1.1.1 空间向量及其运算 第2课时 空间向量的数量积 (Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（人教B版）

第2课时　空间向量的数量积 【学习目标】 1.掌握空间向量的夹角概念及表示方法; 2.掌握两个空间向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算规律; 3.能运用数量积求向量夹角和判断向量的共线与垂直. ◆ 知识点一　两个空间向量的夹角 1.定义:给定两个非零向量a,b,在空间中任选一点O,作=a,=b,则大小在[0,π]内的∠AOB称为a与b的　　　　,记作　　　　.  2.如果<a,b>=,则称向量a与向量b　　　　,记作　　　　.  3.规定:零向量与任意向量都垂直. ◆ 知识点二　空间向量的数量积及性质 1.定义:两个非零向量a与b的数量积(也称为内积)定义为　　　　　　　　　　　.  规定:零向量与任意向量的数量积为0. 2.投影:一般地,给定空间向量a和空间中的直线l(或平面α),过a的始点和终点分别作直线l(或平面α)的垂线,假设垂足为A,B,则向量称为a在直线l(或平面α)上的投影. a与b的数量积等于a在b上的投影的数量与b的长度的　　　　.  3.空间向量数量积的性质 (1)a⊥b⇔　　　　.  (2)a2=a·a=　　　　.  (3)|a·b|≤|a||b|. (4)(λa)·b=λ(a·b). (5)a·b=b·a(交换律). (6)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律). 注:不满足结合律(a·b)·c=a·(b·c). 【诊断分析】 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)对于向量a,b,若a·b=0,则一定有a=0或b=0. (　 ) (2)对于非零向量a,b,c,若a·b=a·c,则b=c.(　 ) (3)若a·b<0,则<a,b>是钝角. (　 ) (4)若a,b均为非零向量,则a·b=|a||b|是a与b共线的充要条件. (　 ) (5)已知e1,e2是夹角为60°的两个单位向量,则向量e1在向量e2上的投影为e1.(　 ) (6)若a,b为空间向量,则(a+b)·(a-b)=a2-b2. (　 ) ◆ 探究点一　空间向量的夹角 例1 在正方体ABCD-A'B'C'D'中,求: (1)<,>,<,>,<,>; (2)<,>,<,>; (3)<,>,<,>. 　　　　　 　　　　　 　　　　　 变式 在正四面体ABCD中,点E,F分别是AC,AD的中点,则与的夹角为(　 ) A.30° B.60° C.120° D.150° [素养小结] 求两向量夹角的关键是把两向量平移到一个公共起点,找到向量的夹角,再利用解三角形的知识求角,注意向量夹角的范围是[0,π]. ◆ 探究点二　空间向量的数量积运算 例2 [2026·长沙高二月考] 在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,·=(　 ) A.4 B.4 C.2 D.2 变式 如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=AB=2,∠BAD=,∠BAA1=∠A1AD=,则·= (　 ) A.-8 B.8 C.-4 D.4 [素养小结] (1)空间向量数量积运算的两种方法: ①利用定义:利用a·b=|a||b|cos<a,b>并结合运算律进行计算. ②利用图形:计算两个向量的数量积,可先将两向量平移到同一顶点,利用图形寻找夹角,再代入数量积公式进行计算. (2)在几何体中求空间向量数量积的步骤: ①首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式. ②利用向量的运算律将数量积展开. ③利用a·b=|a||b|cos<a,b>求解. ◆ 探究点三　空间向量数量积的应用 例3 (1)在三棱锥O-ABC中,OA,OB,OC两两垂直,OA=OB=OC,则+与的夹角为 (　 ) A.30° B.45° C.60° D.90° (2)[2025·武汉高二期末] 在棱长为6的正四面体ABCD中,点P与Q满足=,=2,则||=　　　.  变式 (1)[2025·湖南常德高二期中] 已知空间向量a,b,c两两夹角均为60°,其模均为1,则|a+b-2c|=　　　　.  (2)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为1的正方形,侧棱AA1=2,且∠A1AB=∠A1AD=120°,则AC1=　　　　,直线BD1与直线AC所成角的余弦值为　　　　.  [素养小结] 利用空间向量的数量积公式可求空间向量的夹角、模以及解决与垂直有关的问题.常用性质 有: (1)a⊥b⇔a·b=0; (2)cos<a,b>=; (3)|a|==. 1.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各组向量的夹角为45°的是 (　 ) A.与 B.与 C.与 D.与 2.已知正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1,且=a,=b,=c,则(4a+b-2c)·(2a-3b+c)=(　 ) A.1 B.2 C.3 D.-1 3.在四面体ABCD中,∠ABD=∠BDC=90°,AC=2BD,则在上的投影为 (　 ) A. B. C. D. 4.在正四面体ABCD中,AB=2,若=2+,则·=　　　　.  5.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=4,AA1=5,∠BAD=90°,∠BAA1=∠DAA1=60°,则AC1的长为　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　空间向量的数量积 【课前预习】 知识点一 1.夹角　<a,b>　2.垂直　a⊥b 知识点二 1.a·b=|a||b|cos<a,b>　2.乘积 3.(1)a·b=0　(2)|a|2 诊断分析 (1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×　(6)√ [解析] (1)若a·b=0,则a=0或b=0或a⊥b. (2)若a·b=a·c,则a·(b-c)=0,此时无法判断b=c是否成立. (3)若a·b<0,则cos<a,b><0,则<a,b>是钝角或是平角. (4)因为非零向量a与b共线,所以向量a与b的夹角θ=0或θ=π,所以cos θ=1或cos θ=-1,当cos θ=1时,a·b=|a||b|cos θ=|a||b|,当cos θ=-1时,a·b=|a||b|cos θ=-|a||b|,所以a·b=|a||b|是a与b共线的充分不必要条件. (5)向量e1在向量e2上的投影为e2. 【课中探究】 探究点一 例1　解:(1)在正方体ABCD-A'B'C'D'中, ∵AA'⊥AB,AD⊥AB,AA'⊥AD, ∴<,>=,<,>=,<,>=. (2)在正方体ABCD-A'B'C'D'中,∵=,=-,∴<,>=0,<,>=π. (3)连接AC,BD,易知AD'=D'C=AC,BC'=DC'=BD,∴△AD'C和△BC'D都是等边三角形,∴<,>=,<,>=π-=. 变式　C　[解析] 由题意可得,=,所以<,>=<,>=180°-<,>=180°-60°=120°. 探究点二 例2　B　[解析] 在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,||=2,||=2,因为=,与的夹角为,所以与的夹角为,所以·=||·||cos=2×2×=4.故选B. 变式　C　[解析] 因为AA1=AD=AB=2,∠BAD=,∠BAA1=∠A1AD=,所以·=(+)(-)=(+)(-)=·+·--·=0+2×2×cos-22-2×2×cos=-4.故选C. 探究点三 例3　(1)C　(2)　[解析] (1)设OA=OB=OC=1,则(+)·=(+)·(-)=-·+·-·=1,|+|===,||=|-|===,所以cos<+,>===,所以+与的夹角为60°.故选C. (2)由题得||=||=||=6,∠BAC=∠BAD=∠CAD=60°,所以·=·=·=6×6×cos 60°=18.因为=-=(+)-=-+ +,所以==++||2-·-· +·=16+9+9-12-12+9=19,所以||=. 变式　(1)　(2)　　[解析] (1)|a+b-2c|=== = =. (2)因为=++,所以==+++ 2·+2·+2·=12+12+22+2×1×1×cos 90°+2×2×1×cos 120° +2×2×1×cos 120°=2,所以AC1=.因为=+,所以==++2·=12+12+0=2,所以||=.因为=++,所以==+++2·+2· +2·=12+12+22+2×1×1×cos 90°+2×1×2×cos 60°+2×1×2×cos 120°=6,所以||=,又·=(+)·(+)=(+)·(-+)=·-+·+ -·+·=0-1+1×2×cos 120°+1-0+1×2×cos 120°=-2,所以|cos<,>|===,所以直线BD1与直线AC所成角的余弦值为. 【课堂评价】 1.A　[解析] 对于A,因为=,结合正方体的性质可得与的夹角为45°,所以与的夹角为45°,故A正确;对于B,由与方向相反,结合A可知与的夹角为135°,故B不正确;对于C,因为=,结合正方体的性质知与垂直,所以与的夹角为90°,故C不正确;对于D,因为=,而与方向相反,所以与的夹角为180°,故D不正确.故选A. 2.C　[解析] 根据题意知<a,b>=<a,c>=<b,c>=90°,则a·b=a·c=b·c=0,所以原式=8a2-3b2-2c2=8-3-2=3,故选C. 3.B　[解析] 由题得·=·=0,=++,所以·=(++)·=,所以在上的投影为·=·=.故选B. 4.6　[解析] ·=(2+)·=2·+·=2×2×2×cos+2×2×cos=6. 5.　[解析] 依题意可得=16,=16,=25,·=4×4×cos 90°=0,·=4×5×cos 60°=10,·=4×5×cos 60°=10.∵=++,∴=+++2·+2·+2·=16+16+25+2×0+2×10+2×10=97,∴||=,即AC1的长为. 学科网（北京）股份有限公司 $