1.2.3 直线与平面的夹角(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦“直线与平面的夹角”，涵盖定义、范围、最小角定理及几何法、向量法求解，通过课前预习梳理知识点与诊断分析搭建基础，课中探究以例题变式递进，形成从概念到方法的学习支架。 其亮点是双法融合，几何法培养空间观念与推理能力，向量法强化坐标运算与模型意识，体现数学思维严谨性。如例1几何法找射影、例2向量法建系计算，分层习题助巩固。学生提升空间想象与运算能力，教师获得结构化资源，提升教学效率。

1.2 空间向量在立体几何中的应用 1 1.2.3 直线与平面的夹角 2 探究点一 几何法求直线与平面所成的角 探究点二 用向量法求线面角 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课堂评价 课后习题 3 【学习目标】 1.理解斜线与平面所成的角的定义; 2.会利用空间向量求直线与平面的夹角. 4 知识点一 直线与平面所成的角 （1）定义：如图，如果直线是平面 的一条 斜线，为______，是直线在平面 内的 ______，则_______就是直线与平面 所成的角. 斜足 射影 （2）范围：直线与平面 所成的角 的范围是 . 当 时， 或 ；当 时， . 课 前 预 习 5 （3）性质：最小角定理. 如图，设是平面 的一条斜线段，为斜足， 为在平面 内的射影，而是平面 内的一条射 最小的角 线，.记，， ，则 ， ， 之间的关系是____________________. 平面的斜线与平面所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角 中__________. 课 前 预 习 6 【诊断分析】 判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）直线的方向向量与平面的法向量所成的角就是直线与平面所成 的角.( ) × （2）斜线与它在平面内的射影所成的角是锐角.( ) √ （3）斜线与平面的夹角的范围是 .( ) × （4）若一条直线与一个平面 的夹角为 ,则这条直线在平面 内. ( ) × 课 前 预 习 7 知识点二 利用空间向量求直线与平面的夹角 如图所示，为直线的一个方向向量，为平面 的一个法向量， 为直线与平面 所成的角，则，或， ，特 别地，，，， . 课 前 预 习 8 【诊断分析】 判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦值即为所求线面 角的余弦值.( ) × （2）若直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦值为负值，则 所求线面角为钝角.( ) × （3）已知向量，分别是直线的一个方向向量和平面 的一个法 向量，且，，则直线与平面 所成的角为 .( ) × 课 前 预 习 9 探究点一 几何法求直线与平面所成的角 例1 如图，在所有棱长都等于1的三棱柱 中，， ． （1）证明： ； 证明：连接，在中， ， ，所以 ， 在中，，，所以 ， 因为，所以 ， 又，所以 ． 课 中 探 究 10 （2）求直线与平面 所成角的大小． 解：方法一：连接与交于点，连接 ， ． 在边长都为1的正方形中，是 的中点， 因为，所以 因为四边形的边长都为1，所以 ． 由（1）知 ，又，， 平面 ， 所以 平面 ， 例1 如图，在所有棱长都等于1的三棱柱 中，， ． 课 中 探 究 11 又 平面，所以 ， 又，，， 平面 ， 所以 平面 ． 因为 平面，所以 ， 又，， 平面 ， 所以 平面 ， 所以即为直线与平面 所成的角． 因为， ，所以，所以 ， 所以直线与平面所成角的大小为 ． 课 中 探 究 方法二：取的中点，连接， ． 在中，，所以 ， 在边长都为1的正方形中， ， ， 因为 ，所以为直角三角形，所以 . 在中，，所以 ， 又，， 平面 ，所以 平面 ， 所以即为直线与平面 所成的角． 因为，所以，所以 ， 所以直线与平面所成角的大小为 ． 课 中 探 究 变式 如图所示，已知 平面， ， ，，，为 的中点. （1）求证：平面 平面 ； 课 中 探 究 14 证明：因为 平面， ， 所以 平面 ， 又因为 平面，所以 . 因为，为的中点，所以 ， 又因为, 平面，且 ， 所以 平面 ， 又因为 平面 ， 所以平面 平面 . 课 中 探 究 15 （2）求直线与平面 所成角的大小. 变式 如图所示，已知 平面， ， ，，，为 的中点. 课 中 探 究 16 解：取的中点，连接, ，如图所示， 因为为的中点，所以，且 ， 又，且 ， 所以，且，所以四边形 为平 行四边形，所以 ， 由（1）可知 平面，所以 平面 ， 又 平面，所以 ， 所以即为直线与平面 所成的角. 课 中 探 究 17 因为，，所以 为等腰直 角三角形，所以 ，所以 . 在 中， , 所以 , 在中， ， 又因为，所以 ， 即直线与平面所成的角为 . 课 中 探 究 ［素养小结］ 几何法求线面角的两种方法： （1）利用线面角定义，求线面角即求斜线与它在平面内的射影所成 的角，所以找该斜线在平面内的射影是关键，而找射影的关键是找 垂线，所以求线面角的关键是找平面的垂线. （2）利用三余弦公式(最小角定理). 课 中 探 究 19 探究点二 用向量法求线面角 例2 [2025·广东广州高二期末] 如图所示,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中, 侧棱AA1=1,直线A1C1与平面A1BCD1所成角的余弦值为,则该正四棱柱 的体积等于 ( ) A. B. C. D. √ 课 中 探 究 20 [解析] 如图所示,以D为坐标原点,建立空间直角坐标系, 设底面正方形ABCD的边长为a,则A1(a,0,1),C(0,a,0),D1(0,0,1),C1(0,a,1), 所以=(-a,a,0),=(a,0,0),=(0,a,-1). 设平面A1BCD1的一个法向量为n=(x,y,z), 则即可取n=(0,1,a), 所以n·=a,|n|=,||=a. 课 中 探 究 21 因为直线A1C1与平面A1BCD1所成角的余弦值为, 所以直线A1C1与平面A1BCD1所成角的正弦值为, 所以|cos<n,>|===,可得a2=, 故正四棱柱的体积为a2×1=.故选B. 课 中 探 究 22 变式 [2026·福建南平高一期末] 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中, =,=,=λ,当直线DD1与平面MNE所成的角 最大时,λ= ( ) A. B. C. D. √ 课 中 探 究 23 解：如图,以D为坐标原点,建立空间直角坐标系. 不妨设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1, 则M,N,C(0,1,0),B1(1,1,1),D(0,0,0),D1(0,0,1), 所以=λ=(-λ,0,-λ),则E(1-λ,1,1-λ),则=,=. 设平面MNE的一个法向量为m=(x,y,z), 则令x=1,则m=. 课 中 探 究 24 =(0,0,1),设直线DD1与平面MNE所成的角为α, 则sin α=|cos<m,>|===, 所以当λ=时,sin α取到最大值,又α∈, 所以当λ=时,直线DD1与平面MNE所成的角最大.故选C. 课 中 探 究 25 ［素养小结］ 向量法求线面角的步骤： ①分析图中线、面关系，建立空间直角坐标系； ②求出直线的一个方向向量<m></m>和平面的一个法向量<m></m>； ③求出夹角<m></m>，<m></m>； ④判断直线和平面所成的角<m></m> 和<m></m>，<m></m>的关系，求出角<m></m> . 课 中 探 究 26 拓展 如图，直三棱柱 各棱长都相 等，是棱的中点，是棱 上的动点 （不含端点），是棱的中点.设，随着 的增大，直线与平面 所成角( ) A.增大 B.减小 C.先增大后减小 D.先减小后增大 √ 课 中 探 究 27 [解析] 取的中点,连接.以 为坐标原点， ,，的方向分别为,, 轴的正方向建立空间 直角坐标系，如图.设所有棱长均为2，则 ， ,,, ，所以 ， ，. 设平面的法向量为 ， 则令 ，得,， 则 . 课 中 探 究 28 设直线与平面所成角为 ， ，则 , ， 令，可知在 内单调递减，且 ，则 ，可知在 内单调递减，可得 在内单调递增， 所以 随着 的增大而增大.故选A. 课 中 探 究 29 1. [2026·郑州高二期中] 已知直线l与平面α相交,且直线l的一个方向 向量为a,平面α的一个法向量为n,若<a,n>=,则l与α所成的角为( ) A. B. C. D. [解析] ∵<a,n>=,∴l与α的法向量所在直线所成锐角为, ∴l与α所成的角为-=.故选B. √ 课 堂 评 价 30 2.若直线与平面 所成的角为，直线在平面 内，且与直线 异 面，则直线与直线 所成角的取值范围是( ) A. B. C. D. [解析] 由最小角定理知直线与直线所成角的最小值为 ，又直线 ，为异面直线，所以直线与直线所成角的最大值为 .故选D. √ 课 堂 评 价 31 3.如图，在三棱锥中，，，两两垂直， ， ，，则直线与平面 所成角的正弦值为( ) A. B. C. D. √ 课 堂 评 价 32 [解析] 以为坐标原点，，， 的 方向分别为轴、轴、 轴的正方向，建 立空间直角坐标系，则 ， ，， ，所以 ，，. 设平面 的一个法向量为，则 即 令，则， ， 所以平面的一个法向量为 . 课 堂 评 价 33 设直线与平面所成的角为 ， 则 ， 即直线与平面所成角的正弦值为 .故选C. 课 堂 评 价 4.（多选题）如图，在正方体中， 为面对角线 的中点，为面对角线 上的动点，下列结论中正确的是 ( ) A.存在点,使得平面 B.对任意点, C.存在点，使得与所成的角是 D.不存在点，使得与平面 所成的角 是 √ √ √ 课 堂 评 价 35 [解析] 设正方体的棱长为1，以点 为坐标原 点，，，的方向分别为,, 轴的正方 向，建立空间直角坐标系，则 , ，,,, , ,. ，， 又 ，， , . 课 堂 评 价 36 对于A，易知平面 的一个法向量为， 令 ，解得，此时， 又 平面 ,平面 ,故A正确； 对于B， ，， 对任意点 , ，故B正确； 对于C， ， ， 令 , ，化简得， 课 堂 评 价 解得或，故存在点 ，使得与 所成的角是 ，故C正确； 对于D，易知， 平面， 平面，，又 ， 平面， 平面 ， 平面， 是平面 的一个法向量，由C知，存在点，使得与 所 成的角是 ， 存在点，使得 与平面所成的角是 ， 故D错误.故选 . 课 堂 评 价 5.［2024·广西玉林高二期末］如图，在以 为原点的空间直角坐标系中， 是正三棱柱的底面 内一动点， ，直线和底面 所成的角为，则满足条件的点 组 成的集合为____________________________________. 课 堂 评 价 39 [解析] 由题得，，因为 是 正三棱柱的底面 内一动点，所 以，所以，又 平面 ，所以是平面 的一个法向量， 因为直线和底面所成的角为，所以 , ， 整理得.故满足条件的点 组成的集合为 . 课 堂 评 价 40 1.用向量法求线面所成角的基本步骤： （1）根据题目条件合理地建立空间直角坐标系，并写出几何体中必 要的点的坐标. （2）求出直线的一个方向向量及平面的一个法向量. （3）利用向量的夹角公式求出向量夹角的三角函数值. （4）结合图形（角的关系）及三角函数值关系确定角的大小，并写 出所求问题的结论. 新 知 拓 延 41 2.用几何法求线面所成角的基本步骤： （1）找到（或作出）斜线（斜线段）上一点到平面的垂线 （或垂线段），并加以证明. （2）找到（或作出）斜线（斜线段）在平面内的射影，并确定直线 与平面所成的角. （3）根据题目条件解直角三角形，经计算（或推理）得到角的大小. （4）写出所求问题的结论. 新 知 拓 延 42 课后习题 43 1. [2026·河南南阳高二月考] 若直线l的一个方向向量为u=(1,,-1), 平面α的一个法向量为n=(0,0,3),则l与α所成的角为( )　　　　　　　　　　　　　　　 A. B. C.或 D.或 [解析]设直线l与平面α所成的角为θ,θ∈, 则sin θ=|cos<u,n>|===,可得θ=.故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 44 2.已知平面α的一个法向量为m=(4,-2,4),P(1,2,-2)是平面α外一点, Q(-1,0,1)是平面α内一点,则直线PQ与平面α所成角的正弦值为( ) A. B. C. D. [解析]由题可得=(-2,-2,3),因为平面α的一个法向量为m=(4,-2,4), 所以所求角的正弦值为==.故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 45 3.［2025·河南郑州高二期中］在正方体 中，直线与平面 所成 的角为( ) A. B. C. D. [解析] 方法一：如图所示，以 为坐标原点，建立 空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则 ,,, ，所以 ,, . √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 46 设平面的一个法向量为 ，则 令，得 ,， 即. 设直线与平面所成角为， ， 则 ,， 所以 .故选B. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 方法二：，且点 平面 , 平面.如图，连接,,设 与 的交点为,连接， 平面 , . 在正方形中， , 平面，故 即为所求, ，, ,则 ,故 .故选B. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 48 4.将边长为1的正方形及其内部绕 旋转一周形成圆柱，如 图，的长为，的长为，其中与在平面 的同侧， 则直线与平面 所成角的正弦值为( ) A. B. C. D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 49 [解析] 由题意，， ，如图所示， 以 为原点，建立空间直角坐标系，则, ，所以. 易知平面 的一个 法向量为. 设直线与平面所成的角为 ， 则 , .故选D. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 50 5.在正四棱锥中，，则直线与平面 所 成角的正弦值为( ) A. B. C. D. [解析] 连接交于点，连接 . 方法一： 平面,以为坐标原点， ,, 的方向分别为轴、轴、 轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 51 由题意得，， , ,， ,. 设平面的一个法向量为 ， 则即 令，得. 设直线与平面所成的角为 ， 则, .故选C. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 方法二： 底面为正方形，且 ， ， 由方法一知， ， 为正三角形，且 ， .设到平面的距离为 ， 则,解得， 故 与平面所成角的正弦值为 ,故选C. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 53 6.［2026·武汉高二期末］如图,在矩形 中,已知 ,是的中点,沿将折起到 的位置,使 ,则与平面 所成角的正切值是( ) A.2 B. C. D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 54 [解析] 取的中点,的中点 ,连接 ,,,，由题意可得 , ,，因为 , , 平面，所以 平面 , 又 平面，所以,因为与 相交且 ， 平面，所以 平面,则是 与平 面所成的角.以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 令,,则, , ,则, 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 55 平面 的一个法向量为 ,所以 , , 所以 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7.（多选题）如图，在四棱锥 中，底 面是边长为2的菱形， ， 为正三角形，为 的中点，且平面 平面,是棱 上的一点，则以下 说法正确的是( ) A. B. C.若点为棱的中点，则直线平面 D.若，则直线与平面所成角的余弦值为 √ √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 57 [解析] 如图①，连接，因为底面 是边长为2的菱形， ，为正三角形，为 的中点，所以 ，， 又，, 平面 ，所以 平面， 又 平面，所以，又 ， 所以，故B正确； 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 58 当点为棱的中点时，如图①，取 的中点，连接,， 则，且，又为 的中点，底面是边长为 2的菱形，所以，且 ，所以，且， 所以四边形 为平行四边形，所以 ， 又 平面， 平面，所以 平面， 故C正确； 因为为正三角形，为 的中点，所以， 又平面 平面，平面 平面， 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 59 平面，所以 平面，又 平面， 所以，又，，, 平面， 所以 平面，又 平面，所以 ， 显然与平面不垂直，故只有当点在处时，有 ， 故A错误； 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 以 为原点，建立如图②所示的空间直角坐标系，则 ,,,,， 因为 ，所以，所以， ，， 设平面的一个法向量为 ，则 令，得， 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 设直线 与平面所成的角为 ，则 , ，所以 ， 所以直线与平面所成角的余弦值为，故D正确.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8.在正三棱柱中，已知,，则直线 与平面 所成的角的正弦值为____． [解析] 以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，，所以 . 易知平面的一个法向量为， 设直线与平面 所成的角为 ,则 , ，所以直线与平面 所成的角的正弦值为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 63 9.已知四棱柱 的底面是正方形，，， 点在底面 的射影为的中点，则直线与平面 所成角 的正弦值为___. [解析] 因为点在底面的射影为 的中点 ，所以 平面.以 为坐标原点， ，，的方向分别为，， 轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系. 因为 平面， 平面，所以 ， 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 64 则 ，则 ，，， ， 所以 . 易知平面的一个法向量为 ， 则,， 因此直线 与平面所成角的正弦值为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10.（13分）［2024·沈阳高二期末］ 如图，在三棱柱 中，侧棱 底面，且各棱长均相等，，， 分别为棱 ，， 的中点． （1）证明：平面 ； 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 66 证明：在三棱柱中，连接 ， 由,分别为,的中点，得 且 ， 又且，为 的中点， 所以且 ，所以且 ， 所以四边形是平行四边形，所以 ， 又 平面， 平面 ，所以平面 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 67 （2）求直线与平面 所成角的正弦值． 10.（13分）［2024·沈阳高二期末］ 如图，在三棱柱 中，侧棱 底面，且各棱长均相等，，， 分别为棱 ，， 的中点． 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 68 解：在三棱柱中，侧棱 底面， 且各棱长均相等，令 ，取的中点， 连接，因为为 的中点， 所以，则 底面 ， 又，所以,, 两两垂直. 以 为原点，建立空间直角坐标系，如图， 则,,, ， 所以, , . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 69 设平面 的一个法向量为 ， 则令 ，得 . 设直线与平面所成的角为 ， 则, ， 所以直线与平面所成角的正弦值为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 70 11.如图，在正方体中，是的中点，点 在线段 上，若直线与平面所成的角为 ，则 的取值范 围是( ) A. B. C. D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 71 [解析] 设正方体的棱长为1， ， 则.以为原点，以，， 的方 向分别为，， 轴的正方向，建立如图所示的空间 直角坐标系，则,, , ，,故， ， 又，所以，所以 . 连接,易知 平面， 所以是平面 的一个法向量， 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 72 所以 ,. 当 时， 取得最大值，当或1时， 取得最小值，所以 的取值范围是 .故选A. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12.（多选题）在长方体中，,与平面 所成的角为 ，则( ) A.异面直线与所成的角为 B.异面直线与所成的角为 C.与平面所成的角为 D.与平面所成的角的正弦值为 √ √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 74 [解析] 在长方体 中，连接， 显然对角面 是矩形，即， 由，得 ，因此矩形是 正方形，又 平面 ， 所以是与平面 所成的角，即 . 令，则.以 为坐标原点，建立如图 所示的空间直角坐标系，则,, , , ,. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 75 对于A， , ， 则 ,， 故 , ，因此异面直线与 所成的角为 ，A正确； 对于B，, ， 则 ,，故 , ， 因此异面直线与 所成的 角为 ，B正确； 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 对于C，，平面 的一个法向量为， 则 ,，显然, 是不 等于 的钝角，因此与平面 所 成的角不为 ，C错误； 对于D，平面 的一个法向量为， 则 ,， 所以 与平面所成的角的正弦值为 ， D正确.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ★13.如图，已知四边形 为圆柱的轴截面， ，， 为上底面圆周上的两个动点， 且过上底面圆心，当三棱锥 的体积最 大时，直线与平面 所成角的正弦值为_____. [解析] 连接， ，因为， 的值不变，所以当垂直于时， 三棱锥 的体积最大， 取的中点，以 为坐标原点，建立如图所示的空间 直角坐标系， 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 78 则，， ，，， 所以， ，. 设平面 的一个法 向量为， 则 即令，则， 设直线 与平面所成的角为 ，则 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 79 ［技巧点拨］ 以垂直、对称、坐标最简化为原则建立坐标系， 圆柱体建系一般都是以底面圆圆心为原点，旋转轴为坐标轴. 体积问题常常应用体积分割、等体积法，将复杂几何体简单化， 化一般为特殊. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 80 14.（15分）[2026·贵阳高二期中] 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD 是边长为4的正方形,PA=PB=4,PC=PD=2,Q是棱PB上的动点. (1)求该四棱锥的高; 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 81 解:如图,分别取AB,CD的中点E,F,连接PE,PF,EF, 因为底面ABCD是边长为4的正方形,且PA=PB, 所以PE⊥AB,EF⊥AB,又PE∩EF=E,PE,EF⊂平面PEF, 所以AB⊥平面PEF,又AB⊂平面ABCD, 所以平面PEF⊥平面ABCD. 在平面PEF中,过点P作PO⊥EF于点O, 因为平面PEF∩平面ABCD=EF,PO⊂平面PEF,所以PO⊥平面ABCD. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 82 因为PA=PB=AB=4,PC=PD=2, 所以PE=×4=2,PF==2,EF=4, 由PE2+PF2=EF2,可得PE⊥PF, 由S△PEF=PE·PF=PO·EF,可得PO==, 所以四棱锥P-ABCD的高为. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 83 14.（15分）[2026·贵阳高二期中] 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD 是边长为4的正方形,PA=PB=4,PC=PD=2,Q是棱PB上的动点. (2)若直线QC与平面PAB所成角的正弦值为,试确定点Q所在的位置. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 84 解: 如图,以过点O的CD的平行线为x轴,OF,OP所在直线分别为y,z轴, 建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz. 在Rt△POF中,OF===1, 则P(0,0,),A(-2,-3,0),B(2,-3,0),C(2,1,0), 所以=(2,-3,-),=(4,0,0),=(0,-4,0). 设平面PAB的一个法向量为n=(x,y,z), 则即可取n=(0,-1,). 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 85 设=λ,λ∈[0,1],则=+=+λ=(-2λ,3λ-4,λ). 设直线QC与平面PAB所成的角为θ, 则sin θ=|cos<,n>|===, 化简得18λ2-27λ+7=0,解得λ=或λ=(舍去). 故当=,即Q为BP上靠近点B的三等分点时, 直线QC与平面PAB所成角的正弦值为. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 86 15. [2025·天津滨海新区高二期末] 如图,在四棱锥P-ABCD中,平面 PAB⊥平面ABCD,底面ABCD为直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,PA=PB= AB=2,DC=BC=1,在平面ABCD内过点D作DO∥BC交AB于点O,连接PO. 设点E是平面POD内的动点,若直线AE与平面PBC所成的角为,则OE的 最小值为 ( ) A.2 B. C. D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 87 [解析] 因为∠ABC=∠BCD=90°,所以AB∥CD, 又DO∥BC,所以四边形DCBO是矩形, 因为AB=2,DC=BC=1, 所以DO=BC=CD=OB,即四边形DOBC是正方形, 所以O是AB的中点,又PA=PB, 所以PO⊥AB,PO==, 因为平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,PO⊂平面PAB, 所以PO⊥平面ABCD. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 88 以O为坐标原点,OD,OB,OP所在直线分别为x,y,z轴 建立空间直角坐标系,如图, 则A(0,-1,0),B(0,1,0),C(1,1,0),P(0,0,), 设E(x,0,z),则=(x,1,z),=(0,1,-),=(1,0,0). 设平面PBC的一个法向量为n=(a,b,c),则 取c=1,得n=(0,,1). 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 89 因为直线AE与平面PBC所成的角为, 所以|cos<,n>|===sin=, 化简得x2=2z+2,由x2=2z+2≥0,得z≥-, 又||===, 所以当z=-时,||取得最小值.故选D. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 90 $