1.1.2 空间向量基本定理(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教B版)

**基本信息** 聚焦空间向量基本定理，以基底判断、共面条件、向量表示为主线，构建从概念到综合应用的递进式训练体系，渗透逻辑推理与空间观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固|10题|基底不共面判断法、共面向量定理（x+y+z=1）、向量线性分解技巧|从基底概念生成，到共面条件推导，再到向量表示应用，形成“概念-定理-应用”逻辑链| |综合运用|4题|多面体中向量表示、空间距离计算、四点共面证明|结合正方体、平行六面体等模型，提升复杂情境下的空间向量迁移应用能力|

1.1.2　空间向量基本定理 1.若{a，b，c}是空间向量的一组基底，则下列可作为空间向量的一组基底的是（　　） A．{a，2b，3c}　　 B．{2a，a＋b，a－b} C．{a－c，a－b，b－c}　　 D．{a＋c，a＋b，b－c} 2.已知O，A，B，C为空间四点，且向量，，不能构成空间向量的一组基底，则（　　） A．，，共线　　 B．，共线 C．，共线　　 D．O，A，B，C四点共面 3.（数学文化）半正多面体又称“阿基米德多面体”，它是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．把正四面体的每条棱三等分，截去顶角所在的小正四面体，得到一个有八个面的半正多面体，如图，点P，A，B，C，D为该半正多面体的顶点，若=a，=b，=c，则=（　　） A．－a＋b＋c　 B．a－b－c C．a－b＋c　 D．a＋b－c 4.在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别在棱BB1，BC，BA上，且满足=，=，=，O是平面B1GF、平面ACE与平面B1BDD1的一个公共点，设=x＋y＋z，则x＋y＋z=（　　） A．　 B． C．　 D． 5.如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，=，点N为B1B的中点，则||=（　　） A．a　 B．a C．a　 D．a 6.已知A，B，C三点不共线，点O在平面ABC外，点P满足=x＋＋，则当点P，A，B，C四点共面时，实数x=（　　） A．－　 B．－ C．－　 D． 7.〔多选〕〔一题多解〕对空间任一点O和不共线的三点A，B，C，能得到P，A，B，C四点共面的是（　　） A．=＋＋ B．=＋＋ C．=＋＋ D．=2－－ 8.已知{a，b，c}是空间的一组基底，若m=a＋2b－3c，n=x（a＋b）－y（b＋c）＋3（a＋c），若m∥n，则=　　　　． 9.在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点E满足=2，点F满足=λ，若P，A，C，F四点共面，则λ=　　　　． 10.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E在A1D1上，且=2，F在对角线A1C上，且=．若=a，=b，=c． （1）用a，b，c表示； （2）求证：E，F，B三点共线． 11.（与其他知识交汇）六氟化硫，化学式为SF6，常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是两个棱长均相等的正四棱锥将底面重合的几何体）．如图所示，在正八面体P－ABCD－Q中，G是△BCQ的重心，记=a，PB=b，=c，则=（　　） A．－a＋b＋c　 B．a－b＋c C．a－b－c　 D．a＋b＋c 12.〔多选〕如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为A1C1与B1D1的交点，若=a，=b，=c，则（　　） A．=a－b＋c　 B．=a＋b＋c C．AC1的长为　 D．cos〈，〉= 13.已知正四面体A－BCD的边长为2，点M，N为棱BC，AD的中点，点E，F分别为线段AM，CN上的动点，且满足AE=CF，则线段EF长度的最小值为　　　　　． 14.（多思少算）如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB=AD=3，AA1=2，∠A1AB=∠A1AD=45°，∠BAD=60°，设=a，=b，=c． （1）用a，b，c表示，，； （2）求异面直线BD1与AC所成角的余弦值； （3）若点P为线段AA1的四等分点，且AP=3PA1，点Q为线段CC1的中点，在线段DD1上是否存在一点M，使得点M与点B，P，Q四点共面？若存在，求出DM∶DD1的值；若不存在，请说明理由． 1.1.2　空间向量基本定理 1.A　对于A，因为{a，b，c}是空间向量的一组基底，所以向量a，b，c不共面，因此a，2b，3c也不共面，因此{a，2b，3c}可以作为一组基底，即A正确；对于B，易知2a=（a＋b）＋（a－b），因此向量2a，a＋b，a－b共面，不能作为基底，即B错误；对于C，显然a－c=（a－b）＋（b－c），因此a－c，a－b，b－c共面，不能作为基底，即C错误；对于D，显然a＋c=（a＋b）－（b－c），因此a＋c，a＋b，b－c共面，不能作为基底，即D错误． 2.D　由，，不能构成基底知，，三向量共面，所以O，A，B，C四点共面．故选D． 3.A　如图所示=＋=＋2=＋2－2，所以=－＋＋=－a＋b＋c． 4.B　因为=x＋y＋z=x＋y＋，O在平面B1GF内，所以x＋y＋=1，同理可得＋＋z=1，解得x＋y=，z=．所以x＋y＋z=． 5.A　因为=－=－=＋－（＋＋）=＋－（＋＋）=＋－，所以||==a．故选A． 6.A　因为A，B，C三点不共线，点O在平面ABC外，点P满足=x＋＋，设=m＋n=m（－）＋n（－）=－（m＋n）＋m＋n，由题意可知，，不共面，所以故x=－－=－．故选A． 7.BC　法一　A选项，=＋＋，不能转化成=x＋y的形式，故A不正确；B选项，∵=＋＋，∴3=＋＋，∴－=（－）＋（－），∴=＋，∴=－－，∴P，A，B，C共面，故B正确；C选项，∵=＋＋=＋（＋）＋（＋）=＋＋，∴－=＋，∴=＋，由共面的充要条件知P，A，B，C四点共面，故C正确；D选项，=2－－，无法转化成=x＋y的形式，故D不正确． 法二　点P与A，B，C共面时，对空间任意一点O，都有=x＋y＋z，且x＋y＋z=1，可判断出只有选项B、C符合要求． 8.3　解析：m=a＋2b－3c，n=x（a＋b）－y（b＋c）＋3（a＋c）=（x＋3）a＋（x－y）b＋（3－y）c，因为m∥n，所以存在实数λ，使n=λm，所以（x＋3）a＋（x－y）b＋（3－y）c=λ（a＋2b－3c），所以所以得x=－，y=－，x=3y，所以=3. 9.　解析：连接BD，由题可知=＋=＋＋．又=λ，所以=＋＋，且P，A，C，F四点共面，所以＋＋=1，解得λ=． 10.解：（1）因为=2，=a，=b，=c， 所以=＋＋ =＋＋ =－b－c＋a， 所以=a－b－c． （2）证明：因为=， =＋＋=＋＋=（＋＋）＋＋=（－b－a＋c）－c＋a=a－b－c=（a－b－c）=， 又与有公共点B，所以E，F，B三点共线． 11.D　易知==a＋c－b，设CQ中点为E，则==（＋）=（＋－）=（a－2b＋2c），所以=＋=b＋（a－2b＋2c）=a＋b＋c． 12.BD　对于A选项，=＋=＋（＋）=b－a＋c，A错误；对于B选项，=＋＋=a＋b＋c，B正确；对于C选项，=a＋b＋c，则||2=（a＋b＋c）2=a2＋b2＋c2＋2a•b＋2a•c＋2b•c=6，则||=，C错误；对于D选项，•=a•（a＋b＋c）=a2＋a•b＋a•c=2，则cos〈，〉==，D正确． 13.　解析：在棱长为2的正四面体A－BCD中，由点M，N为棱BC，AD的中点，得AM=CN=，由点E，F分别在线段AM，CN上，AE=CF，令=λ，λ∈［0，1］，则=λ，所以=－=（＋）－λ=＋λ（－＋）－λ（＋）=（1－）－＋，又•=||||cos 60°=2，•=||||cos 60°=2，•=||||•cos 60°=2，故||=====，当λ=时，||min=，所以线段EF长度的最小值为． 14.解：（1）=＋＋=＋＋=a＋b＋c， =＋＋=－＋＋=－a＋b＋c， =＋=＋=a＋b． （2）由题知，|a|=|b|=3，|c|=2，〈a，b〉=60°，〈a，c〉=〈b，c〉=45°， 则a•b=，c•a= c•b=6，||==，||==3， •=（－a＋b＋c）•（a＋b）=－a2＋b2＋c•a＋c•b=12， 则cos〈，〉===， 故异面直线BD1与AC所成角的余弦值为． （3）假设在线段DD1上存在符合题意的点M，设DM∶DD1=t（0≤t≤1），则=tc， =＋=－a＋c，=＋=b＋c，=＋＋=－a＋b＋tc， 因为M与点B，P，Q四点共面，所以存在唯一实数对λ，μ，使得=λ＋μ， 即－a＋b＋tc=λ（－a＋c）＋μ（b＋c）， 则λ=μ=1，t=λ＋μ=，与0≤t≤1矛盾，所以假设不成立，故在线段DD1上不存在点M，使得点M与点B，P，Q四点共面． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $