∥平面AB1E． （2）设直线BB1与平面AB1E所成角为θ，=（0，0，2）， 所以sin θ=|cos〈1，n〉|==||=， 所以直线BB1与平面AB1E所成角的正弦值为． （3）设点F到平面AB1E的距离为d，因为=（0，2，1）， 所以d===，所以点F到平面AB1E的距离为． 11.A　如图，连接BD，设AC与BD相交于点O，连接PO，故以点O为坐标原点，OA，OB，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，又由题意可得AB=3，PO=3，所以OA=OB=OC=OD=OP=3，所以O（0，0，0），A（3，0，0），P（0，0，3），B（0，3，0），C（－3，0，0），D（0，－3，0），不妨设E（x，y，z），因为=2，所以（x，y，z－3）=2（－x，3－y，－z），即x=－2x，y=6－2y，z－3=－2z，解得x=0，y=2，z=1，即E（0，2，1），所以=（－3，－3，0），=（6，0，0），=（－3，2，1）．设平面AEC的法向量为m=（x，y，z），则m•=0，m•=0，即取y=1，得m=（0，1，－2），所以点D到平面AEC的距离d===．故选A． 12.BCD　如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），C（0，1，0），D（0，0，0），E（，1，0），F（0，，1），O（1，，），A1（1，0，1），B1（1，1，1），D1（0，0，1），C1（0，1，1），设平面A1EF的法向量为n=（x，y，z），由=（－1，，0），=（－，1，－1），则令x=2，则y=4，z=3，则n=（2，4，3），设平面ACD1的法向量为m=（a，b，c），由=（－1，1，0），=（0，－1，1），则令a=1，则b=c=1，则m=（1，1，1），对A，∵=（1，1，1），则≠≠，即与n不共线，∴B1D与平面A1EF不垂直，A错误；对B，∵≠≠，则m与n不共线，∴平面ACD1与平面A1EF相交，故B正确；对C，=（－，，－），=（－，1，－1），则点O到直线A1E的距离为=，故C正确；对D，=（0，，－），点O到平面A1EF的距离为=，故D正确． 13. 4　　解析：连接AD，BF，设其交点为O．由正六棱柱的性质知，AD⊥BF，且OB=OF，取B1F1的中点P，连接OP，则OP⊥平面ABCDEF．以O为坐标原点，OB，OD，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．因为AA1=2AB=4，M，N分别为EE1，BB1的中点，所以A（0，－1，0），C（，2，0），M（－，2，2），N（，0，2），则=（，3，0），=（－2，0，2），=（0，－2，2）．设平面CMN的一个法向量为n=（x，y，z），则令y=1，则n=（，1，1）．设G（0，3，a），则=（－，1，a）．由•n=－×＋1＋a=0，解得a=0，又D1（0，3，4），所以D1G=4.点A到平面CMN的距离d==． 14.解：（1）证明：以A为坐标原点，以AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 依题意得，B（2，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），B1（2，0，2），C1（1，1，2），D1（0，1，2）， 则M（0，1，1），N（，，2）， 所以=（，－，0），1=（1，－1，2）， =（－1，0，1）． 设平面CB1M的法向量为n=（x1，y1，z1）， 则即 取x1=1，得z1=1，y1=3，则n=（1，3，1）． •n=（，－，0）•（1，3，1）=－=0， 所以⊥n，显然D1N⊄平面CB1M，所以D1N∥平面CB1M． （2）易知1=（1，－1，2），=（－1，1，0）， 设平面BB1C1C的法向量为m=（x2，y2，z2）， 则即 取x2=1，得y2=1，z2=0，则m=（1，1，0）． 设平面CB1M与平面BB1C1C的夹角为θ， 则cos θ=|cos〈n，m〉|===， 所以平面CB1M与平面BB1C1C夹角的余弦值为． （3）易知1=（0，0，2）． 设点B到平面CB1M的距离为d， 则d===， 所以点B到平面CB1M的距离为． 学科网（北京）股份有限公司 $