滚动习题（二）(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦立体几何中空间向量的应用，涵盖线面垂直、法向量求解、空间角与距离计算等核心知识点。通过正方体、四棱锥等模型题导入，从基础向量运算到复杂翻折问题，构建递进式学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于以“数学思维”为核心，通过详细解析（如建系、向量方程推导）培养逻辑推理能力，结合“数学眼光”的空间观念（如斜三棱柱模型），用“数学语言”精准表达几何关系。例如第5题动点轨迹问题，步骤清晰，助力学生掌握工具，教师可高效开展分层教学。

滚动习题（二） 1 范围1.2 （时间:45分钟 分值:100分） 一、单项选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 1.直线的一个方向向量为，平面 的一个法向量为 ，若 ，则 ( ) A.2 B. C. D.10 [解析] 因为，所以，所以，解得 .故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 2.如图，在正方体中，以 为原点建立空间直角坐标系，为 的中 点，为 的中点，则下列向量中，能作 为平面 的法向量的是( ) A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 [解析] 设正方体 的棱长为2， 则，， ，所以 ，， 设平面 的一个法向量为 ，则 即令 ，得 . 因为平面 的任意两个法向量都平行，所以A选项符合题意.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4 3.已知平面 的一个法向量为，平面 的一个法向量为 ，则平面 与平面 的位置关系是( ) A.平行 B.相交但不垂直 C.垂直 D.不能确定 [解析] 因为 ，所以两 个平面的法向量垂直，所以平面和平面 的位置关系为垂直.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5 4. [2026·河北邢台高二月考] 如图,△SAB是圆锥SO的轴截面,SA=AB, C是半圆弧AB的中点,D是线段OB的中点,则异面直线SA与CD所成角的 余弦值是( ) A. 　　 B. C. 　 　D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6 [解析] 如图,连接OC,∵C是半圆弧AB的中点,∴OC⊥OB,又SO⊥平面ABC,∴OC,OB,OS两两垂直,以O为坐标原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系. 设AB=4,则SA=AB=4,则SO=2, 则A(0,-2,0),C(2,0,0),D(0,1,0),S(0,0,2), ∴=(0,-2,-2),=(-2,1,0), 设异面直线SA与CD所成的角为θ, 则cos θ=|cos<,>|===.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.［2025·山西太原高二期中］如图，已知正方体 的棱长为2,,分别是棱,的中点，点为底面 内 （包括边界）的一个动点，若直线与平面无公共点，则点 的轨迹长度为( ) A. B. C.2 D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8 [解析] 以点为坐标原点，,, 的方向分别 为,, 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，,, ， 设，,，则 , ,. 设平面 的一个法向量为，则 取，可得.由题意可知，平面 ， 所以， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9 令，可得 ，令，可得， 所以点 的轨迹为线段，且交于点， 交于点，所以点 的轨迹长度为 . 故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6.[2026·四川南充高二期中] 如图①,在平行四边形ABCD中,AB⊥AC, AB=2AC=4,如图②,沿AC将△ACD折起到△PAC的位置,使得点P到点 B的距离为8,则二面角P-AC-B的余弦值为 ( ) A. B.- C. D.- √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11 [解析] 方法一:翻折前,在平行四边形ABCD中,AB∥CD,AB⊥AC, 则CD⊥AC,翻折后,则AC⊥PC,AC⊥AB, 由题意可得·=·=0,||=2,||=||=4. 设二面角P-AC-B的大小为θ,则θ=<,>, 由=++,得=+++2·+2·+2·, 因为||=8,所以64=16+4+16+2×4×4×cos<,>,解得cos<,>=, 所以cos θ=cos<,>=-cos<,>=-, 所以二面角P-AC-B的余弦值为-.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12 方法二:翻折前,在平行四边形ABCD中,AB∥CD,AB⊥AC,则CD⊥AC, 则AD===2,翻折后,AC⊥PC,AC⊥AB,AP=2. 设二面角P-AC-B的大小为θ,则θ=<,>,由题意可得·=·=0, ||=2,||=||=4,因为=-,所以=(-)2=+-2·,即82=42+(2)2-2·,解得·=-14, 因为·=(+)·=·+·=-14, 所以cos θ=cos<,>===-, 所以二面角P-AC-B的余弦值为-.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 二、多项选择题：本大题共2小题，每小题6分，共12分. 7.如图，在棱长为2的正方体中，点, 分别为棱 ,的中点.点为正方体表面上的动点，满足 .给出下列 四个结论，其中正确的是( ) A.存在点，使得 B.存在点，使得 平面 C.存在点，使得 D.存在点，使得 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14 [解析] 如图，以 为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则，，, , ,, . 对于A，由正方体性质知当点在点处时，线段 的长度取得最大值，此时, 又 ，，所以， 故存在点 ，使得，故A正确； 对于B,设， 则，， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 若平面 ，则 即显然满足题意，故存在点 ， 使得平面 ，故B正确； 对于C，取正方形的中心，连接,，易知 , ，所以四边形 为平行四边形，所以，故运动到处时， ，此时，则 ，因为 ， 所以与 不垂直，故不存在点使得 ,故C错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 对于D，若存在点，使得 ，则 化简可得即 显然 满足题意，故存在点，使得 ， 故D正确.故选 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8.在长方体中，，点, 满 足， ，则下列结论正确的有 ( ) A.若直线与异面，则 B.若，则 C.直线与平面所成角的正弦值为 D.若直线平面，则 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 18 [解析] 以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角 坐标系，则,,, ， ,所以, ， ,, . 对于A，若直线与异面，则，得 ， 故A正确； 对于B，若,则即 ,解得 故B错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 19 对于C，, ， 设平面 的一 个法向量为， 则 即令，得， 设直线 与平面所成的角为， 则 , ，故C正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 对于D，设平面的一个法向量为 ， 则 即 令 ，得， 若直线平面 ， 则，解得 ， 故D正确.故选 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 三、填空题：本大题共3小题,每小题5分,共15分. 9.如图，在四棱锥中，， ， ，， 平面 ，则异面直线 与 之间的距离为_ ____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 22 [解析] 以点为坐标原点，,, 的方向分别 为轴、轴、 轴的正方向，建立如图所示的空间 直角坐标系，则,, , ,所以 ， ，. 设向量同时垂直于 , ， 则令 ，则， 所以异面直线与 之间的距离 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 23 10.如图，四棱锥的底面 是梯形， 平面， ，， ， ，为棱 上 一个动点，且,，若与平面 所成的角为 ，则 __. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 24 [解析] 连接，在 中，由余弦定理得 向建立如图所示的空间直角坐标系，则，， ，，，所以 ，， ， ， ，则 ，所以. 以 为坐标原点，,,的方向分别为,, 轴的正方 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 25 因为 ， ， 所以. 设平面 的一个法向量为 ， 则 令 ，得， 所以 , ， 解得 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ★11.把边长为2的正方形纸片沿对角线 折起，设二面角 的大小为 ，异面直线与所成的角为 ，当 时， 的取值范围是______. [解析] 设的中点为，连接，，则， ， 所以即为二面角的平面角，所以 . 以 为坐标原点，，，过点垂直于平面 且向上的方向分别 为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，则 ， ，， ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 27 所以 ，，0），， ， ， 所以， ， 因为，所以，所以 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ［技巧点拨］ 应用空间向量求解最值（取值范围）问题，一般都是 将坐标设为含有三角函数的形式或变量，应用三角函数的知识或函 数思想进而求解最值（取值范围）问题. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 四、解答题：本大题共3小题,共43分. 12.（13分）如图①所示，在中， ， ， ，，分别是，上的点，满足且点是 上 靠近点的三等分点，将沿折起到 的位置，使 ，是 的中点，如图②所示. （1）求证： 平面 ； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 30 证明：因为在中， ， ，且 ，所以， ，所以折叠后， ， 又，， 平面， 所以 平面 ，又 平面， 所以 ，又，， , 平面 ，所以 平面 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 31 （2）求与平面 所成角的余弦值. 12.（13分）如图①所示，在中， ， ， ，，分别是，上的点，满足且点是 上 靠近点的三等分点，将沿折起到 的位置，使 ，是 的中点，如图②所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 32 解：以为坐标原点，，， 的方向分别 为轴、轴、 轴的正方向，建立如图所示的空 间直角坐标系. 由几何关系可知, , ， 则，，， ， 所以，， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 33 设平面的一个法向量为 ， 则 令，可得 . 设与平面所成的角为 ， 则, ， 所以， 所以 与平面所成角的余弦值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13.（15分 ）如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形,DE⊥ 平面ABCD,平面ABF∥平面CDE,AB=DE=2,AF=1. (1)求证:AF∥DE; 证明：因为平面ABF∥平面CDE,平面ABF∩平面ADEF=AF, 平面CDE∩平面ADEF=DE,所以AF∥DE. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 35 （2）求平面BEF与平面BCE所成角的余弦值; 解：因为DE⊥平面ABCD,四边形ABCD是正方形, 所以DA,DC,DE两两垂直. 以D为坐标原点,以,,的方向分别为x,y,z轴的 正方向,建立如图①所示的空间直角坐标系, 则F(2,0,1),B(2,2,0),C(0,2,0),E(0,0,2), 所以=(-2,-2,2),=(0,-2,1),=(-2,0,0). 13.（15分）如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形,DE⊥ 平面ABCD,平面ABF∥平面CDE,AB=DE=2,AF=1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 36 解：设平面BEF的一个法向量为n=(x1,y1,z1), 则令y1=1,得n=(1,1,2). 设平面BCE的一个法向量为m=(x2,y2,z2), 则令y2=1,得m=(0,1,1). 设平面BEF与平面BCE所成的角为θ,  则cos θ=cos<n1,n2>===, 所以平面BEF与平面BCE所成角的余弦值为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 37 （3）若直线BE上存在点P,使得PF⊥CE,求线段PE的长度. 解：如图②,令=λ(λ∈[0,1]),则=+= λ+=(-2λ,-2λ,2λ)+(2,0,-1)=(2-2λ,-2λ,2λ-1),=(0,-2,2), 因为PF⊥CE,所以·=0,即4λ+4λ-2=0,解得λ=,所以== ,所以||==,故线段PE的长度为. 13.（15分）如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形,DE⊥ 平面ABCD,平面ABF∥平面CDE,AB=DE=2,AF=1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 38 14.（15分）如图，在斜三棱柱 中，，，点 在底 面上的射影恰为的中点 ，且 . （1）求证： . 证明：如图，作交于点，以为坐标 原点， ,, 的方向分别为,, 轴的正方向， 建立空间直角坐标系，则,,, , , ， ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 39 （2）求直线与平面 所成角的正弦值. 解：易知平面的一个法向量为 ， ， , ， , ， 设直线与平面所成角的大小为 ， 则, . 14.（15分）如图，在斜三棱柱 中，， ，点 在底面上的射影恰为的中点 ，且 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 40 （3）在棱上是否存在点 （包括端点）,使得平面与平面 所成角的大小为 ？若存在，确定点 的位置;若不存在，请说明理由. 解：,, ， 设 ， 则, . 14.（15分）如图，在斜三棱柱 中，， ，点 在底面上的射影恰为的中点 ，且 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 41 设平面的一个法向量为 ， 则 取，得 . 若存在点，使得平面与平面 所成角的大小为 ， 则，解得 ， 又， 不存在点 满足要求. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 42 $