1.1.1 空间向量及其运算 第1课时 空间向量的概念及线性运算 (Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（人教B版）

1.1　空间向量及其运算 1.1.1　空间向量及其运算 第1课时　空间向量的概念及线性运算 【学习目标】 1.理解空间向量的相关概念; 2.会用平行四边形法则、三角形法则作出空间向量的和与差,掌握空间向量的线性运算的意义及运算律. ◆ 知识点一　空间向量的有关概念 1.定义:空间中既有　　　　又有　　　　的量称为空间向量.向量的大小也称为向量的　　　　(或　　　　).空间向量可用有向线段表示,有向线段的　　　　表示向量的大小,向量a的始点是A,终点是B,则向量a也可记作,其模记为|a|或||.  2.几类特殊的空间向量 名称 定义 表示 零向量 始点和终点　　　　的向量称为零向量,零向量的方向是不确定的  用　　　　表示,|0|=0  单位向量 模等于　　　　的向量称为单位向量  用e表示,|e|=　　　  相等向量 大小　　　　、方向　　　　的向量称为相等向量  记作a=b 两个向量平行 (共线) 如果两个非零向量的方向　　　　或　　　　,则称这两个向量平行.规定零向量与任意向量平行  记作 a∥b 【诊断分析】 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)零向量没有方向. (　 ) (2)两个有公共终点的向量一定是共线向量. (　 ) (3)若a∥b且b∥c,则a∥c. (　 ) (4)所有的单位向量都是相等向量. (　 ) (5)在空间中,共线向量就是表示这些空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合. (　 ) ◆ 知识点二　共面向量 一般地,空间中的多个向量,如果表示它们的有向线段通过平移之后,都能在　　　　　　内,则称这些向量共面.  注意:空间中任意两个向量都是共面的,但空间中任意三个向量不一定共面. 【诊断分析】 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线不共面,则这两个向量不共面.(　 ) (2)向量a,b,c共面,即表示这三个向量的有向线段所在的直线共面. (　 ) ◆ 知识点三　空间向量的加法运算 1.运算法则 ①三角形法则:给定两个平面向量a,b,在该平面内任取一点A,作=a,=b,作出向量,则　　　　是向量a与b的和(也称　　　　为向量a与b的和向量),向量a与b的和向量记作a+b,因此+=　　　　.当平面向量a与b不共线时,a,b,a+b正好能构成一个三角形,这种求两向量和的作图方法也常称为向量加法的三角形法则.因为空间中的任意两个向量都共面,所以空间中两个向量的和,除了A点可以在空间中任意选定之外,其他的与平面情形完全一样.特别地,向量加法的三角形法则在空间中也成立.  ②平行四边形法则:任意给定两个不共线的向量a,b,在空间中任取一点A,作=a,=b,以AB,AC为邻边作一个平行四边形ABDC,作出向量,则　　　　=+.  2.运算律 加法交换律:　　　　　　　　.  加法结合律:　　　　　　　　　　　　.  3.结论:三个不共面的向量的和,等于以这三个向量为邻边的平行六面体中,与这三个向量有共同始点的　　　　　　　所表示的向量.  【诊断分析】 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)|a+b|<|a|+|b|. (　 ) (2)++=. (　 ) (3)(a+b)+(c+d)=(a+d)+(b+c). (　 ) ◆ 知识点四　空间向量的减法运算 1.相反向量:给定一个空间向量,我们把与这个向量　　　　　　、　　　　　　的向量称为它的相反向量.  2.向量减法的三角形法则:在空间中任取一点O,作=a,=b,作出向量,则向量　　　　就是向量a与b的差(也称为向量a与b的差向量),即-=　　　　.当a与b不共线时,向量a,b,a-b正好能构成一个三角形.  ◆ 知识点五　空间向量的数乘运算 1.数乘向量:给定一个实数λ与任意一个空间向量a,规定它们的乘积是一个空间向量,记作　　　　.  (1)当λ≠0且a≠0时,λa的模为　　　　,而且λa的方向:  ①当λ>0时,与a的方向　　　　;  ②当λ<0时,与a的方向　　　　.  (2)当λ=0或a=0时,λa=　　　　.  上述实数λ与空间向量a相乘的运算简称为数乘向量. 2.向量平行:如果存在实数λ,使得　　　　,则b∥a.  3.三点共线:如果存在实数λ,使得　　　　　,则与平行且有公共点A,从而A,B,C三点一定共线.特别地,当λ=　　　　,即　　　　　　时,B为线段AC的中点.  4.运算律:λa+μa=　　　　　　(λ,μ∈R),  λ(a+b)=　　　　　　(λ∈R).  空间向量的加法、减法与数乘运算,以及它们的混合运算,统称为空间向量的　　　　运算.  【诊断分析】 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)空间向量的数乘运算中λ只决定向量的大小,不决定向量的方向. (　 ) (2)如果向量b∥a,那么一定存在实数λ,使b=λa成立. (　 ) (3)若点C是线段AB的三等分点,则=3. (　 ) ◆ 探究点一　空间向量的有关概念及应用 例1 (1)(多选题)下列说法中正确的是 (　 ) A.若a,b是两个单位向量,则|a|=|b| B.若两个向量共线,则这两个向量方向相同 C.若a,b,c为非零向量,且a∥b,b∥c,则a∥c D.空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内 (2)(多选题)如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,AD=2,AA1=1,则在以八个顶点中的两个分别为始点和终点的向量中 (　 ) A.单位向量有8个 B.与相等的向量有3个 C.的相反向量有4个 D.模为的向量有4个 变式 如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,给定下列各对向量: ①与;②与;③与;④与. 其中是相反向量的有　　　　对.   [素养小结] 解答空间向量有关概念问题的关键点及注意点: (1)关键点:紧紧抓住向量的两个要素,即大小和方向. (2)注意点:①零向量不是没有方向,而是它的方向是任意的;②单位向量的方向虽然不一定相同,但它们的长度都是1;③两个向量的模相等,不一定是相等向量,反之,若两个向量相等,则它们不仅模相等,方向也相同. ◆ 探究点二　空间向量的加减运算 例2 如图,在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中. (1)化简-++,并在图中标出化简结果的向量; (2)化简+++,并在图中标出化简结果的向量. 变式 (1)[2026·广西河池高二月考] 在空间四边形PABC中,+-= (　 ) A. B. C. D. (2)在四棱柱ABCD-A'B'C'D'中,底面ABCD为矩形,化简下列各式: ①+-+-; ②-+-. [素养小结] 空间向量加、减法运算的技巧: (1)向量加法的三角形法则是解决空间向量加、减法运算的关键,灵活应用相反向量可使向量间首尾相接. (2)利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加、减法运算时,务必要注意和向量、差向量的方向,必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果. ◆ 探究点三　空间向量的数乘运算及其应用 例3 (1)在三棱锥A-BCD中,E是BC的中点,则-(+)= (　 ) A. B. C. D. (2)(多选题)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分别为BB1,AC的中点,则=(　 ) A.(++) B.(++) C.-(+2+) D.(--) 变式 (1)[2025·湖北孝感重点高中高二期中] 在三棱柱ABC-A1B1C1中,E是BC的中点,=2,则= (　 ) A.-+ B.++ C.-++ D.-+- (2)[2026·天津河东区高二期中] 如图,M是四面体OABC的棱BC的中点,点N在线段OM上,点P在线段AN上,且MN=ON,AP=AN,则= (　 ) A.++ B.++ C.++ D.++ [素养小结] (1)若AB是空间中任意一条线段,O是空间中任意一点,则M为AB中点的充要条件是=(+). (2)计算向量的数乘时,要注意数形结合,即结合具体图形,利用向量的三角形法则、平行四边形法则,将目标向量转化为已知向量. 1.已知λ∈R,a为非零向量,则下列结论正确的是 (　 ) A.λa与a同向 B.|λa|=λ|a| C.λa可能是0 D.|λa|=|λ|a 2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列选项中化简后为零向量的是 (　 ) A.++ B.-+ C.++ D.++ 3.在四面体ABCD中,=2,=2,若=x+y+z,则x+y+z= (　 ) A.- B. C. D.1 4.如图所示,在三棱柱ABC-A'B'C'中,与是　　　　向量,与是　　　　向量.(填“相等”或“相反”)  5.[2026·河北唐山高二月考] 如图,在三棱锥A-BCD中,M,N分别是AB,CD的中点,则向量与,　　　　.(填“共面”或“不共面”)  学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1　空间向量及其运算 1.1.1　空间向量及其运算 第1课时　空间向量的概念及线性运算 【课前预习】 知识点一 1.大小　方向　模　长度　长度 2.相同　0　1　1　相等　相同　相同　相反 诊断分析 (1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√　[解析] (5)根据共线向量的定义可知,在空间中,共线向量就是表示这些空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合. 知识点二 同一平面 诊断分析 (1)×　(2)× 知识点三 1.①　　　② 2.a+b=b+a　(a+b)+c=a+(b+c)　3.体对角线 诊断分析 (1)×　(2)√　(3)√ 知识点四 1.方向相反　大小相等　2.　 知识点五 1.λa　(1)|λ||a|　①相同　②相反　(2)0 2.b=λa 3.=λ　　= 4.(λ+μ)a　λa+λb　线性 诊断分析 (1)×　(2)×　(3)× 【课中探究】 探究点一 例1　(1)ACD　(2)ABC　[解析] (1)若a,b是两个单位向量,则|a|=|b|=1,故A正确;共线不一定同向,故B错误;因为a,b,c为非零向量,且a∥b,b∥c,所以a∥c,故C正确;在空间任取一点A,过点A引两个与已知非零向量相等的向量,而这两个向量所在的直线相交于点A,两条相交直线确定一个平面,所以空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内,故D正确.故选ACD. (2)由题可知单位向量有,,,,,,,,共8个,故A正确;与相等的向量有,,,共3个,故B正确;向量的相反向量有,,,,共4个,故C正确;模为的向量有,,,,,,,,共8个,故D错误.故选ABC. 变式　2　[解析] 与是相反向量;与是相反向量.故有2对相反向量. 探究点二 例2　解:(1)-++=+++=++=+=,如图①所示. (2)+++=+++=+=,如图②所示. 变式　(1)C　[解析] +-=-=.故选C. (2)解:①+-+-=+++=++=++ =+=. ②-+-=+=+=. 探究点三 例3　(1)D　(2)BC　[解析] (1)如图,取CD的中点F,连接AF,EF.∵在三棱锥A-BCD中,E是BC的中点,∴-(+)=-==.故选D. (2)连接NB,则在△MNB中,=+,由向量加法的平行四边形法则,得=(+)=(+),又==,所以=(++).连接MC,则=+=++=++=-(+2+).故选BC. 变式　(1)C　(2)D　[解析] (1)如图,因为=2,所以=,所以=++=++=×(+)+(-)+=-+.故选C. (2)=+=+=+(-)=+=+×=+=+××(+)=++.故选D. 【课堂评价】 1.C　[解析] 当λ<0时,λa与a反向,故A错误;|λa|=|λ||a|,故B,D错误;当λ=0时,λa=0,故C正确.故选C. 2.C　[解析] 在选项C中,++=(+)+=+=0. 3.B　[解析] 连接AN,则=-=(+)-=-++,又=x+y+z,所以x=-,y=,z=,所以x+y+z=.故选B. 4.相等　相反　[解析] 根据相等向量、相反向量的定义知,与是相等向量,与是相反向量. 5.共面　[解析] 设BD的中点为Q,连接QN,在△DBC中,BC∥QN,故与共线.连接MQ,同理与共线,即与可平移到平面MQN内,显然也在平面MQN内,故与,共面. 学科网（北京）股份有限公司 $