1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系 第1课时 空间向量的坐标及运算 (Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（人教B版）

**基本信息** 聚焦空间向量坐标运算，分层设计从基础运算到综合应用，通过选择、填空、解答题梯度递进，巩固坐标表示、垂直平行判定等核心知识，培养空间观念与运算推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|坐标运算、投影数量|以选择填空为主，如第1题直接考查向量坐标求解，夯实概念理解| |提升层|垂直平行判定、夹角计算|含多选题（第7题），融合垂直与共线判定，培养推理能力| |拓展层|共面条件、基底转换|解答题（第10题）结合面积计算与向量坐标，体现综合应用，发展空间观念|

1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系 第1课时　空间向量的坐标及运算 1.[2025·湖北随州第二高级中学高二月考] 已知a=(2,3,-4),b=(-4,-3,-2),b=x-2a,则x等于(　 ) A.(0,3,-6) B.(0,6,-20) C.(0,6,-6) D.(6,6,-6) 2.设x,y∈R,a=(1,1,1),b=(1,y,z),c=(x,-4,2),且a⊥c,b∥c,则|2a+b|= (　 ) A.2 B.0 C.3 D.3 3.[2026·杭州高二期中] 已知向量a=(2,0,2),b=,c=(1,-2,3),则下列结论正确的是(　 ) A.a与b垂直 B.a与b+c共线 C.b与c所成角为钝角 D.7a在c上的投影为4c 4.已知{i,j,k}是空间向量的一组单位正交基底,且=-i+j-k,=2i+j+k,则与夹角的正弦值为 (　 ) A. B.- C. D.- 5.若向量a=(2,1,-2),e∥a且|e|=1,则e= (　 ) A.或 B. C. D.或 6.已知空间向量=(1,2,4),=(5,-1,3),=(m,n,-1),则“P,A,B,C四点共面”是“10m+17n=-11”的 (　 ) A.充分不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 7.(多选题)已知空间中两个向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),则下列结论正确的是 (　 ) A.若|c|=3,且c∥(b-a),则c=(2,1,-2) B.a和b的夹角的余弦值为- C.若ka+b与ka-2b垂直,则k的值为2 D.若λ(a+b)+μ(a-b)与向量(0,0,1)垂直,则λ,μ应满足λ-μ=0 8.已知空间中两个向量=(1,2,0),=(2,0,2),则在上的投影的数量为　　　　.  9.[2025·江苏泰州高二期中] 已知向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(2,3,4),则p在基底{a+b,b+c,c}下的坐标为　　　　.  10.(13分)已知空间中两个向量=(-2,-1,3),=(1,-3,2). (1)求以线段AB,AC为邻边的平行四边形的面积; (2)若向量a分别与,垂直,且|a|=,求a的坐标. 11.已知=(1,2,-2),=(0,3,0),则△ABC的面积为 (　 ) A. B.3 C. D.3 12.[2026·太原高二期中] 已知=(a,b,0)(a<b)为单位向量,且与=(1,1,0)的夹角的余弦值为,若向量=(0,b,c),则cos∠AOB (　 ) A.有最大值 B.有最小值 C.有最大值 D.有最小值 13.(多选题)[2025·安徽亳州高二期末] 在空间直角坐标系Oxyz中,A(1,t-4,3),B(2,4,t),则(　 ) A.存在t∈R,使得||=2|| B.存在t∈R,使得||=2 C.若向量,的夹角是锐角,则t的取值范围是(2,+∞) D.若向量,的夹角是钝角,则t的取值范围是(-∞,2) 14.(15分)已知向量a=(1,0,-1),b=(3,t,0). (1)若t=3,求<a,b>; (2)求证:对任意t∈R,2a+b与2a-b不垂直; (3)若λa+b与c=(0,0,1)平行,求λ,t的值. 15.(多选题)设向量u=(a,b,0),v=(c,d,1),其中a2+b2=c2+d2=1,则下列说法正确的是 (　 ) A.向量v与m=(0,0,1)的夹角为定值(与c,d的值无关) B.u·v的最大值为 C.u与v的夹角的最大值为 D.ad-bc的最大值为1 16.设空间中两个单位向量=(m,n,0),=(0,s,t)与向量=(1,1,1)的夹角的余弦值都等于,则∠AOB=　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系 第1课时　空间向量的坐标及运算 1.B　[解析] 因为a=(2,3,-4),b=(-4,-3,-2),b=x-2a,所以x=4a+2b=4(2,3,-4)+2(-4,-3,-2)=(8,12,-16)+(-8,-6,-4)=(0,6,-20),故选B. 2.D　[解析] 由a⊥c,得a·c=x-4+2=0,解得x=2,则c=(2,-4,2).由b∥c,得==,解得y=-2,z=1,所以b=(1,-2,1),故2a+b=(3,0,3),则|2a+b|==3.故选D. 3.D　[解析] 对于A选项,a·b=-1+0-3=-4≠0,所以a与b不垂直,故A错误;对于B选项,b+c=,显然a与b+c不共线,故B错误;对于C选项,因为b=-c,且b,c为非零向量,所以b与c所成角为π,故C错误;对于D选项,7a在c上的投影向量为7|a|cos<a,c>·=7|a|··=·c=c=4c,故D正确.故选D. 4.C　[解析] 设与的夹角为θ,θ∈[0,π],因为{i,j,k}是空间向量的一组单位正交基底,且=-i+j-k,=2i+j+k,所以=(-1,1,-1),=(2,1,1),所以cos θ===-,因为θ∈[0,π],所以sin θ===.故选C. 5.A　[解析] ∵a=(2,1,-2),e∥a,∴可设e=(2λ,λ,-2λ),∴|e|==1,解得λ2=,∴λ=±,∴e=或.故选A. 6.B　[解析] 由P,A,B,C四点共面,可得,,共面.设=x+y=(x+5y,2x-y,4x+3y)=(m,n,-1),则可得所以17(1+2n)+5(1+4m)=0,即10m+17n=-11,反之也成立,故“P,A,B,C四点共面”是“10m+17n=-11”的充要条件.故选B. 7.BD　[解析] 对于A,依题意b-a=(-2,-1,2),若c∥(b-a),则c=λ(b-a)=(-2λ,-λ,2λ),又|c|=3,所以=3,解得λ=±1,所以c=(2,1,-2)或c=(-2,-1,2),故A不正确;对于B,cos<a,b>===-,故B正确;对于C,若ka+b与ka-2b垂直,则(ka+b)·(ka-2b)=k2a2-ka·b-2b2=2k2+k-10=0,解得k=2或k=-,故C不正确;对于D,λ(a+b)+μ(a-b)=λ(0,1,2)+μ(2,1,-2)=(2μ,λ+μ,2λ-2μ),若λ(a+b)+μ(a-b)与向量(0,0,1)垂直,则(2μ,λ+μ,2λ-2μ)·(0,0,1)=2λ-2μ=0,即λ-μ=0,故D正确.故选BD. 8.　[解析] 在上的投影的数量为||·cos <,>====. 9.(2,1,3)　[解析] 由题意可得p=2a+3b+4c.设p=x(a+b)+y(b+c)+zc=xa+(x+y)b+(y+z)c,则解得所以所求坐标为(2,1,3). 10.解:(1)∵=(-2,-1,3),=(1,-3,2), ∴||==,||==, ∴cos∠BAC===, ∵0≤∠BAC≤π,∴∠BAC=,∴以AB,AC为邻边的平行四边形的面积S=2××××sin=7. (2)设a=(x,y,z).∵a⊥,a⊥,且|a|=, ∴解得或 ∴a=(1,1,1)或a=(-1,-1,-1). 11.A　[解析] 因为=(1,2,-2),=(0,3,0),所以||=3,||=3,所以cos∠ABC==,所以sin∠ABC==,所以△ABC的面积为×3×3×=.故选A. 12.A　[解析] 由题可知·=||||cos∠AOC=×1×==a+b①,||2=a2+b2=1②,由①②及a<b,可得a=,b=.因为cos∠AOB===,所以当c=0时,cos∠AOB取得最大值.故选A. 13.AD　[解析] 对于A,||=,||=,若||=2||,则=2,整理得3t2-32t+84=0,因为Δ=322-4×3×84=16>0,所以存在t∈R,使得||=2||,故A正确.对于B,=(1,8-t,t-3),若||=2,则||==2,整理得t2-11t+35=0,因为Δ=(-11)2-4×1×35=-19<0,所以不存在t∈R,使得||=2,故B错误.对于C,=(1,t-4,3),=(2,4,t),若向量,的夹角是锐角,则cos<,>>0且,不共线,则cos<,>===>0且≠λ,因为>0,>0,所以>0,即7t-14>0,解得t>2;假设=λ,则解得所以若≠λ,则t≠6.综上所述,若向量,的夹角是锐角,则t的取值范围是(2,6)∪(6,+∞),故C错误.对于D,若向量,的夹角是钝角,则cos<,><0且,不共线,即<0且≠λ,根据C中结果,有t<2且t≠6,所以若向量,的夹角是钝角,则t的取值范围是(-∞,2),故D正确.故选AD. 14.解:(1)当t=3时,b=(3,3,0),cos<a,b>===,因为0≤<a,b>≤π,所以<a,b>=. (2)证明:对任意t∈R,(2a+b)·(2a-b)=4a2-b2=4×2-(9+t2)=-t2-1<0,故2a+b与2a-b不垂直. (3)λa+b=λ(1,0,-1)+(3,t,0)=(λ+3,t,-λ), 因为λa+b与c=(0,0,1)平行,所以解得 15.ACD　[解析] 因为a2+b2=c2+d2=1,所以设u=(cos θ,sin θ,0),v=(cos β,sin β,1). cos<v,m>===,因为<v,m>∈[0,π],所以<v,m>=,故A正确;u·v=cos θcos β+sin θsin β=cos(θ-β),所以u·v的最大值为1,故B错误;cos<u,v>= ==cos(θ-β),则-≤cos<u,v>≤,所以≤<u,v>≤, 所以u与v夹角的最大值为,故C正确;ad-bc=cos θsin β-sin θcos β=sin(β-θ)≤1,所以ad-bc的最大值为1,故D正确.故选ACD. 16.　[解析] 因为=(m,n,0)为单位向量,且与=(1,1,1)的夹角的余弦值为,所以m2+n2=1,=,解得m=n=,同理可得s=t=,所以cos∠AOB=cos<,>==,又∠AOB∈[0,π],所以∠AOB=. 学科网（北京）股份有限公司 $