1.2.1 空间中的点、直线与空间向量 (Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（人教B版）

**基本信息** 高中数学同步练，聚焦“空间中的点、直线与空间向量”，通过基础巩固、中档应用、提升探究三层设计，实现从概念理解到综合运用的知识进阶，培养空间观念与运算推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|方向向量概念、线线平行判定|选择题为主，直接考查定义与公式（如题1-3）| |中档|几何体中异面直线所成角计算|结合直三棱柱、圆台等模型，需建系运算（如题4-10）| |提升|动态点与复杂几何体问题|含多选题、探究性解答题，涉及存在性与实际情境（如题12-16）|

1.2　空间向量在立体几何中的应用 1.2.1　空间中的点、直线与空间向量 1.若点A,B在直线l上,则直线l的一个方向向量为 (　 ) A.n= B.n= C.n= D.n= 2.[2026·广东汕头一中高二月考] 已知直线l1的一个方向向量为a=(-1,2,m),直线l2的一个方向向量为b=(2,n,-12),若l1∥l2,则m+3n的值是 (　 ) A.-6 B.6 C.14 D.-14 3.已知异面直线a,b的一个方向向量分别是m=(2,1,-3),n=(1,-3,2),则a,b所成角的大小是(　 ) A. B. C. D. 4.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,若∠BCA=90°,CC1=3BC=3CA,则AC1与CB1所成角的余弦值为 (　 ) A. B. C. D. 5.已知圆台的上底面圆O'的半径为1,下底面圆O的半径为2,点A',A分别在上、下底面的圆周上,且O'A'⊥OA,OO'=1,则AA'与OO'所成角的余弦值为 (　 ) A. B. C. D. 6.[2025·山东烟台一中高二月考] 如图所示,平行六面体ABCD-A1B1C1D1的所有棱长为2,四边形ABCD是正方形,∠A1AD=∠A1AB=,点O是B1C与BC1的交点,则直线AO与CB所成角的余弦值为 (　 ) A.1 B. C. D. 7.(多选题)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是体对角线AC1上的动点,M是棱DD1上的动点,则下列说法正确的是 (　 ) A.异面直线B1P与A1D所成的角的最小值为 B.异面直线B1P与A1D所成的角的最大值为 C.对于任意的P,存在点M使得AM⊥B1P D.对于任意的M,存在点P使得AM⊥B1P 8.已知A(1,1,-1),B(2,3,1),则直线AB的模为1的方向向量是　　　　　　　　.  9.圆锥的底面半径为,高为2,点C是底面直径AB所对弧的中点,点D是母线PB的中点,则异面直线AB与CD所成角的余弦值为　　　　.  10.(13分)[2026·江西萍乡高二期末] 如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为平行四边形,以顶点A为端点的三条棱长都为1,且两两夹角都为60°,设=a,=b,=c,M为A1C1的中点. (1)用a,b,c表示向量,并求线段AM的长; (2)求异面直线AM与BD1所成角的余弦值. 11.如图,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,E是CD的中点,F是AD上一点,则当BF⊥PE时,AF∶FD= (　 ) A.1∶1 B.1∶2 C.2∶1 D.2∶3 ★12.(多选题)在三棱锥A-BCD中,平面ABD⊥平面BCD,BD⊥CD,BD=CD=2,△ABD为等边三角形,E是棱AC的中点,F是棱AD上一点,若异面直线DE与BF所成角的余弦值为,则AF的值可能为 (　 ) A. B.1 C. D. 13.[2025·长春高二期中] “曲池”是《九章算术》中记载的一种几何体,该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体(扇环是指圆环被扇形截得的部分).现有一个如图所示的“曲池”,AA1⊥平面ABCD,AA1=4,底面扇环所对的圆心角为,的长度是长度的2倍,CD=1,则异面直线A1D1与BC1所成角的余弦值为　　　　.  14.(15分)已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为4,∠A1AB=60°,点A1在下底面ABC的投影为AB的中点O.在棱BB1上是否存在一点D使A1D⊥AC1?若存在,求出BD的长;若不存在,请说明理由. 15.设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,P为空间中一点,若=λ(λ∈[0,1]),则异面直线BP和C1D所成角的取值不可能是(　 ) A. B. C. D. 16.(15分)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,∠BAD=90°,AD∥BC,AB=BC=a,AD=2a,且PA⊥底面ABCD,PD与底面ABCD所成角为30°. (1)若AE⊥PD,E为垂足,求证:BE⊥PD; (2)求异面直线AE与CD所成角的余弦值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2　空间向量在立体几何中的应用 1.2.1　空间中的点、直线与空间向量 1.A　[解析] ∵=(1,2,3),=(1,2,3)=,∴n=是直线l的一个方向向量.故选A. 2.A　[解析] ∵l1∥l2,∴a∥b,∴==,∴n=-4,m=6,∴m+3n=-6.故选A. 3.C　[解析] ∵异面直线a,b的一个方向向量分别是m=(2,1,-3),n=(1,-3,2),∴cos<m,n>====-.∵异面直线a,b所成角的范围为,∴a,b所成角的大小是.故选C. 4.C　[解析] 如图,以C为坐标原点,建立空间直角坐标系,设CC1=3BC=3CA=3,则A(1,0,0),C1(0,0,3),C(0,0,0),B1(0,1,3),所以=(-1,0,3),=(0,1,3),则cos<,>===,故AC1与CB1所成角的余弦值为.故选C. 5.B　[解析] 设过A'的母线为A'B,连接OB,则OB∥O'A',因为O'A'⊥OA,所以OB⊥OA.以O为坐标原点,OA,OB,OO'所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(2,0,0),O(0,0,0),O'(0,0,1),A'(0,1,1),所以=(0,0,1),=(-2,1,1),所以|cos<,>|===,所以AA'与OO'所成角的余弦值为.故选B. 6.D　[解析] =+=++=++,则·=·=·=·++·=0+×4+×2×2×cos=3,而==+++·+·+·=4+1+1+0+2×2×cos+×2×2×cos=9,故||=3,所以cos<,>===,故直线AO与CB所成角的余弦值为.故选D. 7.ABD　[解析] 以C1为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则A1(1,1,0),D(1,0,1),C1(0,0,0),A(1,1,1),B1(0,1,0),所以=(0,-1,1),=(1,1,1),=(0,-1,0),设=λ=(λ,λ,λ),λ∈[0,1],则=+=(λ,λ-1,λ),设异面直线B1P与A1D所成的角为θ,则cos θ=|cos<,>|==.对于A,当λ=时,(cos θ)max=,则θmin=,故A正确;对于B,当λ=1时,(cos θ)min=,则θmax=,故B正确;对于C,设M(1,0,m),m∈[0,1],则=(0,-1,m-1),所以·=1-λ+λ(m-1)=1+λ(m-2),当λ=0时,·=1,故C错误;对于D,任意m∈[0,1],令·=0,得λ=∈,即对于任意的M,存在点P使得AM⊥B1P,故D正确.故选ABD. 8.或　[解析] 由题知=(1,2,2),则||=3,所以直线AB的模为1的方向向量为±,即或. 9.　[解析] 设O是圆锥底面圆心,以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,-,0),B(0,,0),C(,0,0),P(0,0,2),D,则=,=(0,2,0),设直线AB与CD所成的角为θ,则cos θ===. 10.解:(1)由题知,=+=c+=a+b+c. 因为|a|=|b|=|c|=1,<a,b>=<a,c>=<b,c>=60°, 所以==a2+b2+c2+a·b+a·c+b·c=++1+++=, 所以||=,即线段AM的长为. (2)=+=b-a+c,则=(-a+b+c)2=a2+b2+c2-2a·b-2a·c+2b·c=2,故||=,又·=·(b-a+c)=,所以cos<,>==, 故异面直线AM与BD1所成角的余弦值为. 11.A　[解析] 以A为坐标原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,设AB=1,PA=a,则B(1,0,0),E,P(0,0,a).设点F的坐标为(0,y,0),0≤y≤1,则=(-1,y,0),=.因为BF⊥PE,所以·=0,即-+y=0,解得y=,即点F的坐标为,所以F为AD的中点,所以AF∶FD=1∶1. 12.AC　[解析] 取BD的中点O,连接AO,则AO⊥BD,又平面ABD⊥平面BCD,且平面ABD∩平面BCD=BD,所以AO⊥平面BCD,过O作OM与CD平行,交BC于M,则OB,OM,OA两两垂直,故以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.因为BD=CD=2,△ABD为等边三角形,所以B(1,0,0),D(-1,0,0),C(-1,2,0),A(0,0,),因为E是AC的中点,所以E.设F(a,0,+a),其中-1≤a≤0,则=,=(a-1,0,+a),则|cos<,>|==,整理得27a2+27a+6=0,解得a=-或a=-,所以=或=,故||=或||=.故选AC. [技巧点拨] 本题条件中有面面垂直和线线垂直,故可建立空间直角坐标系,求解线段长度问题,可以将其转化为求解参数值问题,应用异面直线所成角公式进行求解即可. 13.　[解析] 设上底面圆心为O1,下底面圆心为O,连接OO1,OC,OB,O1B1,O1C1,由底面扇环所对的圆心角为,的长度是长度的2倍,CD=1,可知OC=1.以O为原点,以,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系,则C1(1,0,4),B(0,1,0),D1(2,0,4),A1(0,2,4),则=(2,-2,0),=(1,-1,4),所以cos<,>===,故异面直线A1D1与BC1所成角的余弦值为. 14.解:因为点A1在下底面ABC的投影为AB的中点O,所以A1O⊥平面ABC. 连接OC,由题意知△ABC为正三角形,故OC⊥AB. 以O为原点,,,的方向分别为x,y,z轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系, 则A(2,0,0),A1(0,0,2),B(-2,0,0),B1(-4,0,2),C(0,2,0), 所以=(-2,0,2),=(-2,0,-2),=(-2,2,0),=(-2,0,2), 所以=+=(-4,2,2). 设=λ=(-2λ,0,2λ),λ∈[0,1], 则=+=(-2λ-2,0,2λ-2). 假设在棱BB1上存在一点D使A1D⊥AC1, 则·=4(2λ+2)+2(2λ-2)=0,解得λ=,所以在棱BB1上存在一点D使A1D⊥AC1,此时BD=BB1=. 15.A　[解析] 如图所示,以A为原点,,,的方向分别为x,y,z轴正方向,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(2,0,0),C1(2,2,2),D(0,2,0),D1(0,2,2),因为=λ,λ∈[0,1],所以P(0,2λ,2λ),=(-2,2λ,2λ),=(-2,0,-2).设直线BP和C1D所成的角为θ,θ∈,则cos θ=|cos<,>|===.当λ=1时,cos θ=0,θ=;当λ≠1时,设1-λ=t,则t∈(0,1],故cos θ==,函数y=6+在(0,1]上单调递减,故ymin=2,则cos θ≤,所以θ∈.综上所述θ∈.故选A. 16.解:(1)证明:∵PA⊥底面ABCD,AB⊂平面ABCD, ∴PA⊥AB,又AB⊥AD,PA∩AD=A,PA,AD⊂平面PAD,∴AB⊥平面PAD, ∵PD⊂平面PAD,∴AB⊥PD,又AE⊥PD,AB∩AE=A,AB,AE⊂平面ABE,∴PD⊥平面ABE, ∵BE⊂平面ABE,∴BE⊥PD. (2)如图,过点E作EF⊥AD,垂足为点F.以A为原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),C(a,a,0),D(0,2a,0). ∵PA⊥底面ABCD,∴∠PDA是PD与底面ABCD所成的角,∴∠PDA=30°. 在Rt△AED中,由AD=2a,得AE=a, 在Rt△AFE中,由AE=a,∠EAF=60°,得AF=a,EF=a,∴E. ∵=,=(-a,a,0),∴cos<,>===, ∴异面直线AE与CD所成角的余弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $