1.1.2 空间向量基本定理(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教B版)

本讲义聚焦空间向量基本定理核心知识点，先梳理共线向量基本定理、共面向量定理，再延伸至空间向量基本定理，构建从平面到空间的知识支架，衔接平面向量到空间向量的认知进阶。 以自主招生面试路线为情境引入，培养数学抽象能力，结合正方体、平行六面体等模型发展直观想象，题型分层设计助力教师授课，课后练习帮助学生巩固基底判断、向量分解等技能，有效查漏补缺。

1.1.2　空间向量基本定理 课标 要求 1.理解空间向量的共线、共面基本定理，并能应用定理解决一些问题（数学抽象）. 2.掌握空间向量的基本定理及其意义（直观想象）. 　　 　　学生小李参加某大学自主招生考试，在一楼咨询处小李得知：面试地点由此向东100米，再向南150米，然后乘1号电梯到位于6楼的2号学术报告厅参加面试.设e1是向东的单位向量，e2是向南的单位向量，e3是向上的单位向量. 【问题】　假定每层楼高为3米，你能用e1，e2，e3表示出由咨询处到面试地点的向量p吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　共面向量定理 1.共线向量基本定理 空间中，若a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得　b＝λa　. 2.共面向量定理 如果两个向量a，b不共线，则向量a，b，c共面的充要条件是，存在唯一的实数对（x，y），使c＝　xa＋yb　. 提醒：（1）向量c与a，b共面的充要条件是在向量a与b不共线的前提下才成立的，若a与b共线，则不成立；（2）三个向量共面，又称这三个向量线性相关；如果三个向量不共面，则称这三个向量线性不相关. 知识点二　空间向量基本定理 如果空间中的三个向量a，b，c　不共面　，那么对空间中的任意一个向量p，存在　唯一　的有序实数组（x，y，z），使得p＝　xa＋yb＋zc　.其中{a，b，c}叫作空间的一个　基底　，a，b，c都叫作　基向量　.若p＝xa＋yb＋zc，则称xa＋yb＋zc为p在基底{a，b，c}下的　分解式　. 【想一想】 1.构成基底的三个向量中，可以有零向量吗？ 提示：不可以. 2.在四棱锥O-ABCD中，可表示为x＋y＋z且唯一，这种说法对吗？ 提示：对. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若A，B，C三点共线，则与共线.（　√　） （2）向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上.（　×　） （3）若p＝xa＋yb，则p与a，b共面.（　√　） （4）若p与a，b共面，则p＝xa＋yb.（　×　） 2.已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（　　） A.3a，a－b，a＋2b　 B.2b，b－2a，b＋2a C.a，2b，b－c　 D.c，a＋c，a－c 解析：C　∵a＋2b＝3a－2（a－b），∴3a，a－b，a＋2b共面；∵b＋2a＝2b－（b－2a），∴2b，b－2a，b＋2a共面；∵a＋c＝（a－c）＋2c，∴c，a－c，a＋c共面.故选C. 3.如图在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为AC和BD的交点，若＝a，＝b，＝c，则＝　－a＋b－c　.（用a，b，c表示） 解析：＝－＝（＋）－（＋）＝－＋－＝－a＋b－c. 　　 题型一　空间向量共线问题 （链接教科书第16页练习A组2题）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为A1C上一点，且＝，BD与AC交于点M.求证：C1，O，M三点共线. 证明：如图，连接AO，AC1，A1C1.∵＝， ∴＝＋＝＋＝＋（＋）＝＋. ∵＝2，＝＋＝－＝－2， ∴＝（－2）＋＝＋. ∴，，共面. ∵＋＝1，∴C1，O，M三点共线. 规律方法 1.要判定空间图形中的两向量共线，往往寻找图形中的三角形或平行四边形，并利用向量运算法则进行转化，从而使其中一个向量表示为另一个向量的倍数关系，即可证得这两向量共线. 2.证明空间三点P，A，B共线的方法 （1）＝λ（λ∈R）； （2）对空间任一点O，＝＋t（t∈R）； （3）对空间任一点O，＝x＋y（x＋y＝1）. 〔一题多解〕如图，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，则与是否共线？ 解：法一　∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形， ∴＝＋＋ ＝＋＋.　① 又∵＝＋＋＋ ＝－＋－－，　② ①＋②得2＝， ∴∥，即与共线. 法二　∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形， ∴＝－＝（＋）－ ＝（＋）－（＋） ＝（－）＝（－）＝. ∴∥，即与共线. 题型二　空间向量共面问题 （链接教科书第13页例1）如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，求证：，，是共面向量. 证明：设＝a，＝b，＝c， ∵四边形B1BCC1为平行四边形， ∴＝c－a. ∵O是B1D1的中点， ∴＝（a＋b）， ∴＝－（a＋b）， ＝－＝b－（a＋b）＝（b－a）. ∵＝，∴＝c， ∴＝＋＝（b－a）＋c. 若存在实数x，y，使＝x＋y（x，y∈R）成立，则c－a＝x［（b－a）＋c］＋y［－（a＋b）］ ＝－（x＋y）a＋（x－y）b＋xc. ∵a，b，c不共线， ∴解得 ∴＝＋， ∴，，是共面向量. 规律方法 1.解决向量共面的策略 （1）若已知点P在平面ABC内，则有＝x＋y或＝x＋y＋z（x＋y＋z＝1），然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数； （2）证明三个向量共面（或四点共面），需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示. 2.证明空间四点P，M，A，B共面的等价结论 （1）＝x＋y； （2）对空间任一点O，＝＋x＋y； （3）对空间任一点O，＝x＋y＋z（x＋y＋z＝1）； （4）∥（或∥或∥）. 如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M为DD1的中点，N∈AC，且＝2，求证：A1，B，N，M四点共面. 证明：设＝a，＝b，＝c，则＝b－a， ∵M为线段DD1的中点，∴＝c－a， 又∵＝2，∴＝＝（b＋c）， ∴＝－＝（b＋c）－a ＝（b－a）＋（c－a） ＝＋， ∴，，为共面向量. 又∵三个向量有相同的起点A1， ∴A1，B，N，M四点共面. 题型三　基底的判断及应用 角度1　基底的判断 （链接教科书第15页例2）已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底？ 解：假设，，共面，由向量共面的充要条件知存在实数x，y，使＝x＋y成立. ∴e1＋2e2－e3＝x（－3e1＋e2＋2e3）＋y（e1＋e2－e3）＝（－3x＋y）e1＋（x＋y）e2＋（2x－y）e3. ∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底， ∴e1，e2，e3不共面，∴此方程组无解， 即不存在实数x，y，使＝x＋y成立. ∴，，不共面. 故{，，}能作为空间的一个基底. 规律方法 基底判断的基本思路及方法 （1）基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底； （2）方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底；②假设a＝λb＋μc，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底.③依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断. 　〔多选〕设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，则下列向量组中，可以作为空间一个基底的向量组有（　　） A.{a，b，x}　 B.{x，y，z} C.{b，c，z}　 D.{x，y，a＋b＋c} 解析：BCD　如图所示，令a＝，b＝，c＝，则x＝，y＝，z＝，a＋b＋c＝.由于A，B1，C，D1四点不共面，可知向量x，y，z也不共面，同理b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面. 角度2　空间向量基本定理的应用 如图，在三棱柱ABC-A'B'C'中，已知＝a，＝b，＝c，点M，N分别是BC'，B'C'的中点，试用基底{a，b，c}表示向量，. 解：＝＋＝＋ ＝＋（＋）＝＋＋（－） ＝b＋a＋（c－b）＝b＋a＋c－b ＝a＋b＋c. ＝＋＋＝＋＋ ＝a＋b＋（－）＝a＋b＋（c－b） ＝a＋b＋c. 【母题探究】 1.（变条件）若把本例中的＝a改为＝a，其他条件不变，则结果又是什么？ 解：＝＋＝＋ ＝＋（－）＝b＋（a－b） ＝a＋b. ＝＋＝＋ ＝－＝－（－） ＝a－（c－b）＝a＋b－c. 2.（变条件，变设问）如图所示，本例中增加条件“P在线段AA'上，且AP＝2PA'”，试用基底{a，b，c}表示向量. 解：＝＋＋ ＝－－ ＝（＋）－－ ＝[＋（－）]－－ ＝（a＋c－b）－c－a＝a－b－c. 规律方法 用基底表示向量的步骤 （1）定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底； （2）找目标：用确定的基底（或已知基底）表示目标向量，需要根据三角形法则或平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果； （3）下结论：利用空间向量的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量.表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量. 1.已知{a，b，c}能构成空间的一个基底，则下面的各组向量中，不能构成空间基底的是（　　） A.a＋b，b，c　　　　　 B.a，a－b，c C.a－c，b－c，a－b　 D.a，b，a＋b＋c 解析：C　由图形结合分析a－c，b－c，a－b三个向量共面，不构成基底，故选C. 2.已知空间向量a，b，c不共面，且2a＋b－c＝（z－1）a＋xb＋2yc，则x，y，z的值分别是（　　） A.2，1，2　 B.2，1，－2 C.1，－，3　 D.1，，3 解析：C　由题设知解得故选C. 3.〔多选〕下列命题正确的是（　　） A.若p＝xa＋yb，则p与a，b共面 B.若p与a，b共面，则p＝xa＋yb C.若＝x＋y，则M，P，A，B共面 D.若M，P，A，B共面，则＝x＋y 解析：AC　A、C选项：由向量共面定理知p＝xa＋yb，则p与a，b共面；＝x＋y，则M，P，A，B共面，正确；B选项：若a，b共线，p与a，b不共线，则p＝xa＋yb就不成立；D选项：若M，A，B共线，点P不在此直线上，则＝x＋y不成立. 4.从空间一点P引出三条射线PA，PB，PC，在PA，PB，PC上分别取＝a，＝b，＝c，点G在PQ上，且PG＝2GQ，H为RS的中点，则＝　－a＋b＋c　.（用a，b，c表示） 解析：如图，＝－＝（b＋c）－a. 　　 1.若{a，b，c}是空间向量的一组基底，则下列可作为空间向量的一组基底的是（　　） A.{a，2b，3c}　 B.{2a，a＋b，a－b} C.{a－c，a－b，b－c}　 D.{a＋c，a＋b，b－c} 解析：A　对于A，因为{a，b，c}是空间向量的一组基底，所以向量a，b，c不共面，因此a，2b，3c也不共面，因此{a，2b，3c}可以作为一组基底，即A正确；对于B，易知2a＝（a＋b）＋（a－b），因此向量2a，a＋b，a－b共面，不能作为基底，即B错误；对于C，显然a－c＝（a－b）＋（b－c），因此a－c，a－b，b－c共面，不能作为基底，即C错误；对于D，显然a＋c＝（a＋b）－（b－c），因此a＋c，a＋b，b－c共面，不能作为基底，即D错误. 2.已知O，A，B，C为空间四点，且向量，，不能构成空间向量的一组基底，则（　　） A.，，共线　 B.，共线 C.，共线　 D.O，A，B，C四点共面 解析：D　由，，不能构成基底知，，三向量共面，所以O，A，B，C四点共面.故选D. 3.（数学文化）半正多面体又称“阿基米德多面体”，它是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.把正四面体的每条棱三等分，截去顶角所在的小正四面体，得到一个有八个面的半正多面体，如图，点P，A，B，C，D为该半正多面体的顶点，若＝a，＝b，＝c，则＝（　　） A.－a＋b＋c　 B.a－b－c C.a－b＋c　 D.a＋b－c 解析：A　如图所示＝＋＝＋2＝＋2－2，所以＝－＋＋＝－a＋b＋c. 4.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别在棱BB1，BC，BA上，且满足＝，＝，＝，O是平面B1GF、平面ACE与平面B1BDD1的一个公共点，设＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝（　　） A.　 B. C.　 D. 解析：B　因为＝x＋y＋z＝x＋y＋，O在平面B1GF内，所以x＋y＋＝1，同理可得＋＋z＝1，解得x＋y＝，z＝.所以x＋y＋z＝. 5.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，＝，点N为B1B的中点，则｜｜＝（　　） A.a　 B.a C.a　 D.a 解析：A　因为＝－＝－＝＋－（＋＋）＝＋－（＋＋）＝＋－，所以｜｜＝＝a.故选A. 6.已知A，B，C三点不共线，点O在平面ABC外，点P满足＝x＋＋，则当点P，A，B，C四点共面时，实数x＝（　　） A.－　 B.－ C.－　 D. 解析：A　因为A，B，C三点不共线，点O在平面ABC外，点P满足＝x＋＋，设＝m＋n＝m（－）＋n（－）＝－（m＋n）＋m＋n，由题意可知，，不共面，所以故x＝－－＝－.故选A. 7.〔多选〕〔一题多解〕对空间任一点O和不共线的三点A，B，C，能得到P，A，B，C四点共面的是（　　） A.＝＋＋ B.＝＋＋ C.＝＋＋ D.＝2－－ 解析：BC　法一　A选项，＝＋＋，不能转化成＝x＋y的形式，故A不正确；B选项，∵＝＋＋，∴3＝＋＋，∴－＝（－）＋（－），∴＝＋，∴＝－－，∴P，A，B，C共面，故B正确；C选项，∵＝＋＋＝＋（＋）＋（＋）＝＋＋，∴－＝＋，∴＝＋，由共面的充要条件知P，A，B，C四点共面，故C正确；D选项，＝2－－，无法转化成＝x＋y的形式，故D不正确. 法二　点P与A，B，C共面时，对空间任意一点O，都有＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1，可判断出只有选项B、C符合要求. 8.已知{a，b，c}是空间的一组基底，若m＝a＋2b－3c，n＝x（a＋b）－y（b＋c）＋3（a＋c），若m∥n，则＝　3　. 解析：m＝a＋2b－3c，n＝x（a＋b）－y（b＋c）＋3（a＋c）＝（x＋3）a＋（x－y）b＋（3－y）c，因为m∥n，所以存在实数λ，使n＝λm，所以（x＋3）a＋（x－y）b＋（3－y）c＝λ（a＋2b－3c），所以所以得x＝－，y＝－，x＝3y，所以＝3. 9.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点E满足＝2，点F满足＝λ，若P，A，C，F四点共面，则λ＝　　. 解析：连接BD，由题可知＝＋＝＋＋.又＝λ，所以＝＋＋，且P，A，C，F四点共面，所以＋＋＝1，解得λ＝. 10.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E在A1D1上，且＝2，F在对角线A1C上，且＝.若＝a，＝b，＝c. （1）用a，b，c表示； （2）求证：E，F，B三点共线. 解：（1）因为＝2，＝a，＝b，＝c， 所以＝＋＋ ＝＋＋ ＝－b－c＋a， 所以＝a－b－c. （2）证明：因为＝， ＝＋＋＝＋＋＝（＋＋）＋＋＝（－b－a＋c）－c＋a＝a－b－c＝（a－b－c）＝， 又与有公共点B，所以E，F，B三点共线. 11.（与其他知识交汇）六氟化硫，化学式为SF6，常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是两个棱长均相等的正四棱锥将底面重合的几何体）.如图所示，在正八面体P-ABCD-Q中，G是△BCQ的重心，记＝a，PB＝b，＝c，则＝（　　） A.－a＋b＋c　 B.a－b＋c C.a－b－c　 D.a＋b＋c 解析：D　易知＝＝a＋c－b，设CQ中点为E，则＝＝（＋）＝（＋－）＝（a－2b＋2c），所以＝＋＝b＋（a－2b＋2c）＝a＋b＋c. 12.〔多选〕如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为A1C1与B1D1的交点，若＝a，＝b，＝c，则（　　） A.＝a－b＋c　 B.＝a＋b＋c C.AC1的长为　 D.cos＜，＞＝ 解析：BD　对于A选项，＝＋＝＋（＋）＝b－a＋c，A错误；对于B选项，＝＋＋＝a＋b＋c，B正确：对于C选项，＝a＋b＋c，则｜｜2＝（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＝6，则｜｜＝，C错误；对于D选项，·＝a·（a＋b＋c）＝a2＋a·b＋a·c＝2，则cos＜，＞＝＝，D正确. 13.已知正四面体A-BCD的边长为2，点M，N为棱BC，AD的中点，点E，F分别为线段AM，CN上的动点，且满足AE＝CF，则线段EF长度的最小值为　　. 解析：在棱长为2的正四面体A-BCD中，由点M，N为棱BC，AD的中点，得AM＝CN＝，由点E，F分别在线段AM，CN上，AE＝CF，令＝λ，λ∈[0，1]，则＝λ，所以＝－＝（＋）－λ＝＋λ（－＋）－λ（＋）＝（1－）－＋，又·＝｜｜｜｜cos 60°＝2，·＝｜｜｜｜cos 60°＝2，·＝｜｜｜｜·cos 60°＝2，故｜｜＝ ＝ ＝ ＝＝，当λ＝时，｜｜min＝，所以线段EF长度的最小值为. 14.（多思少算）如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝3，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝45°，∠BAD＝60°，设＝a，＝b，＝c. （1）用a，b，c表示，，； （2）求异面直线BD1与AC所成角的余弦值； （3）若点P为线段AA1的四等分点，且AP＝3PA1，点Q为线段CC1的中点，在线段DD1上是否存在一点M，使得点M与点B，P，Q四点共面？若存在，求出DM∶DD1的值；若不存在，请说明理由. 解：（1）＝＋＋＝＋＋＝a＋b＋c， ＝＋＋＝－＋＋＝－a＋b＋c， ＝＋＝＋＝a＋b. （2）由题知，｜a｜＝｜b｜＝3，｜c｜＝2，＜a，b＞＝60°，＜a，c＞＝＜b，c＞＝45°， 则a·b＝，c·a＝ c·b＝6，｜｜＝＝，｜｜＝＝3， ·＝（－a＋b＋c）·（a＋b）＝－a2＋b2＋c·a＋c·b＝12， 则cos＜，＞＝＝＝， 故异面直线BD1与AC所成角的余弦值为. （3）假设在线段DD1上存在符合题意的点M，设DM∶DD1＝t（0≤t≤1），则＝tc， ＝＋＝－a＋c，＝＋＝b＋c，＝＋＋＝－a＋b＋tc， 因为M与点B，P，Q四点共面，所以存在唯一实数对λ，μ，使得＝λ＋μ， 即－a＋b＋tc＝λ（－a＋c）＋μ（b＋c）， 则λ＝μ＝1，t＝λ＋μ＝，与0≤t≤1矛盾，所以假设不成立， 故在线段DD1上不存在点M，使得点M与点B，P，Q四点共面. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $