2.6 双曲线及其方程 2.6.1 双曲线的标准方程 (Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（人教B版）

本高中数学讲义聚焦双曲线及其方程核心知识点，以双曲线定义（含条件辨析）为起点，推导标准方程（分焦点在x轴、y轴两种形式及a,b,c关系），进而延伸至定义应用、方程求解、轨迹问题及实际应用，构建递进式学习支架。 该资料通过诊断分析题强化概念辨析，培养推理意识，探究点结合例题与变式训练逻辑思维，实际应用案例（如爆炸点轨迹）引导学生用数学语言表达现实世界，课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，深化知识理解。

2.6　双曲线及其方程 2.6.1　双曲线的标准方程 【学习目标】 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程; 2.掌握双曲线的标准方程及其求法; 3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题. ◆ 知识点一　双曲线的定义 一般地,如果F1,F2是平面内的两个定点,a是一个　　　　　,且2a<|F1F2|,则平面上满足||PF1|-|PF2||=　　　　的动点P的轨迹称为双曲线,其中,两个定点F1,F2称为双曲线的　　　　,两个焦点的距离|F1F2|称为双曲线的　　　　.  【诊断分析】 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) 设F1,F2是平面内的两个定点,a是一个常数,P为平面内一个动点. (1)若2a<|F1F2|,则满足|PF1|-|PF2|=2a的动点P的轨迹称为双曲线. (　 ) (2)若a=0,则满足|PF1|-|PF2|=2a的动点P的轨迹是线段F1F2的垂直平分线. (　 ) (3)若2a=|F1F2|,则满足||PF1|-|PF2||=2a的动点P的轨迹是以F1,F2为端点的两条射线.(　 ) (4)若2a>|F1F2|,则满足|PF1|-|PF2|=2a的动点P没有轨迹. (　 ) ◆ 知识点二　双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 -=1(　　　)  -=1(　　　)  焦点 　　　　　　　  　　　　　　  a,b,c的 关系 c2=　　　　  【诊断分析】 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)已知两定点F1(-3,0),F2(3,0),则满足||PF1|-|PF2||=6的动点P的轨迹是双曲线.(　 ) (2)在双曲线的标准方程中,a,b,c的关系是a2=b2+c2. (　 ) (3)双曲线x2-=1的焦点在y轴上. (　 ) (4)方程Ax2+By2=C表示双曲线的充要条件:ABC≠0,且AB<0.若AC>0,则焦点在x轴上;若AC<0,则焦点在y轴上. (　 ) ◆ 探究点一　双曲线定义的应用 例1 (1)若动点P的坐标(x,y)满足|-|=8,则点P的轨迹方程是(　 ) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 (2)若双曲线-=1上的点到一个焦点的距离为12,则该点到另一个焦点的距离为　　　　.  变式 (1)[2026·北京海淀区高二月考] 已知双曲线-=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P(-3,m)在双曲线上,则|PF1|-|PF2|=　　　　.  (2)[2026·石家庄高二月考] 与圆O:x2+y2=1及圆C:x2+y2-4x=0都外切的圆的圆心在(　 ) A.直线上 B.圆上 C.双曲线的一支上(一部分) D.椭圆上 [素养小结] 利用定义求双曲线的方程时,要结合具体情况,判断所求双曲线为两支还是只有其中一支. ◆ 探究点二　求双曲线的标准方程 [探索] 方程mx2+ny2=1(mn<0)表示的曲线是　　　　　　.  例2 求满足下列条件的双曲线的标准方程. (1)c=6,焦点在x轴上,且过点A(-5,2); (2)b=4,一个焦点的坐标是(-8,0); (3)经过两点A(-7,-6),B(,-3). 变式 (1)若方程-=1表示双曲线,则m的取值范围是 (　 ) A.(-∞,-2) B.(-1,+∞) C.(-2,-1) D.(-∞,-2)∪(-1,+∞) (2)已知双曲线过P,Q两点,求双曲线的标准方程. [素养小结] (1)求双曲线标准方程的两个关注点: (2)利用待定系数法求双曲线标准方程时要注意: ①若焦点在x轴上,则设其方程为-=1(a>0,b>0),若焦点在y轴上,则设其方程为-=1(a>0,b>0);②无论焦点位置是否能确定,均可设为mx2+ny2=1(mn<0). ◆ 探究点三　与双曲线有关的轨迹方程 例3 (1)设点A(-,0),B(,0),M为动点,已知直线AM与直线BM的斜率之积为定值,则点M的轨迹方程是 (　 ) A.-y2=1(y≠0) B.-x2=1(y≠0) C.-y2=1(y≠0) D.-x2=1(y≠0) (2)在平面直角坐标系xOy中,A(-2,0),B(2,0),动点C和D分别位于y轴的正半轴和负半轴上,若|OC|·|OD|=1,则直线AC与BD的交点M的轨迹方程为　　　　　.  变式 [2026·哈尔滨高二月考] 已知圆A:(x+3)2+y2=4,B(3,0),点P在圆A上运动,设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为Q,则点Q的轨迹方程为 (　 ) A.x2-=1(x≥1) B.x2-=1 C.x2-=1(x≥1) D.x2-=1 [素养小结] 求解与双曲线有关的点的轨迹问题,常见的方法有两种:(1)列出等量关系,化简得到方程;(2)寻找几何关系,根据双曲线的定义,得出对应的方程.一般地,若一个动圆与两个定圆中的一个内切,另一个外切,则对应动圆圆心的轨迹是双曲线的一支. ◆ 探究点四　双曲线的实际应用 例4 [2025·上海闵行中学高二期中] 如图,某苗圃有A,B两个入口,|AB|=100,欲在苗圃内开辟一块区域种植观赏植物.现有若干树苗放在苗圃外的C处,已知|CA|=80,|CB|=88,以AB所在直线为x轴,AB的中点O为原点建立平面直角坐标系. (1)工人计划将树苗分别沿C-A-P和C-B-P两条折线段路线搬运至P(7,1)处,请判断哪条搬运路线较短?并说明理由. (2)工人准备将C处的树苗运输到苗圃内的点P处,合理设计点P的位置,使得沿C-A-P和C-B-P两条折线段路线运输的距离相等.请写出所有满足要求的点P的轨迹方程. 变式 [2026·江苏淮安高二期中] 已知A(-400,0),B(400,0)(单位长度为1 m),一炮弹在某处爆炸,在A处听到爆炸声的时间比在B处早2 s,设声速为340 m/s,则爆炸点所在曲线的方程为 (　 ) A.-=1(x>0) B.-=1(x<0) C.-=1(x>0) D.-=1 [素养小结] 利用双曲线解决实际问题的基本步骤如下: (1)建立适当的坐标系; (2)求出双曲线的标准方程; (3)根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题. 注意:①解答与双曲线有关的应用问题时,除了要准确把握题意,了解一些实际问题的相关概念外,还要注意双曲线定义的灵活应用. ②实际应用问题要注意其实际意义以及在该意义下隐藏着的变量范围. 1.双曲线-=1的焦距为 (　 ) A.3 B.4 C.3 D.4 2.[2026·安徽蚌埠高二月考] 若方程+=1表示双曲线,则实数m的取值范围是(　 ) A.(-∞,1)∪(5,+∞) B.(1,5) C.(1,3)∪(3,5) D.(3,5) 3.已知点M(-2,0),N(2,0),动点P满足|PM|-|PN|=2,则动点P的轨迹方程为 (　 ) A.-=1(x>0) B.-=1 C.-=1(x>0) D.-=1 4.如图,B地在A地的正东方向6 km处,C地在A地的北偏东60°方向6 km处,河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离比到B的距离远4 km,以AB所在直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,则曲线PQ的方程是　　　　　　　;现要在曲线PQ上选一点M建一座码头,向B,C两地转运货物,那么这两条公路MB,MC的路程之和最短为　　　　km.  5.设F1,F2是双曲线-=1的两个焦点,P是该双曲线上一点,且|PF1|∶|PF2|=2∶1,则△PF1F2的面积为　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ 2.6　双曲线及其方程 2.6.1　双曲线的标准方程 【课前预习】 知识点一 正常数　2a　焦点　焦距 诊断分析 (1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 知识点二 a>0,b>0　a>0,b>0　(-c,0),(c,0)　(0,-c),(0,c) a2+b2 诊断分析 (1)×　(2)×　(3)×　(4)√　[解析] (1)因为|F1F2|=6,所以||PF1|-|PF2||=6=|F1F2|,所以动点P的轨迹是两条射线(包含端点). (2)在双曲线的标准方程中,a,b,c满足a2+b2=c2;在椭圆的标准方程中,a,b,c满足a2=b2+c2. (3)根据双曲线的标准方程的特点可知,双曲线x2-=1的焦点在x轴上. 【课中探究】 探究点一 例1　(1)D　(2)22或2　[解析] (1)设A(-5,0),B(5,0),由已知得||PA|-|PB||=8,即动点P到两个定点A,B的距离之差的绝对值等于常数8,因为|AB|=10,且8<10,所以动点P的轨迹是以A,B为焦点的双曲线.设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),则2a=8,2c=10,所以a=4,c=5,所以b2=c2-a2=9,所以点P的轨迹方程是-=1.故选D. (2)设双曲线-=1的左、右焦点分别为F1,F2,则a=5,b=3,c=.设P为双曲线上一点,不妨令|PF1|=12,由题知|PF2|≥c-a=-5.∵12>a+c=5+,∴点P可能在双曲线的左支上,也可能在双曲线的右支上,由||PF1|-|PF2||=2a=10,得|12-|PF2||=10,所以|PF2|=22或2.故点P到另一个焦点的距离是22或2. 变式　(1)-4　(2)C　[解析] (1)点P(-3,m)在双曲线-=1上,而-3<0,则点P在该双曲线的左支上,又F1,F2分别为该双曲线的左、右焦点,所以|PF1|<|PF2|,所以|PF1|-|PF2|=-2×2=-4. (2)设动圆的圆心为P(x,y),半径为R.由已知得圆O:x2+y2=1的圆心为O(0,0),半径r1=1.圆C:x2+y2-4x=0的标准方程为(x-2)2+y2=4,则圆C的圆心为C(2,0),半径r2=2.因为动圆与两圆均外切,所以|PO|=R+1,|PC|=R+2,两式相减得|PC|-|PO|=1,即动点P到两个定点C(2,0)和O(0,0)的距离之差为常数1,又1<|CO|=2<3,所以两圆相交.根据双曲线的定义可知,满足|PC|-|PO|=1的点P的轨迹是双曲线的左支的一部分,所以动圆圆心在双曲线的一支上(一部分).故选C. 探究点二 探索 双曲线 例2　解:(1)因为双曲线的焦点在x轴上,所以可设它的标准方程为-=1(a>0,b>0). 因为双曲线过点A(-5,2),所以-=1,与c2=a2+b2=36联立,可得a2=20,b2=16, 所以所求双曲线的标准方程为-=1. (2)由题意知,c=8,b=4,且焦点在x轴上,所以a2=c2-b2=48,所以所求双曲线的标准方程为-=1. (3)设双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn<0),则解得 所以所求双曲线的标准方程为x2-=1. 变式　(1)D　[解析] 因为方程-=1表示双曲线,所以(2+m)(m+1)>0,解得m<-2或m>-1,所以m的取值范围是(-∞,-2)∪(-1,+∞).故选D. (2)解:方法一:若焦点在x轴上,设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),则解得(舍去).若焦点在y轴上,设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),则解得所以双曲线的标准方程为-=1. 综上,双曲线的标准方程为-=1. 方法二:设双曲线的方程为+=1(mn<0). 因为P,Q两点在双曲线上,所以解得故所求双曲线的标准方程为-=1. 探究点三 例3　(1)C　(2)-y2=1(在第一、三象限的部分) [解析] (1)设M(x,y),x≠±,则kMA=,kMB=,∵直线AM与直线BM的斜率之积为定值,∴·=,化简可得-y2=1(y≠0),故点M的轨迹方程是-y2=1(y≠0).故选C. (2)设C(0,m)(m>0),D(0,-n)(n>0),M(x,y).因为|OC|·|OD|=1,所以mn=1,直线AC的方程为+=1,直线BD的方程为+=1.因为M(x,y)是直线AC与BD的交点,所以M的坐标满足直线AC与BD的方程,由+=1,+=1,可得m=,n=,又m>0,n>0,所以或又因为mn=1,所以=1,即-y2=1(在第一、三象限的部分). 变式　B　[解析] 由已知得圆A的圆心为A(-3,0),又B(3,0),所以|AB|=6.因为线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为Q,所以|QP|=|QB|,所以||QA|-|QP||=||QA|-|QB||=|AP|=2<6=|AB|,所以点Q的轨迹为双曲线,且2a=2,2c=6,即a=1,c=3,所以b2=c2-a2=8,则点Q的轨迹方程为x2-=1.故选B. 探究点四 例4　解:(1)由题意可得A(-50,0),B(50,0), 则|AP|==5,|BP|==5. 故路线C-A-P的长度为|CA|+|AP|=80+5, 路线C-B-P的长度为|CB|+|BP|=88+5.因为80+5>88+5,所以路线C-B-P的长度较短. (2)设P(x,y),y>0.由已知得|CA|+|AP|=|CB|+|BP|,则|PA|-|PB|=|CB|-|CA|=8<100=|AB|, 所以点P所有可能的位置是以A,B为焦点的双曲线的右支并且在苗圃内的部分,则2a=8,即a=4,又因为c=50,所以b2=c2-a2=2500-16=2484, 所以点P的轨迹方程为-=1(x>0,y>0). 变式　B　[解析] 由题意可知,爆炸点到A的距离比到B的距离少340×2=680(m),又|AB|=800>680,所以爆炸点所在的曲线是双曲线的一支,由双曲线的定义可知,爆炸点在双曲线的左支上,且2a=680,2c=800,则b2=c2-a2=4002-3402=44 400,又a2=3402=115 600,所以爆炸点所在曲线的方程为-=1(x<0).故选B. 【课堂评价】 1.D　[解析] c===2,故焦距为4. 2.A　[解析] 因为方程+=1表示双曲线,所以(5-m)(m-1)<0,即(m-5)(m-1)>0,解得m<1或m>5,所以实数m的取值范围为(-∞,1)∪(5,+∞).故选A. 3.A　[解析] 因为M(-2,0),N(2,0),所以|MN|=4,因为动点P满足|PM|-|PN|=2<|MN|,所以动点P的轨迹是以M,N为焦点的双曲线的右支.设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),则c=2,a=,所以b===,所以动点P的轨迹方程为-=1(x>0).故选A. 4.-=1(x>0)　6-4　[解析] 由题意得|MA|-|MB|=4<|AB|,根据双曲线定义知,点M的轨迹为双曲线的右支,且2a=4,2c=6,则a=2,c=3,所以b=,所以曲线PQ的方程为-=1(x>0).因为|AC|=6,所以|MB|+|MC|=|MC|+|MA|-2a≥|AC|-4=6-4,当且仅当A,M,C三点共线且M在A,C之间时,等号成立,所以这两条公路MB,MC的路程之和最短为(6-4)km. 5.12　[解析] 由双曲线-=1,可得a=,b=2,则c==3,因为P是该双曲线上一点,且|PF1|∶|PF2|=2∶1,所以|PF1|-|PF2|=2,可得|PF1|=4,|PF2|=2.在△PF1F2中,由余弦定理得cos∠F1PF2===, 则sin∠F1PF2=,所以△PF1F2的面积S=|PF1||PF2|sin∠F1PF2=×4×2×=12. 学科网（北京）股份有限公司 $