第1章 15-三年高考模拟练（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（人教B版）

该高中数学单元复习课件系统梳理了空间向量与立体几何的核心内容，涵盖向量运算、位置关系证明、角度距离计算及轨迹问题，通过知识框架将基础概念与综合应用串联，构建从向量工具到立体几何问题解决的逻辑脉络。 其亮点在于融入创新情境与分层设计，如以“右手标架”新定义题培养数学眼光，通过法向量计算、二面角推导强化数学思维，用坐标法解决轨迹问题提升数学语言表达。分层练习适配不同水平学生，助力教师精准教学，有效巩固知识与核心素养。

第一章 空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 三年高考模拟练 第1讲　描述运动的基本概念 应用实践 1.[2025重庆青木关中学校期中]已知正四面体P-ABC的棱长为6,空间中一点M满足 =x +y +z , 其中x,y,z∈R,且x+y+z=1,则| |的最小值为 ( ) A.2 　　    B.4　　    C.6　　    D.2      D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　因为 =x +y +z ,x+y+z=1,所以 =(1-y-z)· +y +z ,即 = -y -z +y +z  ,即 - =y( - )+z( - ),所以 =y +z . 因为 , 不共线,所以 , , 共面,所以点M在平面ABC内,所以当PM⊥平面ABC时,| |最小.   取BC的中点D,连接AD,则点M在AD上,且AM= AD= × =2 ,所以PM= =  =2 ,即| |的最小值为2 . 第1讲　描述运动的基本概念 2.[多选题][2026四川成都蓉城名校联盟期中]在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,∠A1AD=∠A1AB= ,AB ⊥AD,AB=2,AD=AA1=1,下列结论正确的是 ( ) A.AC1=3 B.异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为  C.直线A1A与平面ABCD所成角的正弦值为  D.点D到平面A1ABB1的距离为      ABD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　因为∠A1AD=∠A1AB= ,AB⊥AD,AB=2,AD=AA1=1,所以 · =0, · =2×1×cos =1, ·  =1×1×cos = ,故 =( + + )2=4+1+1+2+1=9,所以AC1=3,故A正确; 因为 = - ,所以 =( - )2=1+1-1=1,所以| |=1,易得 · =( + + )·( - )=- 1, 设异面直线AC1与A1D所成的角为θ,则cos θ= = ,故B正确;   第1讲　描述运动的基本概念 如图,取棱AB的中点E,棱CD的中点F,连接EF,A1E,A1F,DE,AF,DE与AF交于点O,连接A1O, 易得AE=DF=AD=EF=1,又AB⊥AD,所以四边形AEFD为正方形,所以DE= ,DO=AO= , 易得A1O⊥DE,所以A1O= ,又AO= ,AA1=1,所以AO2+A1O2=A ,所以A1O⊥AO,即A1O⊥OF,则A1F=  =1,所以四棱锥A1-AEFD是棱长为1的正四棱锥, 由正棱锥的性质可知A1O⊥平面AEFD,则∠A1AO是直线A1A与平面ABCD所成的角, 可得sin∠A1AO= = ,故C错误; 设点D到平面A1ABB1的距离为h,由 = ,得 × ×1×1× = h× ×1×1×sin 60°,解得h= ,故点D 到平面A1ABB1的距离为 ,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[创新题](新考法·线面平行与轨迹综合)[2026上海市西中学阶段测试]如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D 1的棱长为2,E,F分别是棱AA1,A1D1的中点,点P为底面ABCD内(包括边界)的一动点,若直线D1P与平面 BEF无公共点,则点P的运动轨迹长度为 ( )   A. 　　    B. 　　    C.2　　    D.      B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　以点D为坐标原点, , , 的方向分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略),则B(2, 2,0),E(2,0,1),F(1,0,2),D1(0,0,2),所以 =(0,-2,1), =(-1,0,1). 设平面BEF的法向量为m=(x,y,z), 则  令z=2,得x=2,y=1,所以m=(2,1,2). 设P(a,b,0),a∈[0,2],b∈[0,2],则 =(a,b,-2). 因为直线D1P与平面BEF无公共点,所以D1P∥平面BEF,所以 ·m=2a+b-4=0. 令b=0,得a=2;令b=2,得a=1, 所以点P的轨迹为线段,且交AD于点A(2,0,0),交BC于点(1,2,0)(记为M), 所以点P的运动轨迹长度为AM= = = . 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026陕西咸阳实验中学质量检测]如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC为腰长为1的等腰直角三角 形,且AB>AC,侧面ACC1A1为正方形, =2 ,P为平面A1BC内一动点,则PA+PE的最小值是 ( )   A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　易知CA,CB,CC1两两互相垂直.以C为坐标原点, , , 的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建 立空间直角坐标系(图略),则A1(1,0,1),B(0,1,0),C(0,0,0),A(1,0,0),E ,所以 =(0,1,0), =(1,0,1),  =(0,0,1). 设点A关于平面A1BC的对称点为A'(x,y,z),z>0,则 =(1-x,-y,1-z), =(x-1,y,z). 设平面A1BC的法向量为n=(x1,y1,z1), 则 即  令x1=1,得n=(1,0,-1), 所以点A或点A'到平面A1BC的距离d= = = = ,即|-x+z|=1①. 第1讲　描述运动的基本概念 易知 ∥n,所以 ②. 由①②得|2z-1|=1,又z>0,所以z=1,所以x=0,所以A'(0,0,1),所以PA+PE=PA'+PE≥A'E=  = = ,当且仅当A',P,E三点共线时取等号,所以PA+PE的最小值为  . 第1讲　描述运动的基本概念 5.[多选题][2026江苏无锡大桥实验学校期中]在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2,点E,F满足 = +λ  +μ (0<λ<1,0<μ<1), = ,则下列结论正确的有 ( ) A.直线BE与D1F一定为异面直线 B.直线AE与平面ACB1所成角的正弦值为  C.四面体A-DEF的体积恒为2 D.当λ=μ时,AF+A1F的最小值为      ABD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图1,   则A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(0,0,0),A1(2,0,2),B1(2,2,2),E(0,0,1), 所以 =(0,2,0), =(0,0,2), =(-2,0,0). 由 = +λ +μ (0<λ<1,0<μ<1)得 =(-2μ,2,2λ),所以F(2-2μ,2,2λ). 由于0<λ<1,0<μ<1,所以0<2-2μ<2,0<2λ<2,所以点F在平面BCC1B1内(不包括边界). 第1讲　描述运动的基本概念 连接BD,B1D1,又D1在平面BB1D1D内,所以D1F和平面BB1D1D相交,又BE⊂平面BB1D1D,D1∉直线BE,所以 直线BE与D1F一定为异面直线,故A正确. 易得 =(-2,2,0), =(0,2,2), =(-2,0,1). 设平面ACB1的法向量为m=(x,y,z), 则  令y=1,得x=1,z=-1,则m=(1,1,-1), 所以cos< ,m>= = =- , 设直线AE与平面ACB1所成的角为θ,θ∈ , 第1讲　描述运动的基本概念 则sin θ=|cos< ,m>|= ,故B正确. 因为点F在平面BCC1B1内(不包括边界),所以点F到平面ADE的距离为2,所以V四面体A-DEF=V四面体F-ADE= × ×2 ×1×2= ,故C错误. 当λ=μ时,F(2-2λ,2,2λ),连接BC1,则点F在BC1上(不含端点). 连接A1B,A1C1,AD1,将平面A1BC1绕BC1翻折到与平面ABC1D1在同一平面内,如图2,   第1讲　描述运动的基本概念 连接AA1,此时AA1与BC1的交点即为当λ=μ时,使AF+A1F取最小值的点F. 由题意可知AB=2,A1B=2 ,∠ABA1= , 所以A =AB2+A1B2-2AB·A1Bcos∠ABA1=22+(2 )2-2×2×2 ×cos  =12+4 , 所以AA1= , 所以AF+A1F的最小值为 ,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026浙江嘉兴钱塘联盟期中]已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为等腰梯形,AD=BC=6,侧面PAB,PCD 分别是边长为10,6的等边三角形,若动平面PEF分别交直线BC,AD于点E,F,且平面PEF⊥平面ABCD,则 平面PEF与平面PAB所成二面角的余弦值的最大值为( ) A. 　　     B. 　　     C. 　　    D.      C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　分别取棱AB,CD的中点M,N,连接MN,PM,PN,则MN⊥AB,PM⊥AB,PN⊥CD,又由题意知AB∥CD, 所以PM⊥CD.因为PM∩PN=P,PM,PN⊂平面PMN,所以CD⊥平面PMN. 因为CD⊂平面ABCD,所以平面ABCD⊥平面PMN. 过点P作PQ⊥MN,垂足为Q,则PQ⊂平面PMN,又因为平面ABCD∩平面PMN=MN,所以PQ⊥平面ABCD. 因为平面PEF⊥平面ABCD,所以PQ在平面PEF上,即E,F,Q三点共线. 易知PM=5 ,PN=3 ,MN= =4 , 则cos∠PMN= = = , 故sin∠PMN= = , 所以PQ=PMsin∠PMN=5,MQ=PMcos∠PMN=5 . 第1讲　描述运动的基本概念 如图,以点M为坐标原点,MB,MN所在直线分别为x,y轴,过M且垂直于平面ABCD的直线为z轴,建立空间 直角坐标系,则B(5,0,0),A(-5,0,0),P(0,5 ,5),C(3,4 ,0),Q(0,5 ,0), 所以 =(5,5 ,5), =(10,0,0), =(-2,4 ,0). 设平面PAB的法向量为n1=(x1,y1,z1), 则 所以 所以x1=0,取y1=1,得n1=(0,1,- ). 设 =λ =(-2λ,4 λ,0),因为 =(-5,5 ,0),所以 = - =(-5+2λ,5 -4 λ,0). 设平面PEF的法向量为n2=(x2,y2,z2), 则  令x2=5 -4 λ,则n2=(5 -4 λ,5-2λ,0), 第1讲　描述运动的基本概念 所以cos<n1,n2>= . 当5-2λ≤0时,cos<n1,n2>≤0; 当5-2λ>0时,cos<n1,n2>= = × = × , 因为 ≥0,所以2 +1≥1,所以0< ≤1,所以cos<n1,n2>= × ≤  ,当且仅当 =0,即λ= 时,等号成立. 综上所述,平面PEF与平面PAB所成二面角的余弦值的最大值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2025安徽阜阳第三中学调研]已知正四棱锥S-ABCD的底面边长为2,高为1,动点P在平面ABCD内且满 足 + + + =12,则直线AP与SC所成角的余弦值的取值范围为_________. 第1讲　描述运动的基本概念 解析　设正方形ABCD的中心为O,连接SO,过点O作AB,BC的垂线. 以点O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则S(0,0,1),A(-1,-1,0),B(1,-1,0),C(1,1,0),D(-1,1,0),所 以 =(1,1,-1).   设P(x,y,0),则 =(-1-x,-1-y,0), =(1-x,-1-y,0), =(1-x,1-y,0), =(-1-x,1-y,0), 所以 =x2+y2+2x+2y+2, =x2+y2-2x+2y+2, =x2+y2-2x-2y+2, =x2+y2+2x-2y+2. 因为 + + + =12,所以x2+y2=1,所以可设P(cos θ,sin θ,0),0≤θ<2π, 所以 =(cos θ+1,sin θ+1,0). 第1讲　描述运动的基本概念 设直线AP与SC所成的角为α, 则cos α= = . 令t=sin θ+cos θ+2= sin +2,则cos α= = = . 因为0≤θ<2π,所以 ≤θ+ < , 所以- ≤ sin ≤ ,所以t∈[2- ,2+ ], 所以 ∈ ,所以cos α∈ . 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2025重庆杨家坪中学月考]如图1,在边长为4的菱形ABCD中,∠DAB=60°,点M,N分别是边BC,CD的中 点,AC∩BD=O1,AC∩MN=G,沿MN将△CMN翻折到△PMN的位置,连接PA,PB,PD,得到如图2所示的五 棱锥P-ABMND. (1)在翻折过程中,是否总有平面PBD⊥平面PAG?证明你的结论; (2)设点E为线段PA的中点,点Q在线段BE上,且 =λ (0<λ<1),当四棱锥P-MNDB的体积最大时,是否 存在满足条件的实数λ,使得直线MQ与平面PAB所成角的正弦值最大?若存在,求出λ的值;若不存在,请 说明理由.  　      第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)在翻折过程中,总有平面PBD⊥平面PAG.证明如下:因为点M,N分别是边BC,CD的中点,所以 BD∥MN. 在菱形ABCD中,∠DAB=60°,所以△PMN是等边三角形,所以G是MN的中点,所以MN⊥PG,所以BD⊥ PG. 在菱形ABCD中,BD⊥AC,即BD⊥AG. 因为AG∩PG=G,AG,PG⊂平面PAG, 所以BD⊥平面PAG. 又BD⊂平面PBD,所以平面PBD⊥平面PAG. (2)由题意得,四边形MNDB为等腰梯形,且DB=4,MN=2,O1G= ,所以等腰梯形MNDB的面积为  =3 ,所以要使得四棱锥P-MNDB的体积最大,只需点P到平面MNDB的距离最大即可,此时平 第1讲　描述运动的基本概念 面PMN⊥平面MNDB. 以点G为坐标原点,GA,GM,GP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图,则A(3 ,0,0),P(0, 0, ),B( ,2,0),M(0,1,0),E ,所以 = , =(-2 ,2,0), =(-3 ,0, ).   因为 =λ (0<λ<1),所以Q , 第1讲　描述运动的基本概念 所以 = . 设平面PAB的法向量为n=(x,y,z), 则 即  令x=1,得y= ,z=3,所以n=(1, ,3). 设直线MQ与平面PAB所成的角为θ, 则sin θ=|cos< ,n>|= = = , 所以当λ= 时,sin θ取得最大值,即当λ= 时,直线MQ与平面PAB所成角的正弦值最大. 第1讲　描述运动的基本概念 9.[创新题·新情境][2026甘肃武威月考]从O点引出三个不共面的向量e1,e2,e3,它们之间的位置关系和右 手拇指、食指、中指的位置相同,则这个标架(记为{O;e1,e2,e3})构成右手标架,如图所示.规定:a×b为一 个向量,它的长度为|a|·|b|sin<a,b>,它的方向与向量a,b均垂直,且使{O;a,b,a×b}构成右手标架.该运算满 足:a×(λb)=λ(a×b);(a+b)×c=a×c+b×c;c×(a+b)=c×a+c×b.已知i,j,k为单位正交基底,且{O;i,j,k}构成右手标 架,以i,j,k的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,若m=xi+yj+zk,则记m=(x,y,z). (1)证明:a×b=-(b×a); (2)已知向量a=(1,2,0),b=(1,0,3),求a×b的坐标表示; (3)①在三棱锥O-ABC中, × =(1,2,2), =(2,1,2),求三棱锥O-ABC的体积VO-ABC; ②请结合“×”与“数量积”的几何意义,用 , , 表示平行六面体ABCD-A1B1C1D1的体积. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)证明:若a与b共线,则a×b=b×a=0,满足a×b=-(b×a); 若a与b不共线,则|a×b|=|a||b||sin<a,b>|=|b||a|·|sin<b,a>|=|b×a|,即a×b与b×a的模相等, 根据定义知a×b与b×a同时垂直于a,b,因此a×b与b×a共线, 由题意知a,b,a×b与b,a,b×a按顺序分别构成右手标架{O;a,b,a×b}与{O;b,a,b×a}, 所以a×b与b×a的方向相反, 因此a×b=-b×a. 综上知,a×b=-(b×a). (2)由题知,a=(1,2,0)=i+2j,b=(1,0,3)=i+3k, 则a×b=(i+2j)×(i+3k)=i×i+i×3k+2j×i+2j×3k, 由定义知i×i=j×j=k×k=0,i×k=-j,j×i=-k,j×k=i, 代入上式得a×b=6i-3j-2k,因此a×b的坐标表示为(6,-3,-2). 第1讲　描述运动的基本概念 (3)①结合定义可知,| × |的几何意义为以OA,OB为邻边的平行四边形的面积, 所以S△OAB= | × |= , 易得 =(2,1,2)在 × 上的投影的长度为 = , 所以VO-ABC= S△OAB· = × × = . ②由|a×b|的几何意义可得平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD的面积为| × |, 点A1到底面ABCD的距离为 在底面ABCD的法向量 × 上的投影的长度, 因此 =| × |· (注:此公式也可以直接应用在选择、填空题中). 第1讲　描述运动的基本概念 素养点评　本题主要考查与空间向量有关的新定义运算.新定义类试题的要点在于超越机械记忆,直指 对核心素养的考查.这类试题往往通过创设陌生情境,引导学生将已有的数学知识、思想方法进行有效 迁移,并灵活应用于解决新问题.学生需从新情境中抽象出核心模型,依靠逻辑推理构建解题路径,然后 进行精准运算,同时借助直观想象洞察结构间的关联,通过数据分析把握其内在规律,并最终完成数学 建模,实现从实际问题到数学结论的转化. 第1讲　描述运动的基本概念 $