1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系 第2课时 空间直角坐标系及空间向量坐标的应用 (Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（人教B版）

本讲义聚焦空间直角坐标系及空间向量坐标的应用，从坐标系的建立入手，系统梳理空间点与向量的坐标表示方法，进而延伸到两点距离、中点坐标及对称问题的求解，构建从基础概念到实际应用的学习支架。 资料通过诊断分析判断题强化概念理解，结合长方体、正四棱锥等实例设计探究活动，培养学生的空间观念和几何直观（数学眼光）。例题与变式练习注重逻辑推理（数学思维），引导学生用坐标语言表达空间关系（数学语言），课中助力教师分层教学，课后帮助学生自查自纠，巩固知识盲点。

第2课时　空间直角坐标系及空间向量坐标的应用 【学习目标】 1.了解空间直角坐标系; 2.会求空间中的点的坐标,两点间的距离以及两点的中点坐标; 3.掌握空间向量坐标的简单应用. ◆ 知识点一　空间直角坐标系的建立 在空间中任意选定一点O作为坐标原点,选择合适的平面先建立平面直角坐标系　　　　,然后过O作一条与　　　　　　　　的数轴z轴,这样建立的空间直角坐标系记作　　　　.  (1)x轴、y轴、z轴是两两互相　　　　的,它们都称为　　　　　.  (2)通过每两个坐标轴的平面都称为　　　　　,分别记为　　　　　、　　　　　、　　　　　.  (3)在平面内画空间直角坐标系Oxyz时,一般把x轴、y轴画成水平放置,x轴正方向与y轴正方向夹角为　　　　　　　,z轴与y轴(或x轴)　　　　.如图①②所示.  ◆ 知识点二　空间直角坐标系下点的坐标与向量坐标 1.空间中点的坐标 在空间直角坐标系中,点M的坐标为(x,y,z),则x,y,z都称为点M的　　　　　　,且x称为点M的　　　　　(或　　　　　),y称为点M的　　　　　(或y坐标),z称为点M的　　　　　(或　　　　　).  2.空间直角坐标系下向量的坐标 在空间直角坐标系下,如果指定空间中的单位向量e1,e2,e3的始点都在原点O,且它们的方向分别与x轴、y轴、z轴的正方向相同,则{e1,e2,e3}是　　　　　　　　,且向量的坐标与P点的坐标　　　　,即=xe1+ye2+ze3=　　　　⇔P　　　　.  3.空间向量坐标的应用 设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)为空间直角坐标系中的两点,则 (1)=　　　　　　　　　,即空间向量在空间直角坐标系中的坐标,等于表示这个空间向量的有向线段的终点坐标　　　　始点坐标.   (2)若M是线段AB的中点,则M的坐标为　　　　　　　　　.   (3)||=　　　　　　　　　　　　　.  【诊断分析】 判断正误. (正确的打“√”,错误的打“×”) (1)空间直角坐标系中x轴上的点的纵坐标为0且竖坐标为0. (　 ) (2)空间直角坐标系中xOy平面上的点的竖坐标为0. (　 ) (3)空间直角坐标系中,点(1,,2)关于yOz平面的对称点为(-1,,2). (　 ) (4)空间直角坐标系中的任意一个点都有唯一的实数对(x,y,z)与之对应. (　 ) ◆ 探究点一　空间点与向量的坐标表示 例1 (1)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,D1D=3,点M是B1C1的中点,点N是AB的中点.建立如图所示的空间直角坐标系. ①写出点D,N,M的坐标; ②求,的坐标. (2)若(1)中以A为坐标原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系. ①写出点D,N,M的坐标; ②求,的坐标. 变式 已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为4,侧棱长为10,试建立适当的空间直角坐标系,并写出各顶点的坐标和向量,的坐标. [素养小结] 由于所处的坐标系不同,空间点与向量的坐标也会不同.为方便计算,建立空间直角坐标系时,应使点尽可能多的落在坐标轴上. ◆ 探究点二　空间中点的对称问题 例2 (1)在空间直角坐标系中,已知点A(1,0,3)与B(3,-2,-1)关于点M对称,则点M的坐标是 (　 ) A.(1,1,1) B.(2,1,1) C.(2,-1,1) D.(1,2,3) (2)已知点A(-3,1,-4),点A关于xOy平面的对称点的坐标为 (　 ) A.(-3,-1,-4) B.(-3,-1,4) C.(-3,1,4) D.(3,-1,-4) 变式 (1)在空间直角坐标系Oxyz中,点A(1,2,3)与点B(-1,-2,3)关于 (　 ) A.原点对称 B.xOy平面对称 C.y轴对称 D.z轴对称 (2)在空间直角坐标系中,点B是点A(3,4,5)在xOy平面内的射影,则||= (　 ) A.5 B.25 C. D. [素养小结] 求空间对称点的规律方法: 空间中点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题,需要掌握对称点的变化规律,才能准确求解.对称点的问题常常采用“关于谁对称,谁保持不变,其余互为相反数”这个结论. ◆ 探究点三　空间向量坐标的应用 例3 [2026·沈阳高二期末] 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是DD1,BD,BB1的中点. (1)求证:EF⊥CF; (2)求cos<,>; (3)求CE的长. 变式 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,O是A1D1的中点,AB=BC=2,AA1=,则向量在向量上的投影为 (　 ) A. B. C. D. [素养小结] 通过分析几何体的结构特征,建立适当的坐标系,使尽可能多的点落在坐标轴上,以便写点的坐标时便捷.建立坐标系后,先写出相关点的坐标,再写出相应向量的坐标,把向量坐标化,然后利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题. 1.在空间直角坐标系中,已知A(2,2,5),B(4,6,3),则线段AB的长度是 (　 ) A.2 B.4 C.4 D.4 2.[2025·贵州铜仁高二期末] 在空间直角坐标系中,已知m=(1,2,k)以原点O为始点,终点为点M,n=(-k,2,3-k),若M关于xOy平面的对称点为(1,2,-1),则m·n= (　 ) A.2 B.-2 C.5 D.-5 3.(多选题)已知点A(2,4,0),B(1,3,3),点Q满足2AQ=QB,则点Q的坐标可能为 (　 ) A. B.(-3,-11,3) C. D.(3,5,-3) 4.如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥AC,且=3,若在上的投影为λ,则λ=　　　　.  5.已知四面体ABCD的顶点坐标为A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,),D(0,0,0),则该四面体的外接球的表面积为　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　空间直角坐标系及空间向量坐标的应用 【课前预习】 知识点一 xOy　xOy平面垂直　Oxyz　(1)垂直　坐标轴 (2)坐标平面　xOy平面　yOz平面　zOx平面 (3)135°(或45°)　垂直 知识点二 1.坐标分量　横坐标　x坐标　纵坐标　竖坐标　z坐标 2.单位正交基底　相同　(x,y,z)　(x,y,z) 3.(1)(x2-x1,y2-y1,z2-z1)　减去 (2) (3) 诊断分析 (1)√　(2)√　(3)√　(4)√ 【课中探究】 探究点一 例1　解:(1)①因为D是原点,所以D(0,0,0).由AB=BC=2,D1D=3,得A(2,0,0),B(2,2,0),B1(2,2,3),C1(0,2,3). 因为N是AB的中点,所以N(2,1,0),同理可得M(1,2,3). ②=(-1,-2,-3),=(1,-1,-3). (2)①因为A是原点,所以A(0,0,0).由AB=BC=2,D1D=3,得B(2,0,0),D(0,2,0),B1(2,0,3),C1(2,2,3).因为N是AB的中点,所以N(1,0,0),同理可得M(2,1,3). ②=(-2,1,-3),=(-1,-1,-3). 变式　解:方法一:∵正四棱锥P-ABCD的底面边长为4,侧棱长为10,∴正四棱锥的高为2.设正四棱锥的底面中心为O,AB的中点为E,BC的中点为F,连接OE,OF,OP,易知OE,OF,OP两两垂直. 以O为坐标原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向,建立如图①所示的空间直角坐标系,则A(2,-2,0),B(2,2,0),C(-2,2,0),D(-2,-2,0),P(0,0,2). =(2,-2,-2),=(-4,0,0). 方法二:∵正四棱锥P-ABCD的底面边长为4,侧棱长为10,∴正四棱锥的高为2.设正四棱锥的底面中心为O,连接OA,OB,易知OA,OB,OP两两垂直,且OA=OB=2.以O为坐标原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向,建立如图②所示的空间直角坐标系,则A(2,0,0),B(0,2,0),C(-2,0,0),D(0,-2,0),P(0,0,2),=(2,0,-2),=(-2,-2,0). 探究点二 例2　(1)C　(2)C　[解析] (1)由题可知点M为线段AB的中点,所以点M的坐标是,即(2,-1,1).故选C. (2)点(x,y,z)关于xOy平面的对称点的坐标为(x,y,-z),所以A(-3,1,-4)关于xOy平面的对称点的坐标为(-3,1,4).故选C. 变式　(1)D　(2)A　[解析] (1)在空间直角坐标系中,点(x,y,z)关于z轴的对称点的坐标为(-x,-y,z),根据A,B的坐标,可以判断A,B关于z轴对称.故选D. (2)由点B是点A(3,4,5)在xOy平面内的射影可得B(3,4,0),则||==5.故选A. 探究点三 例3　解:以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则E,C(0,1,0),F,G, 所以=,=,=,=. (1)证明:因为·=×+×+×0=0,所以⊥,即EF⊥CF. (2)因为·=×1+×0+×=,||==, ||==,所以cos<,>===. (3)||==,即CE的长为. 变式　D　[解析] 以D为坐标原点,以,,的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.由AB=BC=2,AA1=,O是A1D1的中点,得A(2,0,0),C(0,2,0),O(1,0,),所以=(-2,2,0),=(-1,0,),所以·=(-2)×(-1)+2×0+0×=2,||2= (-1)2+02+()2=1+3=4,所以在上的投影为·=.故选D. 【课堂评价】 1.A　[解析] 因为A(2,2,5),B(4,6,3),所以||==2.故选A. 2.C　[解析] 因为M关于xOy平面的对称点为(1,2,-1),所以M(1,2,1),所以m=(1,2,1),即k=1,则n=(-1,2,2),所以m·n=1×(-1)+2×2+1×2=-1+4+2=5.故选C. 3.AD　[解析] 设点Q(x,y,z),由2AQ=QB,得2=或2=,得2(x-2,y-4,z)=(1-x,3-y,3-z)或2(x-2,y-4,z)=(x-1,y-3,z-3),所以或解得或故点Q或Q(3,5,-3).故选AD. 4.　[解析] 由题知AB⊥AC,PA⊥AB,PA⊥AC,以A为坐标原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.令AB=a,AC=b,AP=c,则A(0,0,0),B(a,0,0),C(0,b,0),D,∴=(0,b,0),=,∴在上的投影为·=·=,故λ=. 5.4π　[解析] 设球心O(x,y,z),半径为R,由OA=OB=OC=OD=R,得解得所以该四面体的外接球的表面积S=4πR2=4π. 学科网（北京）股份有限公司 $