1.1.1 第1课时 空间向量的概念、空间向量的加法及线性运算(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教B版)

本讲义聚焦空间向量的概念及线性运算核心知识点，通过类比平面向量，系统梳理空间向量的定义、模、表示法及特殊向量，衔接二维到三维的知识过渡，构建从概念到运算的学习支架。 以滑翔伞运动情境引入，引导学生抽象空间向量，结合长方体等几何模型培养直观想象，题型涵盖概念辨析与运算应用，强化数学运算能力。课中助教师引导探究，课后供学生练习巩固，有效查漏补缺。

1.1　空间向量及其运算 1.1.1　空间向量及其运算 第一课时　空间向量的概念、空间向量的加法及线性运算 课标 要求 1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，理解空间向量的概念（数学抽象）. 2.掌握空间向量的线性运算（直观想象、数学运算）. 　　 章前图展示的是一个滑翔伞运动的场景，可以想象，在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向、大小各异的力，你能用图示法表示这些力吗？ 【问题】　 （1）对既有大小又有方向的量，如何形象、直观地表示出来？ （2）类比平面向量的概念，你能给出空间向量的概念吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　空间向量 1.空间向量的概念 （1）定义：空间中既有　大小　又有　方向　的量称为空间向量； （2）模（或长度）：向量的　大小　； （3）表示方法： ①几何表示法：可以用　有向线段　来直观地表示向量，如始点为A终点为B的向量，记为，模为｜｜； ②字母表示法：可以用小写字母a，b，c来表示向量，模为｜a｜，｜b｜，｜c｜. 2.几类特殊的向量 （1）零向量：　始点　和　终点　相同的向量称为零向量，记作0； （2）单位向量：模等于　1　的向量称为单位向量； （3）相等向量：大小　相等　、方向　相同　的向量称为相等向量； （4）相反向量：方向　相反　、大小　相等　的向量称为相反向量； （5）平行（共线）向量：方向相同或者相反的两个非零向量互相　平行　，此时表示这两个非零向量的有向线段所在的直线　平行　或重合.通常规定零向量与任意向量平行； （6）共面向量：一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移后，都能在　同一平面　内，则称这些向量共面. 提醒：零向量的方向是不确定的，零向量的模为0，即｜0｜＝0. 知识点二　空间向量的线性运算 名称 代数形式 几何形式 运算律 加法 ＝　＋　＝a＋b 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：a＋（b＋c）＝（a＋b）＋c 减法 ＝　－　＝a－b 数乘 当λ＞0时，λa＝λ＝； 当λ＜0时，λa＝λ＝； 当λ＝0时，λa＝0 结合律：λ（μa）＝（λμ）a； 分配律：（λ＋μ）a＝λa＋μa，λ（a＋b）＝λa＋λb 提醒：与空间向量的线性运算相关的结论：（1）若O为空间中任意一点，则点P是线段AB中点的充要条件是＝（＋）；（2）若G为△ABC的重心，则＝（＋＋）. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）零向量与任意向量平行.（　√　） （2）向量的长度与向量的长度相等.（　√　） （3）空间向量a用几何表示法表示时，表示该向量的有向线段的起点可任意选取.（　√　） 2.已知空间四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，则＝（　　） A.a＋b－c　　　　　　 B.c－a－b C.c＋a－b　 D.c＋a＋b 解析：B　＝＋＋＝－－＋＝－a－b＋c＝c－a－b. 3.化简：5（3a－2b）＋4（2b－3a）＝3a－2b. 　　 题型一　空间向量的概念及简单应用 （1）下列说法中正确的是（　　） A.若｜a｜＝｜b｜，则a，b的长度相同，方向相同或相反 B.若向量a是向量b的相反向量，则｜a｜＝｜b｜ C.空间向量的减法满足结合律 D.在四边形ABCD中，一定有＋＝ （2）如图所示，以长方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中： ①试写出与是相等向量的所有向量； ②试写出的相反向量； ③若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量的模. （1）解析：B　｜a｜＝｜b｜，说明a与b模相等，但方向不确定.对于a的相反向量b＝－a，故｜a｜＝｜b｜，从而B正确.只定义加法具有结合律，减法不满足结合律；一般的四边形不满足＋＝，只有平行四边形才能成立.故A、C、D均不正确. （2）解：①与向量是相等向量的（除它自身之外）有，及. ②向量的相反向量为，，，. ③｜｜＝ ＝＝＝3. 规律方法 空间向量有关概念问题的解题策略 （1）两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量（非零向量）的模相等是两个向量相等的必要不充分条件； （2）理解空间向量的有关概念、熟练掌握向量的加、减法的运算法则及向量加法的运算律是解决好这类问题的关键. 　〔多选〕下列命题中不正确的是（　　） A.若a与b共线，b与c共线，则a与c共线 B.向量a，b，c共面，即它们所在的直线共面 C.若两个非零空间向量，，满足＋＝0，则∥ D.若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb 解析：ABD　对于A，若b＝0，则a与b共线，b与c共线，但a与c不一定共线，所以A错误；对于B，共面向量的定义是平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面，所以B错误；对于C，因为＋＝0，所以＝－，所以与共线，所以∥，所以C正确；对于D，若b＝0，a≠0，则不存在λ，使a＝λb，所以D错误；故选A、B、D. 题型二　空间向量的加减运算 如图，在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中，化简－＋＋＋，并在图中标出化简结果的向量. 解：在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中，四边形AA1F1F是平行四边形， 所以＝. 同理＝，＝，＝， 所以－＋＋＋＝＋＋＋＋＝，如图. 规律方法 空间向量加法、减法运算的两个技巧 （1）巧用相反向量：向量的三角形法则是解决空间向量加、减运算的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接； （2）巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果. 〔多选〕如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各式运算结果为的是（　　） A.－－ B.＋－ C.－－ D.－＋ 解析：AB　A中，－－＝－＝；B中，＋－＝＋＝；C中，－－＝－＝－＝≠；D中，－＋＝＋＋＝＋≠.故选A、B. 题型三　空间向量的数乘运算 设A是△BCD所在平面外一点，G是△BCD的重心.求证：＝（＋＋）. 证明：如图，连接BG，延长后交CD于点E，由G为△BCD的重心， 知＝. 由题意知E为CD的中点， ∴＝＋. ∴＝＋＝＋ ＝＋（＋） ＝＋[（－）＋（－）] ＝（＋＋）. 规律方法 利用数乘运算进行向量表示的技巧 （1）数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量； （2）明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质和重心性质. 　在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AC与BD的交点为M.设＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是（　　） A.a－b－c　 B.－a－b－c C.－a＋b－c　 D.a＋b－c 解析：A　因为＝a，＝b，＝c，所以＝＋＝－（＋）＋＝－（－a＋b）－c.即＝a－b－c，故选A. 1.〔多选〕下列命题中为真命题的是（　　） A.向量与的长度相等 B.将空间中所有单位向量的起点移到同一点，则它们的终点构成一个圆 C.空间向量就是空间中的一条有向线段 D.方向相同且模相等的两个向量是相等向量 解析：AD　对于选项A：向量与是相反向量，长度相等，故A为真命题.对于选项B：将空间中所有单位向量的起点移到同一点，则它们的终点构成一个球面，故B为假命题.对于选项C：空间向量可以用空间中的一条有向线段表示，但是空间向量不是有向线段，故C为假命题.对于选项D：方向相同且模相等的两个向量是相等向量，符合相等向量的定义，故D为真命题.故选A、D. 2.〔一题多解〕已知空间中任意四个点A，B，C，D，则＋－＝（　　） A.　 B. C.　 D. 解析：D　法一　＋－＝（＋）－＝－＝. 法二　＋－＝＋（－）＝＋＝. 3.（2026·潍坊高二期末）如图，空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，D是BC的中点，＝，则＝（　　） A.a＋b＋c　　 B.a＋b＋c C.a＋b＋c　 D.a＋b＋c 解析：A　＝＋＝＋＝＋（－）＝＋×（＋）－＝＋＋＝a＋b＋c，故选A. 4.化简：（a＋2b－3c）＋5（a－b＋c）－3（a－2b＋c）＝　a＋b－c　. 解析：根据空间向量的数乘运算法则可知，原式＝a＋b－c＋a－b＋c－3a＋6b－3c＝（＋－3）a＋（1－＋6）b＋（－＋－3）c＝a＋b－c. 　　 1.下列说法正确的是（　　） A.零向量没有方向 B.空间向量不可以平行移动 C.如果两个向量不相等，那么它们的长度不相等 D.同向且等长的有向线段表示同一向量 解析：D　根据相等向量的概念可以得到D正确.故选D. 2.已知四边形ABCD，O为空间中任意一点，且＋＝＋，则四边形ABCD是（　　） A.平行四边形　 B.空间四边形 C.等腰梯形　 D.矩形 解析：A　∵＋＝＋，∴＝，∴AB∥DC且｜｜＝｜｜，∴四边形ABCD为平行四边形.故选A. 3.（2026·日照高二期末）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，化简＋＋＝（　　） A.　 B. C.　 D. 解析：A　在平行六面体ABCD-A1B1C1D1，连接AC，如图，则＋＋＝（＋）＋＝＋＝，故选A. 4.（2026·海淀区高二期末）在四面体O-ABC中，若＝，＝，＝a，＝b，＝c，则＝（　　） A.（a＋b＋c）　 B.（a＋b－c） C.（a－b＋c）　 D.（b＋c－a） 解析：B　如图，∵＝，＝，∴M，N分别为AB，OC中点，∴＝＋＋＝－c＋a＋＝－c＋a＋（－）＝－c＋a＋b＝（a＋b－c）. 5.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，｜－＋｜＝（　　） A.1　 B. C.　 D.2 解析：B　｜－＋｜＝｜＋＋｜＝｜＋｜＝｜｜＝. 6.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC1的中点为O，则下列结论中正确的是（　　） A.＋与＋是一对相等向量 B.－与－是一对相反向量 C.－与－是一对相等向量 D.＋＋＋与＋＋＋是一对相反向量 解析：D　A中是一对相反向量；B中是一对相等向量；C中是一对相反向量；D中是一对相反向量，故D正确. 7.〔多选〕下列命题为真命题的是（　　） A.若空间向量a，b满足｜a｜＝｜b｜，则a＝b B.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，必有＝ C.若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p D.空间中，a∥b，b∥c，则a∥c 解析：BC　对于A，根据向量相等的定义知，两向量相等，不仅模要相等，而且还要方向相同，而A中向量a与b的方向不一定相同，故A为假命题；对于B，与的方向相同，模也相等，故＝，故B为真命题；对于C，向量的相等满足传递性，故C为真命题；对于D，平行向量不一定具有传递性，当b＝0时，a与c不一定平行，故D为假命题. 8.〔一题多解〕已知A，B，C，D为空间中任意四点，化简（－）－（－）＝　0　. 解析：法一（利用相反向量的关系转化为加法运算）　（－）－（－）＝－－＋＝＋＋＋＝＋＋＋＝0. 法二（利用向量的减法运算法则求解）　（－）－（－）＝（－）＋－＝＋－＝－＝0. 9.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC1与A1C的交点，且（＋＋）＝λ，则λ＝　　. 解析：如图，因为O为AC1与A1C的交点，所以O为AC1的中点，所以＝2，则（＋＋）＝＝，故λ＝. 10.如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC的中点. （1）化简：－－＝　　； （2）用，，表示，则＝　＋＋　. 解析：（1）－－＝－（＋）＝－＝－＝＋＝. （2）因＝，则＝＋＝＋，又＝＝（＋），则＝＋＝＋＋. 11.如图在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AC，BD相交于O，M为OC1的中点，设＝a，＝b，＝c，则＝（　　） A.a＋b－c　 B.a－b－c C.－a－b＋c　 D.－a＋b－c 解析：C　由已知得，＝＝c，＝＝b，＝＝a，＝＋＝＋＝＋（＋）＝c－b－a＝－a－b＋c. 12.〔多选〕在三棱锥O-ABC中，＝a，＝b，＝c，点M在直线OA上，且OM＝2MA，N是BC的中点，则下列结论可能正确的是（　　） A.＝（a＋b） B.＝－a＋b＋c C.＝（＋） D.＝－a－c 解析：BC　对于A，因为N是BC的中点，可得＝（＋）＝（b＋c），所以A不正确；对于B，当点M在线段OA上时，因为OM＝2MA，此时＝，则＝－＝（＋）－＝－a＋b＋c，所以B正确；对于C，当点M在线段OA的延长线上时，因为OM＝2MA，此时A为OM的中点，可得＝（＋），所以C正确；对于D，当点M在线段OA上时，可得＝－＝－＝a－c；当点M在线段OA的延长线上时，＝－＝2－＝2a－c；当点M在线段AO的延长线上时，OM＝2MA不可能成立，综上D不正确.故选B、C. 13.光岳楼，位于山东省聊城市，始建于公元1374年.其墩台为砖石砌成的正四棱台，直观图如图所示，其上缘边长与底边边长之比约为，则＋＋＝　　. 解析：如图，延长EA，FB，GC，HD相交于一点O，则＝，＝，∴＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋＝＋＝. 14.如图，已知ABCD-A'B'C'D'是平行六面体. （1）化简＋＋，并在图中标出其结果； （2）设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC'B'对角线BC'上靠近C'的四等分点，设＝α＋β＋γ，试求α，β，γ的值. 解：（1）如图，取AA'的中点E，在D'C'上取一点F，使D'F＝2FC'，连接EF， 则＝＋＋. （2）因为＝＋＝＋＝（＋）＋（＋）＝＋＋， 所以α＝，β＝，γ＝. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $