1.2.3 直线与平面的夹角（讲义）数学人教B版高二选择性必修第一册

本讲义聚焦“直线与平面的夹角”核心知识点，依课标要求梳理向量语言表述及向量方法解决问题的脉络，构建从线面角定义、向量公式（sinθ=|cos<u,n>|）到斜线与平面所成角性质（cosθ=cosθ₁cosθ₂、最小角定理）的学习支架。 资料特色在于向量方法与几何关系深度融合，通过随学随练、分层题型（如四棱台线面角求解）培养数学思维的逻辑推理，以空间图形分析提升数学眼光的空间观念，助力课中教学与课后学生查漏补缺。

第一章 空间向量与立体几何 1.2.3　直线与平面的夹角 课标要点 1.能用向量语言表述直线与平面的夹角. 2.能用向量方法解决直线与平面的夹角问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用． 学习重难点 重点： 求线面角的常用方法． 难点： 能利用几何关系确定斜线的射影以及公式cosθ＝cosθ1cosθ2中各角的含义． 知识点 直线与平面所成的角 直线与平面所成的角直线AB与平面α相交于B,设直线AB与平面α所成的角为θ,直线AB的方向向量为u,平面α的法向量为n,则sin θ=|cos<u,n>|==. 特别提醒 (1)求直线与平面所成的角,可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角问题来解决. (2)线面角的范围为0,. (3)直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角. 随学随练 1．（25-26高二下·江苏南京·期中）若向量是直线的方向向量，向量是平面的法向量，则直线与平面所成角的正弦值为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）设是平面外的直线的方向向量，是平面的法向量，则（   ） A． B．或在平面内 C． D．或 知识点 斜线与平面所成角的性质 (1)线线角、线面角的关系式 关系式：如图，AA′⊥α，OA′，OM⊂α，则图中θ，θ1，θ2之间的等量关系是cosθ＝cosθ1cosθ2． (2)最小角定理 平面的斜线与平面所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角． 特别提醒 对公式cosθ＝cosθ1cosθ2的理解 由0≤cosθ2≤1，得cosθ≤cosθ1，从而θ1≤θ. 在公式中，令θ2＝90°，则cosθ＝cosθ1cos90°＝0， ∴θ＝90°，此即三垂线定理．反之，若θ＝90°，可知θ2＝90°，即为三垂线定理的逆定理．即三垂线定理及其逆定理可看成此公式的特例． 随学随练 已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1的底面是边长为a的菱形，O为菱形ABCD的中心，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，AA1＝a，求证：A1O⊥平面ABCD. 题型线面角的向量求法 ▌例1 （25-26高二下·河北石家庄·期中）如图，在四棱台中，平面ABCD，四边形ABCD为正方形，AA1为AC的中点． (1)证明：平面 (2)求直线与平面所成角的正切值． ▌对点练1-1．（25-26高二下·贵州毕节·期中）如图，在四棱锥中，底面，四边形为正方形，，分别为，的中点.    (1)求证：平面； (2)若， ①证明：平面平面； ②求直线与平面所成角的正弦值. 题型  已知线面角求其他量 ▌例1（25-26高二下·福建厦门·期中）如图，圆柱的轴截面是边长为2的正方形，为上一点，边长为的正方形内接于，设平面与平面的交线为直线，点Q为直线上一点. (1)证明：； (2)若平面，当直线与平面所成角的正弦值为时，求的长. ▌对点练1-1（25-26高二下·云南昆明·期中）如图所示，在三棱锥中，底面是边长为4的正三角形，，，点为的中点． (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由． 基础通关 1．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）已知“经过点且法向量为的平面的方程是”．现知道平面的方程为，则过与的直线与平面所成角的正弦值是___________．（ 2．（25-26高二下·湖北·期中）在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·江苏宿迁·期中）在正方体中，点为线段的中点.点在线段上，直线与平面所成的角为，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·浙江衢州·期中）在长方体中，，点是的中点，那么异面直线DE和BC所成的角的余弦值等于（   ） A． B． C． D． 5．（2026·甘肃张掖·模拟预测）如图，在三棱锥中，为的中点，平面，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）如图，圆锥PO的底面圆周上有三点，为底面圆O的直径，点是底面直径所对弧的中点，点D是母线PA的中点，若，则直线和平面所成角的正弦值为（   ）    A． B． C． D． 7．（2026·贵州贵阳·模拟预测）如图，已知两个正方形，的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.点M，N分别在正方形对角线和上移动，且.当的长最小时，直线和夹角的余弦值是（    ） A． B．0 C． D． 8．（25-26高二下·河北邢台·开学考试）在空间直角坐标系中，直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，l与所成的角为，则（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高二上·安徽淮北·期末）如图，已知四棱台的底面是直角梯形，，，，平面，是侧棱所在直线上的动点，则与平面所成角的正弦值的最大值为（    ） A． B． C． D． 10．25-26高二下·湖北·期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为4的正方形，侧面PAD是正三角形，侧面底面ABCD，E是PD的中点． (1)证明：平面平面． (2)求直线AD与平面ACE所成角的正切值． 11．（25-26高二下·安徽阜阳·期中）如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，，的中点，为上的一点，且，为线段上不包括端点的动点． (1)若为的中点，证明：平面； (2)若，设直线与平面所成的角为，求的最大值． 素养提升 12．（25-26高二下·江苏·期中）已知：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为．利用上面的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线是平面与平面的交线，则直线与平面所成角的正弦值为______． 13．（25-26高二下·江苏扬州·期中）在正方体中，为侧面内的一个动点，且，记与平面所成的角为，则的最大值为______． 14．（25-26高二下·福建厦门·期中）在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，，，点为的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； 15．（25-26高二下·广东汕头·期中）如图，在几何体中，四边形是菱形，，且，三角形是正三角形，平面平面.点在平面上的投影为与的交点，且. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； 迁移创新 16．（25-26高二上·河南郑州·期末）在空间直角坐标系中，平面的一个法向量的坐标为，直线的一个方向向量的坐标为，则直线与平面所成角的余弦值为__________. 17．（25-26高二上·上海·期中）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，点在底面的投影是与的交点，且是等边三角形，点在线段上，若直线与平面所成角为，则的取值范围为______．    18．（25-26高二上·上海嘉定·期中）如图，正方体中，E是棱的中点，F是侧面上的动点，且平面，则与平面所成角的余弦值构成的集合是__________.    19．（2026·辽宁铁岭·模拟预测）如图，在四棱锥中，四边形是矩形，，，平面平面． (1)证明：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求． 20．（25-26高二下·湖南长沙·期中）在直三棱柱中，，点分别是线段的中点，动点P在三角形及其内部，且满足． (1)证明：直线平面 (2)求动点P的轨迹及其长度； (3)求直线BP和平面所成角的正弦值的最大值． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 空间向量与立体几何 1.2.3　直线与平面的夹角 课标要点 1.能用向量语言表述直线与平面的夹角. 2.能用向量方法解决直线与平面的夹角问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用． 学习重难点 重点： 求线面角的常用方法． 难点： 能利用几何关系确定斜线的射影以及公式cosθ＝cosθ1cosθ2中各角的含义． 知识点 直线与平面所成的角 直线与平面所成的角直线AB与平面α相交于B,设直线AB与平面α所成的角为θ,直线AB的方向向量为u,平面α的法向量为n,则sin θ=|cos<u,n>|==. 特别提醒 (1)求直线与平面所成的角,可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角问题来解决. (2)线面角的范围为0,. (3)直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角. 随学随练 1．（25-26高二下·江苏南京·期中）若向量是直线的方向向量，向量是平面的法向量，则直线与平面所成角的正弦值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设直线与平面所成角为， 则. 2．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）设是平面外的直线的方向向量，是平面的法向量，则（   ） A． B．或在平面内 C． D．或 【答案】C 【分析】计算出，即可判断得解. 【详解】∵，∴. 又因直线在平面外，∴. 知识点 斜线与平面所成角的性质 (1)线线角、线面角的关系式 关系式：如图，AA′⊥α，OA′，OM⊂α，则图中θ，θ1，θ2之间的等量关系是cosθ＝cosθ1cosθ2． (2)最小角定理 平面的斜线与平面所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角． 特别提醒 对公式cosθ＝cosθ1cosθ2的理解 由0≤cosθ2≤1，得cosθ≤cosθ1，从而θ1≤θ. 在公式中，令θ2＝90°，则cosθ＝cosθ1cos90°＝0， ∴θ＝90°，此即三垂线定理．反之，若θ＝90°，可知θ2＝90°，即为三垂线定理的逆定理．即三垂线定理及其逆定理可看成此公式的特例． 随学随练 已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1的底面是边长为a的菱形，O为菱形ABCD的中心，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，AA1＝a，求证：A1O⊥平面ABCD. [证明]　∵菱形ABCD的边长为a，且∠BAD＝60°， ∴AC为∠BAD的平分线，且AO＝a， 又∠A1AB＝∠A1AD， ∴直线A1A在平面ABCD内的射影为直线AC，记∠A1AC＝θ. 则cosθ＝＝＝. ∴A1Acosθ＝a×＝a＝AO， ∴A1O⊥平面ABCD. 题型线面角的向量求法 ▌例1 （25-26高二下·河北石家庄·期中）如图，在四棱台中，平面ABCD，四边形ABCD为正方形，AA1为AC的中点． (1)证明：平面 (2)求直线与平面所成角的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）解法一：通过证明四边形 为平行四边形得到，利用线面平行的判定定理得到证明.解法二：通过证明四边形为平行四边形得到 ，利用线面平行的判定定理得到证明. （2）解法一：以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，从而得到直线与平面所成角的正切值．解法二：作出合理辅助线，利用定义法从而得到直线与平面所成角的正切值． 【详解】（1）解法一：因为四边形是正方形，，所以． 因为四边形是正方形，，所以，所以 ， 又因为，所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面平面， 所以平面． 解法二： 证明：取的中点，连接， 易得是的中位线，所以． 根据棱台的性质可得，所以 ， 因为，所以，则， 所以四边形为平行四边形，所以 ， 因为平面平面， 所以平面． （2）解法一：以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 所以 ，． 设平面的法向量为，则， 令，则， 则 设直线与平面所成的角为， 则 ， 故直线与平面所成角的正切值为． 解法二：设与交于点，连接．过点作，交于． 因为四边形为正方形，所以四边形为正方形，所以． 因为平面，所以平面， 又平面，则． 因为，平面，平面， 所以平面． 因为平面，所以， 因为 ，平面，平面， 所以平面， 所以即为直线与平面所成的角， 因为，所以即为直线与平面所成的角． 连接，则， 所以， 所以，故直线与平面所成角的正切值为． ▌对点练1-1．（25-26高二下·贵州毕节·期中）如图，在四棱锥中，底面，四边形为正方形，，分别为，的中点.    (1)求证：平面； (2)若， ①证明：平面平面； ②求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析；② 【分析】（1）取中点，构造平行四边形，根据线面平行的判定定理证明即可. （2）①根据线面垂直的判定定理先证平面，再由面面垂直判定定理证明即可； ②根据题意建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角的正弦值. 【详解】（1）证明：取中点为，连接，， ∵，分别为，的中点， ∴，. 又四边形为正方形，∴，， 又∵为的中点，∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴. 又平面，平面， ∴平面.    （2）①证明：∵，，为的中点， ∴， ∵底面，∴，又，， ∴平面， ∴，又， ∴平面， 又平面， ∴平面平面. ②解：以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系. 设，则，，，，， ，， 设平面的法向量为， 则即 令，则， 设直线与平面所成角为，则. 题型  已知线面角求其他量 ▌例1（25-26高二下·福建厦门·期中）如图，圆柱的轴截面是边长为2的正方形，为上一点，边长为的正方形内接于，设平面与平面的交线为直线，点Q为直线上一点. (1)证明：； (2)若平面，当直线与平面所成角的正弦值为时，求的长. 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】（1）先证明面，再根据线面平行的性质即可得证. （2）建立空间直角坐标系，设出的长度，写出点的坐标，然后计算和平面的法向量，然后利用直线与平面所成角的正弦值为，列出方程求解. 【详解】（1）是正方形，， 又平面，平面，平面. 又平面平面，平面，. （2）如图所示，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系. 是直线上的一点，设，则，，，. ，，. 记平面的法向量为. ，令，则. ，. 记直线与平面所成的角为，由题意可得： . 整理得，解得或. 即或. ▌对点练1-1（25-26高二下·云南昆明·期中）如图所示，在三棱锥中，底面是边长为4的正三角形，，，点为的中点． (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在；点为的中点 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，设出点的位置，直接利用线面角的计算公式计算即可. 【详解】（1）证明：是正三角形，为的中点，． 又因为，， 所以，，又因为 所以平面，又因为平面，， ，平面，平面， 平面． （2）存在，理由如下： 取的中点，由（1）及已知得，， 点，分别为，的中点， ，，． 又，，，两两垂直． 以为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，， ．设，， ，， ，设平面的法向量为， 则，即，令，则，， ．由已知得，即， 解得或（舍去），故，此时，则是的中点， 存在满足条件的点，点为的中点 基础通关 1．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）已知“经过点且法向量为的平面的方程是”．现知道平面的方程为，则过与的直线与平面所成角的正弦值是___________． 【答案】/ 【详解】依题意，平面的法向量，直线的方向向量， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 2．（25-26高二下·湖北·期中）在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的方法进行求解. 【详解】以点为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 因为正方体棱长为，则各点坐标为： ， 又因为为中点，所以，因为为中点，所以， 即，， 设异面直线与所成角为，则 ． 3．（25-26高二下·江苏宿迁·期中）在正方体中，点为线段的中点.点在线段上，直线与平面所成的角为，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，根据向量法求出直线与平面所成的角为的正弦值，再表示出并求出其最小值即可. 【详解】设正方体边长为2，以D为原点建立空间直角坐标系如图所示， 则,,,, 设,则,, 设平面的法向量为,则由得 取，则, 所以为平面的一个法向量， 所以直线与平面所成的角的正弦值 又由，所以, 所以， 又因,所以,所以最小值为 故选：A 4．（25-26高二下·浙江衢州·期中）在长方体中，，点是的中点，那么异面直线DE和BC所成的角的余弦值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 由已知，， 向量， 则异面直线DE和BC所成的角的余弦值为： . 5．（2026·甘肃张掖·模拟预测）如图，在三棱锥中，为的中点，平面，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系， 求出平面的法向量， 利用向量夹角公式计算直线与平面所成角的正弦值. 【详解】在中，，且2，所以是等腰直角三角形. 因为为的中点，根据等腰三角形性质，. 在中，，所以. 因为平面，平面，所以. 以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系. 所以 ， ，， ，. 设，在中，，. 所以，故. 所以， 设平面的法向量为，则， 令，则，，所以平面的一个法向量为). ，设直线与平面所成的角为. 所以. 6．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）如图，圆锥PO的底面圆周上有三点，为底面圆O的直径，点是底面直径所对弧的中点，点D是母线PA的中点，若，则直线和平面所成角的正弦值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用空间向量求线面夹角. 【详解】点是底面直径所对弧的中点，所以，建立空间直角坐标系如图所示:    则，，，，，， 可得，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 设直线和平面所成角为， 可得. 7．（2026·贵州贵阳·模拟预测）如图，已知两个正方形，的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.点M，N分别在正方形对角线和上移动，且.当的长最小时，直线和夹角的余弦值是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间两点间距离公式、配方法进行求解最小时的，进而利用向量计算即可求得结果. 【详解】因为平面平面，，， 且平面平面，平面， 故平面，又平面， 故，从而两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系， 有，，，，， ，，， ， ， 当时，最小，最小值为； 即当，为、中点时，最短， 则，， ，， ， 直线和夹角的余弦值是. 8．（25-26高二下·河北邢台·开学考试）在空间直角坐标系中，直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，l与所成的角为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出两向量夹角的余弦值，再由线面角与两向量夹角的关系即可得出结论. 【详解】易知， 所以， 即，又，所以. 9．（25-26高二上·安徽淮北·期末）如图，已知四棱台的底面是直角梯形，，，，平面，是侧棱所在直线上的动点，则与平面所成角的正弦值的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先以点为原点建立空间直角坐标系，代入线面角的向量公式求最值. 【详解】因为平面，且平面， 所以，且，，平面， 所以平面， 以为原点，为x轴，AD为y轴，过点A作垂直于平面的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设， 则，，，，， 所以，，设为平面的法向量， 则即取，可得，， 所以为平面的一个法向量. 设，，则， 设与平面所成的角为，则==， 令，则有， 当，即时，，此时 当，由存在，得， 解得，当时，，此时，即的最大值为， 所以与平面所成角的正弦值的最大值为. 10．（25-26高二下·湖北·期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为4的正方形，侧面PAD是正三角形，侧面底面ABCD，E是PD的中点． (1)证明：平面平面． (2)求直线AD与平面ACE所成角的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用面面垂直的性质得平面，进而得到，结合三角形性质得，从而证得平面，得出面面垂直； （2）方法一：作，垂足为，证明，可得为直线与平面所成的角，求解即可；方法二：建立空间直角坐标系，求出面的法向量，通过法向量夹角的余弦值求解. 【详解】（1）因为底面是正方形，所以， 又因为平面平面，且平面底面， 底面，所以平面， 因为平面，所以． 又因为是正三角形，是的中点，所以． 因为，且平面， 所以平面， 又因为平面，所以平面平面． （2）解法1：作，垂足为，连接． 因为平面平面，， 且，，则． 所以为在平面上的射影，为直线与平面所成的角． 因为平面，平面，所以． 因为，，所以， 因为，所以． 在中，． 所以． 所以直线与平面所成角的正切值为． 解法2：以为坐标原点，分别以所在直线为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系． 已知底面边长为，是正三角形， 所以，则， 因为是的中点，故，所以， 设平面的法向量为， 所以，即， 令，则，， 设直线与平面所成的角为， 则． 故． 所以． 所以直线与平面所成角的正切值为． 11．（25-26高二下·安徽阜阳·期中）如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，，的中点，为上的一点，且，为线段上不包括端点的动点． (1)若为的中点，证明：平面； (2)若，设直线与平面所成的角为，求的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）作辅助线，通过线线平行证明线面平行； （2）建立空间直角坐标系，通过求出平面的法向量，结合夹角公式进行求解. 【详解】（1）设线段的中点为，连接，，如下图所示 ， 在中，为的中点，为的中点,所以， 在矩形中，且， 所以四边形是平行四边形，因此， 因为，为的中点，所以为的中点， 因为为的中点，在中有，所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2）由题意如图建立如图所示的空间直角坐标系 ， 则，，，，，， 设，且，,则，， 设平面的法向量为，因为，， 所以，故可取， 因此， 令，则， 所以当，即，时，有最大值． 素养提升 12．（25-26高二下·江苏·期中）已知：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为．利用上面的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线是平面与平面的交线，则直线与平面所成角的正弦值为______． 【答案】 【分析】根据给定信息求出平面的法向量，再求出直线的方向向量，然后利用线面角的向量法求解. 【详解】依题意，平面与平面的法向量分别为， 设直线的方向向量，由直线是平面与平面的交线， 则，取，得，而平面的法向量， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 13．（25-26高二下·江苏扬州·期中）在正方体中，为侧面内的一个动点，且，记与平面所成的角为，则的最大值为______． 【答案】 【分析】先利用线线垂直确定动点的轨迹，再结合线面角的定义与向量法，将转化为动点坐标的函数，最后求出的最大值，进而得到的的最大值. 【详解】设正方体的棱长为1，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 已知点是侧面内的一个动点，可设， 因为， 由，得，即，所以， 又因为， 设平面的一个法向量为，则， 令，可得， 又因为，设直线与平面所成的角为， 所以， 因为，所以当达到最大值时，也达到最大值， 所以，当时，，此时， 所以. 14．（25-26高二下·福建厦门·期中）在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，，，点为的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； 【答案】(1)连接，交于点，连接. 因为四边形为矩形，所以为的中点. 又点为的中点，所以. 因为平面，平面，所以平面. (2) 【分析】（1）连接，交于点，连接，由三角形中位线得到，利用线面平行的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据线面角的向量求法求解即可. 【详解】（1）略 （2）因为平面，，平面，所以，. 因为四边形为矩形，所以，则，，两两垂直. 以为原点，以，，为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，. 所以，，. 设平面的法向量为， 则，即，令，则. 设直线与平面所成角为， 所以， 故直线与平面所成角的正弦值. 15．（25-26高二下·广东汕头·期中）如图，在几何体中，四边形是菱形，，且，三角形是正三角形，平面平面.点在平面上的投影为与的交点，且. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先由菱形性质得，再由投影得平面，故；因且共面，从而证得结果; （2）以菱形对角线交点为原点，OB，OC，OF分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出各点坐标与，，，设平面的法向量并由线线垂直列方程求解，再利用线面角公式计算正弦值. 【详解】（1）证明：在菱形中，对角线互相垂直，所以， 因为在底面上的投影为，所以平面， 又平面，故. 又平面，平面，， 所以平面. （2）由，，得，，， 如图1，作于点，则. 因为平面平面，交线为，所以平面. 以为原点，OB，OC，OF所在的直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，. 所以，，. 设平面的法向量为， 则，即 令，得，，故. 设直线与平面所成的角为，，则. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 迁移创新 16．（25-26高二上·河南郑州·期末）在空间直角坐标系中，平面的一个法向量的坐标为，直线的一个方向向量的坐标为，则直线与平面所成角的余弦值为__________. 【答案】 【分析】利用向量的夹角公式求，再利用平方关系求即可. 【详解】设平面的一个法向量为，直线的一个方向向量， 设直线与平面所成角为，所以， 所以， 故答案为：. 17．（25-26高二上·上海·期中）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，点在底面的投影是与的交点，且是等边三角形，点在线段上，若直线与平面所成角为，则的取值范围为______．    【答案】 【分析】设，根据条件建系，设，求出相关向量的坐标和平面的法向量坐标，设，利用空间向量夹角的坐标公式求出的表示式，再借助于二次函数的性质即可求得其取值范围. 【详解】    如图，设，因底面为菱形，则，依题意，平面， 故以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 设，因是等边三角形，且，则， 于是，， 则， 设平面的法向量为， 则，故可取， 设，则， 且， 依题意，， 因，则，故可得. 故答案为：. 18．（25-26高二上·上海嘉定·期中）如图，正方体中，E是棱的中点，F是侧面上的动点，且平面，则与平面所成角的余弦值构成的集合是__________.    【答案】 【分析】建立适当空间直角坐标系后，利用空间向量计算可得点满足的条件，再利用线面角的向量求法求解即可得. 【详解】在正方体中，建立如图所示空间直角坐标系， 令，则， 设， 则， 设平面的法向量为， 则，令，得， 由平面，得， 即，化简得， 而，平面的法向量为， 设与平面所成角为， ， 由，则，即，又，故， 故，故， 则， 即与平面所成角的余弦值构成的集合是.    故答案为：. 19．（2026·辽宁铁岭·模拟预测）如图，在四棱锥中，四边形是矩形，，，平面平面． (1)证明：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求． 【答案】(1)证明：由，，，、平面 可得平面，又平面，故， 由平面平面ABCD，平面平面，且平面， 故平面； (2)或 【分析】（1）借助线面垂直判定定理可得平面，则可得，再由面面垂直性质定理即可得证； （2）建立适当空间直角坐标系后，求出直线的方向向量与平面的法向量后，利用空间向量夹角公式计算即可得解. 【详解】（1）略 （2）以为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向， 的方向为z轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系， 不妨设，， 则，，，， ，，， 记平面的法向量为，，即， 令，则，，即可取， 设直线与平面所成角为， 则， 即，， 解得或（负值舍去），故或． 20．（25-26高二下·湖南长沙·期中）在直三棱柱中，，点分别是线段的中点，动点P在三角形及其内部，且满足． (1)证明：直线平面 (2)求动点P的轨迹及其长度； (3)求直线BP和平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】(1) 由题意，以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 如图， 由已知得， 因为是的中点，且，所以． 所以． 设是平面的法向量，则即 取，则． 所以，所以，所以直线平面． (2)点的轨迹是以点为圆心，半径为1的四分之一个圆， (3) 【分析】（1）通过建立空间直角坐标系求出目标平面的法向量，并证明该法向量与已知直线的方向向量共线，从而证得线面垂直； （2）利用勾股定理将空间距离转化为平面内动点到定点距离恒为定值的问题，并结合动点所在的限制区域确定其轨迹为四分之一圆弧，进而利用圆的周长公式求出长度； （3）借助三角参数方程设出动点坐标，利用空间向量法建立线面角正弦值关于参数的三角函数表达式，再通过辅助角公式结合参数取值范围求出最大值. 【详解】（1）略 （2）在直三棱柱中有平面． 因为平面，所以． 由勾股定理，， 因为点在三角形及其内部， 所以点的轨迹是以点为圆心，半径为1的四分之一个圆． 所以动点的轨迹长度为． （3）因为点在以点为圆心的圆周上运动，设， 所以．设直线和平面所成角为， 则． 因为，所以，所以． 所以当时，取得最大值． 1 / 32 学科网（北京）股份有限公司 $