1.2.2 空间的平面与空间向量（高效培优讲义）高二数学人教B版选择性必修第一册

本高中数学讲义聚焦“空间的平面与空间向量”核心知识点，系统梳理平面法向量的定义、性质及求法步骤，构建利用法向量证明线面平行垂直、面面平行垂直的知识框架，结合三垂线定理形成完整学习支架。 资料以“知识点+题型”分层设计，通过即学即练与变式训练强化理解，如求平面法向量的待定系数法培养数学思维的推理能力，用向量语言表述位置关系提升数学语言表达能力，课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺，发展空间观念与创新意识。

1.2.2 空间的平面与空间向量 教学目标 1.能用向量语言描述平面，理解平面的法向量。 2.能用向量语言表述直线与平面的垂直与平行关系。 教学重难点 1.重点 （1）平面法向量的概念； （2）运用向量法解决直线与平面的平行垂直、平面与平面的的平行垂直。 2.难点 用向量方法解决直线与平面的垂直、平行问题。 知识点01 平面的法向量 1.平面的法向量 (1)定义：如果α是空间中的一个平面，n是空间中的一个非零向量，且表示n的有向线段所在的直线与平面α垂直，则称n为平面α的一个法向量，也称n与平面α垂直，记作n⊥α. (2)性质：①如果直线l垂直平面α，则直线l的任意一个方向向量都是平面α的一个法向量. ②如果n是平面α的一个法向量，则对任意实数λ≠0，空间向量λn也是平面α的一个法向量，而且平面α的任意两个法向量都平行. ③如果n为平面α的一个法向量，A为平面α上一个已知的点，则对于平面α上任意一点B，向量一定与向量n垂直，即·n＝0，从而可知平面α的位置可由n和A唯一确定. 2.利用待定系数法求平面法向量的步骤 (1)设向量：设平面的一个法向量为n＝(x，y，z). (2)选向量：在平面内选取两个不共线向量，. (3)列方程组：由列出方程组. (4)解方程组： (5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1). (6)得结论：得到平面的一个法向量. 【注意】(1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量. (2)一个平面的法向量有无限多个，它们相互平行. 【即学即练】 （25-26高二上·安徽阜阳·期末）在空间直角坐标系中，已知点，则平面ABC的一个法向量可以是（    ） A． B． C． D． 知识点02 利用法向量证明空间中的位置关系 1.直线与平面平行、垂直的判定 如果v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，则 n∥v⇔l⊥α； n⊥v⇔l∥α，或l⊂α. 2.两平面平行、垂直的判定 如果n1，n2分别是平面α1，α2的一个法向量，则 n1⊥n2⇔α1⊥α2； n1∥n2⇔α1∥α2，或α1与α2重合. 知识点03 三垂线定理 如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直.简记为：和射影垂直，则和斜线垂直. 三垂线定理的逆定理 如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直. 简记为：和斜线垂直，则和射影垂直. 【即学即练】 1.（2026高二·全国·专题练习）如图，长方体中，，， (1)求证：平面平面; (2)线段上，是否存在点，使得平面. 2.（25-26高二上·浙江嘉兴·阶段检测）在正四棱柱中，，P为的中点. (1)取中点，中点，求证：平面. (2)求证：平面平面 题型01 求平面的法向量 【典例1】（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中，，．则平面ABC的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二上·广东·期末）点，平面的一个法向量为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·广西百色·期末）在平面中，，，则平面的一个法向量（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·山东临沂·期中）已知，则平面的一个法向量的坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式4】（25-26高二上·广东广州·期末）已知正方体的棱长为1，以A为原点，为单位正交基底，建立空间直角坐标系，则平面的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 题型02 利用空间向量证明线面平行 【典例1】（25-26高二下·山西临汾·期末）在空间直角坐标系中，向量为平面的一个法向量，向量为直线l的一个方向向量，则“”是“”的（   ） A．充分条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】（25-26高二下·上海·期末）已知和是直线上两个不同的点，是平面的一个法向量，则“”是“”的（     ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分又非必要 【变式2】（25-26高一下·广东广州·期中）直三棱柱的所有棱长均为4，D为侧棱的中点，M为侧棱上一点，N为上一点，且，且平面，则的长为（    ） A．1 B．2 C． D． 【变式3】（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）如图，在空间直角坐标系中，正四棱锥P-ABCD的侧棱长与底边长都为，点M，N分别在PA，BD上，且．试用向量法证明． (1)求证：； (2)取PC的中点E，求证：平面． 【变式4】（2026高三·全国·专题练习）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，在阳马中，侧棱平面，且，E为BC的中点，F为DP上的点，．当时，证明：平面． 题型03 利用空间向量证明面面平行 【典例1】（25-26高二下·江苏徐州·期中）若平面的一个法向量为，平面平面，则平面的法向量的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二下·江苏徐州·阶段检测）若平面的一个法向量为，平面内的一个向量为，且，则的值是（    ） A． B． C．3 D．9 【变式2】（25-26高二下·全国·课堂例题）已知四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点、分别是、的中点，点为线段上一点．确定点的位置，使平面平面，并证明． 【变式3】（2026高二·全国·专题练习）如图，长方体中，，， (1)求证：平面平面; (2)线段上，是否存在点，使得平面. 题型04 利用空间向量证明线面垂直 【典例1】（25-26高二下·湖南衡阳·期末）已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】（25-26高二下·全国·课堂例题）如图，在三棱锥中，平面，，，，是棱上一点，且，为棱的中点．证明：平面； 【变式2】（25-26高二上·安徽安庆·期末）已知平面的一个法向量为，若直线平面，则___________. 【变式3】（25-26高二下·福建宁德·期中）如图，正四棱柱中，为的中点，在线段上，为的中点. (1)证明：； (2)证明：平面. 题型05 利用空间向量证明面面垂直 【典例1】（25-26高二下·全国·课堂例题）如图，四棱锥的底面是平行四边形，且底面，点是线段的中点，，，．求证：平面平面. 【变式1】（25-26高二下·甘肃平凉·阶段检测）如图所示，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，侧面底面． (1)证明：； (2)证明：平面平面． 【变式2】（25-26高二下·全国·课堂例题）在正方体中，，，M分别是，，的中点，求证： (1)． (2)平面. (3)平面平面． 【变式3】（25-26高二上·山东济宁·期中）棱长为2的正方体中，为的中点，为中点，为的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面平面． 题型06 利用空间向量解决探究性问题 【典例1】（25-26高二下·江苏盐城·期中）在棱长为1的正方体中，点、分别是棱、的中点，动点在正方形（包括边界）内运动.若平面，则的最小值是_______. 【变式1】（25-26高三上·宁夏中卫·阶段检测）如图1，在边长为的菱形中，于点，将沿折起到的位置，使，如图2．    (1)求多面体的体积； (2)在线段上是否存在点，使平面平面?若存在，求出的值；若不存在请说明理由． 【变式2】（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）如图，在棱长为2的正方体中，，，，分别是棱，，，的中点，点，分别在棱，上移动，且. (1)当时，证明：直线平面； (2)是否存在，使平面平面？若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由. 1．（25-26高二下·上海宝山·期末）空间中，两条直线、的方向向量分别为、，则“”是“”的（     ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 2．（25-26高二下·山西临汾·期末）在空间直角坐标系中，向量为平面的一个法向量，向量为直线l的一个方向向量，则“”是“”的（   ） A．充分条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）直线的方向向量为，平面的法向量分别为，则下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（25-26高二下·四川成都·期中）已知直线平面，且的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则实数的值为（   ） A． B．2 C．2或 D．或1 5．（25-26高二下·宁夏银川·开学考试）直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．（25-26高二下·湖南衡阳·期末）已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（25-26高二上·云南文山·阶段检测）我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程：，化简得．类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为（     ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·甘肃平凉·期中）（多选）已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果，，.给出下列结论，其中错误的是（    ） A． B．AP⊥AD C．AP⊥AB D．是平面ABCD的一个法向量 9．（25-26高二下·河北秦皇岛·开学考试）已知向量是平面的一个法向量，向量为直线的一个方向向量，若，则的值为____. 10．（25-26高二下·福建宁德·期中）已知直线所在方向向量为，平面的一个法向量为，则直线和平面的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．在面内或平行 11．（25-26高二下·上海宝山·期末）空间中，已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为（常数）．若，则实数的值为__________． 12．（25-26高一下·广东肇庆·期末）直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则_________． 13．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）若表示不同的平面，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面与平面（    ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．不确定 14．（24-25高二上·广东深圳·阶段检测）若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（    ） A．或 B． C． D．与斜交 15．（25-26高二上·四川成都·期中）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，，试建立恰当的空间直角坐标系，求： (1)平面的一个法向量 (2)直线的一个方向向量和平面的一个法向量． 16．（25-26高二下·全国·课后作业）如图，正三棱柱的底面边长为4，侧棱长为4，是棱的中点.以棱的中点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.求直线的方向向量与平面的法向量； 17.（25-26高二下·全国·课堂例题）如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，平面，且，点是的中点，求证：直线平面； 18．（25-26高二下·江苏苏州·期中）如图，在平行六面体中，，． (1)用表示，并求的长； (2)求证：平面． 19．（25-26高二上·河北·期中）如图，在四棱锥中，底面，，，，，为上一点，且． (1)求证：平面； (2)求证：平面． 20．（25-26高二·全国·寒假作业）在底面是矩形的四棱锥中，底面，点分别是的中点，. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 1.（25-26高二上·湖南衡阳·期末）（多选）已知，，，下列说法正确的是（   ） A． B．与平行的一个单位向量是 C． D．平面的一个法向量是 2.（2026·广东肇庆·二模）（多选）在正四棱柱中，，点分别为棱上的点（含端点），则（    ） A．当为的中点时，存在点，使得平面 B．当为的中点时，存在点，使得平面平面 C．对任意给定的点，存在点，使得 D．对任意给定的点，存在点，使得 3．（25-26高三上·湖北·开学考试）（多选）如图所示，在三棱锥A﹣BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，M是AD的中点，P是BM的中点，，则下列结论正确的有（　　） A．BC⊥平面ACD B．存在λ，使得PQ⊥平面ACD C．存在λ，使得PQ∥平面BCD D．若存在λ，使得PQ⊥平面ABD，则 4．（25-26高二上·山东枣庄·期末）（多选）在平行六面体中，，．则（   ） A． B．的长为6 C．平面 D． 5．（25-26高二上·湖北孝感·期末）（多选）在正方体中，为底面的中心，则（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 6．（25-26高三上·湖北咸宁·期末）（多选）在长方体中，底面为正方形，分别是的中点，则下列结论一定成立的是（   ） A． B．平面 C． D．平面 7.（25-26高二下·甘肃平凉·期中）（多选）已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果，，.给出下列结论，其中错误的是（    ） A． B．AP⊥AD C．AP⊥AB D．是平面ABCD的一个法向量 8.（2026·湖北黄石·一模）（多选）如图，在正方体中，称各面正方形的对角线为面对角线，称为体对角线．设分别为的中点，则（   ） A．存在面对角线与平面平行 B．存在体对角线与平面平行 C．存在面对角线与平面垂直 D．存在体对角线与平面垂直 9.（25-26高二下·江苏泰州·期末）在长方体中，已知，，点在平面上的射影为． (1)设，求，的值； (2)已知，，其中．若平面，求的值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2.2 空间的平面与空间向量 教学目标 1.能用向量语言描述平面，理解平面的法向量。 2.能用向量语言表述直线与平面的垂直与平行关系。 教学重难点 1.重点 （1）平面法向量的概念； （2）运用向量法解决直线与平面的平行垂直、平面与平面的的平行垂直。 2.难点 用向量方法解决直线与平面的垂直、平行问题。 知识点01 平面的法向量 1.平面的法向量 (1)定义：如果α是空间中的一个平面，n是空间中的一个非零向量，且表示n的有向线段所在的直线与平面α垂直，则称n为平面α的一个法向量，也称n与平面α垂直，记作n⊥α. (2)性质：①如果直线l垂直平面α，则直线l的任意一个方向向量都是平面α的一个法向量. ②如果n是平面α的一个法向量，则对任意实数λ≠0，空间向量λn也是平面α的一个法向量，而且平面α的任意两个法向量都平行. ③如果n为平面α的一个法向量，A为平面α上一个已知的点，则对于平面α上任意一点B，向量一定与向量n垂直，即·n＝0，从而可知平面α的位置可由n和A唯一确定. 2.利用待定系数法求平面法向量的步骤 (1)设向量：设平面的一个法向量为n＝(x，y，z). (2)选向量：在平面内选取两个不共线向量，. (3)列方程组：由列出方程组. (4)解方程组： (5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1). (6)得结论：得到平面的一个法向量. 【注意】(1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量. (2)一个平面的法向量有无限多个，它们相互平行. 【即学即练】 （25-26高二上·安徽阜阳·期末）在空间直角坐标系中，已知点，则平面ABC的一个法向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设平面ABC的法向量为，根据法向量的定义计算. 【详解】由题意得，，， 设平面ABC的法向量为，则， 令，则， 则是平面ABC的一个法向量. 故选：D 知识点02 利用法向量证明空间中的位置关系 1.直线与平面平行、垂直的判定 如果v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，则 n∥v⇔l⊥α； n⊥v⇔l∥α，或l⊂α. 2.两平面平行、垂直的判定 如果n1，n2分别是平面α1，α2的一个法向量，则 n1⊥n2⇔α1⊥α2； n1∥n2⇔α1∥α2，或α1与α2重合. 知识点03 三垂线定理 如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直.简记为：和射影垂直，则和斜线垂直. 三垂线定理的逆定理 如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直. 简记为：和斜线垂直，则和射影垂直. 【即学即练】 1.（2026高二·全国·专题练习）如图，长方体中，，， (1)求证：平面平面; (2)线段上，是否存在点，使得平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在. 【分析】（1）以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间坐标系，分别求平面和平面的法向量，利用法向量平行即可证明面面平行； （2），当垂直与平面的法向量时平面，求的值即可. 【详解】（1）因为长方体，所以，，两两垂直， 以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间坐标系： 由题知， 则， 设平面的法向量为， 则，故可取， 设平面的法向量为， 则，故可取， 因为，所以平面平面. （2）设线段上存在点使得平面， 由（1）得，，平面的法向量， 所以， 由解得， 即为线段中点时，平面. 2.（25-26高二上·浙江嘉兴·阶段检测）在正四棱柱中，，P为的中点. (1)取中点，中点，求证：平面. (2)求证：平面平面 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的法向量再应用向量相等即可证明； （2）先应用线面垂直判定定理证明平面，再应用面面垂直判定定理证明. 【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，. 设平面的法向量为，则. 令，解得，.. 又， 所以平面. （2）因为，又因为平面，平面， 所以平面， 所以平面，平面， 所以平面平面. 题型01 求平面的法向量 【典例1】（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中，，．则平面ABC的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】写出点和向量的坐标，然后建立方程组求解法向量的坐标. 【详解】由题意，,. 设平面的法向量为. 则，令，则. 平面的一个法向量 【变式1】（25-26高二上·广东·期末）点，平面的一个法向量为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面法向量的求解过程求解即可． 【详解】设平面的一个法向量， ， 则，不妨取，则， ，即平面的一个法向量为． 故选：B． 【变式2】（25-26高二上·广西百色·期末）在平面中，，，则平面的一个法向量（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设平面的一个法向量为，由列式求解即可. 【详解】设平面的一个法向量为，则，∴， ∴，令，得. 故选：B. 【变式3】（25-26高二上·山东临沂·期中）已知，则平面的一个法向量的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设平面的法向量，利用，求得向量的坐标，进而判断选项所给向量是否与共线，即可得答案. 【详解】设平面的法向量，则， 因为，所以， 令，则，所以平面的一个法向量为． 所以平面的一个法向量的坐标为， 又，故坐标为的向量不与共线，故A错误； 又，故坐标为的向量与共线，故B正确； 又，故坐标为的向量不与共线，故C错误； 又，故坐标为的向量不与共线，故D错误. 故选：B． 【变式4】（25-26高二上·广东广州·期末）已知正方体的棱长为1，以A为原点，为单位正交基底，建立空间直角坐标系，则平面的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，求出点坐标，然后方程组求出平面的一个法向量. 【详解】建立坐标系并确定点坐标，如图 以为原点，为单位正交基底，正方体棱长为1，则各点坐标为：，，， ， 设平面的法向量为，则 且， 即 化简得，， 令，则，，即法向量为. 故选：A. 题型02 利用空间向量证明线面平行 【典例1】（25-26高二下·山西临汾·期末）在空间直角坐标系中，向量为平面的一个法向量，向量为直线l的一个方向向量，则“”是“”的（   ） A．充分条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据题意，利用平面的法向量与直线的方向向量的关系，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由向量为平面的一个法向量，向量为直线l的一个方向向量， 若，则，所以，解得，所以充分性不成立； 反之：若，可得，此时， 可得与不垂直，所以与不平行，所以必要性不成立， 所以是的既不充分也不必要条件. 【变式1】（25-26高二下·上海·期末）已知和是直线上两个不同的点，是平面的一个法向量，则“”是“”的（     ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分又非必要 【答案】B 【详解】若，由于是直线的方向向量，这意味着直线的方向向量与平面的法向量垂直。 此时直线可能与平面平行，但也可能在平面内，因此不能推出，故充分性不成立； 若，则直线的方向向量必定与平面的法向量垂直，即一定成立，故必要性成立， 综上，“”是“”的必要不充分条件. 【变式2】（25-26高一下·广东广州·期中）直三棱柱的所有棱长均为4，D为侧棱的中点，M为侧棱上一点，N为上一点，且，且平面，则的长为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【详解】 因为三棱柱为直三棱柱，所以可以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 为中点，故， 在上，且，向量， ， 因此的坐标为：， 在上，设，则：. 接着求平面的法向量，设法向量为， ，，， 令，则，. 因为平面，所以， 化简得：， 所以. 【变式3】（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）如图，在空间直角坐标系中，正四棱锥P-ABCD的侧棱长与底边长都为，点M，N分别在PA，BD上，且．试用向量法证明． (1)求证：； (2)取PC的中点E，求证：平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，求得向量和的坐标，得到，即可证得． （2）求得向量和平面的法向量，得到，即可证得平面． 【详解】（1）证明：正四棱锥的侧棱长与底边长都为， 可得，且， 由点， 则， 因为， 所以，所以． （2）解：由点，可得 设平面的一个法向量为，则， 取，可得，所以， 又由点，可得， 则， 又因为平面，所以平面． 【变式4】（2026高三·全国·专题练习）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，在阳马中，侧棱平面，且，E为BC的中点，F为DP上的点，．当时，证明：平面． 【答案】证明见解析 【分析】建系并标点，可证平面，所以为面的法向量，利用空间向量证明线面平行. 【详解】因为侧棱平面，底面为长方形， 以A为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 又因为E为的中点，F为上的点，，即F为的中点， 则，可得， 又因为侧棱平面，平面，所以， 又因为底面为长方形，有， 平面，，所以平面， 所以为面的法向量. 又因为，所以， 又平面，所以平面． 题型03 利用空间向量证明面面平行 【典例1】（25-26高二下·江苏徐州·期中）若平面的一个法向量为，平面平面，则平面的法向量的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】平面的一个法向量为，平面平面， 设平面的法向量为， 平面的法向量， 选项A，，与不平行，故选项A错误； 选项B，，与不平行，故选项B错误； 选项C，，与平行，故选项C正确； 选项D，，与不平行，故选项D错误. 【变式1】（25-26高二下·江苏徐州·阶段检测）若平面的一个法向量为，平面内的一个向量为，且，则的值是（    ） A． B． C．3 D．9 【答案】B 【详解】由，为平面的法向量，为平面内的一个向量，得， 则，所以. 【变式2】（25-26高二下·全国·课堂例题）已知四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点、分别是、的中点，点为线段上一点．确定点的位置，使平面平面，并证明． 【答案】证明见解析 【分析】先根据题设建立适当空间直角坐标系，求证出为的中点时，进而得，再利用线面平行判定定理和面面平行判定定理即可证明结论． 【详解】已知底面是正方形，平面，故可以为坐标原点，建立如下图所示空间直角坐标系， 则由题可得， ， 令，则， 所以即， 当时，为的中点， 此时， ，所以即， 所以，又平面，在平面外， 平面，平面， 又，平面， 平面平面． 【变式3】（2026高二·全国·专题练习）如图，长方体中，，， (1)求证：平面平面; (2)线段上，是否存在点，使得平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在. 【分析】（1）以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间坐标系，分别求平面和平面的法向量，利用法向量平行即可证明面面平行； （2），当垂直与平面的法向量时平面，求的值即可. 【详解】（1）因为长方体，所以，，两两垂直， 以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间坐标系： 由题知， 则， 设平面的法向量为， 则，故可取， 设平面的法向量为， 则，故可取， 因为，所以平面平面. （2）设线段上存在点使得平面， 由（1）得，，平面的法向量， 所以， 由解得， 即为线段中点时，平面. 题型04 利用空间向量证明线面垂直 【典例1】（25-26高二下·湖南衡阳·期末）已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据线面垂直的判定与性质以及法向量和方向向量的关系判断即可. 【详解】由直线方向向量和平面法向量的定义可知： 由“”可以推出“”，反之，由“”也可以推出“”， 所以“”是“”的充分必要条件，故C正确. 【变式1】（25-26高二下·全国·课堂例题）如图，在三棱锥中，平面，，，，是棱上一点，且，为棱的中点．证明：平面； 【答案】证明见解析 【分析】以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用向量法可证，进而利用线面垂直的判定定理证明即可. 【详解】以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系． 由已知：，得． 在上且，故，. 为中点，则．计算向量：． ， . 又，平面，故平面． 【变式2】（25-26高二上·安徽安庆·期末）已知平面的一个法向量为，若直线平面，则___________. 【答案】1 【分析】由直线平面得到，则存在实数使得，计算得解. 【详解】因为直线平面，所以，又， 所以存在实数使得， 即，所以， 解得，所以． 故答案为：. 【变式3】（25-26高二下·福建宁德·期中）如图，正四棱柱中，为的中点，在线段上，为的中点. (1)证明：； (2)证明：平面. 【答案】(1) 如图，以D为原点，AD所在直线为轴，DC所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系， ， ， 所以， 所以. (2) 方法一： 由（1）知，， 设平面的一个法向量为， 由且， 得， 令得， 所以， 可得：， 所以：平面. 方法二： 由（1）可知：， 有， 所以， 因为平面，平面，且， 所以平面. 【分析】（1）空间向量法求解，求出，得到，从而得到结论； （2）方法一：求出平面DEB的一个法向量，求出，从而得到证明；方法二：求出，利用向量垂直的公式及线面垂直的判定定理得解. 【详解】（1）略 （2）略 题型05 利用空间向量证明面面垂直 【典例1】（25-26高二下·全国·课堂例题）如图，四棱锥的底面是平行四边形，且底面，点是线段的中点，，，．求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【分析】过点作直线，交直线于点，以点为原点，直线，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，分别求出平面的一个法向量和平面的一个法向量，利用向量关系证明平面平面. 【详解】过点作直线，交直线于点， 则，，所以． 以点为原点，直线，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，． ，，，， 设平面的一个法向量为， 则，取，． 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 因为，所以平面平面． 【变式1】（25-26高二下·甘肃平凉·阶段检测）如图所示，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，侧面底面． (1)证明：； (2)证明：平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】第（1）问先建立空间直角坐标系，写出各点坐标，利用向量数量积为零证明线线垂直； 第（2）问取中点构造向量，证明该向量与平面内两条相交直线垂直，从而得到线面垂直，再推出面面垂直. 【详解】（1）证明：取的中点，连接， 因为平面底面，为等边三角形， 所以底面． 以的中点为坐标原点，以所在直线为轴，过点与平行的直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示． 不妨设，则，． 所以，，，． 所以，． 因为， 所以，所以． （2）取的中点，连接， 则． 因为，， 所以， 所以，即． 因为， 所以，即． 又因为，，平面， 所以平面． 因为平面， 所以平面平面． 【变式2】（25-26高二下·全国·课堂例题）在正方体中，，，M分别是，，的中点，求证： (1)． (2)平面. (3)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理作答. （2）设，，，作为一组基底，分别表示向量，证明，即可. （3）建立坐标系，结合空间向量分别求出法向量，再根据面面垂直空间向量证法可证结论； 【详解】（1）在正方体中，以点为原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 令正方体棱长为1，则， 于是， 有， 因此，所以. （2）设，，，则.则. ∴. ∴，即. 同理.∵，平面， ∴平面. （3）在正方体中，以为原点，建立空间直角坐标系如图所示，设正方体的棱长为1， 则，，，，， 设平面的一个法向量为， 由令，则，，即. ，，设平面的一个法向量为， 由令，则，，即. ，即， 所以平面平面． 【变式3】（25-26高二上·山东济宁·期中）棱长为2的正方体中，为的中点，为中点，为的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面平面． 【答案】(1)证明：以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系， 则， 法一：， 设平面的一个法向量为，由， 取，得，所以，故， 又平面，所以平面； 法二：，所以，故， 又平面，平面，所以平面； (2)证明：由（1）知， 设平面的一个法向量为， 由，令，得， 设平面的一个法向量为， 由，令，得， 由，得，故平面平面. 【分析】（1）构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点坐标，法一：求出平面的法向量，再证，即可证；法二：根据坐标得到，再由线面平行的判定证明结论. （2）首先分别求出平面、平面的法向量，再证法向量垂直，即可证结论. 【详解】（1）略 （2）略 题型06 利用空间向量解决探究性问题 【典例1】（25-26高二下·江苏盐城·期中）在棱长为1的正方体中，点、分别是棱、的中点，动点在正方形（包括边界）内运动.若平面，则的最小值是_______. 【答案】 【分析】以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，设点，其中，由平面，利用空间向量法可得出，利用空间向量的模长公式结合二次函数的性质可求得线段的最小值. 【详解】以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 设点，其中， 设平面的法向量为，，， 则，取，可得， ， 因为平面，则，即， 所以， 因为，则当时，取最小值， 即的最小值为. 【变式1】（25-26高三上·宁夏中卫·阶段检测）如图1，在边长为的菱形中，于点，将沿折起到的位置，使，如图2．    (1)求多面体的体积； (2)在线段上是否存在点，使平面平面?若存在，求出的值；若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）根据线面垂直判定定理证明平面，再由线面垂直性质有，由线面垂直判定定理证明平面，最后应用三棱锥体积公式计算求解； （2）令，，分别求出平面和平面的法向量，利用法向量垂直求出参数，即可得答案. 【详解】（1）因为，即, 又，，平面， 所以平面，又平面，所以. 又，，平面，所以平面， 在直角三角形中，，， 所以. （2）因为平面，，以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，    则，，， 假设存在线段上存在一点，使得平面平面，设点，，则，所以， 所以，，，， 设平面的法向量为， 则，令，则，，所以， 设平面的法向量， 则，令，则，，所以， 若平面平面，则，解得， 所以在线段上存在点，使得平面平面，且. 【变式2】（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）如图，在棱长为2的正方体中，，，，分别是棱，，，的中点，点，分别在棱，上移动，且. (1)当时，证明：直线平面； (2)是否存在，使平面平面？若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，. 【分析】（1）建立空间直角坐标系，即可得到，从而得证； （2）求出面与面的法向量，由已知条件得出这两个平面的法向量垂直，结合求出实数的值，即可得解. 【详解】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下空间直角坐标系， 则、、、，， 所以，，则，故，即， 又平面，平面，因此平面； （2）由（1）知、、、、， 设平面的一个法向量为，，， 由，可得，取，则， 设平面的一个法向量为，，， 由，可得，取，则， 当平面平面时，则. 所以，整理可得，，解得. 所以当时平面平面. 【变式3】 1．（25-26高二下·上海宝山·期末）空间中，两条直线、的方向向量分别为、，则“”是“”的（     ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】C 【分析】根据空间两直线所成角，以及直线方向向量的定义，结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】充分性：若两条直线的方向向量​​，说明方向向量夹角为， 因此两直线所成角为，可得，充分性成立， 必要性：若，说明两直线所成角为，即方向向量夹角为， 因此，必要性成立， 因此“​​”是“”的充分必要条件. 2．（25-26高二下·山西临汾·期末）在空间直角坐标系中，向量为平面的一个法向量，向量为直线l的一个方向向量，则“”是“”的（   ） A．充分条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据题意，利用平面的法向量与直线的方向向量的关系，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由向量为平面的一个法向量，向量为直线l的一个方向向量， 若，则，所以，解得，所以充分性不成立； 反之：若，可得，此时， 可得与不垂直，所以与不平行，所以必要性不成立， 所以是的既不充分也不必要条件. 3．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）直线的方向向量为，平面的法向量分别为，则下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】通过分析不同位置情况下的向量的乘积，即可得出结论. 【详解】由题意， 选项A，若，共线，，A错误； 选项B，若，垂直，则，B正确； 选项C，若，共线，，C错误； 选项D，若，共线，，D错误. 4．（25-26高二下·四川成都·期中）已知直线平面，且的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则实数的值为（   ） A． B．2 C．2或 D．或1 【答案】C 【分析】通过向量垂直的坐标表示列出等式求解即可. 【详解】因为直线平面， 则， 即， 解得或. 5．（25-26高二下·宁夏银川·开学考试）直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【详解】选项，若直线，直线的方向向量平行于平面，而平面的法向量，因此，故正确. 选项，若直线方向向量，则直线，不是，故错误. 选项，若平面，则两个平面的法向量，故错误. 选项，若直线，则直线的方向向量与平面的法向量平行，不是垂直，故错误. 故选：. 6．（25-26高二下·湖南衡阳·期末）已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据线面垂直的判定与性质以及法向量和方向向量的关系判断即可. 【详解】由直线方向向量和平面法向量的定义可知： 由“”可以推出“”，反之，由“”也可以推出“”， 所以“”是“”的充分必要条件，故C正确. 7．（25-26高二上·云南文山·阶段检测）我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程：，化简得．类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合题意可得出所求平面的点法式方程，化简即可. 【详解】由题意可知经过点的平面的一个法向量为， 该平面的方程为，即. 8．（25-26高二下·甘肃平凉·期中）（多选）已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果，，.给出下列结论，其中错误的是（    ） A． B．AP⊥AD C．AP⊥AB D．是平面ABCD的一个法向量 【答案】ACD 【分析】根据空间向量减法的坐标运算及空间向量垂直的坐标表示、法向量的概念即可求解. 【详解】由题意，因为，，， 所以，故选项A错误； 因为，所以AP⊥AD，故选项B正确； 因为，所以AP与AB不垂直，故选项C错误； 若是平面ABCD的一个法向量，则平面ABCD，因为AB平面ABCD，所以 ,矛盾，所以不是平面ABCD的一个法向量，故选项D错误. 9．（25-26高二下·河北秦皇岛·开学考试）已知向量是平面的一个法向量，向量为直线的一个方向向量，若，则的值为____. 【答案】 【分析】由直线垂直平面，推得直线的方向向量与平面的法向量平行，利用向量平行的坐标比例关系列方程求解. 【详解】已知，， 若，则与平行， 所以，则，即. 10．（25-26高二下·福建宁德·期中）已知直线所在方向向量为，平面的一个法向量为，则直线和平面的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．在面内或平行 【答案】D 【详解】设直线所在方向向量，平面的一个法向量为， ，所以 ，由此可得直线在平面内或与平面平行. 11．（25-26高二下·上海宝山·期末）空间中，已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为（常数）．若，则实数的值为__________． 【答案】 【详解】若直线，则直线的方向向量与平面的法向量垂直，即， 由，，则， 解得：. 12．（25-26高一下·广东肇庆·期末）直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则_________． 【答案】0 【详解】因为，所以直线的方向向量与平面的法向量垂直，即. 代入，，得， 整理得，解得. 13．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）若表示不同的平面，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面与平面（    ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．不确定 【答案】C 【详解】由题设，且， 综上，法向量既不平行，也不垂直，则平面与平面相交. 14．（24-25高二上·广东深圳·阶段检测）若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（    ） A．或 B． C． D．与斜交 【答案】A 【详解】由，得， 所以或. 15．（25-26高二上·四川成都·期中）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，，试建立恰当的空间直角坐标系，求： (1)平面的一个法向量 (2)直线的一个方向向量和平面的一个法向量． 【答案】(1) (2)方向向量，法向量为 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 因为底面为矩形，所以两两垂直， 以为坐标原点，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的法向量为， 则，令，则， 则平面的一个法向量为； （2）直线的一个方向向量为. 设平面的法向量为. 因为， 由，得，令，则. 所以平面的一个法向量为. 16．（25-26高二下·全国·课后作业）如图，正三棱柱的底面边长为4，侧棱长为4，是棱的中点.以棱的中点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.求直线的方向向量与平面的法向量； 【答案】，； 【分析】根据给定的坐标系，写出相关点的坐标，再求出直线的方向向量及平面的法向量. 【详解】依题意，， 直线的方向向量； 而，设平面的法向量， 则，取，得， 所以平面的法向量. 17.（25-26高二下·全国·课堂例题）如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，平面，且，点是的中点，求证：直线平面； 【答案】证明:因为平面，平面， 所以，又， 故可以分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，因为， 所以， 又因为是的中点，所以， 所以， 设平面的一个法向量为， 则有，取，则， 所以，所以， 所以直线平面. 【分析】建立适当空间直角坐标系，设，写出相关点的坐标，求出向量和平面的一个法向量，利用即可证明； 【详解】略. 18．（25-26高二下·江苏苏州·期中）如图，在平行六面体中，，． (1)用表示，并求的长； (2)求证：平面． 【答案】(1)， (2) ，，， 所以 ， 所以，所以. ， 所以，所以. 又，，平面， 所以平面. 【分析】（1）根据向量的加法可得，结合向量的数量积及向量的模的计算公式计算即可. （2）结合向量的数量积得到，，可得，，再利用线面垂直的判定定理证明即可. 【详解】（1）平行六面体中，，. . ， 所以. （2）略 19．（25-26高二上·河北·期中）如图，在四棱锥中，底面，，，，，为上一点，且． (1)求证：平面； (2)求证：平面． 【答案】(1) 证明：因为底面，平面，所以， 因为，所以两两垂直， 如图，以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 因为，所以，所以， 所以，， 所以，，即，， 又因为，平面， 所以平面； (2) 证明：由可得， 则， ，， 设平面的法向量为， 则，即 令，得，， 则是平面的一个法向量， 因为，所以， 因为平面，所以平面． 【分析】（1）以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明线面垂直； （2）利用空间向量法证明线面平行. 【详解】（1）略 （2）略 20．（25-26高二·全国·寒假作业）在底面是矩形的四棱锥中，底面，点分别是的中点，. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）建立如图所示空间直角坐标系，利用空间向量表示可得； （2）利用空间向量表示，再结合面面垂直的判定定理可证明. 【详解】（1）以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则.点分别是的中点，，. ，即. 又平面平面，所以平面. （2）证明：由（1）可知，， 因为， 所以，即. 又，所以平面. 因为平面，所以平面平面. 1.（25-26高二上·湖南衡阳·期末）（多选）已知，，，下列说法正确的是（   ） A． B．与平行的一个单位向量是 C． D．平面的一个法向量是 【答案】ABD 【分析】根据空间向量的线性运算、模、数量积的坐标表示求解判断ABC；根据法向量的求法求解判断D. 【详解】对于A，，，则， 所以，故A正确； 对于B，由于， 则与平行的单位向量是，故B正确； 对于C，因为， 所以， 则与不垂直，故C错误； 对于D，设平面的一个法向量是， 则，得， 令，得平面的一个法向量是，故D正确. 故选：ABD 2.（2026·广东肇庆·二模）（多选）在正四棱柱中，，点分别为棱上的点（含端点），则（    ） A．当为的中点时，存在点，使得平面 B．当为的中点时，存在点，使得平面平面 C．对任意给定的点，存在点，使得 D．对任意给定的点，存在点，使得 【答案】ACD 【分析】A注意到当点与点重合时，，据此可判断；B取中点，连接与，由平面平面，平面与平面有一个公共点，可判断；C注意到，据此可判断；D以分别为轴建立空间直角坐标系，设2]，通过方程是否有解可判断. 【详解】A，如图1，当点与点重合时，平面平面，所以平面，正确； B，如图2，取中点，连接与，易证明平面平面， 此时，平面与平面有一个公共点，且显然与平面不重合， 所以不存在点使得平面与平面平行，错误； C，如图3，因为平面平面，所以， 所以对任意给定的点，存在与点重合的点，使得，正确； D，如图4，以分别为轴建立空间直角坐标系， 不妨设，则，设2]， 则，假设，则，即， 所以，因为， 所以对于任意，存在使得成立， 即对任意给定的点，存在点，使得，正确. 3．（25-26高三上·湖北·开学考试）（多选）如图所示，在三棱锥A﹣BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，M是AD的中点，P是BM的中点，，则下列结论正确的有（　　） A．BC⊥平面ACD B．存在λ，使得PQ⊥平面ACD C．存在λ，使得PQ∥平面BCD D．若存在λ，使得PQ⊥平面ABD，则 【答案】ACD 【分析】通过向量的方法解决空间中线面位置关系问题 【详解】因为平面，平面，所以； 因为，，与相交于点且都在平面上，所以平面； 故选项A正确. 因为直线，，两两垂直，所以，，可构成空间的一组基 进而化简得 若要使得与平面垂直，等价于与平面的法向量共线 即且同时成立，显然不存在这样的 故选项B错误. 要使与平面平行，等价于与平面的法向量垂直 当时，，即与平面平行 故选项C正确. 要使与平面垂直，等价于且 则，可得； ，将代入 得，即 故选项D正确. 4．（25-26高二上·山东枣庄·期末）（多选）在平行六面体中，，．则（   ） A． B．的长为6 C．平面 D． 【答案】AC 【分析】利用数量积的定义计算，判断选项A；利用向量加法计算求出，再利用向量模长公式计算，判断选项B；利用数量积为零证明垂直关系，再利用线面垂直定理证明结论，判断选项C；求出相关向量及模长，再利用向量夹角余弦公式求解，从而判断选项D． 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，， ，，故B错误； 对于C，， ， ， ， ， ，平面， 平面，故C正确； ， ， ， ，故D错误． 故选：AC． 5．（25-26高二上·湖北孝感·期末）（多选）在正方体中，为底面的中心，则（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【答案】ABC 【分析】建立空间直角坐标系，写出所需的点坐标，选项A，利用平行即可得出；选项B，求出平面的法向量，利用法向量与向量数量积为0即可判断；选项C，利用即可验证；选项D，利用即可说明. 【详解】设正方体的棱长为1，以为坐标原点，分别以所在直线 为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示： 则，， 选项A，因为， 所以，所以， 由平面，平面， 所以平面，故A正确； 选项B，， 设平面的一个法向量为， 由 由，令，则， 所以平面的一个法向量为， 由， 所以，直线不在平面内， 故平面，故B正确； 选项C，由， 因为， 所以， 又因为，所以平面，故C正确； 选项D：由， 则，所以与不垂直， 所以与平面不垂直，故D错误， 故选：ABC. 6．（25-26高三上·湖北咸宁·期末）（多选）在长方体中，底面为正方形，分别是的中点，则下列结论一定成立的是（   ） A． B．平面 C． D．平面 【答案】ABD 【分析】设，建系并标点，利用空间向量判断空间中线面关系，进而逐项分析判断. 【详解】设， 以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 对于选项A：因为， 则，所以，故A正确； 对于选项B：因为， 且，则，， 且，平面，所以平面，故B正确； 对于选项C：因为， 则，所以不与垂直，故C错误； 对于选项D：因为，， 则，可得， 且平面，平面，所以平面，故D正确； 故选：ABD. 7.（25-26高二下·甘肃平凉·期中）（多选）已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果，，.给出下列结论，其中错误的是（    ） A． B．AP⊥AD C．AP⊥AB D．是平面ABCD的一个法向量 【答案】ACD 【分析】根据空间向量减法的坐标运算及空间向量垂直的坐标表示、法向量的概念即可求解. 【详解】由题意，因为，，， 所以，故选项A错误； 因为，所以AP⊥AD，故选项B正确； 因为，所以AP与AB不垂直，故选项C错误； 若是平面ABCD的一个法向量，则平面ABCD，因为AB平面ABCD，所以 ,矛盾，所以不是平面ABCD的一个法向量，故选项D错误. 8.（2026·湖北黄石·一模）（多选）如图，在正方体中，称各面正方形的对角线为面对角线，称为体对角线．设分别为的中点，则（   ） A．存在面对角线与平面平行 B．存在体对角线与平面平行 C．存在面对角线与平面垂直 D．存在体对角线与平面垂直 【答案】AD 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由空间关系的向量求法可得出结论. 【详解】以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如下图： 设正方体的棱长为2，则， 所以， 设平面的一个法向量为, 所以， 令，则，可得； 对于A，由可得， 因此，又平面，所以平面，所以A正确； 对于B，， 体对角线所在的向量为：， 易知, 因此不存在体对角线与平面平行，即B错误； 对于C，面对角线所在的向量为：， ， 显然以上向量与法向量均不平行， 所以不存在面对角线与平面垂直，即C错误； 对于D，显然，所以平面，即D正确. 9.（25-26高二下·江苏泰州·期末）在长方体中，已知，，点在平面上的射影为． (1)设，求，的值； (2)已知，，其中．若平面，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，根据题意得到垂直关系，从而得到方程组，求出答案； （2）求出平面的法向量，根据平行关系得到，从而得到方程，结合（1）中结论得到方程，求出答案 【详解】（1）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ， 设，则， 点在平面上的射影为，所以⊥平面， 因为平面，所以⊥，⊥， ， 由得 ， 即， ， 由得， 故，则， 将其代入中，可得， 整理得，解得， （2）， 设，， 因为，，所以， 所以，， 所以，， 所以， 则， 设平面的法向量为， 则， 令，则，，其中． 故， 若平面，则，即， 故， 其中，故， 上式可化简得， 若，此时，故，即两点重合，不合要求，舍去， 故，解得 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $