1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系 第1课时 空间向量的坐标及运算 (Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（人教B版）

1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系 第1课时　空间向量的坐标及运算 【课前预习】 知识点一 1.单位向量　两两垂直　2.(x,y,z)　p=(x,y,z) 知识点二 x1=x2,y1=y2,z1=z2　(x1+x2,y1+y2,z1+z2) (μx1+vx2,μy1+vy2,μz1+vz2)　x1x2+y1y2+z1z2 知识点三 1.λx1　λy1　λz1　2.x1x2+y1y2+z1z2=0 诊断分析 (1)×　(2)×　(3)√　[解析] (1)|a|==≠1,故a不是单位向量. (2)当b的每一个坐标分量都不为零时,若a,b共线,则==. (3)若a⊥b,则a·b=0,即2m-2=0,解得m=1. 【课中探究】 探究点一 例1　解:(1)a+b=(2,-1,3)+(0,-1,2)=(2+0,-1-1,3+2)=(2,-2,5). (2)2a-3b=(4,-2,6)-(0,-3,6)=(4,1,0). (3)a·b=(2,-1,3)·(0,-1,2)=2×0+(-1)×(-1)+3×2=7. (4)(a+b)·(a-b)=a2-b2=4+1+9-0-1-4=9. 变式　(1)-　[解析] 设c=xa+yb,则解得 (2)解:设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2). 由题可知且解得 故a=,b=,则a·b=-,a-2b=(-1,2,-2),∴(a-2b)·(2a-b)=(-1)×(-2)+2×4+(-2)×(-2)=14. 探究点二 例2　解:(1)因为a⊥b,所以a·b=0, 即2×(-4)+(-1)×2+2x=0,解得x=5, 所以a+b=(2,-1,2)+(-4,2,5)=(-2,1,7), 所以|a+b|===3. (2)易知a·(a+b)=-4-1+14=9,且|a|=3, 所以cos<a,a+b>===, 即a与a+b夹角的余弦值为. 变式　(1)5　(2)　[解析] (1)因为a-b+3c=(2,-3,1)-(2,0,3)+3(0,0,2)=(0,-3,4),所以|a-b+3c|==5. (2)因为|a-b|2+|a+b|2=2|a|2+2|b|2,所以|a-b|2=2|a|2+2|b|2-|a+b|2=2+6-4=4,故|a-b|=2,因此cos<a-b,a+b>===-,故向量a+b与向量a-b的夹角是. (3)解:①由题意得,a==(1,1,0),b==(-1,0,2), ∴cos θ===-, 即a与b的夹角θ的余弦值为-. ②由题意得,a+2b=(1,1,0)+2(-1,0,2)=(-1,1,4), 故|a+2b|==3. ③由题意得ka+b=(k,k,0)+(-1,0,2)=(k-1,k,2),ka-2b=(k,k,0)-(-2,0,4)=(k+2,k,-4). ∵ka+b与ka-2b垂直,∴(k-1)(k+2)+k2-8=0,即2k2+k-10=0,解得k=-或k=2. 探究点三 例3　(1)-或　[解析] 由题得=+=(-2,-1,m-3).若∠A=90°,则·=0,即-1-4(m-3)=0,解得m=;若∠B=90°,则·=0,即-2-4(m+1)=0,解得m=-;若∠C=90°,则·=0,即4+2+(m+1)(m-3)=0,整理得m2-2m+3=0,无解.综上,m=-或m=. (2)解:①由题得|b|==,解得y=0, 又a⊥c,所以a·c=2x-2=0,解得x=1, 所以a=(1,1,0),b=(-1,0,2), 所以a+kb=(1-k,1,2k),2a+b=(1,2,2). 因为a+kb,2a+b共线,所以==,解得k=. ②由①知,a+kb=(1-k,1,2k),2a+b=(1,2,2),因为向量a+kb与2a+b的夹角为锐角,所以(a+kb)·(2a+b)=(1-k)×1+1×2+2×2k=3k+3>0,解得k>-1, 又当k=时,a+kb=(2a+b),所以实数k的取值范围为∪. 变式　(1)B　(2)B　[解析] (1)由题得2a+b=(2x+1,4,4-y),-a+2b=(2-x,3,-2y-2),∵(2a+b)∥(-a+2b),∴存在非零实数λ,使得2a+b=λ(-a+2b),则解得故选B. (2)由题得a·b=1+2=3,因为(a+λb)⊥b,所以(a+λb)·b=a·b+λb2=3+2λ=0,解得λ=-.故选B. 【课堂评价】 1.D　[解析] 由题得a·b=2x+1-x=2,解得x=1.故选D. 2.C　[解析] 因为==,=≠,所以a∥b,a与c不平行.因为a·c=2+8-8=2≠0,所以a与c不垂直.因为a·b=-3-12-12=-27≠0,所以a与b不垂直.故选C. 3.C　[解析] 由已知得ka+b=(2k+1,1,k),a-2b=(0,-2,1).因为(ka+b)⊥(a-2b),所以(ka+b)·(a-2b)=(2k+1)×0+1×(-2)+k×1=0,解得k=2.故选C. 4.B　[解析] 由b=(1,-2,1),得|b|==,则向量a在向量b上的投影向量的坐标为·b=(1,-2,1)=(1,-2,1)=.故选B. 5.3　　[解析] 因为向量a=(2,-1,-2),b=(1,1,-4),所以2a-3b=(1,-5,8),所以|2a-3b|==3.由题意可得a·b=9,|a|=3,|b|=3,则cos<a,b>===,又<a,b>∈[0,π],所以<a,b>=. 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系 第1课时　空间向量的坐标及运算 【学习目标】 1.了解空间向量坐标的定义; 2.掌握空间向量运算的坐标表示; 3.能够利用坐标运算来求空间向量的长度与夹角. ◆ 知识点一　空间向量的坐标 1.单位正交基底 一般地,如果空间向量的基底{e1,e2,e3}中,e1,e2,e3都是　　　　　　　,而且这三个向量　　　　　　　,就称这组基底为单位正交基底.  2.单位正交分解 在单位正交基底{e1,e2,e3}下向量的分解称为向量的单位正交分解,如果p=xe1+ye2+ze3,则称有序实数组　　　　　　为向量p的坐标,记作　　　　　　　,其中x,y,z都称为p的坐标分量.  ◆ 知识点二　空间向量的坐标运算 若a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则 向量运算 向量表示 坐标表示 相等 a=b 　　　　　　　　　  加法 a+b 　　　　　　　　　  线性运算 μa+vb 　　　　　　　　　  数量积 a·b 　　　　　　　　　  模 |a|= 夹角 cos<a,b>= ◆ 知识点三　空间向量的平行、垂直 设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),a≠0. 1.平行:a∥b⇔b=λa⇔(x2,y2,z2)=λ(x1,y1,z1)⇔ 当a的每一个坐标分量都不为零时,有a∥b⇔==. 2.垂直:a⊥b⇔a·b=0⇔　　　　　　　　.  【诊断分析】 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)空间向量a=(1,1,1)是一个单位向量. (　 ) (2)若空间向量a=(a1,a2,a3)与b=(b1,b2,b3)共线,则==. (　 ) (3)设a=(1,2,-1),b=(0,m,2),若a⊥b,则m=1. (　 ) ◆ 探究点一　空间向量的坐标运算 例1 已知a=(2,-1,3),b=(0,-1,2),求: (1)a+b;(2)2a-3b;(3)a·b; (4)(a+b)·(a-b). 变式 (1)已知向量a=(1,1,m),b=(-1,-4,2),c=(2,-1,0)不共线,若c可用a与b表示,则m的值为　　　　.  (2)已知向量a+b=(-1,2,0),2a-b=(-2,4,-2),求a·b,(a-2b)·(2a-b). [素养小结] 解决空间向量坐标运算问题,一是直接计算,首先将空间向量用坐标表示,然后准确运用空间向量坐标运算公式计算;二是通过解方程组求其坐标. ◆ 探究点二　空间向量模与夹角的坐标表示 例2 已知a=(2,-1,2),b=(-4,2,x),且a⊥b. (1)求|a+b|; (2)求a与a+b夹角的余弦值. 变式 (1)[2026·广东东莞高二期中] 已知a=(2,-3,1),b=(2,0,3),c=(0,0,2),则|a-b+3c|=　　　　.  (2)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=,a+b=(,1,0),则向量a+b与向量a-b的夹角是　　　　.  (3)[2026·海口高二月考] 已知空间三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设a=,b=. ①求a与b的夹角θ的余弦值; ②求|a+2b|; ③若向量ka+b与ka-2b垂直,求k的值. [素养小结] 1.求向量的模的两种基本策略 (1)字母表示下的运算. 利用|a|2=a2,将向量的模的运算转化为向量的数量积问题. (2)坐标表示下的运算. 若a=(x,y,z),则a·a=|a|2=x2+y2+z2,于是有|a|=. 2.利用数量积求两向量夹角的步骤 ◆ 探究点三　空间向量平行、垂直的坐标表示 例3 (1)在空间中,已知=(0,1,-4),=(-2,-2,m+1),若△ABC是直角三角形,则m的值为　　　　.  (2)已知a=(x,1,0),b=(-1,y,2),c=(2,-2,1),|b|=,a⊥c. ①若a+kb,2a+b共线,求实数k的值; ②若向量a+kb与2a+b的夹角为锐角,求实数k的取值范围. 变式 (1)[2025·河北邯郸一中高二月考] 已知a=(x,1,2),b=(1,2,-y),且(2a+b)∥(-a+2b),则 (　 ) A.x=,y=1 B.x=,y=-4 C.x=2,y=- D.x=1,y=-1 (2)已知向量a=(1,2,2),b=(1,0,1),且(a+λb)⊥b,则实数λ的值是 (　 ) A. B.- C.3 D.-3 [素养小结] (1)判断空间向量垂直或平行的步骤: 对于a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),根据x1x2+y1y2+z1z2的值是否为0判断两向量是否垂直;根据x1=λx2,y1=λy2,z1=λz2(λ∈R)或==(x2,y2,z2都不为0)是否成立判断两向量是否平行. (2)平行与垂直的应用. ①适当引入参数(比如向量a,b平行,可设a=λb),建立关于参数的方程(组). ②选择坐标形式,以达到简化运算的目的. 1.已知向量a=(x,1,-1),b=(2,1,x),若a·b=2,则实数x的值是 (　 ) A.-2 B.-1 C.0 D.1 2.已知a=(1,2,-2),b=(-3,-6,6),c=(2,4,4),则 (　 ) A.a∥c B.a⊥c C.a∥b D.a⊥b 3.[2026·合肥高二月考] 已知向量a=(2,0,1),b=(1,1,0),且(ka+b)⊥(a-2b),则k的值为(　 ) A.-1 B.1 C.2 D.3 4.[2026·南昌高二月考] 已知向量a=(3,0,-1),b=(1,-2,1),则向量a在向量b上的投影向量的坐标为 (　 ) A. B. C. D. 5.已知向量a=(2,-1,-2),b=(1,1,-4),则|2a-3b|=　　　　,<a,b>=　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $