1.1.1 第2课时 空间向量的数量积(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教B版)

本讲义聚焦空间向量的数量积核心知识点，从平面向量数量积自然过渡到空间向量，通过物理“功”的实例引入，系统梳理空间向量夹角、数量积定义、几何意义及运算性质，构建从概念到应用（运算、投影、夹角、距离计算）的完整知识支架。 该资料以物理情境培养学生用数学眼光观察现实世界，通过母题探究和一题多解发展数学思维，结合数学文化与新定义问题提升数学语言表达能力。课中助力教师高效授课，课后分层练习帮助学生巩固知识，查漏补缺。

第二课时　空间向量的数量积 课标 要求 1.掌握空间向量的数量积及其性质（直观想象）. 2.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义（数学运算）. 　　 　　如果一个物体在力F的作用下产生位移S，那么力F所作的功W＝F×S＝｜F｜｜S｜cos θ，为了在数学中体现“功”这样一个标量，我们引入了“数量积”的概念. 【问题】　（1）空间向量的数量积的定义是什么？ （2）空间向量数量积有哪些运算律？与平面向量数量积的运算律一样吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　空间向量的数量积 1.空间向量的夹角 如果＜a，b＞＝，那么向量a，b　互相垂直　，记作a⊥b. 【想一想】 1.当＜a，b＞＝0和＜a，b＞＝π时，向量a与b有什么关系？ 提示：当＜a，b＞＝0时，a与b同向；当＜a，b＞＝π时，a与b反向. 2.＜a，b＞，＜－a，b＞，＜a，－b＞，＜－a，－b＞，它们有什么关系？ 提示：＜－a，b＞＝＜a，－b＞＝π－＜a，b＞，＜－a，－b＞＝＜a，b＞. 2.空间向量数量积的定义 已知两个非零向量a，b，则｜a｜｜b｜cos＜a，b＞叫作a与b的数量积（也称为内积），记作a·b.即a·b＝｜a｜·｜b｜cos＜a，b＞. 3.数量积的几何意义 （1）向量的投影：如图所示， 过a的始点和终点分别向b所在的直线作垂线，即可得到向量a在向量b上的投影a'； （2）数量积的几何意义：a与b的数量积等于a在b上的投影a'的数量与b的长度的乘积，特别地，a与单位向量e的数量积等于a在e上的投影a'的数量.规定零向量与任意向量的数量积为0. 4.空间向量数量积的性质 （1）a⊥b⇔a·b＝0； （2）a·a＝｜a｜2＝a2； （3）｜a·b｜≤｜a｜｜b｜； （4）（λa）·b＝λ（a·b）； （5）a·b＝b·a（交换律）； （6）（a＋b）·c＝a·c＋b·c（分配律）. 提醒：（1）向量a，b的数量积记为a·b，而不能表示为a×b或ab；（2）向量数量积的运算不满足消去律和乘法结合律，即a·b＝a·c⇒/b＝c，（a·b）·c≠a·（b·c）. 【想一想】 空间向量a在向量b上的投影是向量吗？ 提示：是向量. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）零向量与任意向量的数量积为0.（　√　） （2）向量a在向量b上的投影向量c＝｜a｜cos＜a，b＞.（　×　） （3）向量a在平面β上的投影是一个向量.（　√　） （4）若非零向量a，b共线，则a·b＝｜a｜｜b｜.（　×　） 2.已知向量e1，e2，e3是两两垂直的单位向量，且a＝3e1＋2e2－e3，b＝e1＋2e3则（6a）·（b）＝（　　） A.15　　　　　　　　 B.3 C.－3　 D.5 解析：B　∵向量e1，e2，e3是两两垂直的单位向量，且a＝3e1＋2e2－e3，b＝e1＋2e3，∴（6a）·（b）＝3a·b＝3×（3e1＋2e2－e3）（e1＋2e3）＝9｜e1｜2－6｜e3｜2＝3.故选B. 3.如图，空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则·＝（　　） A.　 B. C.　 D. 解析：B　依题意，E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，所以FG∥AC，FG＝AC，△ABC是等边三角形，且边长为1.所以·＝·＝｜｜·｜｜·cos 60°＝.故选B. 　　 题型一　数量积的运算 角度1　空间向量数量积的运算 （链接教科书第11页例5）已知正四面体OABC的棱长为1，如图所示.求： （1）·； （2）（＋）·（＋）. 解：在正四面体OABC中，｜｜＝｜｜＝｜｜＝1. ＜，＞＝＜，＞＝＜，＞＝60°. （1）·＝｜｜｜｜cos∠AOB＝1×1×cos 60°＝. （2）（＋）·（＋）＝（＋）·（－＋－）＝（＋）·（＋－2）＝＋2·－2·＋－2·＝12＋2×1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60°＝1＋1－1＋1－1＝1. 【母题探究】 　（变条件，变设问）在本例条件下，若E，F分别是OA，OC的中点，求： （1）·； （2）·； （3）·. 解：（1）·＝·＝｜｜｜｜·cos＜，＞＝cos 60°＝. （2）·＝·＝｜｜2＝. （3）·＝·＝｜｜｜｜·cos＜，＞＝cos 120°＝－. 角度2　空间向量的投影 已知｜a｜＝4，空间向量e为单位向量，＜a，e＞＝，则空间向量a在向量e方向上的投影的数量为（　　） A.2　　　　　　　　 B.－2 C.－　 D. 解析：B　由题意，｜a｜＝4，｜e｜＝1，＜a，e＞＝，则空间向量a在向量e方向上的投影数量为＝＝4×（－）＝－2.故选B. 规律方法 求空间向量数量积的步骤 （1）首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式； （2）利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积； （3）根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模； （4）代入公式a·b＝｜a｜·｜b｜·cos＜a，b＞求解. 提醒：在求两个向量夹角时，要注意向量的方向. 1.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，则a·（b＋c）的值为（　　） A.1　 B.0 C.－1　 D.－2 解析：B　由题意可得AB⊥AD，AB⊥AA1，所以a⊥b，a⊥c，所以a·b＝0，a·c＝0，所以a·（b＋c）＝a·b＋a·c＝0，故选B. 2.已知空间向量a与b的夹角为60°，｜a｜＝2，｜b｜＝6，则2a－b在a方向上的投影的数量为　1　. 解析：因为a与b的夹角为60°，｜a｜＝2，｜b｜＝6，则a·b＝｜a｜｜b｜cos 60°＝2×6×＝6，则（2a－b）·a＝2｜a｜2－a·b＝2×22－6＝2，所以2a－b在a方向上的投影的数量为＝＝1. 题型二　空间向量的夹角 已知空间四边形OABC各边及对角线长都相等，E，F分别为AB，OC的中点，求向量与夹角的余弦值. 解：如图，设＝a，＝b，＝c，且｜a｜＝｜b｜＝｜c｜＝1. 易知∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝， 则a·b＝b·c＝c·a＝. ∵＝（＋）＝（a＋b）， ＝－＝－＝c－b， ∴·＝（a＋b）·（c－b）＝a·c＋b·c－a·b－b2＝－. 又｜｜＝｜｜＝， ∴cos＜，＞＝＝－. ∴向量与夹角的余弦值为－. 规律方法 利用数量积求异面直线的夹角或其夹角余弦值的步骤 提醒：向量与向量的夹角为∠BAC而与的夹角为π－∠BAC. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则向量与的夹角等于（　　） A.45°　 B.60° C.90°　 D.120° 解析：B　因为E，F，G，H分别是所在棱的中点.所以由三角形中位线定理可得，与同向共线，与同向共线，∴＜，＞＝＜，＞，在正方体中△A1BC1为等边三角形，∴＜，＞＝＜，＞＝60°，故选B. 题型三　利用空间向量的数量积求距离 如图所示，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，∠BAD＝，∠BAA1＝∠DAA1＝. （1）求·； （2）求AC1的长度. 解：（1）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，＝－＝＋－. 因为＝＋，AB＝AD＝1，AA1＝2，∠BAD＝，∠BAA1＝∠DAA1＝， 所以·＝0，·＝｜｜·｜｜·cos＜，＞＝2×1×cos＝1， ·＝｜｜·｜｜cos＜，＞＝2×1×cos＝1， 则·＝（＋－）·（＋） ＝·＋·＋·＋－－·＝1＋1＋0＋1－1－0＝2. （2）因为＝＋＋＝＋＋，　 所以＝（＋＋）2＝＋＋＋2·＋2·＋2· ＝1＋1＋4＋2×0＋2×1＋2×1＝10， 则｜｜＝，即AC1＝. 规律方法 求两点间的距离或线段长度的方法 （1）将此线段用向量表示； （2）用其他已知夹角和模的向量表示该向量； （3）利用｜a｜＝，通过计算求出｜a｜，即得所求距离. 　（2026·沈阳高二期末）如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝5，AA1＝6，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝，则AC1的长为　3　. 解析：平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝5，AA1＝6，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝，如图，∵＝＋＋，则｜｜2＝＝（＋＋）2＝｜｜2＋｜｜2＋｜｜2＋2｜｜·｜｜·cos＋2｜｜·｜｜·cos＋2｜｜·｜｜cos＝25＋25＋36＋2×5×5×＋2×5×6×＋2×5×6×＝171.∴AC1＝｜｜＝＝3. 　　 1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各对向量夹角为45°的是（　　） A.与　 B.与 C.与　 D.与 解析：A　A、B、C、D四个选项中两个向量的夹角依次是45°，135°，90°，180°，故选A. 2.在空间四边形ABCD中，·＋·＋·＝（　　） A.－1　 B.0 C.1　 D.不确定 解析：B　如图，令＝a，＝b，＝c，则·＋·＋·＝a·（c－b）＋b·（a－c）＋c·（b－a）＝a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a＝0.故选B. 3.已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，｜a｜＝2，｜b｜＝3，｜c｜＝4，则a与b的夹角为（　　） A.30°　 B.45° C.60°　 D.以上都不对 解析：D　设a与b的夹角为θ，由a＋b＋c＝0，得a＋b＝－c，两边平方，得a2＋2a·b＋b2＝c2，因为｜a｜＝2，｜b｜＝3，｜c｜＝4，所以4＋2×2×3cos θ＋9＝16，解得cos θ＝，故选D. 4.已知空间向量a，b，c两两夹角均为60°，其模均为1，则｜a＋b－2c｜＝　　. 解析：｜a＋b－2c｜＝＝＝ ＝ ＝. 　　 1.棱长为1的正四面体ABCD中，点E是AD的中点，则·＝（　　） A.　　　　　　 B.－ C.　 D.－ 解析：A　因为＝＋，所以·＝·（＋）＝·＋·，又｜｜＝｜｜＝1，｜｜＝，＜，＞＝，＜，＞＝，所以·＝1×1×cos＋1××cos＝. 2.对任意的空间向量a，b，c，下列说法正确的是（　　） A.若a⊥b，b⊥c，则a∥c B.（a·b）c＝a（b·c） C.a·（b＋c）＝a·b＋a·c D.若｜a｜＝｜b｜，则a＝b 解析：C　若a⊥b，b⊥c，则a与c不一定平行，如在正方体ABCD-A1B1C1D1中，满足⊥，⊥，此时⊥，故A说法错误；（a·b）c表示与c共线的向量，a（b·c）表示与a共线的向量，所以（a·b）c与a（b·c）不一定相等，B说法错误；向量的数量积满足乘法分配律，所以a·（b＋c）＝a·b＋a·c，C说法正确；若｜a｜＝｜b｜，则a与b模长相等，方向不一定，所以a与b不一定相等，D说法错误. 3.已知空间向量a，b，c满足a＋2b＋c＝0，｜a｜＝｜b｜＝｜c｜＝1，则a与b的夹角为（　　） A.30°　 B.150° C.60°　 D.120° 解析：C　设a与b的夹角为θ.由a＋2b＋c＝0，得a＋2b＝－c，两边平方得a2＋4a·b＋4b2＝7c2，所以1＋4×1×1×cos θ＋4＝7，解得cos θ＝.又θ∈[0°，180°]，所以θ＝60°. 4.已知｜a｜＝1，且a－b与a垂直，且a与b的夹角为45°，则｜b｜＝（　　） A.1　 B. C.2　 D.2 解析：B　∵a－b与a垂直，∴（a－b）·a＝0，∴a·a－a·b＝｜a｜2－｜a｜｜b｜cos＜a，b＞＝0.∴1－｜b｜×＝0，解得｜b｜＝. 5.已知A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，M为BC的中点，则△AMD是（　　） A.钝角三角形　 B.锐角三角形 C.直角三角形　 D.不确定 解析：C　因为M为BC的中点，所以＝（＋），可得·＝（＋）·＝·＋·＝0，所以⊥，即AM⊥AD，可得△AMD是直角三角形. 6.（2026·东营高二期末）如图，已知A，B，C是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点P为平面ABC外一点，且＜，＞＝＜，＞＝120°，｜｜＝3，若＝＋，则｜｜＝（　　 ） A.2　 B. C.6　 D. 解析：B　因为＝＋，所以＝＋＝－－＋，则｜｜2＝（－－＋）2＝＋＋＋2·－2·－2·＝22＋32＋32＋0－2×2×3×（－）－2×3×3×（－）＝37，所以｜｜＝.故选B. 7.〔多选〕（数学文化）《九章算术》中，将上、下底面为直角三角形的直三棱柱叫做堑堵，在如图所示的堑堵中，＝2，则（　　） A.＝＋＋ B.＝＋＋ C.向量在向量上的投影向量为 D.向量在向量上的投影向量为 解析：BD　∵＝＋＋＝＋＋＝＋＋（－）＝＋＋，故A错误，B正确.如图所示，过点D作DE垂直于BC，过点E作EF垂直于AB，∴AB⊥面DEF，EG垂直于AC，∴AC⊥面DEG，故向量在向量上的投影向量为，向量在向量上的投影向量为，由题意易得＝，＝，故＝，＝，C不正确，D正确.故选B、D. 8.〔一题多解〕如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，P是C1D1的中点，则与所成角的大小为　60°　，·＝　1　. 解析：法一　连接A1D（图略），则∠PA1D就是与所成的角，连接PD，在△PA1D中，易得PA1＝DA1＝PD＝，即△PA1D为等边三角形，从而∠PA1D＝60°，即与所成角的大小为60°，因此·＝××cos 60°＝1. 法二　根据向量的线性运算可得·＝（＋）·（＋）＝＝1.由题意可得PA1＝B1C＝，则××cos＜，＞＝1，从而＜，＞＝60°. 9.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E为棱B1C1上的动点，则向量在向量上的投影向量的模的取值范围为　［，］　. 解析：由E为棱B1C1上的动点，设＝λ（0≤λ≤1），因为＝＋＝＋λ＝＋＋λ，所以·＝（＋＋λ）·＝·＋·＋λ·＝1××cos 45°＋λ×1××cos 45°＝1＋λ，所以向量在向量上的投影向量的模为，又0≤λ≤1，所以1≤1＋λ≤2，所以≤≤，所以向量在向量上的投影向量的模的取值范围为. 10.如图，在空间四边形OABC中，D，E分别为BC，OA的中点，点G为△ABC的重心，设＝a，＝b，＝c. （1）试用向量a，b，c表示向量； （2）若OA＝OC＝2，OB＝1，∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝60°，求·的值. 解：（1）＝＋＝＋ ＝＋×（＋）＝＋（＋）＝a＋（b－a＋c－a）＝（a＋b＋c）. （2）＝（＋）＝（b－a＋c－a）＝（b＋c－2a）， ＝＋＝－b＋a， ·＝（a－b）·（b＋c－2a） ＝（a·b＋a·c－a2－b2－b·c＋2a·b） ＝（×2×1×＋×2×2×－4－1－1×2×）＝－. 11.如图所示，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi（i＝1，2，…，8）是上底面上其余的八个点，则·（i＝1，2，…，8）的不同值的个数为（　　） A.8　 B.4 C.2　 D.1 解析： D　·＝·（＋）＝＋·，∵AB⊥平面BP2P8P6，∴⊥，∴·＝0，∴·＝｜｜2＝1，则·（i＝1，2，…，8）的不同值的个数为1. 12.〔多选〕（新定义）在三维空间中，定义向量的外积：a×b叫做向量a与b的外积，它是一个向量，满足下列两个条件： ①a⊥（a×b），b⊥（a×b），且a，b和a×b构成右手系，即三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、中指的指向一致，如图所示；②a×b的模｜a×b｜＝｜a｜｜b｜sin＜a，b＞.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，有以下四个结论，其中正确的有（　　） A.｜×｜＝｜×｜ B.×与共线 C.×＝× D.6｜×｜与正方体表面积的数值相等 解析：ABD　对于A，设正方体的棱长为1，在正方体中，＜，＞＝60°，则｜×｜＝｜｜｜｜sin＜，＞＝××＝.因为BD∥B1D1，且∠AD1B1＝60°，所以＜，＞＝120°，所以｜×｜＝｜｜｜｜·sin＜，＞＝××＝，所以｜×｜＝｜×｜，所以A正确； 对于B，如图，连接B1D1，A1C1⊥B1D1，A1C1⊥BB1，B1B∩B1D1＝B1，B1B，B1D1⊂平面BB1D1D，所以A1C1⊥平面BB1D1D，因为BD1⊂平面BB1D1D，所以BD1⊥A1C1，同理可证BD1⊥A1D，再由右手系知，×与同向，所以B正确；对于C，由a，b和a×b构成右手系知，a×b与b×a方向相反，又由a×b模的定义知，｜a×b｜＝｜a｜｜b｜sin＜a，b＞＝｜b｜｜a｜sin＜b，a＞＝｜b×a｜，所以a×b＝－b×a，则×＝－×，所以C错误；对于D，设正方体的棱长为a，6｜×｜＝6｜｜｜｜·sin 45°＝6a×a×＝6a2，正方体表面积为6a2，所以D正确.故选A、B、D. 13.已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AD＝4，O为对角线AC1的中点，过点O的直线与长方体表面交于E，F两点，M为长方体表面上的动点，则·的取值范围是　[－5，5]　. 解析：O为AC1的中点，即为正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的中心，由对称性，O为EF的中点，则·＝（＋）·（＋）＝（＋）·（－）＝－，AA1＝2AD＝4，AB＝AD＝2，AC1＝＝2，所以｜｜，｜｜∈[1，]，所以－∈[－5，5]. 14.如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，沿着它的对角线AC将△ACD折起，使AB与CD成60°角，求此时B，D两点间的距离. 解：在平行四边形ABCD中，∵∠ACD＝90°，∴·＝0，同理可得·＝0. 在空间四边形ABCD中，∵AB与CD成60°角，∴＜，＞＝60°或＜，＞＝120°. 又＝＋＋，∴｜｜2＝｜｜2＋｜｜2＋｜｜2＋2·＋2·＋2·＝3＋2×1×1×cos＜，＞， ∴当＜，＞＝60°时，｜｜2＝4，此时B，D两点间的距离为2， 当＜，＞＝120°时，｜｜2＝2，此时B，D两点间的距离为. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $