2.1 坐标法(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦坐标法及平面直角坐标系中的距离公式、中点公式等核心知识点，课前通过知识点梳理与诊断分析夯实基础，课中探究分层次递进，从数轴公式运用到坐标法解决几何问题，构建连贯的学习支架。 其亮点在于分层次探究与素养小结结合，如用坐标法证明等边三角形中线段相等，体现数学语言表达现实世界，素养小结提炼“三步曲”培养数学思维，例题变式助学生用数学眼光发现问题，能提升学生逻辑推理能力，为教师提供系统教学资源。

2.1 坐标法 1 探究点一 数轴上基本公式的运用 探究点二 平面直角坐标系中两点间距离公式的应用 探究点三 平面直角坐标系中的中点坐标公式的应用 探究点四 坐标法的应用 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课堂评价 课后习题 2 【学习目标】 1.理解平面直角坐标系中的基本公式; 2.理解坐标法的数学思想并能掌握坐标法的应用. 3 知识点一 平面直角坐标系中的基本公式 1.数轴上的基本公式 如果数轴上点对应的数为（即 的坐标为____，记作______）， 且 ． （1）向量 的坐标为________. （2），两点之间的距离为 _________. （3），两点的中点坐标为 . 课 前 预 习 4 2.平面直角坐标系中的基本公式 已知， ． （1） ________________. （2）两点之间的距离公式： ， 的几 何意义是______________________________. （3）中点坐标公式:若点是线段的中点,则______, ______. 两点,之间的距离 课 前 预 习 5 【诊断分析】 判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）数轴上的点与实数之间是一一对应的关系.( ) √ [解析] 数轴上的点与实数之间是一一对应的关系. （2）数轴上右边点的坐标大于左边点的坐标.( ) √ [解析] 由数轴的概念可知正确. 课 前 预 习 6 （3）平面直角坐标系内，两点间的距离与， 的顺序有关.( ) × [解析] 由平面直角坐标系内两点间的距离公式知，， 两点间的距 离与， 的顺序无关. （4）中点坐标公式中两点坐标的位置没有先后顺序.( ) √ [解析] 由公式， ，结合加法的交换律知，中点坐 标公式中两点坐标的位置没有先后顺序. 课 前 预 习 7 知识点二 坐标法 通过建立平面直角坐标系，将几何问题转化为代数问题，然后通过 代数运算等解决了问题，这种解决问题的方法称为________. 坐标法 课 前 预 习 8 探究点一 数轴上基本公式的运用 例1 已知数轴上，， . （1）求 ； 解： . （2）当时，求 的值； 解：由题知,若，则 ， 解得或 . （3）若是的中点，求 的值. 解：若是的中点，则，解得 . 课 中 探 究 9 变式 已知数轴上，，，四点的坐标分别是，，， . （1）若，求 的值； 解：因为，所以，解得 . （2）若，求 的值； 解：因为，所以，即或 ， 解得或 . 课 中 探 究 10 （3）若，求证： . 证明：因为,, , 所以,即 ， 所以 , ,所以 . 变式 已知数轴上，，，四点的坐标分别是，，， . 课 中 探 究 11 ［素养小结］ 数轴上的基本公式的应用思路与方法： （1）已知向量<m></m>，<m></m>，<m></m>中的两个的坐标，求另外一个的坐标时， 使用<m></m>求解． （2）已知向量的起点和终点的坐标，求向量坐标，使用 <m></m>求解． （3）已知数轴上两点间的距离时，使用<m></m> 求解． 课 中 探 究 12 探究点二 平面直角坐标系中两点间距离公式的应用 例2 已知的三个顶点分别是，， ． （1）判断 的形状； 解： ， ， ， 且 ， 是等腰直角三角形． （2）求 的面积． 解： ． 课 中 探 究 13 变式（1）在直角坐标系中，已知点和 满足 ，那么 的值为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 [解析] 因为，所以，解得 ， 故选C. √ 课 中 探 究 14 （2）已知点，，当取得最小值时， 的值为__. ,所以当时， 取得最小值． 课 中 探 究 15 ［素养小结］ 根据两点间的距离公式,可求出三角形三边的长度,进而可判断三角形 的形状.在进行判断时,一定要得出最终结果,如一个三角形是等腰直角 三角形,若我们只通过两边长相等判断它是等腰三角形则是不正确的. 课 中 探 究 16 探究点三 平面直角坐标系中的中点坐标公式的应用 例3 已知平行四边形的两个顶点分别为， ，两对 角线的交点为，求顶点， 的坐标. 解：设点的坐标为， 由为的中点得 可得 设点的坐标为，由为的中点得 可得故点的坐标为，点的坐标为 . 课 中 探 究 17 变式 已知函数f(x)的图象与函数h(x)=x++2的图象关于点A(0,1)对称, 则f(x)的解析式为______________. f(x)=x+,x≠0 [解析] 设f(x)图象上任一点的坐标为(x,y),则点(x,y)关于点A(0,1)的 对称点为(-x,2-y), ∵f(x)的图象与h(x)的图象关于点A(0,1)对称, ∴点(-x,2-y)在h(x)的图象上,∴2-y=-x++2,∴y=x+,∴f(x)=x+,x≠0. 课 中 探 究 18 ［素养小结］ （1）若点<m></m>的坐标为<m></m>，则点<m></m>关于点<m></m>对称的点的坐标 为<m></m>. （2）利用中点坐标公式可求得以<m></m>，<m></m>，<m></m>为 顶点的<m></m>的重心坐标为<m></m>. 课 中 探 究 19 探究点四 坐标法的应用 例4 如图，和是在直线 同侧的两个等边三角形．试 用坐标法证明： 课 中 探 究 20 证明：如图所示，以为坐标原点，取 所在 直线为轴，建立平面直角坐标系. 设 和的边长分别为， , 则，，， ， 所以 , , 所以 . 课 中 探 究 21 变式 如图，已知在中， ， ，，点在斜边上（不与， 重合），过点作， ，垂足分别是 ，，连接.随着点在边上位置的改变， 的长度是否也会改变？若不变，请你求出 的长度； 若有变化，请你求出 的长度的取值范围. 课 中 探 究 22 解：建立如图所示的平面直角坐标系，则可设点 的坐标为 . 连接,易知四边形 为矩形，则 由题知，所以的长度会改变，且 的长 度的取值范围是 . ， 当 时， ， 课 中 探 究 23 ［素养小结］ 用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”： 第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何 元素,将平面几何问题转化为代数问题; 第二步:通过代数运算,解决代数问题; 第三步:把代数运算的结果翻译成几何结论. 课 中 探 究 24 1.［2026·宁夏石嘴山三中高二月考］数轴上向量的坐标为 ,且 ,则点 的坐标为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 [解析] 由,得,解得 . √ 课 堂 评 价 25 2.已知点，，，且，则 的值是 ( ) A. B.2 C. D. [解析] 因为点，，，且 ，所以 ，解得 . √ 课 堂 评 价 26 3.（多选题）在数轴上,下列各组点中,点位于点 左侧的是 ( ) A.和 B.和 C.和 D.和 [解析] 由数轴上点的坐标的特点可知B，C，D正确.故选 . √ √ √ 课 堂 评 价 27 4.在等腰三角形中，为顶角，若，， 边的中 点是 ，则此三角形的腰长为_____. [解析] 因为, ， 所以在直角三角形中， . 课 堂 评 价 28 课后习题 29 1.在数轴上有两点，，点，，那么的中点 的坐 标为( ) A.2 B. C.3或 D.2或 [解析] 设，， ， 或，又为的中点， ， 或 .故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 30 2.已知点，，则线段 的中点坐标为( ) A. B. C. D. [解析] 由点，，得线段的中点坐标为 ， 即 .故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 31 3.已知，，，且点关于点的对称点为 ，则 ( ) A.2 B.4 C. D. [解析] 由题意知为的中点，设，则解得 所以，所以 . √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 32 4.［2025·福建三明一中高二月考］已知点,,点在 轴 上,则 的最大值为( ) A. B. C.5 D.4 [解析] 如图,作点关于 轴的对称点 ,连接并延长交轴于点 ,此时 , 取得最大值，最大 值为 . √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 33 5.已知点在轴上，点在轴上，的中点是，则 等 于( ) A.5 B. C. D. [解析] 设，，由中点坐标公式得， ，由两 点间的距离公式得 .故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 34 6.一束光线从点射到轴上，经轴反射以后过点 ， 则光线从点到点 经过的路程为( ) A. B. C. D. [解析] 点关于轴的对称点为，连接 ，则光线 从点到点经过的路程为 . 故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 35 7.（多选题）一条平行于轴的线段长为5，它的一个端点是 ， 则它的另一个端点的坐标可能是( ) A. B. C. D. [解析] 由题可设另一个端点的坐标为，则 ,解得 或.故选 . √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 36 8.已知的三边，，的中点分别为, , ，则顶点 的坐标为_________. [解析] 设,,, 因为的三边， ，的中点分别为,, , 所以可得 故顶点 的坐标为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 37 9.若，是平行四边形的两个顶点，与 交于点，则， 的坐标分别为________________. ， [解析] 由题意，为,的中点，不妨设, ， 由中点坐标公式得 则 ， . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 38 10.（13分）在中,为边上任意一点与,不重合 ,且 求证: 为等腰三角形. 证明：如图,作,垂足为,以所在直线为 轴,以所在直线为 轴,建立平面直角坐标系. 设,,, . 因为 , 所以 , 即 ， 又,所以,即 , 所以,所以 为等腰三角形. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 39 11.已知点，，，则 的面积为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 [解析] ，， ，则 为等腰三角形. 取的中点，连接，则为 边上的高，且 ，所以 .故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 40 ★12.（多选题）对于 ，下列说法正确的是( ) A.可看作点与点 的距离 B.可看作点与点 的距离 C.可看作点与点 的距离 D.可看作点与点 的距离 √ √ √ [解析] ,则 可看 作点与点的距离，也可看作点与点 的距离， 也可看作点与点的距离.故选 . ［技巧点拨］ 对代数式进行变形，其几何意义为两点间的距离，注 意点到原点的距离问题. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 41 13.已知函数f(x)=x2-2x+2,g(x)=ax2+bx+c,若这两个函数的图象关于点 (2,0)对称,则g(x)的解析式为________________. g(x)=-x2+6x-10 [解析] 设g(x)图象上的一点(x0,g(x0)),由题知点(x0,g(x0))关于点(2,0) 对称的点(4-x0,-g(x0))在f(x)的图象上, 则-g(x0)=f(4-x0)=(4-x0)2-2(4-x0)+2=-6x0+10, 又g(x0)=a+bx0+c,所以-(a+bx0+c)=-6x0+10,得 所以g(x)=-x2+6x-10. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 42 14.（13分）在数轴上，对坐标分别为和的两点和 ，用绝对值 定义两点间的距离，表示为 . （1）在数轴上任意取三点，， ，证明： . 证明：设,, ， 不妨设，则 . 当在,之间时，, ,此时 ; 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 43 当时，, ， 则 ， 即 ； 同理可证当时，也有 成立. 综上， . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 （2）设和两点的坐标分别为 和2，分别找出（1）中不等式等 号成立和等号不成立时点 的坐标的取值范围. 解：当和两点的坐标分别为 和2时， 由（1）的证明可知，当点位于和两点之间或者与 重合或者与 重合时，等号成立，此时点的坐标的取值范围是 , 当点不在和两点之间时，等号不成立，此时点 的坐标的取值范 围是 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 15.［2024·山东青岛二中高二月考］函数 的值域为_______. [解析] 设,, ,则 , ，所以 . 因为,且,所以,所以 , 故所求函数的值域为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 16.（15分）如图,在△ABC中,∠ACB=90°,P为三角形内一点,且 S△PAB=S△PBC=S△PCA.求证:|PA|2+|PB|2=5|PC|2. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 证明：如图,以C为坐标原点,CA所在直线为x轴,CB所在直线为y轴, 建立平面直角坐标系,则C(0,0),设A(3a,0),B(0,3b),P(x,y). 因为S△PCA=S△PBC=S△PAB,所以S△PCA=S△ABC, 即×3ay=××3a×3b,所以y=b. 同理由S△PBC=S△ABC,即×3bx=××3a×3b,得x=a, 所以点P的坐标为(a,b),所以|PA|2=(3a-a)2+b2=4a2+b2, |PB|2=a2+(3b-b)2=a2+4b2,|PC|2=a2+b2,所以|PA|2+|PB|2=5|PC|2. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 48 $