1.2.4 二面角 (Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（人教B版）

本讲义聚焦二面角核心知识点，系统梳理二面角的概念、平面角定义及范围，构建从概念辨析到定义法、三垂线定理、空间向量法等多方法求解，再到翻折与探索性问题综合应用的递进式学习支架。 资料通过诊断分析判断题强化概念理解，设置多个探究点结合正方体、四棱锥等模型培养数学思维与空间观念，例题变式助力分层教学。课中提升授课效率，课后练习题与素养小结帮助学生查漏补缺，发展逻辑推理与创新意识。

1.2.4　二面角 【课前预习】 知识点一 1.半平面　二面角　棱　[0,π] 2.平面角　平面角大小　直二面角 诊断分析 (1)√ 　(2)×　(3)×　(4)× 知识点二 诊断分析 (1)×　(2)×　(3)√ 【课中探究】 探究点一 例1　解:如图,过点A在平面β内作AE∥BD,且AE=BD,连接DE,CE,易知四边形AEDB为矩形,因为AC⊥l,AE⊥l,所以∠CAE即为二面角α-l-β的平面角.因为AC∩AE=A,AC,AE⊂平面ACE,所以l⊥平面ACE,又CE⊂平面ACE,所以l⊥CE,又DE∥l,所以DE⊥CE.在Rt△CED中,由DE=AB=1,CD=,可得CE==2,又AE=BD=2,AC=2,所以∠CAE=60°,所以cos∠CAE=cos 60°=. 变式　解:如图,易知四边形AEC1F为菱形.∵EB⊥平面ABCD,CC1⊥平面ABCD,FD⊥平面ABCD,∴正方形ABCD为菱形AEC1F在平面ABCD内的射影.连接AC1,EF,则EF=a,AC1=a,∴=AC1·EF=a2,=a2.设平面AEC1F与平面ABCD所成的角的大小为θ,则cos θ==,∴平面AEC1F与平面ABCD所成角的余弦值为. 探究点二 例2　解:(1)证明:∵平面VAD⊥平面ABCD,平面VAD∩平面ABCD=AD,AB⊂平面ABCD,AB⊥AD,∴AB⊥平面VAD. (2)如图,取VD的中点E,连接AE,BE. ∵△VAD是正三角形,∴AE⊥VD,AE=AD,∵AB⊥平面VAD,AE⊂平面VAD,∴AB⊥AE,由三垂线定理知BE⊥VD,∴∠AEB即为二面角A-VD-B的平面角.tan∠AEB==,则二面角A-VD-B的正切值为. 变式　解:延长FE,CB相交于点G,连接AG,如图所示.设正方体的棱长为3,易知GB=BC=3,作BH⊥AG于点H,连接EH,由三垂线定理知AG⊥HE,则∠EHB即为平面AEF与平面ABCD所成的角.因为BH=,EB=1,所以tan∠EHB==. 探究点三 例3　解:(1)证明:因为PA⊥平面ABCD,AD⊂平面ABCD,所以AD⊥PA,又底面ABCD为长方形,所以AD⊥AB,又PA,AB⊂平面PAB,PA∩AB=A,所以AD⊥平面PAB,又PB⊂平面PAB,所以PB⊥AD. (2)以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),D(0,2,0),E(1,,1),所以=(0,2,0),=(1,,1). 设平面ADE的一个法向量为n=(x,y,z), 则可取n=(1,0,-1). 易知平面ABCD的一个法向量为m=(0,0,1), 设平面ADE与平面ABCD所成的角为θ, 则cos θ===,所以sin θ=, 故平面ADE与平面ABCD所成角的正弦值为. 变式　解:(1)以D为坐标原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系. 设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则B1(2,2,2),A(2,0,0),C(0,2,0),E(0,0,1). 设P(0,0,t),则=(-2,-2,t-2),=(0,-2,1),=(-2,2,0). 因为B1P⊥平面ACE,所以B1P⊥CE,B1P⊥AC, 所以·=(-2,-2,t-2)·(0,-2,1)=4+t-2=0,·=4-4+0=0,解得t=-2, 所以点P的坐标为(0,0,-2),故点P在D1D的延长线上,且点P到点D的距离等于DD1. (2)=(-2,2,0),=(-2,0,-2),设平面PAC的一个法向量为m=(x,y,z),则 取x=1,则m=(1,1,-1).易知平面ADD1A1的一个法向量为n=(0,1,0). 设平面PAC与平面ADD1A1所成角的大小为θ,则cos θ=|cos<m,n>|====,所以sin θ==,故平面PAC与平面ADD1A1所成角的正弦值为. 探究点四 例4　解:(1)证明:在矩形ABCD中,连接BE,∵E为CD的中点,AB=4,∴DE=CE=2,又AD=2,∴AE=BE=2,∴AE2+BE2=AB2,∴AE⊥BE. 在四棱锥P-ABCE中,∵AP⊥BE,AE⊥BE,AE∩AP=A,AP,AE⊂平面AEP,∴BE⊥平面AEP, 又BE⊂平面ABCE,∴平面AEP⊥平面ABCE. (2)过点E作EQ⊥平面ABCE,以E为坐标原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系, 则A(2,0,0),P(,0,),C(-,,0),E(0,0,0),B(0,2,0),∴=(2,-,),=(-,,0),=(2,0,0).设=λ,λ∈(0,1),则=+=(2λ-,-λ,λ). 设n=(x,y,z)是平面MAE的一个法向量,则 即令y=λ,则n=(0,λ,λ-1).∵=(0,2,0)为平面AEP的一个法向量, ∴cos<n,>==. ∵平面MAE与平面AEP所成的角为,∴=,解得λ=,∴点M为棱PC的中点. 变式　解:(1)证明:如图①,连接AD1交A1D于F,∵四边形AA1D1D为正方形,∴AD1⊥A1D, ∵正方形AA1D1D与矩形ABCD所在平面互相垂直,交线为AD,AE⊥AD,∴AE⊥平面AA1D1D, 又A1D⊂平面AA1D1D,∴AE⊥A1D. 又AD1∩AE=A,AD1,AE⊂平面AD1E,∴A1D⊥平面AD1E,又D1E⊂平面AD1E,∴A1D⊥D1E. (2)存在满足条件的点M,AM=2-. 方法一:假设存在满足条件的点M.易知D1D⊥平面ABCD,过点D作DN⊥CM于点N,如图②,连接D1N,则D1N⊥CM,∴∠D1ND为二面角D1-MC-D的平面角, ∴∠D1ND=.在Rt△D1ND中,D1D=1,∴DN=. 在Rt△DNC中,CD=2,∴∠NDC=,∴∠MCB=. 在Rt△MCB中,BM=BC·tan=,∴AM=2-. 故在线段AB上存在点M,使得二面角D1-MC-D的大小为,且AM=2-. 方法二:假设存在满足条件的点M.依题意,以D为坐标原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系. ∵AB=2AD=2,∴D(0,0,0),C(0,2,0),D1(0,0,1),∴=(0,0,1),=(0,2,-1). 易知为平面MCD的一个法向量. 设M(1,a,0)(0≤a≤2),则=(-1,2-a,0).设平面D1MC的一个法向量为n=(x,y,z), 则即 ∴取y=1,得n=(2-a,1,2).∵二面角D1-MC-D的大小为, ∴cos==,即3a2-12a+11=0,解得a=2±, 又0≤a≤2,∴a=2-.故在线段AB上存在点M,使得二面角D1-MC-D的大小为,且AM=2-. 【课堂评价】 1.B　[解析] 设平面α与平面β所成的角为θ,则cos θ===.故选B. 2.B　[解析] 如图,在三棱锥A-BCD中,取BC的中点E,连接AE,DE,易知AE⊥BC,DE⊥BC,∴∠AED即为二面角A-BC-D的平面角,易得AE=DE=2,又AD=2,∴△AED为等边三角形,∴∠AED=60°.故选B. 3.A　[解析] 以A为坐标原点,以,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),E(0,0,),所以=(-1,0,0),=(-1,-1,).设平面CDE的一个法向量为n=(x,y,z),则令z=1,得n=(0,,1).易知平面ABE的一个法向量为=(0,1,0),所以cos<n,>===,所以平面ABE与平面CDE所成角的大小是30°. 4.D　[解析] 三种盖法的屋顶斜面与水平面所成二面角的平面角都是α,故三种盖法的屋顶在水平面上的射影面积都相同,设屋顶在水平面上的射影面积为S,则S=P1cos α=P2cos α=P3cos α,所以P1=P2=P3. 5.　[解析] 由题易知,问题可转化为求平面BDD1B1与平面ABC1D1所成角的余弦值.以点D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.连接AC,B1C,设正方体的棱长为1,平面α与平面β所成的角为θ.因为DD1⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,所以DD1⊥AC,又AC⊥BD,BD∩DD1=D,BD,DD1⊂平面BDD1B1,所以AC⊥平面BDD1B1.同理B1C⊥平面ABC1D1,所以为平面BDD1B1的一个法向量,为平面ABC1D1的一个法向量,因为A(1,0,0),C(0,1,0),B1(1,1,1),所以=(-1,1,0),=(-1,0,-1),所以cos θ===. 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2.4　二面角 【学习目标】 1.掌握二面角的概念、二面角的平面角的定义,会找一些简单图形中的二面角的平面角; 2.掌握求二面角的基本方法. ◆ 知识点一　二面角及其范围 1.二面角的定义:平面内的一条直线把一个平面分成两部分,其中的每一部分都称为一个　　　　　.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为　　　　　,这条直线称为二面角的　　　　,这两个半平面称为二面角的面.二面角的范围为　　　.  2.二面角的平面角 如图所示,在二面角α-l-β的棱上任取一点O,以O为垂足,分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB,则射线OA和OB所成的角称为二面角的　　　　　.二面角的大小用它的平面角大小来度量,即二面角大小等于它的　　　　　　　.特别地,平面角是直角的二面角称为　　　　　　.   3.两个平面所成的角 两个平面相交时,它们所成角的大小,指的是它们所形成的四个二面角中,不小于0°且不大于90°的角的大小. 【诊断分析】 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)两个相交平面所成角的大小和一个二面角的大小是唯一的. (　 ) (2)二面角是指两个平面相交的图形. (　 ) (3)平面与平面所成的角的取值范围与二面角的取值范围相同. (　 ) (4)如果一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面,则这两个二面角的大小相等. (　 ) ◆ 知识点二　用空间向量求二面角的大小 如果n1,n2分别是平面α1,α2的一个法向量,设α1与α2所成角的大小为θ,如图所示,可以看出θ=<n1,n2>或θ=π-<n1,n2>,特别地,sin θ=sin<n1,n2>. 【诊断分析】 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)二面角的范围是. (　 ) (2)若二面角α-l-β的两个半平面的法向量分别为n1,n2,则二面角的平面角与两个法向量的夹角<n1,n2>一定相等. (　 ) (3)二面角的大小通过它的平面角的大小来度量. (　 ) ◆ 探究点一　定义法求二面角的大小 例1 在二面角α-l-β中,A∈l,B∈l,AC⊂α,BD⊂β,且AC⊥l,BD⊥l,若AB=1,AC=BD =2,CD=,求二面角α-l-β的余弦值. 变式 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,E,F分别为棱BB1,DD1的中点,求平面AEC1F与平面ABCD所成角的余弦值. [素养小结] 1.定义法求二面角的步骤: (1)作(找)出二面角的平面角; (2)写出(或证明)所作平面角即为所求二面角的平面角; (3)利用解三角形的知识求解. 2.利用射影面积与原图形面积比求二面角时,即使用公式cos θ=求二面角时,θ为原图形所在平面与射影图形所在平面的夹角.若二面角为锐角,θ即为二面角的大小;若二面角为钝角,π-θ即为二面角的大小. ◆ 探究点二　利用三垂线定理及其逆定理求二面角 例2 如图,在四棱锥V-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧面VAD是正三角形,平面VAD⊥平面ABCD. (1)证明:AB⊥平面VAD; (2)求二面角A-VD-B的正切值. 变式 已知点E,F分别在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1,CC1上,且B1E=2EB,CF=2FC1,求平面AEF与平面ABCD所成角的正切值. [素养小结] 用三垂线定理及其逆定理求二面角 一个面内找一个特殊点作另一个面的垂线,过垂足作棱的垂线(或过这个特殊点作棱的垂线,连接两个垂足),连接这个点和垂足,根据三垂线定理(或其逆定理)得平面角,再求二面角. ◆ 探究点三　利用空间向量求二面角的大小 例3 [2026·江苏南通高二月考] 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为长方形,PA⊥平面ABCD,E是PC的中点,已知PA=AB=2,AD=2. (1)证明:PB⊥AD; (2)求平面ADE与平面ABCD所成角的正弦值. 变式 [2026·福州高二月考] 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是DD1的中点,点P是直线DD1上的一点,且B1P⊥平面ACE. (1)请确定点P的位置; (2)求平面PAC与平面ADD1A1所成角的正弦值. [素养小结] 用坐标法解题的步骤如下: (1)建系:依据几何条件建立适当的空间直角坐标系. (2)求法向量:在建立的坐标系下求或找两个平面的法向量n1,n2. (3)计算:设平面α与平面β所成的角为θ,cos θ=. (4)定值:θ即为平面α与平面β所成的角. ◆ 探究点四　空间中的翻折与探索性问题 例4 如图①,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,E为边CD的中点,现将△ADE沿AE折起,形成四棱锥P-ABCE,使得点D到达点P的位置(如图②),且AP⊥BE. (1)求证:平面AEP⊥平面ABCE; (2)已知点M是棱CP上的动点(不与点P,C重合),若平面MAE与平面AEP所成的角为,求点M的位置. 变式 如图所示,正方形AA1D1D与矩形ABCD所在平面互相垂直,AB=2AD=2,点E为AB的中点. (1)求证:D1E⊥A1D. (2)在线段AB上是否存在点M,使得二面角D1-MC-D的大小为?若存在,求出线段AM的长;若不存在,请说明理由. [素养小结] 利用空间向量解决空间角中的探索性问题,通常不需要复杂的几何作图、论证、推理,只需先假设结论成立,建立空间直角坐标系,通过向量的坐标运算进行推断,把是否存在问题转化为点的坐标是否有解的问题来处理. 1.[2026·福建南平高二期中] 已知平面α的一个法向量为m=(2,-2,1),平面β的一个法向量为n=(0,-3,4),则平面α与平面β所成角的余弦值为 (　 ) A. B. C. D. 2.在三棱锥A-BCD中,AB=AC=BC=BD=CD=4,AD=2,则二面角A-BC-D的大小为(　 ) A.30° B.60° C.90° D.120° 3.已知AE垂直于正方形ABCD所在的平面,若AB=1,AE=,则平面ABE与平面CDE所成角的大小是 (　 ) A.30° B.45° C.60° D.90° 4.一间民房的屋顶有如图所示的三种不同的盖法:①单向倾斜;②双向倾斜;③四向倾斜.记三种盖法的屋顶面积分别为P1,P2,P3,若屋顶斜面与水平面所成的二面角的平面角都是α,则 (　 ) A.P3>P2>P1 B.P3>P2=P1 C.P3=P2>P1 D.P3=P2=P1 5.[2025·广东东莞高二期中] 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面α经过点B,D,平面β经过点A,D1,当平面α,β分别截正方体所得截面的面积最大时,平面α与平面β所成角的余弦值为　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $