1.1.2 空间向量基本定理 (Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（人教B版）

1.1.2　空间向量基本定理 【课前预习】 知识点一 1.唯一　2.不共线 3.不共线　唯一　4.不共线　唯一 诊断分析 (1)√　(2)×　(3)√　(4)×　[解析] (1)由共面向量定理得,若p=xa+yb,则p与a,b共面. (2)当a与b共线,而p与a不共线时,p=xa+yb不成立. (3)由共面向量定理得,若=x+y,则P,M,A,B四点共面. (4)当与共线,而与不共线时,=x+y不成立. 知识点二 1.不共面　p=xa+yb+zc 诊断分析 (1)×　(2)√　(3)√　(4)×　[解析] (1)空间中的任何一个向量都可用三个不共面的向量表示. (4)空间向量的一组基底是由三个不共面的向量构成的. 【课中探究】 探究点一 例1　证明:连接EF,EB,设=a,=b,=c. ∵=2,=,∴=,=,∴==b,=(-)=(+-)=a+b-c, ∴=-=a+b-c-b=a-b-c=. 又=++=-b-c+a=a-b-c,∴=,∴E,F,B三点共线. 变式　解:(1)=-=×(+)-=b+c-a. (2)证明:=+=-=-(+)=-=××(+)- =(b-a+c-a)-a=-a+b+c,则=,所以B,G,N三点共线. 探究点二 例2　(1)B　[解析] 若A,B,C,M四点共面,则++λ=1,解得λ=,故A,B,C,M四点共面的充要条件是λ=.故选B. (2)证明:如图,连接AC.因为底面ABCD是平行四边形,F是BD的中点,所以F也是AC的中点.在△PAC中,E是PA的中点,所以EF∥PC,且EF=PC. 又因为=-,所以==-,所以由共面向量定理可知,向量,,共面. 变式　(1)ACD　[解析] 对于A,因为a-b=-(b-c)-(c-a),所以a-b,b-c,c-a共面,故A正确;对于B,假设存在λ,μ∈R,使得a+b=λ(b+c)+μ(c+a),整理得a+b=μa+λb+(λ+μ)c,则无解,即不存在λ,μ∈R,使得a+b=λ(b+c)+μ(c+a),所以a+b,b+c,c+a不共面,故B错误;对于C,因为b-c=(a+b)-(a+c),所以a+b,a+c,b-c共面,故C正确;对于D,因为a-2b+c=(-a+3b+2c)-(-3a+7b),所以a-2b+c,-a+3b+2c,-3a+7b共面,故D正确.故选ACD. (2)解:=-=-e1+3e2-4e3,=-=-5e1+2e2-e3,=-=-e1+2e2-4e3.设=x+y,则-e1+3e2-4e3=x(-5e1+2e2-e3)+y(-e1+2e2-4e3),因为为空间的一组基底,所以无解,所以,,不共面,所以P,A,B,C四点不共面. 探究点三 例3　解:(1)证明:由题得=-=-a+b+2c,=-=-4a-b+3c,=-=-a-2b-c,则=-+,所以M,A,B,C四点共面. (2)假设,,共面,设=m+n,即3a+3b=m(2a+4b+2c)+n(-a+2b+3c), 所以3a+3b=(2m-n)a+(4m+2n)b+(2m+3n)c, 则解得 所以=-,即,,共面,故,,不能作为空间向量的一组基底. 变式　(1)C　(2)3　[解析] (1)对于A,若x,y,z不全为0,则a,b,c共面,与题意矛盾,故A中说法正确;对于B,因为{a,b,c}是空间向量的一组基底,所以a,b,c不共面,故B中说法正确;对于C,因为a,b,c不共面,所以不存在实数x,y,使得a=xb+yc,故C中说法错误;对于D,若a+b,b-c,c+2a共面,则a+b=λ(b-c)+μ(c+2a),即无解,故a+b,b-c,c+2a不共面,则一定能构成空间向量的一组基底,故D中说法正确.故选C. (2)如图,连接AF,则=,故=+=+=++,而++=(+)+(+)+(+)=++=3,故k=3. 探究点四 例4　解:设=a,=b,=c,则|a|=|c|=2,|b|=4,a·b=b·c=c·a=0. (1)·=·(-)=·=b·=|b|2=42=16. (2)·=(+)·(+)=(-+)·(+)=·(a+c) =|c|2-|a|2=22-22=0. (3)·=(+)·(+)=·(+)=·=(-a+b+c)·=-|a|2+|b|2=2. 变式　(1)16　(2)　[解析] (1)由题得·=·=·=2×2×cos 60°=6,===12.因为=+=+×(+)=+(-+-)=(++),所以·(+)=(++)·(+)=(+2·++·+·)=×(12+12+12+6+6)=16. (2)∵=(++)2=(++)2=+++2·+2·+ 2·=1+1+4+0+2×1×2×cos 60°+2×1×2×cos 60°=10,∴||=,即线段AC1的长为. 