1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系（高效培优讲义）高二数学人教B版选择性必修第一册

本讲义聚焦空间向量的坐标与空间直角坐标系核心知识点，系统梳理从空间向量正交分解、坐标表示，到线性运算、数量积、模长及夹角的坐标公式，再到平行垂直的坐标判定，最后到空间直角坐标系建立与点坐标应用的递进式学习支架。 资料以结构化知识点配即学即练、分层题型（典例+变式）为特色，通过直三棱柱坐标求解等实例培养空间观念（数学眼光），变式训练提升推理能力（数学思维），坐标运算与实际问题结合强化模型意识（数学语言），课中助力分层教学，课后便于学生查漏补缺。

1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系 教学目标 1.理解空间向量正交分解的含义，掌握空间直角坐标系的构成。 2.熟练掌握空间向量坐标形式下的线性运算和数量积运算公式，掌握向量模长、夹角余弦值的坐标求解公式。 3.掌握空间向量平行、垂直的坐标判定条件，能利用坐标运算判断空间的平行、垂直关系。 4.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置，并进行相关运算。 教学重难点 1.重点 （1）运用坐标进行空间向量的线性运算； （2）运用坐标求解空间向量的模长和夹角； （3）能运用坐标判断空间向量的垂直和平行。 2.难点 应用空间直角坐标系解决问题。 知识点01 空间中向量的坐标 1.单位正交基底：一般地，如果空间向量的基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3都是单位向量，而且这三个向量两两垂直，就称这组基底为单位正交基底. 2.单位正交分解：在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解. 3.向量p的坐标：在单位正交基底下向量p＝xe1＋ye2＋ze3，则称有序实数组(x，y，z)为向量p的坐标，记作p＝(x，y，z)，其中x，y，z都称为p的坐标分量. 【注意】(1)零向量的坐标为(0，0，0). (2)书写向量坐标等号莫漏掉. (3)书写点的坐标等号不能要. 【即学即练】 （23-24高二上·湖北黄冈·阶段检测）已知点A在基底下的坐标为，其中，，，则点A在基底下的坐标为______． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用空间向量的线性运算求出基底表示的对应向量作答. 【详解】令坐标原点为，依题意，，而，，， 因此， 所以点A在基底下的坐标为. 故答案为： 知识点02 空间向量的运算与坐标的关系 若空间中两个向量a，b满足a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则： 向量运算 向量表示 坐标表示 相等 a＝b x1＝x2，y1＝y2，z1＝z2 加法 a＋b (x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2) 线性运算 μa＋vb (μx1＋vx2，μy1＋vy2，μz1＋vz2) 数量积 a·b x1x2＋y1y2＋z1z2 模 |a|＝ 夹角 cos〈a，b〉＝ 【即学即练】 1．（25-26高二下·湖北随州·期末）已知向量，向量，若，则__________． 【答案】4 【详解】，，， ，即， 解得． 2．（25-26高二下·上海宝山·期末）已知向量平行于向量，则__________． 【答案】 【详解】已知向量平行于向量， 则，解得， ． 3.（25-26高二上·浙江杭州·期中）（多选）已知空间向量则下列说法不正确的是（   ） A． B． C．与夹角余弦值为 D． 【答案】BC 【分析】根据向量的数量积为零判断AD，根据模长公式求解判断B，根据向量夹角的余弦公式求解判断C. 【详解】对于A，因为，故， 故，故A正确. 对于D，， 故即，故D正确. 对于B，，故B错误. 对于C，，,， 故，故C错误. 知识点03 空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直 若空间中两个向量a，b满足a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)(a≠0).则： (1)空间向量的平行：a∥b⇔b＝λa⇔ 当a的每一个坐标分量都不为零时，a∥b⇔. (2)空间向量的垂直：a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0. 【即学即练】 （25-26高二上·福建三明·期末）（多选）已知向量，，，则（   ） A． B． C．向量，的夹角为 D．向量在向量上的投影向量为 【答案】BD 【分析】对于AB，由空间向量垂直，平行坐标表示可判断选项正误；对于C，由空间向量夹角坐标公式可判断选项正误；对于D，由投影向量计算公式可判断选项正误. 【详解】对于A，，若，则存在实数，使， 从而，显然不存在，则两向量不平行，A错误； 对于B，，因， 且两向量均不为零向量，则两向量垂直，B正确； 对于C，，又，则，故C错误； 对于D，在上的投影向量为：，故D正确. 故选：BD 知识点04 空间直角坐标系 1.空间直角坐标系的建立 在空间中任意选定一点O作为坐标原点，选择合适的平面先建立平面直角坐标系xOy.然后过O作一条与xOy平面垂直的数轴z轴，这样建立的空间直角坐标系，记作Oxyz. (1)x轴、y轴、z轴是两两互相垂直的，都称为坐标轴. (2)通过每两个坐标轴的平面都称为坐标平面，分别记为xOy平面，yOz平面，zOx平面. (3)在平面内画空间直角坐标系Oxyz时，一般把x轴、y轴画成水平放置，x轴正方向与y轴正方向夹角为135°(或45°)，z轴与y轴(或x轴)垂直.