1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教B版)

**基本信息** 聚焦空间向量坐标运算，以题载法构建从基础坐标变换到综合应用的逻辑体系，渗透数学抽象与运算推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固|10题|空间点对称/射影坐标规则、向量平行（坐标比例）/垂直（数量积为0）判定、基底转换方程法|从点坐标到向量运算，构建“坐标表示-位置关系-数量积应用”递进链条| |综合运用|4题|共面向量线性表示、投影向量计算、新定义斜坐标系类比迁移|整合多选/解答/新定义题型，强化空间观念与模型应用能力|

1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系 1.在空间直角坐标系中，已知点P（－1，1，2），则下列说法错误的是（　　） A．点P关于坐标原点对称的点的坐标为（1，－1，－2） B．点P关于Oyz平面对称的点的坐标为（1，1，2） C．点P在Oyz平面上的射影点的坐标为（0，1，2） D．点P在x轴上的射影点的坐标为（1，0，0） 2.已知空间直角坐标系中的三点A（0，－3，－2），B（2，－6，－1），C（－1，－5，1），则△ABC为（　　） A．等腰三角形　 B．直角三角形 C．等腰直角三角形　 D．等边三角形 3.已知空间向量a=（1，m，2），b=（－2，4，n），若a∥b，则m＋n=（　　） A．－4　 B．－6 C．4　 D．2 4.已知{a，b，c}是空间的一个基底，{a，b＋c，b－c}是空间的另一个基底．若向量p在基底{a，b，c}下的坐标为（2，3，－1），则向量p在基底{a，b＋c，b－c}下的坐标是（　　） A．（2，－1，－2）　 B．（2，－1，2） C．（2，1，－2）　 D．（2，1，2） 5.设x，y∈R，向量a=（x，1，0），b=（2，y，2），c=（1，－2，1），且a⊥b，b∥c，则|a＋b|=（　　） A．　 B． C．　　D.2 6.已知O（0，0，0），A（1，0，0），B（0，－1，1），＋λ与的夹角为，则λ=（　　） A．±　 B． C．－　 D．± 7.〔多选〕已知空间向量a=（－2，－1，1），b=（3，4，5），则下列说法正确的是（　　） A．c=（－3，1，8）与a，b共面 B．a在b上的投影向量的模是 C．（2a＋b）∥a D．a与b夹角的余弦值是－ 8.已知向量a=（－2，－3，1），b=（2，0，3），c=（0，0，2），则a＋6b－c的坐标为　　　　． 9.已知a=（－2，4，2），b=（－1，x－1，1），若a与b的夹角为锐角，则实数x的取值范围为　　　　． 10.已知向量a=（1，1，3），b=（－2，1，1），c=（－1，x，3）． （1）当|c|=时，若向量ka－b与c垂直，求实数k的值； （2）若向量c与向量a，b共面，求实数x的值． 11.〔多选〕已知空间内三点A（3，2，0），B（2，1，3），C（0，2，－1），则（　　） A．||= B．AB⊥AC C．cos∠ABC= D．△ABC的面积为 12.已知点A（－1，1，0），B（1，3，2），与向量不共线的向量a=（x，y，z）在上的投影向量为（1，1，1），请你给出a的一个坐标为　　　　． 13.如图，正八面体ABCDEF的每条棱长均为10，AF与BD交于点O，=5，M为正八面体ABCDEF内部或表面上的动点．若•=0，则•的最小值为　　　　． 14.（新定义）空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：i，j，k分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（x轴，y轴，z轴）正方向的单位向量，若向量n=xi＋yj＋zk，则n与有序实数组（x，y，z）相对应，称向量n的斜60°坐标为［x，y，z］，记作n=［x，y，z］． （1）若a=［1，2，3］，b=［－1，1，2］，求a＋b的斜60°坐标； （2）在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=3，∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°，如图，以{，，}为基底建立“空间斜60°坐标系”． ①若=，求向量的斜60°坐标； ②若=［2，t，0］，且⊥，求||． 1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系 1.D　对于选项A，点P关于坐标原点对称的点的坐标为（1，－1，－2），故A正确；对于选项B，点P关于Oyz平面对称的点的坐标为（1，1，2），故B正确；对于选项C，点P在Oyz平面上的射影点的坐标为（0，1，2），故C正确；对于选项D，点P在x轴上的射影点的坐标为（－1，0，0），故D错误．故选D． 2.D　由题可得=（－2，3，－1），=（－3，1，2），=（－1，－2，3），经计算，||=||=||=，所以△ABC是等边三角形． 3.B　由a∥b，知∃λ∈R，使得a=λb，即（1，m，2）=λ（－2，4，n），所以解得所以m＋n=－6. 4.D　∵向量p在基底{a，b，c}下的坐标为（2，3，－1），∴p=2a＋3b－c．设向量p在基底{a，b＋c，b－c}下的坐标是（x，y，z），则p=2a＋3b－c=xa＋y（b＋c）＋z（b－c）=xa＋（y＋z）b＋（y－z）c，∴解得即坐标是（2，1，2）． 故选D． 5.C　因为向量a=（x，1，0），b=（2，y，2），c=（1，－2，1），且a⊥b，b∥c，所以解得y=－4，x=2，所以向量a=（2，1，0），b=（2，－4，2），所以a＋b=（4，－3，2），所以|a＋b|==，故选C． 6.B　因为O（0，0，0），A（1，0，0），B（0，－1，1），所以=（1，0，0），=（0，－1，1），故＋λ=（1，0，0）＋λ（0，－1，1）=（1，－λ，λ），所以|＋λ|==，||==，（＋λ）•=1×0＋（－λ）×（－1）＋λ×1=2λ，所以cos〈＋λ，〉==，因为＋λ与的夹角为，所以cos==，解得λ=±，经检验λ=－，不合题意，舍去，所以λ=． 7.ABD　对于A，因为空间向量a=（－2，－1，1），b=（3，4， 5），c=（－3，1，8），所以c=3a＋b，因此c与a，b共面，即A正确；对于B，a在b上的投影向量的模是||a|cos〈a，b〉|===，即B正确；对于C，易知2a＋b=（－1，2，7），易知≠≠，因此（2a＋b）∥a不成立，即C错误；对于D，a与b夹角的余弦值cos〈a，b〉===－，即D正确． 8.（10，－3，17）　解析：∵a=（－2，－3，1），b=（2，0，3），c=（0，0，2），∴a＋6b－c=（－2，－3，1）＋（12，0，18）－（0，0，2）=（10，－3，17）． 9.（0，3）⋃（3，＋∞）　解析：因为a=（－2，4，2），b=（－1，x－1，1），且a与b的夹角为锐角，则a•b=2＋4（x－1）＋2=4x＞0，解得x＞0，且a与b不共线，若a与b共线，则==，解得x=3，故当a与b不共线时，x≠3，综上所述，实数x的取值范围是（0，3）⋃（3，＋∞）． 10.解：（1）因为|c|=， 所以=，解得x=0， 即c=（－1，0，3）． 由ka－b=（k＋2，k－1，3k－1），且（ka－b）⊥c， 得（ka－b）•c=－（k＋2）＋3（3k－1）=8k－5=0，解得k=． （2）因为向量c与向量a，b共面，所以设c=λa＋μb（λ，μ∈R），因此（－1，x，3）=λ（1，1，3）＋μ（－2，1，1）=（λ－2μ，λ＋μ，3λ＋μ），即解得故x的值为． 11.ABD　因为空间内三点A（3，2，0），B（2，1，3），C（0，2，－1），所以=（－1，－1，3），=（－3，0，－1），=（2，－1，4），则||=，||=，||=，A正确．因为•=0，所以AB⊥AC，B正确．cos∠ABC===，C错误．△ABC的面积为||•||=，D正确． 12.（1，2，0）（答案不唯一，x＋y＋z=3，且x，y，z不全相等均可）　解析：由点A（－1，1，0），B（1，3，2），可得=（2，2，2），又向量a=（x，y，z）在上的投影向量为（1，1，1），∴•=•（2，2，2）=（2，2，2）=（1，1，1），则=1，即x＋y＋z=3，又∵向量与向量a不共线，则==不成立，即x，y，z不全相等．则可令x=1，y=2，z=0，即a=（1，2，0），故答案为（1，2，0）．（答案不唯一，x＋y＋z=3且x，y，z不全相等均可） 13.－18　解析：连接CE，由正八面体性质得DB，CE，AF两两互相垂直，故以O为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，由正八面体的各棱长均为10，根据正八面体的对称性，可得OA=OB=OC=OD=OE=OF=10×=10，则A（0，0，10），C（10，0，0），B（0，10，0），D（0，－10，0）， E（－10，0，0），F（0，0，－10），又=5，所以H（0，0，2），=（0，10，－10），设点M（x，y，z），则=（－x，－y，2－z），因为•=0，所以－10y＋10z－20=0，即z－y=2，又=（－x，2－z，10－z），=（－x，－8－z，－z），所以•=（－x）×（－x）＋（2－z）×（－8－z）＋（10－z）×（－z）=x2＋2z2－4z－16=x2＋2（z－1）2－18，故当x=0，z=1，y=z－2=－1，即M（0，－1，1）时，•取到最小值为－18. 14.解：（1）∵a=［1，2，3］，b=［－1，1，2］， ∴a＋b=（i＋2j＋3k）＋（－i＋j＋2k）=3j＋5k=［0，3，5］， ∴a＋b的斜60°坐标为［0，3，5］． （2）设i，j，k分别为与，，同方向的单位向量， 则=2i，=2j，=3k，i•j=j•k=j•k=1×1×cos 60°=． ①由题意得，点E为BB1的中点． =－=（＋）－（＋） =－＋＋=－2i＋2j＋k=［－2，2，］． ②由题意得，=＋＋=2i＋2j＋3k， 由=［2，t，0］得，=2i＋tj，由⊥得，•=（2i＋2j＋3k）•（2i＋tj）=0， ∴4i2＋2tj2＋（4＋2t）i•j＋6k•i＋3tk•j=0，∴4＋2t＋（4＋2t）＋3＋=0，解得t=－2， 则||=|2i－2j|====2. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $