1.2.2 空间中的平面与空间向量 同步练--2026-2027学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

**基本信息** 分层设计梯度合理，从基础概念辨析到综合几何应用，助力空间向量知识体系构建与空间观念、推理能力培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|法向量、方向向量与线面关系的基本概念|以选择形式考查充要条件判断等基础辨析，如第1题| |能力提升|线面/面面关系、空间几何体中的向量运算|结合正方体、平行六面体模型，如第5题直线关系判断| |综合应用|复杂情境下的证明与计算|通过解答题考查推理与运算，如第14题线面平行证明|

1.2.2 空间中的平面与空间向量课后同步练习 1．（25-26高二下·上海·期末）已知和是直线上两个不同的点，是平面的一个法向量，则“”是“”的（     ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分又非必要 【答案】B 【详解】若，由于是直线的方向向量，这意味着直线的方向向量与平面的法向量垂直。 此时直线可能与平面平行，但也可能在平面内，因此不能推出，故充分性不成立； 若，则直线的方向向量必定与平面的法向量垂直，即一定成立，故必要性成立， 综上，“”是“”的必要不充分条件. 2．（25-26高二下·江苏徐州·期中）若平面的一个法向量为，平面平面，则平面的法向量的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】平面的一个法向量为，平面平面， 设平面的法向量为， 平面的法向量， 选项A，，与不平行，故选项A错误； 选项B，，与不平行，故选项B错误； 选项C，，与平行，故选项C正确； 选项D，，与不平行，故选项D错误. 3．（25-26高一下·黑龙江·期末）已知是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面与直线平行得出平面法向量与直线的方向向量互相垂直，建立方程求解参数即可. 【详解】根据题意可得，所以，即. 4．（25-26高二上·云南昆明·期末）在平行六面体中，所有棱长都为2，且，为线段的中点，设，则平面的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，利用题设条件和法向量定义计算求出即可得解. 【详解】由题可得， ， 且 设平面的一个法向量，则， 所以， 所以， 所以，取，则. 故选：A 5．（25-26高一下·安徽六安·期末）在正方体中，是的中点，则下列说法中正确的是（   ）． A．直线与直线相交 B．直线与直线垂直 C．直线与直线平行 D．直线平面 【答案】B 【分析】根据异面直线的概念判断异面的问题，根据垂直、平行的判断结合空间向量的运算逐一判断平行和垂直问题. 【详解】A：连接，则，直线平面， 又平面，且平面，且， 所以直线与直线异面，不相交，故本选项说法不正确； B：连接；由正方体的性质可知， 又是的中点，所以直线与直线垂直，因此本选项说法正确； C：以为原点，建立如图空间直角坐标系， 设正方体棱长为1，则 所以，不存在实数使， 故直线与直线不平行，故本选项不正确； D：因为，， 所以，所以直线与平面内的直线不垂直， 所以直线与平面不垂直，因此本选项说法不正确. 6．（25-26高二上·陕西西安·期中）我国古代数学名著《九章算术》第五卷“商功”中把底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．如图，在堑堵中，，，分别是线段，上的点，且，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，设，应用空间向量的数量积计算判断各个选项． 【详解】在堑堵中，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 不妨设，因，， 则得. 对于A，因，由可得不成立，故A错误； 对于B, 因，由，可得不成立，故B错误； 对于C，因，由，可得，故C正确； 对于D，因，由，可得不成立，故D错误. 7．（2026·广东深圳·模拟预测）已知正方体，点E，F，G分别是线段，和上的动点，正确的是（     ） A．对于任意给定的点，存在点，使得 B．对于任意给定的点，存在点，使得 C．对于任意给定的点G，存在点F，使得 D．对于任意给定的点F，存在点G，使得 【答案】B 【分析】以为原点建立空间直角坐标系，不妨设正方体的边长为1，设，，，再利用垂直与平行的空间坐标表示逐项判断即可． 【详解】对于AB，如图，以为原点建立空间直角坐标系， 不妨设正方体的边长为1，可得，，， 且点分别是线段和上的动点， 得到，，， 而，，则，设，可得， 则，解得，得到， 可得，，， 若，则，解得， 此时任意给定的点，存在点，使得，故A错误，B正确， 对于CD，若，则， ，方程组无解，故与不可能平行，CD错误． 8．（25-26高二下·福建龙岩·期末）（多选）若为平面的法向量，为平面的法向量，为直线l的方向向量，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【详解】由题意可知若，则，存在实数，使得， 所以，解得，选项A正确； 若，则，存在实数，使得， 所以，解得，选项B错误； 若，则，所以，选项C正确. 若，则，所以，所以或者，选项D错误. 9．（25-26高二下·江苏南京·期中）（多选）在正方体中，点，分别为棱，的中点，过，，三点作该正方体的截面，已知此截面是一个多边形，则（    ） A．为梯形 B．为五边形 C．平面 D．平面 【答案】BD 【分析】以为原点建立边长为的空间直角坐标系确定各已知点坐标，确定截面形状后判断AB，通过空间向量的垂直关系判断C，通过 可判断D. 【详解】 如上图所示，建立空间直角坐标系，设正方体的边长为，则各点坐标为: 选项A：延长交于点，交于， 连接交于，连接交于， 则共面， 由上图可知，截面是一个五边形，而非梯形，选项A错误，B正确； 选项C：若平面，则与平面中的每一条直线都是垂直的， ，， 此时，则与平面并不垂直，选项C错误； 选项D：由三角形中位线定理可知，平行于，且， 又因为平面，而平面，所以平面，选项D正确. 10．（2026·内蒙古赤峰·三模）（多选）如图，在平行六面体中，底面四边形为正方形，且，，点为线段的中点，则（    ） A． B．的长为 C．在方向上的投影向量为 D．平面的一个法向量为 【答案】ABD 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，， 因此， 故B正确； 对于C，根据选项A可知，， 因此在方向上的投影向量为，故C错误； 对于D，记， 则，得到； 同理，由得. 又因为平面， 所以平面. 因此为平面的一个法向量，故D正确． 11．（25-26高二下·上海宝山·期末）空间中，已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为（常数）．若，则实数的值为__________． 【答案】 【详解】若直线，则直线的方向向量与平面的法向量垂直，即， 由，，则， 解得：. 12．（25-26高二上·安徽安庆·期末）已知平面的一个法向量为，若直线平面，则___________. 【答案】1 【分析】由直线平面得到，则存在实数使得，计算得解. 【详解】因为直线平面，所以，又， 所以存在实数使得， 即，所以， 解得，所以． 故答案为：. 13．（25-26高二下·福建宁德·期中）如图，在棱长为1的正方体中，，，若平面，则线段的长度的取值范围为__________. 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，根据已知条件求出的坐标，根据平面得出，根据空间向量求模公式代入求最值. 【详解】以所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， ，，，， 设，， 由，，得， 由，，， ， ，，， 所以平面， 平面，所以， ，， ，即， ， ， ，， . 14．（25-26高二下·福建宁德·期中）如图，正四棱柱中，为的中点，在线段上，为的中点. (1)证明：； (2)证明：平面. 【答案】(1) 如图，以D为原点，AD所在直线为轴，DC所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系， ， ， 所以， 所以. (2) 方法一： 由（1）知，， 设平面的一个法向量为， 由且， 得， 令得， 所以， 可得：， 所以：平面. 方法二： 由（1）可知：， 有， 所以， 因为平面，平面，且， 所以平面. 【分析】（1）空间向量法求解，求出，得到，从而得到结论； （2）方法一：求出平面DEB的一个法向量，求出，从而得到证明；方法二：求出，利用向量垂直的公式及线面垂直的判定定理得解. 【详解】（1）略 （2）略 15．（25-26高二下·江苏泰州·期末）在长方体中，已知，，点在平面上的射影为． (1)设，求，的值； (2)已知，，其中．若平面，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，根据题意得到垂直关系，从而得到方程组，求出答案； （2）求出平面的法向量，根据平行关系得到，从而得到方程，结合（1）中结论得到方程，求出答案 【详解】（1）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ， 设，则， 点在平面上的射影为，所以⊥平面， 因为平面，所以⊥，⊥， ， 由得 ， 即， ， 由得， 故，则， 将其代入中，可得， 整理得，解得， （2）， 设，， 因为，，所以， 所以，， 所以，， 所以， 则， 设平面的法向量为， 则， 令，则，，其中． 故， 若平面，则，即， 故， 其中，故， 上式可化简得， 若，此时，故，即两点重合，不合要求，舍去， 故，解得 2 / 13 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2.2 空间中的平面与空间向量课后同步练习 1．（25-26高二下·上海·期末）已知和是直线上两个不同的点，是平面的一个法向量，则“”是“”的（     ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分又非必要 2．（25-26高二下·江苏徐州·期中）若平面的一个法向量为，平面平面，则平面的法向量的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·黑龙江·期末）已知是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量.若，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·云南昆明·期末）在平行六面体中，所有棱长都为2，且，为线段的中点，设，则平面的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·安徽六安·期末）在正方体中，是的中点，则下列说法中正确的是（   ）． A．直线与直线相交 B．直线与直线垂直 C．直线与直线平行 D．直线平面 6．（25-26高二上·陕西西安·期中）我国古代数学名著《九章算术》第五卷“商功”中把底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．如图，在堑堵中，，，分别是线段，上的点，且，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 7．（2026·广东深圳·模拟预测）已知正方体，点E，F，G分别是线段，和上的动点，正确的是（     ） A．对于任意给定的点，存在点，使得 B．对于任意给定的点，存在点，使得 C．对于任意给定的点G，存在点F，使得 D．对于任意给定的点F，存在点G，使得 8．（25-26高二下·福建龙岩·期末）（多选）若为平面的法向量，为平面的法向量，为直线l的方向向量，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 9．（25-26高二下·江苏南京·期中）（多选）在正方体中，点，分别为棱，的中点，过，，三点作该正方体的截面，已知此截面是一个多边形，则（    ） A．为梯形 B．为五边形 C．平面 D．平面 10．（2026·内蒙古赤峰·三模）（多选）如图，在平行六面体中，底面四边形为正方形，且，，点为线段的中点，则（    ） A． B．的长为 C．在方向上的投影向量为 D．平面的一个法向量为 11．（25-26高二下·上海宝山·期末）空间中，已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为（常数）．若，则实数的值为__________． 12．（25-26高二上·安徽安庆·期末）已知平面的一个法向量为，若直线平面，则___________. 13．（25-26高二下·福建宁德·期中）如图，在棱长为1的正方体中，，，若平面，则线段的长度的取值范围为__________. 14．（25-26高二下·福建宁德·期中）如图，正四棱柱中，为的中点，在线段上，为的中点. (1)证明：； (2)证明：平面. 15．（25-26高二下·江苏泰州·期末）在长方体中，已知，，点在平面上的射影为． (1)设，求，的值； (2)已知，，其中．若平面，求的值． 2 / 13 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $