1.1.2 空间向量基本定理（讲义）数学人教B版高二选择性必修第一册

本讲义聚焦空间向量基本定理核心内容，系统梳理共线向量基本定理（含三点共线充要条件）、共面向量定理（含四点共面判断及推论）、空间向量基本定理（基底构建与向量分解），形成从线到面再到空间的知识支架，衔接平面到空间向量的逻辑递进。 该资料以“随学随练+拓展深化+题型分类”分层设计，通过三点共线参数计算、四点共面基底判断等实例，培养学生用数学眼光抽象空间形式，用数学思维推理向量关系，用数学语言表达分解式。课中助力教师突破共面证明等重难点，课后通过基础与素养提升题帮助学生查漏补缺，强化应用意识。

第一章 空间向量与立体几何 1.1.2　空间向量基本定理 课标要点 1. 理解共面向量定理并会应用. 2.了解空间向量基本定理及其意义． 学习重难点 重点： 1.运用共线向量基本定理与共面向量定理解决共线问题与共面问题. 2.空间向量基本定理的应用． 难点： 1. 证明四点共面问题. 2.运用空间向量基本定理解决问题． 知识点 共线向量基本定理 如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得b＝λa. 特别提醒 如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对于空间任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式＝＋ta.① 如图所示． 若在l上取＝a，则①式可以化为＝＋t＝(1－t)＋t. 可得如下结论：对于空间任意点O，若有＝λ＋(1－λ)成立，则A，B，C三点共线． 这一结论可作为证明三点共线的常用方法． 随学随练 1．（25-26高一下·广东河源·阶段检测）下列关于平面向量的说法中，正确的是（     ） A．长度相等的两个向量一定是相等向量 B．方向相同或相反的两个向量叫做共线向量 C．零向量没有方向 D．平行向量的方向一定相同 【答案】B 【详解】对于A，相等向量必须长度相等方向相同，故A错误； 对于B，由共线向量的定义得方向相同或相反的两个向量叫做共线向量，故B正确； 对于C，零向量的方向是任意的，并非没有方向，故C错误； 对于D，平行向量的方向可以相同，也可以相反，故D错误. 2．（25-26高一下·山东青岛·阶段检测）已知向量，不共线，且则实数（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】根据向量共线的定义计算即可. 【详解】因为向量，不共线，且， 那么存在实数，使得， 则有，解得. 知识点 共面向量定理 (1)如果两个向量a，b不共线，则向量a，b，c共面的充要条件是，存在唯一的实数对(x，y)，使c＝xa＋yb． (2)判断空间中四点是否共面的方法：如果A，B，C三点不共线，则点P在平面ABC内的充要条件是，存在唯一的实数对(x，y)，使＝x＋y． 特别提醒　对于不共线的三点A，B，C和平面ABC外的一点O，空间一点P满足关系式＝x＋y＋z，则点P在平面ABC内的充要条件是什么？ 提示：x＋y＋z＝1. 证明如下：(1)充分性： ∵＝x＋y＋z，则可变形为＝(1－y－z)＋y＋z， ∴－＝y(－)＋z(－)， ∴＝y＋z，∴点P与A，B，C共面． (2)必要性： ∵点P在平面ABC内，A，B，C三点不共线， ∴存在有序实数对(m，n)使＝m＋n， 即－＝m(－)＋n(－)， ∴＝(1－m－n)＋m＋n， ∵＝x＋y＋z，点O在平面ABC外， ∴，，不共面， ∴x＝1－m－n，y＝m，z＝n，∴x＋y＋z＝1. 易错提醒 (1)基底选定后,空间的所有向量均可由基底唯一表示. (2)一个基底是一个向量组,一个基向量是指基底中的某一个向量. (3)若三个向量不共面,就说明它们都不是零向量. 随学随练 1．（25-26高一下·黑龙江大庆·阶段检测）已知点，，不共线，为平面外一点，下列能够确定，，，四点共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】点不共线，为平面外一点，则四点共面的充要条件是：存在实数，使得且系数和，再逐个验证选项. 【详解】若在平面内，则存在实数，使得,即， 整理得：，令，则， 即点不共线，为平面外一点，则四点共面的充要条件是：存在实数，使得且系数和； 对于 A：系数和，不满足共面条件， 对于B：系数和，不满足共面条件， 对于 C：系数和，满足共面条件， 对于 D：系数和，不满足共面条件. 2．（25-26高二下·江苏徐州·期末）（多选）在正四面体中，可以与构成空间的一个基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ACD 【分析】以为原点，设，，，则，，即为不共面的基底，将所有向量用，，表示后，判断三个目标向量的线性相关性即可. 【详解】选项A：，. 设，整理得， 因，，不共面，则系数全为0，所以， 故三个向量线性无关，可构成基底，A正确. 选项B：，， 三个向量都仅含，分量，都在平面内，故共面，不能构成基底，B错误. 选项C：，. 设，整理得， 解得，线性无关，故可构成基底，C正确. 选项D：，. 设，整理得， 解得，线性无关，故可构成基底，D正确. 知识点 空间向量基本定理 (1)如果空间中的三个向量a，b，c不共面，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc．特别地，当a，b，c不共面时，可知xa＋yb＋zc＝0⇔x＝y＝z＝0．表达式xa＋yb＋zc一般称为向量a，b，c的线性组合或线性表达式． (2)如果三个向量a，b，c不共面，则它们的线性组合xa＋yb＋zc能生成所有的空间向量．因此，空间中不共面的三个向量a，b，c组成空间向量的一组基底，记为{a，b，c}．此时，a，b，c都称为基向量；如果p＝xa＋yb＋zc，则称xa＋yb＋zc为p在基底{a，b，c}下的分解式． 特别提醒　(1)基底与基向量的区别：一组基底是由三个不共面的基向量组成的． (2)基底的选择：几何体中往往选择具有特殊关系的三个不共面向量作为基底． (3)建立基底的作用：将空间不同向量用同一组基底表示，便于判断向量与向量之间的关系(如共线、共面等)． 随学随练 1．（25-26高二下·江苏南通·期中）（多选）关于空间向量，以下说法正确的有（   ） A．向量，，若，则 B．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底 D．若空间四个点，，，，满足，则，，三点共线 【答案】BD 【分析】选项 A 根据向量垂直的前提是两向量均为非零向量；选项 B 根据空间四点共面的充要条件，即向量表达式中系数和为 1 来判断；选项 C 根据共面向量定理结合基底的概念即可判断；选项 D 根据共线向量定理的推论，通过系数和为 1 判断三点共线，从而确定正确选项； 【详解】选项A：若，可能或，零向量与任意向量的点积为0，但零向量没有垂直的定义，因此不能推出，故A 错误； 选项B：空间四点共面的充要条件是： 对空间任意一点，存在实数，使得，且， 所以，因此四点共面，故B 正确； 选项C：因为，所以为共面向量，因此不能作为基底，故C 错误； 选项D：若，且，则根据共线向量定理的推论，三点共线，故D正确. 2．（2026·湖南长沙·二模）为空间任意一点，若，若A，B，C，P四点共面，则实数等于_______. 【答案】/ 【分析】借助空间向量线性运算及四点共面条件计算即可得. 【详解】由，则， 则， 由A，B，C，P四点共面，则，解得. 3．（25-26高二下·江苏南京·期中）已知点、、不共线，为平面外一点，下列能够确定、、、四点共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由空间向量共面的推论，判断是否成立即可. 【详解】对于A：根据给定线性关系式有，A错误； 对于B：根据给定线性关系式有，B错误； 对于C：根据给定线性关系式有，C错误； 对于D：根据给定线性关系式有，D正确. 拓展 共线向量基本定理的推论---三点共线问题 (1)定义：如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得b＝λa． (2)几点说明 ①b＝λa时，通常称为b能用a表示． ②其中的“唯一”指的是，如果还有b＝μa，则有λ＝μ． (3)作用：如果A，B，C是三个不同的点，则它们共线的充要条件是：存在实数λ，使得＝λ． [拓展]　三点共线的一个常用结论 A，B，C三点共线⇔存在实数λ，μ对平面内任意一点O(O不在直线BC上)满足＝λ＋μ(λ＋μ＝1)． 活学活用 1．（25-26高一下·上海徐汇·期末）已知点，，，．若 ，， 三点共线，求 的值． 【答案】 【分析】设，根据题目条件得到方程组，求出答案 【详解】设，则， 其中， 因为，所以， 所以，故 因为三点共线，所以， 故，即， 故，解得. 2．（25-26高一下·上海·阶段检测）已知 ，在 中，点 是边 上靠近点 的三等分点，若 ，则 的值为 ______. 【答案】 【分析】利用平面向量的线性运算将转化为和的线性组合，对比系数即可求得的值. 【详解】 因为点是边上靠近点的三等分点，所以. 所以 ， 又，且与不共线， 由平面向量基本定理可知，. 2. 拓展 共面向量定理的推论--四点共面问题 1.对于空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使a=λb. 2.如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb. 温馨提示　(1)=λ可证∥,又有公共点A,亦即A,B,C三点共线;=λ可证∥,亦即AB∥CD或A,B,C,D四点共线. (2)=x+y,可证AB,AC,AD共面,亦即A,B,C,D四点共面. 活学活用 1．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）已知A,B,C三点不共线，对空间任意一点O，都满足.若A,B,C,D四点共面，则m＝______. 【答案】2 【分析】根据空间向量共面定理的推论求解. 【详解】因为A,B,C,D四点共面，所以3＋2－3m＋m＝1，解得m＝2. 2．（25-26高二上·青海海东·期末）已知，，，四点共面于，且其中任意三点均不共线.设为空间中任意一点且，若，则（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】利用共面定理和空间向量的线性运算可求答案. 【详解】因为，，，四点共面，所以，其中， 所以， 即； 因为，所以， 而不共面，则，即. 故选：C ▌例1 （（25-26高二上·贵州安顺·期末）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】由共面向量的充要条件验证即可. 【详解】由共面向量的充要条件可得： 选项A，，所以，，三个向量共面； 选项B，，无解，所以，，三个向量不共面； 选项C，，所以，，三个向量共面； 选项D，，所以，，三个向量共面； 故选：B. ▌对点练1-1．（25-26高二上·四川绵阳·期末）（多选）以下能确定空间中四点 共面的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用共面向量定理及推论判断AB；利用两条直线共面的条件判断CD. 【详解】对于A，由，得向量共面，而它们有公共起点，因此四点共面，A是； 对于B，在中，，因此四点共面，B是； 对于C，存在互相垂直的两条异面直线，它们的方向向量垂直，由不能确定四点共面，C不是； 对于D，由，得直线与平行或重合，因此四点共面，D是. 故选：ABD 题型 利用共面向量定理求参数 解题贴士 ▌例1（25-26高二上·陕西榆林·开学考试）（多选）已知，，是空间中不共线的三点，点为空间内的任意一点，若点在平面内，且，则下列关于和的值满足条件的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BCD 【分析】根据空间向量共面定理求出和的关系，即可得出结论. 【详解】由题意， ，，是空间中不共线的三点，点为空间内的任意一点， 点在平面内，且， ∴，即， A项，，故A错误； B项，，故B正确； C项，，故C正确； D项，，故D正确. ▌对点练1-1（2026高二·全国·专题练习）已知四点满足任意三点均不共线，但四点共面，为平面外任意一点，且，则实数的值为______． 【答案】 【分析】整理可得，结合四点共面的结论列式求解即可. 【详解】， 因为四点共面，所以，解得． 题型 空间向量基本定理的应用 ▌例1（25-26高二上·安徽宿州·期末）三棱锥中，点面，且，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由四点共面的充要条件列方程即可得解． 【详解】由题意三棱锥中，点面，且， 所以，解得． 故选：D． ▌对点练1-1（25-26高二上·安徽安庆·期末）已知点在平面内，且对于平面外一点，满足，则___________． 【答案】 【分析】利用空间向量共面定理的推论（若四点共面，则从同一点出发的三个向量系数之和为 1），代入已知系数建立方程求解. 【详解】因为点在平面内，且，所以，解得． 故答案为：. ▌对点练1-2（25-26高二上·广西崇左·期末）已知在所在平面内，为空间中任一点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】变形给定向量移动式，再利用共面向量定理的推论列式计算得解. 【详解】由，得， 则，由在所在平面内，得， 所以. 故选：B 基础通关 1．（23-24高二下·福建漳州·阶段检测）如图，在四面体中，，，．点在上，且，为中点，则等于（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】借助空间向量线性运算法则计算即可得. 【详解】如图，连接，    ∵N是的中点，， ，， ． 2．（25-26高一下·重庆沙坪坝·期中）已知四棱柱是平行六面体，空间中一点平面，实数满足，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为四点共面， 所以，解得. 3．（25-26高二下·江苏南京·期中）如图，在三棱柱中，，，，点为棱的中点，点为棱的中点，点在棱上．若，则线段的长度为（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】设，利用空间向量加减、数乘的几何意义，结合三棱柱中各线段的位置关系用表示出，由可知，即可求出，进而得出线段的长度. 【详解】由题意，因为点为棱的中点， 所以， 又因为点为棱的中点，点在棱上， 设， 所以， 因为，，， 所以，，， 因为， 所以， 所以， 所以，解得， 因为，所以. 4．（25-26高二下·广东·期中）四面体中，，，，且，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，由，得， 由，得， 所以. 5．（25-26高二下·江苏泰州·期中）已知，，，，则“”是“A，B，C，M四点共面”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】，，， 设， 则，解得， 则“”是“A，B，C，M四点共面”的充要条件. 6．（25-26高二下·江苏泰州·期中）如图，在空间四边形中，，，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在空间四边形中，，， 则，又， 且不共面，因此， 所以. 7．（25-26高二下·广西南宁·期中）在三棱柱中，是的中点，，则用向量，，表示向量应为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在三棱柱中，由，得，由点是的中点，得， 所以 . 8．（25-26高二下·福建莆田·期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点、分别为、的中点，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由空间向量的线性运算以及空间向量的基本定理可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出的值. 【详解】因为，所以，可得， 因为四边形为平行四边形，所以， 所以， 因为点、分别为、的中点，所以，， 所以， 因为、、不共面，所以，所以，故. 9．（25-26高二下·福建宁德·期中）已知四点共面，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】利用四点共面可得，由此解得，再利用基本不等式即可求解． 【详解】由题可知，存在实数，使得， 又，，，所以， 解得，，所以， 当且仅当时取等号． 10．（25-26高二下·江苏泰州·期中）在平行六面体中，已知，，，，则的长度为________. 【答案】 【分析】利用空间向量模长公式，将体对角线向量分解为三条棱向量的和，平方展开后代入模长与夹角计算数量积，最后开方得到结果. 【详解】在平行六面体中，， . 因为，， ， 所以，即. 11．（25-26高二下·湖北鄂州·阶段检测）在四面体中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】 ，故A正确，C错误； ，故B错误，D正确. 12．（25-26高二下·江苏连云港·期中）下列关于空间向量的说法中正确的有（   ） A．若向量、共线，则向量、所在的直线平行 B．若向量、所在的直线是异面直线，则向量、一定不共线 C．若三个向量、、两两共面，则三个向量、、一定共面 D．若、、是空间中三个不共面的向量，则对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使． 【答案】BD 【分析】根据共线向量的定义，可判定A错误，B正确；根据任意的两个向量共面，但三个向量不一定共面，可判定C错误；根据空间向量的基本定理，可判定D正确. 【详解】对于A， 若向量、共线，则向量，所在的直线平行或重合，所以A错误； 对于B，若向量，所在的直线是异面直线，则向量，的方向既不相同也不相反， 所以向量，一定不共线，所以B正确； 对于C，若三个向量，，两两共面，因为任意两个向量一定共面，如图所示， 但三个向量，，不一定共面，所以C错误； 对于D，若，，是空间中三个不共面的向量， 根据空间向量的基本定理，可得对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组， 使，所以D正确. 13．（25-26高二下·江苏徐州·期中）若为空间的一个基底，则下列各组向量一定能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】选项A，因为，所以共面，所以A错误； 选项B，因为与互为相反向量，又为空间的一个基底， 所以能构成空间的一个基底，故B正确； 选项C，若共面， 则存在实数使得，即， 因为不共面，所以，解得，进而则可得， 得到共面，与已知矛盾，所以C正确； 选项D，因为，所以共面，所以D错误. 素养提升 14．（25-26高二下·江苏苏州·期中）点是四面体的棱的中点，点在线段上且，点在线段上且，若，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据空间向量的线性运算求，进而可得，即可得结果. 【详解】在四面体中，，，， 则， 可得 ， 因为，则，所以. 15．（25-26高二下·江苏连云港·期中）在空间四边形中，，点，分别在上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 由，得， 由，得， 所以， 因为， 所以 即 16．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）如图，空间四边形中，，，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形可得，结合向量的线性运算求解即可. 【详解】由题意可得： ， 所以. 17．（25-26高二下·江苏南京·期中）如图所示，在正四面体中，，则（    ） A． B． C．在平面内的投影向量为 D．在平面内的投影向量为 【答案】BD 【分析】由空间向量基本定理，空间向量的线性运算及正四面体的性质即可求解． 【详解】对于AB，由题知，， ，故A错误，B正确； 对于CD，设点在平面的投影为点， 由正四面体得，底面为等边三角形，且侧棱， 所以由正四面体的性质得，顶点在底面的投影是底面的重心，在平面的投影向量为，则， 所以在平面内的投影向量为，故C错误，D正确． 18．（25-26高二下·江苏苏州·期中）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由空间向量共面的判断定理判断即可. 【详解】对于A：，可以由和线性表示，所以共面. 对于B：假设，可得，此方程组无解， 所以不能用和线性表示，故不共面. 对于C：，可以由和线性表示，所以共面. 对于D：假设， 可得，此方程组无解，所以不能用和线性表示，故不共面. 19．（25-26高二下·上海松江·期中）在三棱柱中，D为棱的中点．若存在，满足，则______． 【答案】 【分析】根据空间向量基本定理用表示后即得. 【详解】由题意， ， 又， 所以. 20．（25-26高二上·湖南怀化·期末）如图，在平行六面体中，，，则的长为（   ） A． B．2 C． D．6 【答案】A 【分析】先应用空间向量的加法，再结合空间向量的数量积公式及运算律计算求解模长. 【详解】依题意，由， 又因为， 得， 所以． 故选：A. 迁移创新 21．（25-26高二下·江苏南京·期中）已知平行六面体的所有棱长均为，点在线段上，如图所示，则（    ） A． B．平面 C．四边形为正方形 D．的最小值为 【答案】BCD 【分析】根据空间向量基本定理及空间向量的运算法则即可判断各选项． 【详解】对于A，因为， 所以 ， 所以，故A错误； 对于B，由题可知，， 因为， ， 所以， 又平面，， 所以平面，故B正确； 对于C，由题可知，四边形为平行四边形， 又因为， 所以， 所以平行四边形为菱形， 又， 所以，则菱形为正方形，故C正确； 对于D，设， 则， 所以 ， 所以的最小值为，故D正确． 22．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）已知四棱锥，底面是平行四边形，为的中点，经过直线的平面与侧棱分别交于点．设，．若，则______． 【答案】/0.6 【分析】连接交于点，将转换成，结合共面，即可求解. 【详解】 连接交于点，因为底面ABCD是平行四边形， 所以为的中点， 由平行四边形法则可得：， 故， 又，， 得，， 又Q为PA的中点，， 所以， 由题意共面， 所以， 解得. 23．（25-26高一下·浙江丽水·期中）如图，在棱长为2的正四面体中，为上的动点，为上靠近的三等分点，为的中点，与交于点．    (1)用，表示； (2)若点为的中点，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)1 (3)或． 【分析】（1）利用空间向量的线性运算即可求解； （2）利用空间向量的线性运算得到，然后利用三点共线求出，最后利用空间向量数量积的运算律结合余弦定理即可求解； （3）设，利用余弦定理和空间向量数量积的运算律表示出，解方程即可求解. 【详解】（1）在中，， ， ． （2）设， 由（1）可知，， ，， ，，三点共线， ，， ， ， 由余弦定理可得， ， ． （3）设，由余弦定理可得， 由正四面体得， ， ， 化简得， 解得或， 或． 1 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 空间向量与立体几何 1.1.2　空间向量基本定理 课标要点 1. 理解共面向量定理并会应用. 2.了解空间向量基本定理及其意义． 学习重难点 重点： 1.运用共线向量基本定理与共面向量定理解决共线问题与共面问题. 2.空间向量基本定理的应用． 难点： 证明四点共面问题. 2.运用空间向量基本定理解决问题． 知识点 共线向量基本定理 如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得b＝λa. 特别提醒 如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对于空间任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式＝＋ta.① 如图所示． 若在l上取＝a，则①式可以化为＝＋t＝(1－t)＋t. 可得如下结论：对于空间任意点O，若有＝λ＋(1－λ)成立，则A，B，C三点共线． 这一结论可作为证明三点共线的常用方法． 随学随练 1．（25-26高一下·广东河源·阶段检测）下列关于平面向量的说法中，正确的是（     ） A．长度相等的两个向量一定是相等向量 B．方向相同或相反的两个向量叫做共线向量 C．零向量没有方向 D．平行向量的方向一定相同 2．（25-26高一下·山东青岛·阶段检测）已知向量，不共线，且则实数（   ） A． B．1 C． D．2 知识点 共面向量定理 (1)如果两个向量a，b不共线，则向量a，b，c共面的充要条件是，存在唯一的实数对(x，y)，使c＝xa＋yb． (2)判断空间中四点是否共面的方法：如果A，B，C三点不共线，则点P在平面ABC内的充要条件是，存在唯一的实数对(x，y)，使＝x＋y． 特别提醒　对于不共线的三点A，B，C和平面ABC外的一点O，空间一点P满足关系式＝x＋y＋z，则点P在平面ABC内的充要条件是什么？ 提示：x＋y＋z＝1. 证明如下：(1)充分性： ∵＝x＋y＋z，则可变形为＝(1－y－z)＋y＋z， ∴－＝y(－)＋z(－)， ∴＝y＋z，∴点P与A，B，C共面． (2)必要性： ∵点P在平面ABC内，A，B，C三点不共线， ∴存在有序实数对(m，n)使＝m＋n， 即－＝m(－)＋n(－)， ∴＝(1－m－n)＋m＋n， ∵＝x＋y＋z，点O在平面ABC外， ∴，，不共面， ∴x＝1－m－n，y＝m，z＝n，∴x＋y＋z＝1. 易错提醒 (1)基底选定后,空间的所有向量均可由基底唯一表示. (2)一个基底是一个向量组,一个基向量是指基底中的某一个向量. (3)若三个向量不共面,就说明它们都不是零向量. 随学随练 1．（25-26高一下·黑龙江大庆·阶段检测）已知点，，不共线，为平面外一点，下列能够确定，，，四点共面的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·江苏徐州·期末）（多选）在正四面体中，可以与构成空间的一个基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 知识点 空间向量基本定理 (1)如果空间中的三个向量a，b，c不共面，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc．特别地，当a，b，c不共面时，可知xa＋yb＋zc＝0⇔x＝y＝z＝0．表达式xa＋yb＋zc一般称为向量a，b，c的线性组合或线性表达式． (2)如果三个向量a，b，c不共面，则它们的线性组合xa＋yb＋zc能生成所有的空间向量．因此，空间中不共面的三个向量a，b，c组成空间向量的一组基底，记为{a，b，c}．此时，a，b，c都称为基向量；如果p＝xa＋yb＋zc，则称xa＋yb＋zc为p在基底{a，b，c}下的分解式． 特别提醒　(1)基底与基向量的区别：一组基底是由三个不共面的基向量组成的． (2)基底的选择：几何体中往往选择具有特殊关系的三个不共面向量作为基底． (3)建立基底的作用：将空间不同向量用同一组基底表示，便于判断向量与向量之间的关系(如共线、共面等)． 随学随练 1．（25-26高二下·江苏南通·期中）（多选）关于空间向量，以下说法正确的有（   ） A．向量，，若，则 B．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底 D．若空间四个点，，，，满足，则，，三点共线 2．（2026·湖南长沙·二模）为空间任意一点，若，若A，B，C，P四点共面，则实数等于_______. 3．（25-26高二下·江苏南京·期中）已知点、、不共线，为平面外一点，下列能够确定、、、四点共面的是（    ） A． B． C． D． 拓展 共线向量基本定理的推论---三点共线问题 (1)定义：如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得b＝λa． (2)几点说明 ①b＝λa时，通常称为b能用a表示． ②其中的“唯一”指的是，如果还有b＝μa，则有λ＝μ． (3)作用：如果A，B，C是三个不同的点，则它们共线的充要条件是：存在实数λ，使得＝λ． [拓展]　三点共线的一个常用结论 A，B，C三点共线⇔存在实数λ，μ对平面内任意一点O(O不在直线BC上)满足＝λ＋μ(λ＋μ＝1)． 活学活用 1．（25-26高一下·上海徐汇·期末）已知点，，，．若 ，， 三点共线，求 的值． 2．（25-26高一下·上海·阶段检测）已知 ，在 中，点 是边 上靠近点 的三等分点，若 ，则 的值为 ______. 拓展 共面向量定理的推论--四点共面问题 1.对于空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使a=λb. 2.如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb. 温馨提示　(1)=λ可证∥,又有公共点A,亦即A,B,C三点共线;=λ可证∥,亦即AB∥CD或A,B,C,D四点共线. (2)=x+y,可证AB,AC,AD共面,亦即A,B,C,D四点共面. 活学活用 1．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）已知A,B,C三点不共线，对空间任意一点O，都满足.若A,B,C,D四点共面，则m＝______. 2．（25-26高二上·青海海东·期末）已知，，，四点共面于，且其中任意三点均不共线.设为空间中任意一点且，若，则（   ） A．0 B．1 C． D． 题型利用基底判断四点共面 ▌例1 （（25-26高二上·贵州安顺·期末）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， ▌对点练1-1．（25-26高二上·四川绵阳·期末）（多选）以下能确定空间中四点 共面的条件是（   ） A． B． C． D． 题型 利用共面向量定理求参数 ▌例1（25-26高二上·陕西榆林·开学考试）（多选）已知，，是空间中不共线的三点，点为空间内的任意一点，若点在平面内，且，则下列关于和的值满足条件的是（    ） A．， B．， C．， D．， ▌对点练1-1（2026高二·全国·专题练习）已知四点满足任意三点均不共线，但四点共面，为平面外任意一点，且，则实数的值为______． 题型 空间向量基本定理的应用 ▌例1（25-26高二上·安徽宿州·期末）三棱锥中，点面，且，则实数（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-1（25-26高二上·安徽安庆·期末）已知点在平面内，且对于平面外一点，满足，则___________． ▌对点练1-2（25-26高二上·广西崇左·期末）已知在所在平面内，为空间中任一点，若，则（    ） A． B． C． D． 基础通关 1．（23-24高二下·福建漳州·阶段检测）如图，在四面体中，，，．点在上，且，为中点，则等于（     ）    A． B． C． D． 2．（25-26高一下·重庆沙坪坝·期中）已知四棱柱是平行六面体，空间中一点平面，实数满足，则实数（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·江苏南京·期中）如图，在三棱柱中，，，，点为棱的中点，点为棱的中点，点在棱上．若，则线段的长度为（     ） A． B．1 C． D．2 4．（25-26高二下·广东·期中）四面体中，，，，且，，则等于（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·江苏泰州·期中）已知，，，，则“”是“A，B，C，M四点共面”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 6．（25-26高二下·江苏泰州·期中）如图，在空间四边形中，，，若，则（    ）    A． B． C． D． 7．（25-26高二下·广西南宁·期中）在三棱柱中，是的中点，，则用向量，，表示向量应为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·福建莆田·期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点、分别为、的中点，若，且，则（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高二下·福建宁德·期中）已知四点共面，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 10．（25-26高二下·江苏泰州·期中）在平行六面体中，已知，，，，则的长度为________. 11．（25-26高二下·湖北鄂州·阶段检测）在四面体中，，则（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高二下·江苏连云港·期中）下列关于空间向量的说法中正确的有（   ） A．若向量、共线，则向量、所在的直线平行 B．若向量、所在的直线是异面直线，则向量、一定不共线 C．若三个向量、、两两共面，则三个向量、、一定共面 D．若、、是空间中三个不共面的向量，则对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使． 13．（25-26高二下·江苏徐州·期中）若为空间的一个基底，则下列各组向量一定能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 素养提升 14．（25-26高二下·江苏苏州·期中）点是四面体的棱的中点，点在线段上且，点在线段上且，若，则（   ） A． B． C． D．1 15．（25-26高二下·江苏连云港·期中）在空间四边形中，，点，分别在上，且，则（    ） A． B． C． D． 16．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）如图，空间四边形中，，，，，，则（   ） A． B． C． D． 17．（25-26高二下·江苏南京·期中）如图所示，在正四面体中，，则（    ） A． B． C．在平面内的投影向量为 D．在平面内的投影向量为 18．（25-26高二下·江苏苏州·期中）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（   ） A． B． C． D． 19．（25-26高二下·上海松江·期中）在三棱柱中，D为棱的中点．若存在，满足，则______． 20．（25-26高二上·湖南怀化·期末）如图，在平行六面体中，，，则的长为（   ） A． B．2 C． D．6 迁移创新 21．（25-26高二下·江苏南京·期中）已知平行六面体的所有棱长均为，点在线段上，如图所示，则（    ） A． B．平面 C．四边形为正方形 D．的最小值为 22．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）已知四棱锥，底面是平行四边形，为的中点，经过直线的平面与侧棱分别交于点．设，．若，则______． 23．（25-26高一下·浙江丽水·期中）如图，在棱长为2的正四面体中，为上的动点，为上靠近的三等分点，为的中点，与交于点．    (1)用，表示； (2)若点为的中点，求的值； (3)若，求的值． 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $