1.2.5 空间中的距离 (Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（人教B版）

本讲义聚焦空间中的距离这一核心知识点，系统梳理两点间距离（向量模或坐标法）、点到直线距离（垂线段长度）、点到平面距离（法向量公式），以及平行直线与平面、平行平面间距离（转化为点到平面距离）的递进关系，构建完整学习支架。 资料通过诊断分析（判断正误）强化概念理解，探究点结合例题与变式（如二面角中用向量求两点距离）培养数学思维，素养小结总结方法。课中助教师高效授课，课后学生可通过练习查漏补缺，提升用数学语言表达空间关系的能力。

1.2.5　空间中的距离 【学习目标】 1.掌握向量长度的计算公式; 2.会用空间向量的方法求两点间的距离、点到平面的距离、相互平行的直线、直线与平面之间的距离和面与面之间的距离. ◆ 知识点一　空间中两点之间的距离 空间中两点之间的距离指的是这两个点连线的　　　　　,可借助向量构造三角形利用三角形法则求向量的模或建立空间直角坐标系求解.  ◆ 知识点二　点到直线的距离 给定空间中一条直线l及l外一点A,过A可以作直线l的一条　　　　　,这条垂线段的　　　　称为点A到直线l的距离,点到直线的距离也是这个点与直线上点的　　　　连线的长度.  例如,如图所示,点A是直线l外一点,若AB是直线l的垂线段,则AB的长度就是点A到直线l的距离,这一距离也等于||. 直线CD外一点A到直线CD的距离d= . ◆ 知识点三　点到平面的距离 给定空间中一个平面α及α外一点A,过A可以作平面α的一条　　　　　,这条垂线段的　　　　称为点A到平面α的距离,点到平面的距离也是这个点与平面内点的　　　　连线的长度.  如图,A为平面α外一点,B是平面α内一点,n是平面α的一个法向量,则点A到平面α的距离d=. ◆ 知识点四　相互平行的直线与平面之间、相互平行的平面与平面之间的距离 (1)当直线与平面平行时,直线上　　　　　　　　　　　　　称为这条直线与这个平面之间的距离.如果直线l与平面α平行,n是平面α的一个法向量,A,B分别是l上和α内的点,则直线l与平面α之间的距离d=.  (2)当平面与平面平行时,一个平面内任意一点　　　　　　　　　　　　称为这两个平行平面之间的距离.  如果平面α与平面β平行,n是平面β的一个法向量,A和B分别是平面α和平面β内的点,则平面α和平面β之间的距离为　　　　　.  (3)与两个平行平面同时　　　　的直线,称为这两个平面的　　　　　,　　　　　夹在平行平面间的部分,称为这两个平面的　　　　　,　　　　　的长即为两个平行平面之间的距离.  (4)直线与平面之间的距离和平面与平面之间的距离都可以归结成点到平面的距离. 【诊断分析】 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)平面α外一点A到平面α的距离就是点A与平面内一点B所成向量的长度.(　 ) (2)若直线l∥平面α,则直线l到平面α的距离就是直线l上的点到平面α的距离.(　 ) (3)若平面α∥平面β,则两平面α,β的距离可转化为平面α内某条直线到平面β的距离,也可转化为平面α内某点到平面β的距离. (　 ) ◆ 探究点一　空间中两点之间的距离 例1 如图所示,在120°的二面角α-AB-β中,AC⊂α,BD⊂β且AC⊥AB,BD⊥AB,垂足分别为A,B,已知AC=AB=BD=6,试求线段CD的长. 变式 如图所示,正方形ABCD,ABEF的边长都是1,平面ABCD⊥平面ABEF,点M在线段AC上移动,点N在线段BF上移动,若CM=BN=a(0<a<). (1)求MN的长(用a表示). (2)a为何值时,MN的长最小? [素养小结] 计算两点间的距离的两种方法: (1)利用|a|2=a·a,通过向量运算求|a|,如求A,B两点间的距离,一般用AB==求解. (2)用坐标法求向量的长度(或两点间距离),当求解的图形适宜建立空间直角坐标系时适用此法. ◆ 探究点二　点到直线的距离 例2 [2026·河北邢台高二月考] 在正四棱锥P-ABCD中,PA=2,AB=4,E,F分别是棱AB,PC的中点,则点D到直线EF的距离是 (　 ) A. B. C. D. 变式 如图,在四棱锥P-ABCD中,PB⊥平面ABCD,AB⊥BC,PB=AB=2BC=2,求点C到直线PA的距离. [素养小结] 用向量法求点到直线的距离的一般步骤: 方法一:利用空间向量找垂线段,再求向量的模即可. 方法二:(1)建立空间直角坐标系; (2)求直线的方向向量; (3)求所求点与直线上某一点所构成的向量与直线的单位方向向量的数量积; (4)利用勾股定理求点到直线的距离. 另外,要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化. ◆ 探究点三　点到平面的距离 例3 [2026·郑州高二月考] 如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAB⊥平面ABCD,PA=PB=3,AB∥DC,DC=2AB=2BC=4,AB⊥BC,E为PD的中点,求点D到平面ABE的距离. 变式 (1)已知A(1,0,1),n=(1,0,1)是平面α的一个法向量,且B(-1,2,2)是平面α内的一点,则点A到平面α的距离为 (　 ) A. B. C. D. (2)[2026·石家庄高二期末] 在如图所示的直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是正方形,AB=2,AA1=3,M是棱BC的中点,N是棱CC1上的一个动点,则点A1到平面AMN的距离的最小值为 (　 ) A.1 B. C. D. [素养小结] 用向量法求点到平面的距离的步骤: (1)建系:建立恰当的空间直角坐标系; (2)求点坐标:写出(求出)相关点的坐标; (3)求向量:求出相关向量的坐标; (4)利用公式即可求得点到平面的距离. ◆ 探究点四　线面距离与面面距离 例4 (1)在空间直角坐标系中,A(0,0,0),B(1,1,1),C(1,0,0),D(-1,2,1),其中A∈α,B∈α,C∈β,D∈β,已知平面α∥平面β,则平面α与平面β间的距离为 (　 ) A. B. C. D. (2)如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BC,CD的中点,则直线BD到平面EFD1B1的距离为(　 ) A. B. C. D. 变式 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列结论正确的是 (　 ) A.异面直线AC与BC1所成的角为 B.是平面ABC1D1的一个法向量 C.直线A1B1到平面ABC1D1的距离为 D.平面AB1C与平面A1C1D间的距离为 [素养小结] 求直线与平面之间的距离,往往转化为点到平面的距离求解,且这个点要适当选取,以求解最简单为准则,求直线与平面之间的距离的题目不多,因为直线与平面之间的距离可以用点到平面的距离求解,但在求点到平面的距离时有时用直线与平面之间的距离进行过渡. 1.[2026·武汉高二期末] 已知空间向量=(0,1,0),=(-1,1,-1),则点B到直线AC的距离为 (　 ) A. B. C. D. 2.[2025·安徽合肥一中高二期中] 已知异面直线m,n所成的角为,M,N在直线m上,G,H在直线n上,HN⊥m,HN⊥n,MN=1,NH=3,GH=2,则G,M间的距离为 (　 ) A.2或2 B.4 C.2 D.2或4 3.在三棱锥P-ABC中,PC⊥底面ABC,∠BAC=90°,AB=AC=4,∠PBC=60°,则点C到平面PAB的距离为 (　 ) A. B. C. D. 4.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4,M,N,E,F分别为A1D1,A1B1,C1D1,B1C1的中点,则平面AMN与平面EFBD之间的距离为　　　　.  5.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线AC到平面A1BC1的距离为　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2.5　空间中的距离 【课前预习】 知识点一 线段长 知识点二 垂线段　长　最短 知识点三 垂线段　长　最短 知识点四 (1)任意一点到平面的距离　(2)到另一个平面的距离 d=　(3)垂直　公垂线　公垂线　公垂线段 公垂线段 诊断分析 (1)×　(2)√　(3)√ 【课中探究】 探究点一 例1　解:∵AC⊥AB,BD⊥AB,∴·=0,·=0.∵二面角α-AB-β的平面角为120°,∴<,>=60°,∴CD2=||2=(++)2=+++2(·+ ·+·)=3×62+2×62·cos 60°=144,∴CD=12. 变式　解:(1)因为平面ABCD⊥平面ABEF,BC⊥AB,所以BC⊥平面ABEF,则BC⊥BE,故BA,BE,BC两两垂直,以B为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系. 因为CM=BN=a(0<a<),且四边形ABCD,ABEF为正方形,所以M,N,所以=,所以MN=||=. (2)由(1)知MN=,所以当a=时,MN的长最小,最小值为. 探究点二 例2　B　[解析] 如图,连接AC,BD,DE,记AC∩BD=O,连接OP.由正四棱锥的性质可知OB,OC,OP两两垂直,以O为坐标原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系.因为PA=2,AB=4,所以OA=2,PO=4,所以D(-2,0,0),E(,-,0),F(0,,2),所以=(-3,,0),=(-,2,2),则点D到直线EF的距离是==.故选B. 变式　解:因为PB⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD,BC⊂平面ABCD,所以PB⊥AB,PB⊥BC,又AB⊥BC,所以BA,BC,BP两两垂直.以B为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则C(1,0,0),A(0,2,0),P(0,0,2),所以=(1,0,-2),=(0,2,-2),则·=4,在上的投影的数量为==,所以点C到直线PA的距离为=. 探究点三 例3　解:取AB的中点为O,连接PO,则PO⊥AB.因为平面PAB⊥平面ABCD,PO⊂平面PAB,平面PAB∩平面ABCD=AB,所以PO⊥平面ABCD,又AB⊥BC,所以可如图建立空间直角坐标系.由PA=PB=3,AB∥DC,DC=2AB=2BC=4,得PO==2,则B(0,0,0),A(2,0,0),D(4,2,0),P(1,0,2),又因为E为PD的中点,所以E,所以=(2,0,0),=,=(4,2,0).设平面ABE的一个法向量为n=(x,y,z),则令z=1,则n=(0,-,1),则点D到平面ABE的距离d====. 变式　(1)D　(2)D　[解析] (1)由题知=(-2,2,1),则点A到平面α的距离为==.故选D. (2)由题意知,该几何体为长方体,以D为坐标原点建立空间直角坐标系,如图所示,则A(2,0,0),M(1,2,0),A1(2,0,3),所以=(-1,2,0).设N(0,2,t)(0≤t≤3),则=(-1,0,t).设平面AMN的一个法向量为n=(x,y,z),则令y=t,得n=(2t,t,2).因为=(0,0,3),所以点A1到平面AMN的距离为=,又0≤t≤3,所以当t=3时,点A1到平面AMN的距离取得最小值,最小值为=.故选D. 探究点四 例4　(1)A　(2)D　[解析] (1)由已知得=(1,1,1),=(-2,2,1),=(1,0,0).设向量n=(x,y,z)与向量,都垂直,则即取x=1,得n=(1,3,-4).因为平面α∥平面β,所以平面α与平面β间的距离d===.故选A. (2)以D为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图,则B(1,1,0),E,B1(1,1,1),D1(0,0,1),所以=,=(-1,-1,0),=.设平面EFD1B1的一个法向量为n=(x,y,z),则令z=1,则n=(-2,2,1).因为BD∥B1D1,BD⊄平面EFD1B1,B1D1⊂平面EFD1B1,所以BD∥平面EFD1B1,所以直线BD到平面EFD1B1的距离即为点B到平面EFD1B1的距离,所以直线BD到平面EFD1B1的距离d=== .故选D. 变式　ABD　[解析] 如图,以D为坐标原点,建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),A1(1,0,1),C1(0,1,1),所以=(-1,1,0),=(-1,0,1),设异面直线AC与BC1所成的角为θ,则cos θ==,因为θ∈,所以θ=,故A正确;在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB⊥平面ADD1A1,DA1⊂平面ADD1A1,所以DA1⊥AB,又DA1⊥AD1,AD1∩AB=A,AD1,AB⊂平面ABC1D1,所以DA1⊥平面ABC1D1,所以是平面ABC1D1的一个法向量,故B正确;因为A1B1∥AB,A1B1⊄平面ABC1D1,所以直线A1B1∥平面ABC1D1,则直线A1B1到平面ABC1D1的距离等于点A1到平面ABC1D1的距离,等于点A1到直线AD1的距离,为,故C错误;=(1,0,1),=(0,1,1),=(-1,0,0),设平面A1C1D的一个法向量为n=(x,y,z),则即可取n=(-1,-1,1),则平面AB1C与平面A1C1D之间的距离d===,故D正确.故选ABD. 【课堂评价】 1.A　[解析] 因为=(0,1,0),=(-1,1,-1),所以在上的投影的数量为==,所以点B到直线AC的距离为==.故选A. 2.D　[解析] 由题知,||=1,||=3,||=2,⊥,⊥,<,>=或,则==++-2||||cos<,>.当<,>=时,||2=12+32+22-2×1×2×=12,所以||=2;当<,>=时,=12+32+22-2×1×2×=16,所以||=4.故选D. 3.B　[解析] 根据题意,以A为坐标原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则C(0,4,0),P(0,4,4),A(0,0,0),B(4,0,0),所以=(0,4,0),=(4,0,0),=(0,4,4).设平面PAB的一个法向量为n=(x,y,z),则取z=1,得n=(0,-,1),所以点C到平面PAB的距离d===.故选B. 4.　[解析] 如图所示,以D为坐标原点,建立空间直角坐标系,则A(4,0,0),M(2,0,4),B(4,4,0),E(0,2,4),F(2,4,4),N(4,2,4),∴=(2,2,0),=(2,2,0),=(-2,0,4),=(-2,0,4),∴=,=,∴EF∥MN,BF∥AM,又EF∩BF=F,MN∩AM=M,∴平面AMN∥平面EFBD.设n=(x,y,z)是平面AMN的一个法向量,则取z=1,得n=(2,-2,1).平面AMN与平面EFBD之间的距离即为点B到平面AMN的距离,∵=(0,4,0),∴平面AMN与平面EFBD之间的距离d==. 5.　[解析] ∵AC∥A1C1,A1C1⊂平面A1BC1,AC⊄平面A1BC1,∴AC∥平面A1BC1,∴直线AC到平面A1BC1的距离即为点C到平面A1BC1的距离.以D为坐标原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(2,0,2),B(2,2,0),C1(0,2,2),C(0,2,0),∴=(0,2,-2),=(-2,0,2),=(0,0,2).设平面A1BC1的一个法向量为n=(x,y,z),则取x=1,得n=(1,1,1),∴点C到平面A1BC1的距离d==,故直线AC到平面A1BC1的距离为. 学科网（北京）股份有限公司 $