1.2.1 空间中的点、直线与空间向量 导学案(Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（人教B版）

本讲义聚焦空间向量在立体几何中的应用，系统梳理空间点的向量表示、直线方向向量的定义与性质，以及利用空间向量证明线线平行垂直、求线线角和公垂线段长度的方法，构建从点到线再到线线关系的知识支架。 资料通过诊断分析辨析易混概念培养数学思维，结合长方体、“曲池”几何体等实例引导学生用数学眼光抽象空间关系，例题变式助力课堂教学，素养小结与练习题帮助学生用数学语言表达逻辑，课后可查漏补缺，提升空间观念与推理能力。

1.2　空间向量在立体几何中的应用 1.2.1　空间中的点、直线与空间向量 【学习目标】 1.了解空间中的点与空间向量的关系,理解直线的方向向量; 2.掌握利用空间向量证明两条直线平行或垂直的方法; 3.掌握利用空间向量求空间中两条直线所成的角的方法; 4.了解公垂线段的概念并会求其长度. ◆ 知识点一　用向量表示点的位置 一般地,如果在空间中指定一点O,那么空间中任意一点P的位置,都可以由向量　　　　唯一确定,此时,通常称为点P的　　　　　　　.  ◆ 知识点二　直线的方向向量 一般地,如果l是空间中的一条直线,v是空间中的一个非零向量,且表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合,则称v为直线l的一个方向向量.此时,也称向量v与直线l平行,记作v∥l. (1)如果A,B是直线l上两个不同的点,则v=就是直线l的一个方向向量; (2)如果v是直线l的一个方向向量,则对任意的实数λ≠0,空间向量λv也是直线l的一个方向向量,而且直线l的任意两个方向向量都平行; (3)空间中直线l的位置可由直线l的一个方向向量v和l上的一个已知点唯一确定; (4)如果v1,v2分别是直线l1,l2的一个方向向量,则v1∥v2⇔l1∥l2或l1与l2重合. 【诊断分析】 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)直线l的方向向量是唯一的. (　 ) (2)若两条直线平行,则它们的方向向量的方向相同或相反. (　 ) (3)若向量a是直线l的一个方向向量,则向量ka也是直线l的一个方向向量. (　 ) ◆ 知识点三　空间中两条直线所成的角 (1)设v1,v2分别是空间中直线l1,l2的方向向量,且l1与l2所成角的大小为θ,则θ=　　　 　(如图①所示)或θ=　　　　　　(如图②所示),所以sin θ=　　　　　, cos θ=　　　　　　　.  ① ② (2)<v1,v2>=⇔　　　　⇔v1·v2=　　　　.  【诊断分析】 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)两条异面直线所成的角与两直线方向向量所成的角相等或互补. (　 ) (2)若两直线的方向向量分别为v1,v2,两直线所成的角为θ,则cos θ=. (　 ) (3)空间中两直线所成的角唯一确定,则两条直线对应的方向向量所成的角也唯一确定. (　 ) ◆ 知识点四　异面直线与空间向量 1.异面直线的判定 设v1,v2分别是空间中直线l1,l2的方向向量. (1)若l1与l2异面,则v1与v2是不可能平行的. (2)若v1与v2不平行,则l1与l2的位置关系为　　　　　　　　.  (3)若A∈l1,B∈l2,则l1与l2异面时,v1,v2,　　　　　;若v1,v2,不共面,则l1与l2异面.(如图①②所示)  2.异面直线间的距离 一般地,如果l1与l2是空间中两条异面直线,M∈l1,N∈l2,　　　　　,　　　　　,则称MN为l1与l2的公垂线段.两条异面直线的公垂线段的长,称为这两条异面直线之间的　　　　.  【诊断分析】 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)不相交的直线就是异面直线. (　 ) (2)任意两条异面直线的公垂线段都只有一个. (　 ) (3)设v1,v2分别是空间中直线l1,l2的方向向量,若v1,v2不平行,则两条直线是异面直线.(　 ) ◆ 探究点一　确定空间中点的位置 例1 [2026·广西南宁东盟中学高二月考] 已知O是坐标原点,A,B,C三点的坐标分别为(3,4,0),(2,5,5),(0,3,5). (1)若=(-),求点P的坐标; (2)若P是线段AB上的一点,且=,求点P的坐标. 变式 (1)已知点A(4,1,3),B(2,-5,1),C为线段AB上一点,且=,则点C的坐标为(　 ) A. B. C. D. (2)已知点P是过点A(0,1,1)且方向向量为v=(1,0,0)的直线上的一点,若||=3,则点P的坐标是　　　　.  [素养小结] 解决空间中点的位置问题常转化为向量共线、向量相等问题来解决,设出要求点的坐标,利用已知条件得关于要求点坐标的方程或方程组,求解即可. ◆ 探究点二　直线的方向向量 例2 (多选题)已知一条直线经过A(2,3,2),B(-1,0,5)两点,下列向量中可以是该直线的方向向量的为 (　 ) A.a=(1,1,1) B.a=(-1,-1,1) C.a=(-3,-3,3) D.a=(1,1,-1) 变式 (1)已知直线l的一个方向向量为a=(2,1,3),且直线l经过点A(0,y,6)和点B(-2,-4,z),则y=　　　　,z=　　　　.  (2)已知点M(1,-2,0),N(2,2,1)在直线l上,写出直线l的一个方向向量a=　　　　.  [素养小结] 对直线方向向量的两点说明: (1)方向向量的选取:在直线上任取两点P,Q,可得到直线的一个方向向量. (2)方向向量的不唯一性:直线的方向向量不是唯一的,可以分为方向相同和相反两类,它们都是共线向量.解题时,可以选取坐标最简的方向向量. ◆ 探究点三　用直线的方向向量处理线线平行、垂直问题 例3 (1)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=3,AA1=2,P,Q,R,S分别是AA1,D1C1,AB,CC1的中点.求证:PQ∥RS. (2)在正方体ABCD-A'B'C'D'中,M,N分别是BB',CA'的中点.求证:MN⊥BB',MN⊥A'C. 变式 [2025·贵州遵义高二期中] 如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为1,M是BC的中点,N是CC1上的点,且CN=CC1.求证:AB1⊥MN. [素养小结] 判定直线平行、垂直的向量法: 设v1,v2分别为l1与l2的一个方向向量. (1)v1∥v2⇔l1∥l2或l1与l2重合. (2)v1与v2不平行⇔l1与l2不平行. (3)v1·v2=0⇔v1⊥v2⇔l1⊥l2. (4)v1·v2≠0⇔v1与v2不垂直⇔l1与l2不垂直. ◆ 探究点四　利用向量法求空间中两条直线所成的角 例4 (1)[2026·河南周口高二月考] 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是BD,A1B1,C1D1的中点,则异面直线AG与EF所成角的余弦值是 (　 ) A. B. C. D. (2)[2025·长春高二期末] 在如图所示的多面体中,PA⊥平面ABC,平面QBC⊥平面ABC,且AB=BC=AC=2PA=2,QB=QC=,则异面直线BP与CQ所成角的余弦值为(　 ) A. B. C. D. 变式 [2026·北京海淀区高二月考] 中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种被称为“曲池”的几何体.该几何体是上、下底面均为扇环的柱体.在如图所示的“曲池”中,AA1与扇形A1B1C1D1所在平面垂直,记弧AB、弧DC的长度分别为l1,l2,已知AA1=3AD=3,l1=2l2=,E为弧A1B1的中点,则直线CE与DB1所成角的余弦值为(　 ) A. B. C. D. [素养小结] 利用向量法求异面直线所成角的步骤: (1)确定空间两条直线的方向向量; (2)求两个向量夹角的余弦值; (3)确定线线角与向量夹角的关系:当向量夹角为锐角时,即为两直线的夹角;当向量夹角为钝角时,两直线的夹角为向量夹角的补角. 注意:异面直线所成角的范围是,故异面直线所成角的余弦值一定大于或等于0. 1.已知点A(-1,0,),B(1,4,0)在直线l上,则下列向量中可以是直线l的方向向量的为(　 ) A.(2,4,-) B. (1,2,) C.(0,4,) D. (-1,-2,) 2.(多选题)已知向量a=(4,4,5),b=(-7,x,y)分别是直线l1,l2的一个方向向量,若l1⊥l2,则下列四个选项中符合题意的有 (　 ) A.x=2,y=4 B.x=4,y=3 C.x=,y=3 D.x=6,y=2 3.在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,AB=1,PD=2,则异面直线PA与BD所成角的余弦值为 (　 ) A.- B. C.- D. 4.[2026·长春东北师大附中高二月考] 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列关系正确的是(　 ) A.AD⊥B1C B.A1D⊥BD C.AC1⊥A1C D.AC1⊥CD1 5.如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD为正方形且PD=AD,E,F分别是PC,PB的中点,M,N,P,Q分别为AD,AB,BC,DC的中点,以F为起点作直线DE的一个方向向量可以为　　　　.(用图中字母表示)  学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2　空间向量在立体几何中的应用 1.2.1　空间中的点、直线与空间向量 【课前预习】 知识点一 　位置向量 知识点二 诊断分析 (1)×　(2)√　(3)× 知识点三 (1)<v1,v2>　π-<v1,v2>　sin<v1,v2>　|cos<v1,v2>|　(2)l1⊥l2　0 诊断分析 (1)√　(2)×　(3)× 知识点四 1.(2)相交或异面　(3)不共面　2.MN⊥l1　MN⊥l2　距离 诊断分析 (1)×　(2)√　(3)× 【课中探究】 探究点一 例1　解:(1)=(-1,1,5),=(-3,-1,5),则=(-)=(2,2,0)=(1,1,0),所以点P的坐标为(1,1,0). (2)设点P的坐标为(x,y,z),则=(x-3,y-4,z),=(2-x,5-y,5-z), 因为P是线段AB上的一点,且=,所以(x-3,y-4,z)=(2-x,5-y,5-z),即解得故点P的坐标为. 变式　(1)C　(2)(±3,1,1)　[解析] (1)设C(x,y,z),则=(x-4,y-1,z-3),由题知=(-2,-6,-2).∵C为线段AB上一点,且=,∴=,即(x-4,y-1,z-3)=(-2,-6,-2),解得x=,y=-1,z=.故选C. (2)设P(x,y,z),则=(x,y-1,z-1).因为∥v,所以=λv(λ∈R),即解得即P(λ,1,1),则||==3,解得λ=±3,所以点P的坐标是(±3,1,1). 探究点二 例2　BCD　[解析] 由题知,=(-3,-3,3),则与向量共线的非零向量均为该直线的方向向量.A选项中的向量(1,1,1)与不共线,所以不是直线AB的方向向量,B,C,D中的向量与共线,所以是直线AB的方向向量.故选BCD. 变式　(1)-3　3　(2)(1,4,1)(答案不唯一)　[解析] (1)因为=(-2,-4-y,z-6),所以==,解得y=-3,z=3. (2)因为点M(1,-2,0),N(2,2,1)在直线l上,所以=(1,4,1),t(t∈R,且t≠0)都是直线l的方向向量.故直线l的一个方向向量可以为a=(1,4,1). 探究点三 例3　证明:(1)方法一:以D为坐标原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则P(3,0,1),Q(0,2,2),R(3,2,0),S(0,4,1),所以=(-3,2,1),=(-3,2,1),所以=,所以∥,又P∉直线RS,所以PQ∥RS. 方法二:连接A1Q,RC,因为=+=-+,=+=+-,所以=,所以∥,又P∉直线RS,所以PQ∥RS. (2)不妨设正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1,以A为坐标原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系, 则M,B(1,0,0),C(1,1,0),A'(0,0,1),N,B'(1,0,1),∴=,=(1,1,-1),=(0,0,1). ∵·=·(1,1,-1)=0,·=·(0,0,1)=0,∴MN⊥A'C,MN⊥BB'. 变式　证明:取AB的中点O,取A1B1的中点O1,连接OO1,OC,易知OB,OC,OO1两两垂直,故以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系, 则A,B,C,N,B1.∵M为BC的中点, ∴M,∴=,又=(1,0,1),∴·=-+0+=0,∴⊥, ∴AB1⊥MN. 探究点四 例4　(1)C　(2)A　[解析] (1)以D为坐标原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.设AB=2,则A(2,0,0),E(1,1,0),F(2,1,2),G(0,1,2),所以=(-2,1,2),=(1,0,2).设异面直线AG与EF所成的角为θ, 则cos θ=|cos<,>|===.故选C. (2)将该多面体补成底面边长为2,高为2的正三棱柱,取BC的中点O,连接OQ,OA.以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则B(1,0,0),P(0,,1),C(-1,0,0),Q(0,0,2),所以=(-1,,1),=(1,0,2),所以cos<,>===.故选A. 变式　B　[解析] 设上底面圆心为O1,下底面圆心为O,连接OO1,O1D1,O1C1,OD,OC,在下底面作OF⊥OB,以O为坐标原点,分别以,,的方向为x轴、y轴、z轴正方向,建立空间直角坐标系,如图.因为AA1=3AD=3,l1=2l2=,所以扇环对应的两个圆的半径之比为1∶2,AD=1,所以=,所以OD=1,OA=2,则D,E,即D,E(1,,3),又C(1,0,0),B1(2,0,3),所以=(0,,3),=,所以||==2,||==4,·=×0+×+3×3=,所以cos<,>===,所以直线CE与DB1所成角的余弦值为.故选B. 【课堂评价】 1.A　[解析] 由题得=(2,4,-),则与向量共线的非零向量均为直线l的方向向量,只有选项A满足题意,故选A. 2.AC　[解析] 由题意知a·b=-28+4x+5y=0,即4x+5y=28,只有A,C满足上式.故选AC. 3.D　[解析] 以D为原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(1,0,0),P(0,0,2),B(1,1,0),∴=(1,0,-2),=(-1,-1,0),∴|cos<,>|===,∴异面直线PA与BD所成角的余弦值为.故选D. 4.D　[解析] 以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则A(1,0,0),D(0,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A1(1,0,1),D1(0,0,1),B1(1,1,1),C1(0,1,1),所以=(-1,0,0),=(-1,0,-1),=(-1,0,-1),=(-1,-1,0),=(-1,1,1),=(-1,1,-1),=(0,-1,1).对于A,·=-1×(-1)=1≠0,故A错误;对于B,·=-1×(-1)=1≠0,故B错误;对于C,·=-1×(-1)+1×1+1×(-1)=1≠0,故C错误;对于D,·=-1×0+1×(-1)+1×1=0,故D正确.故选D. 5.　[解析] 如图,连接MF,EF.∵E,F分别是PC,PB的中点,∴EF∥BC且EF=BC.又BC∥AD且BC=AD,∴EF∥AD且EF=AD,则EF∥DM且EF=DM,∴四边形DEFM是平行四边形,∴MF∥DE,∴就是直线DE的一个方向向量. 学科网（北京）股份有限公司 $