1.1.1 空间向量及其运算 第2课时 空间向量的数量积 (Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（人教B版）

**基本信息** 高中数学空间向量的数量积同步练，通过基础巩固、中档综合、提升拓展三层设计，实现从概念理解到几何应用的递进，培养空间观念与运算推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|数量积定义、夹角公式、模长计算|选择题直接应用公式，如正方体中向量夹角计算| |中档|几何体中数量积应用|结合正四棱锥、四面体等情境，如多选题判断向量关系| |提升|综合证明与复杂计算|解答题证明垂直、求夹角，如含重心的向量运算|

第2课时　空间向量的数量积 1.如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,<,>= (　 ) A.30° B.60° C.90° D.120° 2.已知空间向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a·b=1,则|2a-b|的值为 (　 ) A.1 B. C.2 D.4 3.在三棱锥O-ABC中,OB=OC,∠AOB=∠AOC=,则<,>= (　 ) A. B. C. D. 4.在四面体ABCD中,∠ACD=∠BDC=90°,且AB=2,CD=1,则在上的投影为(　 ) A. B. C. D. 5.已知正四面体PABC的棱长为2,点D是△PAB的重心,则·= (　 ) A. B.- C. D.- 6.[2026·贵州铜仁高二期中] 已知正四棱锥P-ABCD的所有棱长均为1,O为底面ABCD内一点,且=++,则·= (　 ) A. B. C. D. 7.(多选题)在棱长均为1的四面体ABCD中,下列结论正确的是 (　 ) A.·=0 B.+++=0 C.·=· D.|2+|=2 8.[2026·浙江杭州高二期中] 设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则(+)·(+)=　　　　.  9.[2025·内蒙古赤峰高二期中] 已知空间向量a,b满足|a|=,|b|=1,a⊥(a+2b),则向量a,b的夹角为　　　　.  ★10.(13分)已知不共面的三个单位向量,,两两之间的夹角均为60°,=++,=+. (1)求证:OM⊥BC; (2)求cos<,>. 11.[2026·成都高二期末] 在正四面体P-ABC中,点E,F分别是棱BC,PC的中点,则cos<,>= (　 ) A.- B. C.- D. 12.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=2,点P为侧面ABB1A1内的一点,则·的最小值为 (　 ) A. B.2 C. D.2 13.已知P是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1(含正方体表面)内任意一点,点E是棱BC的中点,则·的最大值为　　　　.  14.(15分)[2025·广西来宾高二期末] 已知A,B,C,P为空间内不共面的四点,G为△ABC的重心. (1)若++=k,求k的值; (2)若向量,,的模长均为2,且两两夹角为,求||. 15.已知空间向量a,b,c满足a+b+c=0,|a|=3,|b|=1,|c|=4,则a·b+b·c+c·a的值为　　　　.  16.点P是底面边长为2,高为2的正三棱柱表面上的一个动点,MN是该三棱柱内切球的一条直径,则·的取值范围是　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　空间向量的数量积 1.D　[解析] 连接BD,A'D,∵=,∴<,>是∠DBA'的补角.∵A'D=A'B=BD,∴∠DBA'=60°,∴<,>=120°.故选D. 2.C　[解析] 因为|a|=1,|b|=2,a·b=1,所以|2a-b|2=4a2-4a·b+b2=4-4+4=4,所以|2a-b|=2.故选C. 3.D　[解析] ∵·=·(-)=·-·=||·||cos-||·||cos=0,∴<,>=.故选D. 4.B　[解析] 由∠ACD=∠BDC=90°,得·=·=0,∴·=(++)· =·+||2+·=||2=1,∴cos<,>==,∴在上的投影为2××=. 5.D　[解析] ∵点D是△PAB的重心,∴=(+),又正四面体PABC的棱长为2,∴·=(+)·(-)=(·-·+·-)=×=-.故选D. 6.C　[解析] 如图所示,由正四棱锥P-ABCD的所有棱长均为1,可知<,>=<,>=,且||=||=||=1,所以·=·=1×1×cos=,·=1,所以·=·=·+·+·=×+×1+×=.故选C. 7.ABC　[解析] 如图,取CD的中点M,连接AM,BM,则AM⊥CD,BM⊥CD,因为AM∩BM=M,AM,BM⊂平面ABM,所以CD⊥平面ABM,又AB⊂平面ABM,所以CD⊥AB,所以·=0,故A正确;+++=(+)+(+)=+=0,故B正确;因为AD=AB=CB=CD=1,∠BAD=∠BCD=60°,所以·=||·||cos∠BAD=1×1×=,·=||·||cos∠BCD=1×1×=,所以·=·,故C正确;因为=4+4·+=4+4×1×1×cos 120°+1=3,所以|2+|=,故D不正确.故选ABC. 8.1　[解析] (+)·(+)=·+·++·=0+0+1+0=1. 9.　[解析] 因为空间向量a,b满足|a|=,|b|=1,a⊥(a+2b),所以a·(a+2b)=a2+2a·b=2+2a·b=0,可得a·b=-1,所以cos<a,b>==-=-,因为0≤<a,b>≤π,所以<a,b>=,所以向量a,b的夹角为. 10.解:(1)证明:因为·=·=·=1×1×cos 60°=,所以·=(++)·(-)=·(-)+(+)·(-)=-=1-1=0,所以⊥,即OM⊥BC. (2)因为·=·=·=1×1×cos 60°=,所以·=(++)·(+)=4,==6,==3, 所以||=,||=,所以cos<,>===. [结论] 求解两个向量的数量积一般要根据几何体的结构特征将未知向量用模长已知、夹角已知的向量进行线性表示. 11.C　[解析] 如图,设正四面体P-ABC的棱长为2,=2a,=2b,=2c.因为E,F分别是BC,PC的中点,所以|a|=|b|=|c|=1,<a,b>=<b,c>=<c,a>=,所以a·b=a·c=b·c=1×1×=,则=b+c,=c-2a,所以·=(b+c)·(c-2a)=b·c-2a·b+c2-2a·c=-,又△PBC,△APC是边长为2的等边三角形,所以||=||=,故cos<,>==-.故选C. 12.B　[解析] 如图所示,取CC1的中点D,连接PD,则2=+,2=-,两式平方后相减可得4·=4-4,即·=-,其中DC=CC1=1,故·=-1,故当PD取得最小值时,·取得最小值.当P位于矩形ABB1A1的中心时,PD取得最小值,最小值为=,所以·的最小值为3-1=2.故选B. 13.　[解析] 因为点E是棱BC的中点,所以=(+),所以·=·(+)=(·+·)=(||||cos<,>+||||cos<,>),因为||cos<,>表示在上投影的数量,||cos<,>表示在上投影的数量,当点P在棱CC1上时,||cos<,>取得最大值||,||cos<,>取得最大值||,所以·的最大值为(||2+||2)=×(1+1+1)=. 14.解:(1)因为G是△ABC的重心,所以++=0, 则+++++=0,即++=3,所以k=3. (2)由题得·=·=·=2,由(1)知=(++),所以=[+++2(·+·+·)]=×(4+4+4+2×6)=,即||=. 15.-13　[解析] ∵a+b+c=0,∴(a+b+c)2=0,∴a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)=0,∴a·b+b·c+c·a=-=-13. 16.[0,4]　[解析] 由题意知内切球的半径为1,设球心为O,则·=(+)·(+)=+·(+)+·=||2-1. 因为1≤||≤,所以·∈[0,4]. 学科网（北京）股份有限公司 $