【课堂评价】 1.D　[解析] p=2a=m+n,即p可由m,n线性表示,所以m,n,p共面.故选D. 2.B　[解析] 对于A,1+2-3=0≠1,故A错误;对于B,++=1,故B正确;对于C,2-2-1=-1≠1,故C错误;对于D,+-1=0≠1,故D错误.故选B. 3.C　[解析] 对于A,∵3a=2(a-b)+a+2b,∴3a,a-b,a+2b共面,不能构成空间向量的一组基底;同理可判断B,D中的三个向量不能构成空间向量的一组基底.故选C. 4.C　[解析] 连接ON,在四面体OABC中,M,N分别为OA,BC的中点,且=2,所以=+=+=+(-)=+=×+×(+)=++=a+b+c.故选C. 5.7　[解析] 由题图可知||=2,||=3,且⊥,则·=0,由题意可得·=-4,·=-6,因为=-=--,所以=(--)2=++-2·-2·+2·=16+4+9+8+12+0=49,所以||=7. 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1.2　空间向量基本定理 【学习目标】 1.掌握共线向量、共面向量的意义,掌握它们的表示方法; 2.掌握向量共线、共面的充要条件及其推论,并能证明空间向量的共线、共面问题; 3.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念. ◆ 知识点一　共线向量基本定理与共面向量定理 1.共线向量基本定理:如果a≠0且b∥a,则存在　　　　的实数λ,使得b=λa.  2.平面向量基本定理:如果平面内两个向量a与b　　　　　,则对该平面内任意一个向量c,存在唯一的实数对(x,y),使得c=xa+yb.  3.共面向量定理:如果两个向量a,b　　　　　,则向量a,b,c共面的充要条件是,存在　　　　的实数对(x,y),使c=xa+yb.  4.判断空间中四点是否共面的方法:如果A,B,C三点　　　　　,则点P在平面ABC内的充要条件是,存在　　　　的实数对(x,y),使=x+y.  【诊断分析】 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若p=xa+yb,则p与a,b共面. (　 ) (2)若p与a,b共面,则p=xa+yb. (　 ) (3)若=x+y,则P,M,A,B四点共面. (　 ) (4)若P,M,A,B四点共面,则=x+y. (　 ) ◆ 知识点二　空间向量基本定理 1.定理:如果空间中的三个向量a,b,c　　　　,那么对空间中的任意一个向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得　　　　　　　　.  2.基底:空间中不共面的三个向量a,b,c组成空间向量的一组基底{a,b,c}. 3.基向量:基底{a,b,c}中a,b,c都称为基向量. 4.空间向量基本定理的三个关注点: (1)空间任意向量:用空间三个不共面的向量a,b,c可以线性表示出空间中任意一个向量,而且表示的结果是唯一的. (2)基底的选取:空间中任意三个不共面的向量都可以构成空间向量的一组基底. (3)特别地,当a,b,c不共面时,可知xa+yb+zc=0⇔x=y=z=0. 【诊断分析】 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)空间中的任何一个向量都可用三个给定的向量表示. (　 ) (2)若{a,b,c}为空间向量的一组基底,则a,b,c都不是零向量. (　 ) (3)若向量a,b与任何向量都不能构成空间向量的一组基底,则a与b共线. (　 ) (4)任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底. (　 ) ◆ 探究点一　共线问题 例1 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E在A1D1上,且=2,F在A1C上,且=.求证:E,F,B三点共线. 变式 [2026·重庆杨家坪中学高二期中] 如图,在四面体ABCD中,M,N分别为△BCD,△ACD的重心,G为AM上一点,且GM∶GA=1∶3.设=a,=b,=c. (1)请用{a,b,c}表示; (2)求证:B,G,N三点共线. [素养小结] 对于空间中的三点P,A,B,可通过证明下列结论来证明三点共线: (1)存在实数λ,使=λ成立. (2)对空间任一点O,有=+t(t∈R). (3)对空间任一点O,有=x+y(x+y=1). ◆ 探究点二　空间向量的共面问题 例2 (1)已知A,B,C三点不共线,O是平面ABC外任意一点,若=++λ,则A,B,C,M四点共面的充要条件是 (　 ) A.λ= B.λ= C.λ=- D.λ=- (2)[2025·北京工业大学附中高二月考] 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,E,F分别为PA,BD的中点.求证:向量,,共面. 变式 (1)(多选题)已知空间向量a,b,c不共面,则下列各选项中的三个向量共面的有(　 ) A.a-b,b-c,c-a B.a+b,b+c,c+a C.a+b,a+c,b-c D.a-2b+c,-a+3b+2c,-3a+7b (2)[2026·贵阳高二月考] 已知为空间的一组基底,且=2e1-e2+3e3,= e1+2e2-e3,=-3e1+e2+2e3,=e1+e2-e3.判断P,A,B,C四点是否共面. [素养小结] 证明空间中三个向量共面或四点共面的方法: (1)向量表示:设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合,即若p=xa+yb,则向量p,a,b共面. (2)若存在有序实数组(x,y,z)使得对于空间中任一点O,有=x+y+z,且x+y+z=1成立,则P,A,B,C四点共面. (3)用平面:寻找一个平面,设法证明这些向量与该平面平行. ◆ 探究点三　空间向量基本定理 例3 已知{a,b,c}是空间向量的一组基底,且=2a+b-c,=3a+3b, =2a+4b+2c,=-a+2b+3c. (1)求证:M,A,B,C四点共面. (2),,能否作为空间向量的一组基底?若能,试用这组基底表示;若不能,请说明理由. 变式 (1)已知{a,b,c}是空间向量的一组基底,则下列说法错误的是 (　 ) A.若xa+yb+zc=0,则x=y=z=0 B.a,b,c两两共面,但a,b,c不共面 C.一定存在实数x,y,使得a=xb+yc D.a+b,b-c,c+2a一定能构成空间向量的一组基底 (2)在四面体ABCD中,点G为△ABD的重心,E,F,H分别为AB,BD,DA的中点,且++=k,则实数k=　　　　.  [素养小结] 用基底表示向量的步骤: (1)定基底:根据已知条件,确定三个不共面的向量构成空间向量的一组基底. (2)找目标:用确定的基底(或已知基底)表示目标向量,需要根据向量的三角形法则及平行四边形法则,结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简,最后求出结果. (3)下结论:利用空间向量的一组基底{a,b,c}可以表示出空间所有向量.表示要彻底,结果中只能含有a,b,c,不能含有其他形式的向量. ◆ 探究点四　空间向量基本定理的应用 例4 [2026·山东日照高二期中] 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=4,E为AB1的中点,F为A1D1的中点.试计算: (1)·;(2)·;(3)·. 变式 (1)[2025·江苏南京玄武高级中学高二月考] 在正三棱锥P-ABC中,O是△ABC的中心,PA=AB=2,则·(+)=　　　　.  (2)如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是边长为1的正方形,且∠A1AD=∠A1AB=60°,AA1=2,则线段AC1的长为 　　　　.  [素养小结] 利用空间向量基本定理求空间向量的数量积、长度、夹角的技巧: 根据条件确定基底,一般用已知的向量(向量的长度已知,夹角已知等)作为基底,有时也可自设基底,然后用基底表示要求的向量,可证平行、垂直,可求两向量的数量积、夹角,可求向量的长度. 1.若a与b不共线,且m=a+b,n=a-b,p=2a,则 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.m,n,p共线 B.m与p共线 C.n与p共线 D.m,n,p共面 2.对空间中任意一点O和不共线的三点A,B,C,能得到A,B,C,D四点共面的是 (　 ) A.=+2-3 B.=++ C.=2-2- D.=+- 3.已知a,b,c是不共面的三个向量,则下列能构成空间向量的一组基底的是 (　 ) A.3a,a-b,a+2b B.2b,b-2a,b+2a C.a,2b,b-c D.c,a+c,a-c 4.[2025·福建福州金山中学高二期末] 如图,已知M,N分别是四面体OABC的棱OA,BC的中点,点P在线段MN上,且=2,设向量=a,=b,=c,则=(　 ) A.a+b+c B.a+b+c C.a+b+c D.a+b+c 5.[2026·重庆万州区高二期中] 如图,已知A,B,C是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点,点P为平面ABC外一点,且<,>=<,>=120°,||=4,若=+,则||=　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $