第1章 空间向量与立体几何 本章总结(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件（人教B版）

该高中数学单元复习课件聚焦空间向量与立体几何，通过知识框架图系统梳理空间向量的线性运算、数量积运算等核心内容，以及在证明位置关系、求空间角与距离中的应用，构建“运算-工具-应用”的逻辑脉络。 其亮点在于融合“知识辨析-例题精讲-变式拓展”策略，如通过判断基底共面性培养推理意识，利用空间直角坐标系求二面角正弦值发展数学语言表达能力。分层例题（如基础线性运算到综合距离求解）满足个性化复习需求，助力学生巩固知识，也为教师提供精准复习参考。

本章总结 1 题型一 空间向量的线性运算 题型二 空间向量数量积的应用 题型三 用空间向量证明空间位置关系 题型四 用空间向量求空间角 题型五 用空间向量求距离 2 知 识 网 络 3 判断正误.（正确的打“√”,错误的打“×”） 1.在空间四边形中,,分别是, 的中点,则 .( ) × 2.两异面直线夹角的范围是,直线与平面所成角的范围是 ,二 面角的范围是 .( ) √ 3.已知向量,,能组成空间向量的一组基底，则向量,, 也能组成空间向量的一组基底.( ) √ 4.若,,,为空间四点,且,则“”是“,, 三点共线”的充要条件.( ) √ 知 识 辨 析 4 题型一 空间向量的线性运算 ［类型总述］（1）空间向量的加减运算、数乘运算;（2）空间向量 基本定理. 素 养 提 升 5 例1（1）在平行六面体中，点为 的中点，则 ( ) A. B. C. D. [解析] .故选C. √ 素 养 提 升 （2）已知{,, }是空间向量的一组基底，则下列向量不共面的是 ( ) A.,, B.,, C.,, D.,, [解析] 对于A,因为,所以 , ,共面； 对于B,因为 , 所以,, 共面； √ 素 养 提 升 7 对于D,因为，所以, , 共面； 对于C,假设存在实数, 满足 ，所以 ,即 该方程组没有实数解， 所以不存在实数,满足 ， 故,, 不共面.故选C. 素 养 提 升 变式（1）已知，，， 为空间中不共面的四点，且 ，若，，，四点共面，则实数 的值是 ( ) A. B. C. D. √ 素 养 提 升 9 [解析] 因为，，，四点共面，所以存在， ，使得 ，则 ， 所以 ， 即解得 .故选C. 素 养 提 升 （2）在四棱锥中，底面是正方形，为 的中点， 若，，，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 根据题意知 ， 因为 , 所以 .故选A. √ 素 养 提 升 11 题型二 空间向量数量积的应用 ［类型总述］（1）数量积计算；（2）应用数量积求长度；（3）应 用数量积求角. 素 养 提 升 12 例2（1）在四面体中，所有棱长都是1，，分别为棱 ， 的中点，则 ____. [解析] 由题得 ，. 因为 ，， 所以 , 所以 . 素 养 提 升 （2）已知向量，，且与 的夹角为钝 角，则实数 的取值范围是___________. [解析] 易知，不共线，因为与的夹角为钝角，所以 ， 由，，可得 ，解得 ，所以实数的取值范围是 . 素 养 提 升 14 变式（1）设空间中两个单位向量, 与向 量的夹角的余弦值均为，则, ( ) A. B. C. D. √ 素 养 提 升 15 [解析] 由题意可得即 可得 ，所以,， 又, ，所以, .故选C. 素 养 提 升 （2）［2025·黑龙江大庆实验中学高二期末］如图，在平行六面体 中， ， ，为与 的交点，若，， ， 则下列说法正确的是( ) A. B., C. D. √ 素 养 提 升 17 [解析] 因为 ， ，所以 ，且, , . 对于A，由空间向量的运算法则，可得 ，故A不正确； 素 养 提 升 18 对于B，由， ， 可 得 ，所以, ，故B不正确； 对于C，因为 ，所以 ， 所以，故C不正确； 素 养 提 升 对于D，由 ，， 可得 ，故D正确.故选D. 素 养 提 升 题型三 用空间向量证明空间位置关系 ［类型总述］（1）证明线、面垂直关系;（2）证明线、面平行关系. 例3 如图, 平面,四边形 是矩形, ,点是的中点,点在棱 上移动 （包含端点）. （1）当点为的中点时,试判断与平面 的 位置关系,并说明理由; 素 养 提 升 21 解：由题知,，两两垂直，以 为坐标原点, ,,的方向分别为轴、轴、 轴的正方向，建立空间直角坐 标系,则,,,设,则 . 为的中点,为的中点, , ,, , . 素 养 提 升 22 设平面的一个法向量为 , 则即 取,得,, . 又 平面,平面 . 素 养 提 升 23 （2）证明:无论点在棱上的何处,都有 . 证明: 点在棱上, 可设, , ,又, , , 无论点在棱 上的何处,都有 . 例3 如图, 平面,四边形 是矩形, ,点是的中点,点在棱 上移动 （包含端点）. 素 养 提 升 24 变式 (多选题)[2026·河南驻马店高二月考] 如图,在正方体ABCD- A1B1C1D1中,下列结论正确的是 ( ) A.C1D1∥平面A1BD B.CD1⊥平面AB1D C.CD1与BD所成的角为60° D.平面ACC1A1⊥平面AB1D1 √ √ √ 素 养 提 升 25 [解析] 以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、 y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 设该正方体的棱长为1,则D(0,0,0),A(1,0,0),B1(1,1,1), A1(1,0,1),C1(0,1,1),D1(0,0,1),B(1,1,0),C(0,1,0). 对于A,设平面A1BD的一个法向量为m=(x,y,z), 易知=(1,1,0),=(1,0,1),=(0,-1,0),所以 取x=1,则m=(1,-1,-1),因为m·=1≠0,所以m与不互相垂直, 所以C1D1不平行于平面A1BD,故A中结论错误; 素 养 提 升 26 对于B,设平面AB1D的一个法向量为m1=(x1,y1,z1), 易知=(1,1,1),=(1,0,0),=(0,-1,1), 所以 取y1=1,则m1=(0,1,-1),因为m1=-,所以m1∥ , 所以CD1⊥平面AB1D,故B中结论正确; 对于C,因为=(0,-1,1),=(1,1,0),所以|<cos,>|== =,所以CD1与BD所成的角为60°,故C中结论正确; 素 养 提 升 27 对于D,设平面ACC1A1的一个法向量为m2=(x2,y2,z2), 因为=(-1,1,0),=(0,0,1),所以 取x2=1,则m2=(1,1,0), 设平面AB1D1的一个法向量为m3=(x3,y3,z3), 因为=(0,1,1),=(-1,0,1),所以 取x3=1,则m3=(1,-1,1),因为m2·m3=1-1+0=0,所以m2⊥m3, 所以平面ACC1A1⊥平面AB1D1,故D中结论正确.故选BCD. 素 养 提 升 28 题型四 用空间向量求空间角 ［类型总述］（1）求线线所成的角；（2）求线面所成的角；（3） 求面面所成的角. 例4 新课标Ⅱ卷］ 如图，平面四边形 中，,, , , ,点， 满足 ,，将沿 对折至 ，使得 . （1）证明： ; 素 养 提 升 29 证明：在中， ， ， ， ， . ，，得， ， 又,, 平面， 平面 ， 又 平面， . 素 养 提 升 30 （2）求平面与平面 所成的二面角的正弦值. 例4 新课标Ⅱ卷］ 如图，平面四边形 中，,, , , ,点， 满足 ,，将沿 对折 至，使得 . 素 养 提 升 31 解：连接， ， ， ,,得 . 又, ， , .又，,, 平面 ， 平面，，即，， 两两垂直. 以为原点，，，所在直线分别为,, 轴 建立如图所示的空间直角坐标系，则 , ,,， , 素 养 提 升 32 由为的中点,得，得 , , , . 设平面的法向量为 , 则 令,则 . 素 养 提 升 33 设平面的法向量为 ， 则 令,则 . 设平面与平面所成的二面角为 ， , ， . 素 养 提 升 变式 [2026·昆明高二期中] 如图①,点E,F,G分别是边长为4的正方形 ABCD的三边AB,CD,AD的中点,先沿着虚线段FG将等腰直角三角形FDG 裁掉,再将四边形AEFG沿着线段EF折起,使得平面AEFG⊥平面EBCF (如图②),连接AB,CG,O是四边形EBCF对角线的交点. (1)求证:AO∥平面GCF. 素 养 提 升 35 证明：如图甲,取CF的中点H,连接OH,GH,∵四边形BCFE为矩形, 点O为BF的中点,∴OH∥BC且OH=BC, 又AG=BC且AG∥BC,∴AG=OH且AG∥OH, ∴四边形OHGA为平行四边形,∴AO∥GH, 又GH⊂平面GCF,AO⊄平面GCF,∴AO∥平面GCF. 素 养 提 升 36 变式 [2026·昆明高二期中] 如图①,点E,F,G分别是边长为4的正方形 ABCD的三边AB,CD,AD的中点,先沿着虚线段FG将等腰直角三角形FDG 裁掉,再将四边形AEFG沿着线段EF折起,使得平面AEFG⊥平面EBCF (如图②),连接AB,CG,O是四边形EBCF对角线的交点. (2)求直线AB与平面GCF所成角的正弦值. 素 养 提 升 37 解：∵AE⊥EF,且平面AEFG⊥平面EBCF,平面AEFG∩平面EBCF=EF, AE⊂平面AEFG,∴AE⊥平面EBCF,又BE⊂平面EBCF,∴AE⊥BE. 以E为坐标原点,BE,EF,EA所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图乙 所示的空间直角坐标系,则A(0,0,2),B(2,0,0),F(0,4,0),C(2,4,0),G(0,2,2), ∴=(2,0,-2),=(-2,0,0),=(-2,-2,2). 设平面GCF的一个法向量为n1=(x1,y1,z1), 则取y1=1,则n1=(0,1,1). 设直线AB与平面GCF所成的角为θ,则sin θ=|cos<,n1>|= ==,∴直线AB与平面GCF所成角的正弦值为. 素 养 提 升 38 变式 [2026·昆明高二期中] 如图①,点E,F,G分别是边长为4的正方形 ABCD的三边AB,CD,AD的中点,先沿着虚线段FG将等腰直角三角形FDG 裁掉,再将四边形AEFG沿着线段EF折起,使得平面AEFG⊥平面EBCF (如图②),连接AB,CG,O是四边形EBCF对角线的交点. (3)在棱AG(含端点)上是否存在点P,使得平面EBP与平面GCF所成的角 为45°?若存在,求出点P的位置;若不存在,请说明理由. 素 养 提 升 39 解：由(2)可知平面GCF的一个法向量为n1=(0,1,1). 假设存在点P(0,a,2)(0≤a≤2)满足题意,则=(2,-a,-2),=(0,-a,-2), 设平面EBP的一个法向量为n2=(x2,y2,z2), 则 取y2=-2,则n2=(0,-2,a), ∴|cos<n1,n2>|===,解得a=0,∴P(0,0,2). 故存在符合题意的点P,当点P在点A处时,平面EBP与平面GCF所成 的角为45°. 素 养 提 升 40 题型五 用空间向量求距离 ［类型总述］（1）求两点间的距离；（2）求点到线的距离；（3） 求点到面的距离；（4）求线与线之间的距离；（5）求线与面之间 的距离；（6）求面与面之间的距离. 素 养 提 升 41 例5 如图①,已知等边三角形ABC的边长为8,E,F分别为所在边的中点, O为线段EF的中点,现将三角形AEF沿直线EF折起,得到四棱锥A-BCFE, 使得二面角A-EF-B为直二面角(如图②). (1)求直线BE与平面ABC所成角的正弦值. 素 养 提 升 42 解：由题知AE=AF,连接AO,因为O为线段EF的中点,所以AO⊥EF, 又平面AEF⊥平面BCFE,平面AEF∩平面BCFE=EF, AO⊂平面BCFE,所以AO⊥平面BCFE. 取边BC的中点为D,连接OD,则OE⊥OD. 以O为坐标原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向, 建立如图所示的空间直角坐标系, 则E(2,0,0),B(4,2,0),A(0,0,2),C(-4,2,0), 所以=(2,2,0),=(-8,0,0),=(4,2,-2). 素 养 提 升 43 解：设平面ABC的一个法向量为n=(x0,y0,z0), 则 取y0=1,则n=(0,1,1). 记直线BE与平面ABC所成的角为θ, 则sin θ=|cos<,n>|===, 所以直线BE与平面ABC所成角的正弦值为. 素 养 提 升 例5 如图①,已知等边三角形ABC的边长为8,E,F分别为所在边的中点, O为线段EF的中点,现将三角形AEF沿直线EF折起,得到四棱锥A-BCFE, 使得二面角A-EF-B为直二面角(如图②). (2)棱AC上是否存在异于端点的点M,使得点A到平面OBM的距离为? 若存在,请指出点M的位置;若不存在,请说明理由. 素 养 提 升 45 解：设=λ,其中0<λ<1,因为=(-4,2,-2), 所以=(-4λ,2λ,-2λ),=(0,0,2),=+= (-4λ,2λ,2-2λ),=(4,2,0). 设平面OBM的一个法向量为m=(x1,y1,z1),  则 取z1=4λ,则m=(-λ,2λ-2,4λ). 素 养 提 升 46 点A到平面OBM的距离d===, 整理得3λ2+2λ-1=0,解得λ=或λ=-1(舍去),所以当点M为线段AC的靠近 点A的三等分点时,点A到平面OBM的距离为. 素 养 提 升 47 变式 如图，在三棱柱 中，底面 为正三角形，且侧棱 底面 ，底面 边长与侧棱长都等于2，，分别为， 的中点，则平面与平面 之间的距离为 ____. 素 养 提 升 48 [解析] 如图，连接，根据题意， 底面 ，以为坐标原点，以，， 的方向分 别为轴、轴、 轴正方向，建立空间直角坐标系. ，， ， ， 平面平面， 平面 与平面 之间的距离即为点到平面 的距离. ，，， ， ，， . 素 养 提 升 49 设为平面 的一个法向量， 则即 令，得 ， 点到平面的距离 ， 平面与平面之间的距离为 . 素 养 提 升 $