如图(1)(2)所示. 2.在空间直角坐标系中，点M的坐标为(x，y，z)，x，y，z都称为点M的坐标分量，且x称为点M的横坐标(或x坐标)，y称为点M的纵坐标(或y坐标)，z称为点M的竖坐标(或z坐标). 3.卦限及各卦限内的符号：在空间直角坐标系中，三个坐标平面将不在坐标平面内的点分成了八个部分，每一部分都称为一个卦限，各卦限的点(x，y，z)的坐标符号为：第Ⅰ卦限(＋，＋，＋)，第Ⅱ卦限(－，＋，＋)，第Ⅲ卦限(－，－，＋)，第Ⅳ卦限(＋，－，＋)，第Ⅴ卦限(＋，＋，－)，第Ⅵ卦限(－，＋，－)，第Ⅶ卦限(－，－，－)，第Ⅷ卦限(＋，－，－). 【注意】(1)基向量：|e1|＝|e2|＝|e3|＝1，e1·e2＝e1·e3＝e2·e3＝0. (2)建系的条件：特殊图形以及有垂直关系的条件可考虑建系. (3)建系的要求：使尽可能多的点落在坐标轴或坐标平面上，充分利用几何图形的对称性. (4)坐标原点选择的不同，会导致点的坐标不同，但不会影响结果. 【即学即练】 （25-26高二下·江苏·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，且为的中点，，则的长为_________． 【答案】 【详解】在直三棱柱中，平面，且，所以两两垂直， 因此，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则由题意，可知， 又因为是的中点，所以的坐标为， 点满足，所以， 所以的坐标为， 从而． 知识点05 空间向量坐标的应用 1.空间直角坐标系下向量坐标 在空间直角坐标系下，如果指定单位向量e1，e2，e3的始点都在原点O，且它们的方向分别与x轴、y轴、z轴的正方向相同，则{e1，e2，e3}为单位正交基底，且向量的坐标与P点的坐标相同.即＝xe1＋ye2＋ze3＝(x，y，z)⇔P(x，y，z). 2.空间向量坐标的计算及应用 在空间直角坐标系中，A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)， 则(1)＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1). (2)||＝. (3)线段AB中点M的坐标为. 【注意】在空间直角坐标系中，有向线段表示的向量坐标为终点坐标减去起点坐标.特别地，当始点为坐标原点时，其坐标与终点坐标相同. 【即学即练】 （2026·江苏淮安·模拟预测）已知正方体的棱长为1，为平面内动点，则的最小值为（   ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】根据给定条件建立空间直角坐标系，求出点关于平面的对称点，再利用两点间线段最短求解. 【详解】在棱长为1的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，连接， 三棱锥是正四面体，令正的重心为，则， 因点即正的中心，则平面， 设，即点，则点与点关于平面对称， 由为平面内动点，得， 则， 当且仅当是线段与平面的交点时取等号， 所以的最小值为. 题型01 空间中向量的坐标 【典例1】（25-26高二下·甘肃庆阳·期末）已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标是________． 【答案】 【分析】根据空间向量的基本定理、向量的线性运算及向量相等求解即可. 【详解】由题意可知. 设， 所以，解得，则， 则以为基底时的坐标是． 【变式1】（25-26高二下·甘肃庆阳·期末）已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标是________． 【答案】 【分析】根据空间向量的基本定理、向量的线性运算及向量相等求解即可. 【详解】由题意可知. 设， 所以，解得，则， 则以为基底时的坐标是． 【变式2】（2025高二上·河南鹤壁·专题练习）已知向量在基底下的坐标是，则在基底下的坐标为______. 【答案】 【分析】依题意可得，设在基底下的坐标为，根据空间向量基本定理得到方程组，求出、、即可得解. 【详解】由题意可知，设在基底下的坐标为， 所以， 可得，故在基底下的坐标为. 故答案为： 【变式3】（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）定义：设是空间的一个基底，若向量，则称有序实数组为向量在基底下的坐标.已知是空间的基底，若是空间的另一个基底，若向量在基底下的坐标是，则向量在基底下的坐标是_____. 【答案】 【分析】先由向量在基底下的坐标，写出关于的线性组合，再整理成关于的一个线性组合，即得向量在基底下的坐标. 【详解】因向量在基底下的坐标是， 则， 故向量在基底下的坐标是. 故答案为： 【变式4】（25-26高二上·海南三亚·阶段检测）已知向量是空间的一组单位正交基底，向量是空间的另一组基底，若向量在基底下的坐标为，在基底下的坐标为，则___________． 【答案】4 【分析】利用空间向量基底的意义，结合相等向量列式求出即可. 【详解】由向量在基底下的坐标为，得， 由在基底下的坐标为， 得， 因此，所以. 故答案为：4 题型02 空间向量运算的坐标表示 【典例1】（25-26高二下·福建宁德·期中）已知，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的坐标运算法则求解. 【详解】已知，，，分别计算三个坐标： 坐标： 坐标： 坐标： 因此. 【变式1】（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）已知，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由空间向量的坐标运算即可求解. 【详解】由题意知，. 故选：C. 【变式2】（25-26高二下·湖南娄底·开学考试）已知，，，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得. 【变式3】（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）已知向量，向量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用向量线性关系的坐标运算求. 【详解】由，则，所以. 故选：D 【变式4】（24-25高二上·北京丰台·期末）已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量坐标的加减和数乘运算法则直接计算即可. 【详解】因为，，则. 故选：A. 题型03 空间向量共线、共面的坐标运算 【典例1】（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）已知向量，，若A，B，C三点共线，则______． 【答案】 【详解】由A，B，C三点共线，即，共线， 显然存在实数使得，即可得 所以可得. 【变式1】（25-26高二下·江苏淮安·期中）已知向量，，若A，B，C三点共线，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量共线的坐标表示计算即可. 【详解】由题意可知，即，解得. 【变式2】（25-26高二上·云南昆明·期末）已知向量，,则___________． 【答案】 【分析】由向量共线的坐标表示求解 【详解】因为，， 所以，， 因为，所以，解得. 故答案为：. 【变式3】（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）已知向量，，，若向量，，共面，则的值为（    ） A． B． C． D．6 【答案】C 【分析】根据向量共面的条件，，使得，再列方程组求解即可． 【详解】解：向量，，共面， ，使得， ，解得， ，． 题型04 空间向量数量积的坐标求解 【典例1】（25-26高二下·福建漳州·期末）已知向量 ，则等于（     ） A．2 B．1 C． D．0 【答案】A 【详解】 ，故选项A正确． 【变式1】（25-26高二下·甘肃武威·期末）已知空间向量，，则 _______． 【答案】3 【详解】因为空间向量，， 所以. 【变式2】（25-26高二下·江苏泰州·阶段检测）已知，，则（   ） A．21 B．8 C．68 D．-3 【答案】B 【详解】根据题意，， 则. 【变式3】（25-26高二上·河北秦皇岛·期末）已知向量，则（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【详解】由题意可得，则． 题型05 空间向量投影的坐标表示 【典例1】（25-26高二下·甘肃兰州·阶段检测）向量在向量上的投影长为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求投影向量，再求模即可. 【详解】因为向量， 所以， 所以向量在向量上的投影向量为：， 所以向量在向量上的投影长为：. 【变式1】（25-26高二上·云南文山·阶段检测）已知空间向量，，向量在向量上的投影向量坐标为__________． 【答案】 【详解】已知，， 则 ， . 故向量在向量上的投影向量为. 【变式2】（24-25高二上·山东淄博·阶段检测）已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是______. 【答案】 【分析】根据投影向量的知识求得正确答案. 【详解】向量在坐标平面上的投影向量是. 故答案为：. 【变式3】（25-26高二上·广西崇左·期末）已知向量，则向量在向量上的投影向量的模为______． 【答案】/ 【分析】先求出向量在向量上的投影向量，然后利用向量求模公式计算即可. 【详解】设向量与向量的夹角为， 因为向量， 所以，， 所以向量在向量上的投影向量为： ， 向量在向量上的投影向量的模为： ， 故答案为：. 题型06 空间向量的模和夹角 【典例1】（25-26高二下·广西桂林·期末）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】代入空间向量模的公式即可求出答案. 【详解】,. 【变式1】（25-26高二下·江苏连云港·期中）已知向量，向量，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，，得， 又均不为，所以与的夹角为． 【变式2】（25-26高二·全国·暑假作业）若，则_________． 【答案】 【详解】设， 依题意，，解得 同理可得， 则， 因此， 所以． 【变式3】（25-26高二下·湖南娄底·开学考试）已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是______． 【答案】 【详解】若共线则存在实数使得， 则， 即，方程组无解，即不存在实数使得共线. 所以若与的夹角为锐角，则，解得. 故实数的取值范围是. 题型07 空间向量的平行与垂直 【典例1】（25-26高二下·甘肃兰州·期中）已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，且， 根据向量平行的充要条件，存在实数，使得， 所以，解得. 【变式1】（2025高二上·安徽·竞赛）在空间直角坐标系Oxyz中，，若，则的竖坐标为（    ） A．－9 B．－1 C．1 D．9 【答案】B 【详解】由于，故，故， ， 故的竖坐标为. 【变式2】（25-26高二下·河南周口·期末）已知空间向量，，若，则，满足的关系式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，即. 【变式3】（25-26高二下·江苏镇江·期末）已知向量，，且与互相垂直，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 已知，， 则，； 由与互相垂直，可得 ， 代入坐标计算得： 整理得，解得. 【变式4】（23-24高二下·四川成都·阶段检测）已知，若，则实数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】因，则， 又，且，则＝＝，解得． 题型08 空间直角坐标系 【典例1】（25-26高二上·福建泉州·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求：    (1)点，，，，的坐标 (2)向量，，的坐标． 【答案】(1)，，，， (2)，， 【分析】（1）以点为原点，以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，进而标点； （2）求点的坐标，结合空间向量的坐标表示求相关向量. 【详解】（1）由题意知，以点为原点， 分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示．    则，，，， （2）由（1）可知，, 向量，，. 【变式1】（25-26高二下·江苏常州·期中）已知点，，若，则实数x的值为（   ） A． B．0 C．4 D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的模的计算公式求解即可 【详解】由题知，因为，所以， 解得 【变式2】（25-26高二上·河北张家口·期末）已知空间中三点，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量的坐标规则进行线性运算即可. 【详解】因为，，， 所以 故选：D. 【变式3】（25-26高二·全国·课堂例题）在长方体中，已知，，．    (1)建立适当的空间直角坐标系，并求点的坐标； (2)求的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据坐标的运算可得； （2）先求出点的坐标和点的坐标根据向量的坐标运算可得. 【详解】（1）如图，以点A为原点，以，，为标准正交基方向， 均以1为单位长度，建立空间直角坐标系，    则，，． 又， 所以点的坐标为． （2）因为，所以点的坐标为． 又，所以点的坐标为． 因此． 题型09 用空间向量求点的坐标 【典例1】（25-26高二上·北京·期中）已知向量，，其中O为坐标原点，若点C为线段AB的中点，则点C的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先表示的坐标，再根据中点坐标公式计算可得． 【详解】因为向量，，其中O为坐标原点， 所以，， 所以的中点的坐标为， 故选：D 【变式1】（25-26高二上·北京顺义·阶段检测）设，，向量，则______；点C的坐标为______. 【答案】 【分析】求出，从而，设，从而得到方程，求出答案. 【详解】，， 故； 设，则， 所以， 故，解得，所以. 故答案为：， 【变式2】（23-24高二上·辽宁·阶段检测）已知，若，则的坐标是__________. 【答案】 【分析】应用空间向量数乘及向量相等即可. 【详解】因为，设 则， 所以， 则， 即. 故答案为： 【变式3】（25-26高二下·江苏泰州·期末）已知点，若向量，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量坐标运算中“向量等于终点的坐标减去起点的坐标”，即可计算出点B的坐标. 【详解】设点的坐标为，已知，， 所以 ，，，解得，，. 因此点的坐标为. 题型10 由点的坐标进行相关运算 【典例1】（24-25高二下·陕西西安·阶段检测）若四边形为平行四边形，且，，，则顶点D的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出，根据得到方程组，求出答案. 【详解】由四边形是平行四边形知， 设，则，又， 所以，解得，即D点坐标为. 故选：C 【变式1】（23-24高二上·安徽宣城·期末）已知直线经过点和点，下列点在直线上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意将三点共线转换为向量共线即可验算求解. 【详解】对于A，若，则，故A正确； 对于B，若，则不共线，故B错误； 对于C，若，则不共线，故C错误； 对于D，若，则不共线，故D错误. 故选：A. 【变式2】（21-22高二·全国·课后作业）如图，在棱长为的正方体中，点为棱上的点，且，点为与的交点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图建系分别求点的坐标，再应用空间两点间距离公式求解. 【详解】如图，以为原点建立空间直角坐标系, 为x轴，为y轴，为z轴，，    点为与的交点，为的中点则可得， 因为，所以，则， 所以． 故选:D． 【变式3】（25-26高二上·江西南昌·期末）已知空间四点，则下列选项正确的是（    ） A． B．与夹角的余弦值为 C．⊥ D． 【答案】D 【分析】AD选项，计算出，故，A错误，D正确；BC选项，利用夹角余弦公式计算出，BC错误. 【详解】AD选项，， 故，故，A错误，D正确； BC选项，， 故， 故与夹角的余弦值为，BC均错误. 故选：D 1．（25-26高二上·广东潮州·期末）若向量，则（   ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】结合向量的模长公式求解. 【详解】由向量的模长公式可得. 2.（25-26高二下·广西河池·期末）在空间直角坐标系中，，，，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】表示出，，后，利用空间向量坐标运算及垂直性质计算即可得. 【详解】，， ，， 由题意可得，解得. 3．（25-26高二下·河南平顶山·期末）已知空间直角坐标系中的满足，，则（   ） A． B．3 C． D．5 【答案】C 【详解】由向量加法得， 所以. 4.（25-26高一下·广东深圳·期末）（多选）已知空间向量，则（ ） A． B．向量不是共面向量 C． D． 【答案】AC 【详解】，A正确； 设，即，解得， 即，所以是共面向量，B错误； ，所以，C正确； ，D错误. 5.（24-25高二下·上海·阶段检测）已知 ，设点 、 在 平面上的射影分别为 、 ，则 _____. 【答案】 【分析】由题意可得，结合空间向量的几何意义计算即可求解. 【详解】因为点在平面上的射影分别为， 所以， 则，所以. 故答案为： 6.（25-26高一下·安徽六安·期末）已知向量，且，则________________． 【答案】1 【详解】因为， 所以. 7．（25-26高一下·广西南宁·期末）已知向量，，且，则__________． 【答案】 【分析】利用空间向量共线的坐标公式列式求解. 【详解】因为向量，，且， 所以，解得. 8.（25-26高二下·福建漳州·期中）在空间直角坐标系中，点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，， 所以. 9．（17-18高二上·浙江·期末）已知，，求： (1)； (2)向量与夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以， 解得，则， 因为，所以，即， 解得，所以. （2）由（1）得， 所以向量与夹角的余弦值为 . 10．（25-26高二上·陕西汉中·期中）已知空间中三点，，，设，． (1)若且，求实数； (2)求向量与向量的夹角的余弦值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用空间向量的加减运算及数乘运算得，再利用空间向量的模计算即可； （2）利用空间向量的数量积和夹角公式计算得结论． 【详解】（1）， 所以， 则， 解得． （2）因为，，所以， 又，， 所以， 即向量与向量的夹角的余弦值为． 11．（25-26高二下·江苏盐城·期中）已知向量，. (1)求； (2)求与的夹角； (3)若与垂直，求实数的值. 【答案】(1)3 (2) (3)1 【分析】（1）先求空间向量和的坐标，再求其模长； （2）代入夹角公式，求两个空间向量的夹角余弦值，最后求角； （3）由垂直关系推得数量积为零，注意两个向量均为非零向量. 【详解】（1）因为，， 所以， . （2）， ， ， 所以与的夹角为； （3）， ， 因为与垂直，所以， 即，解得， 此时，与均为非零向量， 所以. 12．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知向量. (1)求； (2)求与的夹角； (3)若与垂直，求实数t的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为， 所以, 所以； （2）因为， 所以， 所以， ，， 设与的夹角为， 则， 又，得； （3）因为， 所以，， 因为与垂直，所以， 故，解得. 1．（25-26高二上·河北衡水·期末）设x，，向量，，，且，，则 （    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】由空间向量垂直、平行的坐标表示列方程求参数值，进而得，再应用空间向量模长的坐标运算求结果. 【详解】由，，，， ，解得， 又，则，解得， 所以，， 则，可得. 故选：C 2.（25-26高二下·江苏淮安·期中）已知，，，则角的大小为_________ 【答案】/ 【分析】根据向量夹角的坐标表示求解即可. 【详解】由已知，，， 则， ，， 所以. 因为，所以. 3.（25-26高二上·重庆·期中）是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，则用基底表示向量______. 【答案】 【分析】设，然后解方程组即可. 【详解】设， 即有， 因为是空间的一个单位正交基底， 所以有， 所以. 故答案为： 4.（25-26高二上·云南文山·阶段检测）（多选）在空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有（     ） A． B． C．若，且，则 D．若且，则 【答案】ABC 【详解】已知在空间直角坐标系中，，，原点， 则 ，，. 选项A：的模长， 因此A正确； 选项B：，因此B正确； 选项C：已知，且，因此，解得，因此C正确； 选项D：已知，且，因此，解得，因此D错误. 5.（25-26高二上·安徽阜阳·期末）已知向量. (1)求向量的坐标； (2)求与夹角的正弦值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据向量平行坐标关系，可求得m，n值，即可得坐标，根据向量垂直坐标关系，可求得k值，即可得坐标. （2）由（1）得与坐标，根据向量夹角公式，结合同角三角函数关系，即可得答案. 【详解】（1）因为，且， 所以，解得，所以； 因为，所以， 解得，所以. （2）由（1）得， 则， ， 所以， 所以. 6.（23-24高二上·吉林长春·阶段检测）已知空间中三点，，. (1)若四边形ABCD是平行四边形，求点D坐标； (2)若，且，求向量； (3)若点在平面内，求的值. 【答案】(1)；(2)或；(3) 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，再代入坐标，即可求解； （2）根据向量平行的定理可知，，再代入向量模的公式，即可求解； （3）利用空间向量共面可知，，再代入坐标运算，即可求解. 【详解】（1）设点， 由题意可知，，所以， 得， 所以点的坐标为； （2），因为， 所以， 因为，所以，得， 所以向量或； （3）因为点在平面上，故存在实数使得， 又，, 所以，解得. 故. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系 教学目标 1.理解空间向量正交分解的含义，掌握空间直角坐标系的构成。 2.熟练掌握空间向量坐标形式下的线性运算和数量积运算公式，掌握向量模长、夹角余弦值的坐标求解公式。 3.掌握空间向量平行、垂直的坐标判定条件，能利用坐标运算判断空间的平行、垂直关系。 4.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置，并进行相关运算。 教学重难点 1.重点 （1）运用坐标进行空间向量的线性运算； （2）运用坐标求解空间向量的模长和夹角； （3）能运用坐标判断空间向量的垂直和平行。 2.难点 应用空间直角坐标系解决问题。 知识点01 空间中向量的坐标 1.单位正交基底：一般地，如果空间向量的基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3都是单位向量，而且这三个向量两两垂直，就称这组基底为单位正交基底. 2.单位正交分解：在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解. 3.向量p的坐标：在单位正交基底下向量p＝xe1＋ye2＋ze3，则称有序实数组(x，y，z)为向量p的坐标，记作p＝(x，y，z)，其中x，y，z都称为p的坐标分量. 【注意】(1)零向量的坐标为(0，0，0). (2)书写向量坐标等号莫漏掉. (3)书写点的坐标等号不能要. 【即学即练】 （23-24高二上·湖北黄冈·阶段检测）已知点A在基底下的坐标为，其中，，，则点A在基底下的坐标为______． 知识点02 空间向量的运算与坐标的关系 若空间中两个向量a，b满足a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则： 向量运算 向量表示 坐标表示 相等 a＝b x1＝x2，y1＝y2，z1＝z2 加法 a＋b (x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2) 线性运算 μa＋vb (μx1＋vx2，μy1＋vy2，μz1＋vz2) 数量积 a·b x1x2＋y1y2＋z1z2 模 |a|＝ 夹角 cos〈a，b〉＝ 【即学即练】 1．（25-26高二下·湖北随州·期末）已知向量，向量，若，则__________． 2．（25-26高二下·上海宝山·期末）已知向量平行于向量，则__________． 3.（25-26高二上·浙江杭州·期中）（多选）已知空间向量则下列说法不正确的是（   ） A． B． C．与夹角余弦值为 D． 知识点03 空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直 若空间中两个向量a，b满足a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)(a≠0).则： (1)空间向量的平行：a∥b⇔b＝λa⇔ 当a的每一个坐标分量都不为零时，a∥b⇔. (2)空间向量的垂直：a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0. 【即学即练】 （25-26高二上·福建三明·期末）（多选）已知向量，，，则（   ） A． B． C．向量，的夹角为 D．向量在向量上的投影向量为 知识点04 空间直角坐标系 1.空间直角坐标系的建立 在空间中任意选定一点O作为坐标原点，选择合适的平面先建立平面直角坐标系xOy.然后过O作一条与xOy平面垂直的数轴z轴，这样建立的空间直角坐标系，记作Oxyz. (1)x轴、y轴、z轴是两两互相垂直的，都称为坐标轴. (2)通过每两个坐标轴的平面都称为坐标平面，分别记为xOy平面，yOz平面，zOx平面. (3)在平面内画空间直角坐标系Oxyz时，一般把x轴、y轴画成水平放置，x轴正方向与y轴正方向夹角为135°(或45°)，z轴与y轴(或x轴)垂直.如图(1)(2)所示. 2.在空间直角坐标系中，点M的坐标为(x，y，z)，x，y，z都称为点M的坐标分量，且x称为点M的横坐标(或x坐标)，y称为点M的纵坐标(或y坐标)，z称为点M的竖坐标(或z坐标). 3.卦限及各卦限内的符号：在空间直角坐标系中，三个坐标平面将不在坐标平面内的点分成了八个部分，每一部分都称为一个卦限，各卦限的点(x，y，z)的坐标符号为：第Ⅰ卦限(＋，＋，＋)，第Ⅱ卦限(－，＋，＋)，第Ⅲ卦限(－，－，＋)，第Ⅳ卦限(＋，－，＋)，第Ⅴ卦限(＋，＋，－)，第Ⅵ卦限(－，＋，－)，第Ⅶ卦限(－，－，－)，第Ⅷ卦限(＋，－，－). 【注意】(1)基向量：|e1|＝|e2|＝|e3|＝1，e1·e2＝e1·e3＝e2·e3＝0. (2)建系的条件：特殊图形以及有垂直关系的条件可考虑建系. (3)建系的要求：使尽可能多的点落在坐标轴或坐标平面上，充分利用几何图形的对称性. (4)坐标原点选择的不同，会导致点的坐标不同，但不会影响结果. 【即学即练】 （25-26高二下·江苏·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，且为的中点，，则的长为_________． 知识点05 空间向量坐标的应用 1.空间直角坐标系下向量坐标 在空间直角坐标系下，如果指定单位向量e1，e2，e3的始点都在原点O，且它们的方向分别与x轴、y轴、z轴的正方向相同，则{e1，e2，e3}为单位正交基底，且向量的坐标与P点的坐标相同.即＝xe1＋ye2＋ze3＝(x，y，z)⇔P(x，y，z). 2.空间向量坐标的计算及应用 在空间直角坐标系中，A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)， 则(1)＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1). (2)||＝. (3)线段AB中点M的坐标为. 【注意】在空间直角坐标系中，有向线段表示的向量坐标为终点坐标减去起点坐标.特别地，当始点为坐标原点时，其坐标与终点坐标相同. 【即学即练】 （2026·江苏淮安·模拟预测）已知正方体的棱长为1，为平面内动点，则的最小值为（   ） A．2 B． C． D．3 题型01 空间中向量的坐标 【典例1】（25-26高二下·甘肃庆阳·期末）已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标是________． 【变式1】（25-26高二下·甘肃庆阳·期末）已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标是________． 【变式2】（2025高二上·河南鹤壁·专题练习）已知向量在基底下的坐标是，则在基底下的坐标为______. 【变式3】（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）定义：设是空间的一个基底，若向量，则称有序实数组为向量在基底下的坐标.已知是空间的基底，若是空间的另一个基底，若向量在基底下的坐标是，则向量在基底下的坐标是_____. 【变式4】（25-26高二上·海南三亚·阶段检测）已知向量是空间的一组单位正交基底，向量是空间的另一组基底，若向量在基底下的坐标为，在基底下的坐标为，则___________． 题型02 空间向量运算的坐标表示 【典例1】（25-26高二下·福建宁德·期中）已知，则为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）已知，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二下·湖南娄底·开学考试）已知，，，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）已知向量，向量，则（   ） A． B． C． D． 【变式4】（24-25高二上·北京丰台·期末）已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 题型03 空间向量共线、共面的坐标运算 【典例1】（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）已知向量，，若A，B，C三点共线，则______． 【变式1】（25-26高二下·江苏淮安·期中）已知向量，，若A，B，C三点共线，则（   ） A． B．2 C． D． 【变式2】（25-26高二上·云南昆明·期末）已知向量，,则___________． 【变式3】（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）已知向量，，，若向量，，共面，则的值为（    ） A． B． C． D．6 题型04 空间向量数量积的坐标求解 【典例1】（25-26高二下·福建漳州·期末）已知向量 ，则等于（     ） A．2 B．1 C． D．0 【变式1】（25-26高二下·甘肃武威·期末）已知空间向量，，则 _______． 【变式2】（25-26高二下·江苏泰州·阶段检测）已知，，则（   ） A．21 B．8 C．68 D．-3 【变式3】（25-26高二上·河北秦皇岛·期末）已知向量，则（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 题型05 空间向量投影的坐标表示 【典例1】（25-26高二下·甘肃兰州·阶段检测）向量在向量上的投影长为（ ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二上·云南文山·阶段检测）已知空间向量，，向量在向量上的投影向量坐标为__________． 【变式2】（24-25高二上·山东淄博·阶段检测）已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是______. 【变式3】（25-26高二上·广西崇左·期末）已知向量，则向量在向量上的投影向量的模为______． 题型06 空间向量的模和夹角 【典例1】（25-26高二下·广西桂林·期末）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二下·江苏连云港·期中）已知向量，向量，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二·全国·暑假作业）若，则_________． 【变式3】（25-26高二下·湖南娄底·开学考试）已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是______． 题型07 空间向量的平行与垂直 【典例1】（25-26高二下·甘肃兰州·期中）已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025高二上·安徽·竞赛）在空间直角坐标系Oxyz中，，若，则的竖坐标为（    ） A．－9 B．－1 C．1 D．9 【变式2】（25-26高二下·河南周口·期末）已知空间向量，，若，则，满足的关系式为（     ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二下·江苏镇江·期末）已知向量，，且与互相垂直，则实数（    ） A． B． C． D． 【变式4】（23-24高二下·四川成都·阶段检测）已知，若，则实数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型08 空间直角坐标系 【典例1】（25-26高二上·福建泉州·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求：    (1)点，，，，的坐标 (2)向量，，的坐标． 【变式1】（25-26高二下·江苏常州·期中）已知点，，若，则实数x的值为（   ） A． B．0 C．4 D． 【变式2】（25-26高二上·河北张家口·期末）已知空间中三点，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二·全国·课堂例题）在长方体中，已知，，．    (1)建立适当的空间直角坐标系，并求点的坐标； (2)求的坐标． 题型09 用空间向量求点的坐标 【典例1】（25-26高二上·北京·期中）已知向量，，其中O为坐标原点，若点C为线段AB的中点，则点C的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二上·北京顺义·阶段检测）设，，向量，则______；点C的坐标为______. 【变式2】（23-24高二上·辽宁·阶段检测）已知，若，则的坐标是__________. 【变式3】（25-26高二下·江苏泰州·期末）已知点，若向量，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 题型10 由点的坐标进行相关运算 【典例1】（24-25高二下·陕西西安·阶段检测）若四边形为平行四边形，且，，，则顶点D的坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高二上·安徽宣城·期末）已知直线经过点和点，下列点在直线上的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（21-22高二·全国·课后作业）如图，在棱长为的正方体中，点为棱上的点，且，点为与的交点，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·江西南昌·期末）已知空间四点，则下列选项正确的是（    ） A． B．与夹角的余弦值为 C．⊥ D． 1．（25-26高二上·广东潮州·期末）若向量，则（   ） A．4 B． C． D． 2.（25-26高二下·广西河池·期末）在空间直角坐标系中，，，，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·河南平顶山·期末）已知空间直角坐标系中的满足，，则（   ） A． B．3 C． D．5 4.（25-26高一下·广东深圳·期末）（多选）已知空间向量，则（ ） A． B．向量不是共面向量 C． D． 5.（24-25高二下·上海·阶段检测）已知 ，设点 、 在 平面上的射影分别为 、 ，则 _____. 6.（25-26高一下·安徽六安·期末）已知向量，且，则________________． 7．（25-26高一下·广西南宁·期末）已知向量，，且，则__________． 8.（25-26高二下·福建漳州·期中）在空间直角坐标系中，点，，则（    ） A． B． C． D． 9．（17-18高二上·浙江·期末）已知，，求： (1)； (2)向量与夹角的余弦值. 10．（25-26高二上·陕西汉中·期中）已知空间中三点，，，设，． (1)若且，求实数； (2)求向量与向量的夹角的余弦值． 11．（25-26高二下·江苏盐城·期中）已知向量，. (1)求； (2)求与的夹角； (3)若与垂直，求实数的值. 12．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知向量. (1)求； (2)求与的夹角； (3)若与垂直，求实数t的值． 1．（25-26高二上·河北衡水·期末）设x，，向量，，，且，，则 （    ） A． B．3 C． D．4 2.（25-26高二下·江苏淮安·期中）已知，，，则角的大小为_________ 3.（25-26高二上·重庆·期中）是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，则用基底表示向量______. 4.（25-26高二上·云南文山·阶段检测）（多选）在空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有（     ） A． B． C．若，且，则 D．若且，则 5.（25-26高二上·安徽阜阳·期末）已知向量. (1)求向量的坐标； (2)求与夹角的正弦值. 6.（23-24高二上·吉林长春·阶段检测）已知空间中三点，，. (1)若四边形ABCD是平行四边形，求点D坐标； (2)若，且，求向量； (3)若点在平面内，求的值. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $