1.2.2 空间中的平面与空间向量(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦空间向量在立体几何中的应用，核心内容包括平面法向量的概念与求法，利用空间向量证明平行、垂直关系及三垂线定理的应用。课前通过定义、性质及诊断分析导入，课中设四个探究点逐步深入，构建从基础到应用的学习支架。 其亮点是通过问题链驱动探究，如求法向量的四步流程总结，平行垂直证明中向量关系的转化，培养数学思维与模型观念。素养小结提炼方法，分层习题巩固，助力学生提升空间观念，教师可直接用于课堂教学与效果检测。

1.2 空间向量在立体几何中的应用 1 1.2.2 空间中的平面与空间向量 2 探究点一 求平面的法向量 探究点二 利用空间向量证明平行关系 探究点三 利用空间向量证明垂直关系 探究点四 三垂线定理及其逆定理的应用 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课堂评价 课后习题 3 【学习目标】 1.理解平面的法向量的概念,会求平面的法向量; 2.会用平面的法向量证明有关平行与垂直问题; 3.理解并会应用三垂线定理及其逆定理证明有关垂直问题. 4 知识点一 平面的法向量 1.定义：如果 是空间中的一个平面， 是空间中的一个__________， 且表示的有向线段所在的直线与平面 ______，则称为平面 的 一个法向量，此时，也称与平面 垂直，记作 . 非零向量 垂直 课 前 预 习 5 2.性质：①如果直线垂直平面 ，则直线 的任意一个方向向量都是 平面 的一个法向量； ②如果是平面 的一个法向量，则对任意的实数 ，空间向量 也是平面 的一个法向量，而且平面 的任意两个法向量都平行； ③如果为平面 的一个法向量，为平面 上一个已知的点，则对 于平面 上任意一点，向量一定与向量垂直，即 ， 从而可知平面 的位置可由和 唯一确定. 课 前 预 习 6 【诊断分析】 判断正误.（正确的打“√”,错误的打“×”） （1）若向量，为平面 的法向量，则以这两个向量为方向向 量的直线一定平行.( ) × （2）如果是平面 的一个法向量，, 平面 ，那么一定有 .( ) √ （3）如果向量,与平面 共面且,，那么就是平面 的一个法向量.( ) × （4）平面的法向量有无数个，且互相平行.( ) √ 课 前 预 习 7 知识点二 直线与平面平行、垂直的判定 如图，如果是直线的一个方向向量，是平面 的一个法向量，则 ______； ______，或______. 课 前 预 习 8 知识点三 两平面平行、垂直的判定 如图,如果，分别是平面，的一个法向量，则 _________； ________，或____________. 与重合 课 前 预 习 9 【诊断分析】 判断正误.（正确的打“√”,错误的打“×”） （1）若两个平面的法向量互相平行，则两个平面平行.( ) × [解析] 两个平面还可能重合. （2）若两个平面的法向量垂直,则这两个平面垂直.( ) √ （3）已知两个不重合平面的一个法向量分别为,，直线 的一个 方向向量为，若满足且 ，则两个平面垂直.( ) √ 课 前 预 习 10 知识点四 三垂线定理及其逆定理 （1）三垂线定理：如果平面内的一条直线与平面的__________在该 平面内的______垂直，则它也和这条______垂直. （2）三垂线定理的逆定理：如果平面内的__________和这个平面的 __________垂直，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直. 一条斜线 射影 斜线 一条直线 一条斜线 课 前 预 习 11 探究点一 求平面的法向量 例1（1）已知,,，若平面 的一个法向量 为，则 ( ) A. B. C. D. √ 课 中 探 究 12 [解析] 由题得,， 若平面 的一个法向量为， 则即 解得所以 .故选C. 课 中 探 究 （2）已知正方体 的棱长为 2，为棱的中点，以 为坐标原点建立空 间直角坐标系（如图），则平面 的一个 法向量为( ) A. B. C. D. √ 课 中 探 究 14 [解析] 由题意可得，， ， 所以，, 设平面 的一个法向量为， 则 即 令，得 ，所以平面的一个法向量为， 所以是平面 的一个法向量.故选C. 课 中 探 究 15 变式 ［2024·辽宁铁岭高二期中］如图，四边形 是直角梯形, , 平面,, ,建立适当 的空间直角坐标系，求平面和平面 的法向量. 解：因为,,两两垂直,所以以 为原点,以 , ,的方向分别为轴、轴、 轴的正方向， 建立空间直角坐标系，如图所示, 课 中 探 究 16 则,,, ，所以 ，， . 易知是平面 的一个法向量. 设平面的法向量为,则 即令，得 , 故平面的一个法向量为 . 课 中 探 究 17 ［素养小结］ 利用待定系数法求平面的法向量的步骤: （1）设向量：设平面的一个法向量为<m></m>. （2）选向量：在平面内选取两个不共线的向量<m></m>，<m></m>. （3）列方程组：由<m></m>列出方程组并解方程组. （4）赋非零值：取其中一个为非零值<m></m>常取<m></m>,得到平面的一个法向量. 课 中 探 究 18 探究点二 利用空间向量证明平行关系 例2 ［2025·北京六十六中高二期末］如图所示, 在四棱柱中,侧棱 底面 ,,, , ,点,，分别为, ， 的中点.求证: （1）平面 ; 课 中 探 究 19 证明：如图所示,以 为坐标原点建立空间直角 坐标系,依题意可得, , ,,, . 因为,分别为, 的中点, 所以, . 易知为平面 的一个法向量,, 则 , 因为直线 平面,所以平面 . 课 中 探 究 20 例2 ［2025·北京六十六中高二期末］如图所示, 在四棱柱中,侧棱 底面 ,,, , ,点,，分别为, ， 的中点.求证: （2）平面平面 . 课 中 探 究 21 证明： 因为为的中点,所以 ,则 , . 设平面的法向量为 ,则 即则 , 令,所以, 因为,所以, 所以平面 平面 . 课 中 探 究 22 变式 如图所示，在正方体 中，为底面的中心，是棱 的中点， 设是棱上的点，问：当点 在什么位置 时，平面平面 ？ 课 中 探 究 23 解：如图所示，以为坐标原点，，， 的方向分别为轴、轴、 轴的正方向，建立空间 直角坐标系. 设正方体的棱长为1，则， ， ，， ， 设，所以， ， , . 设平面的一个法向量为 ， 课 中 探 究 24 则令 ，得， 所以平面 的一个法向量为 . 因为平面平面 ， 所以解得 . 故当为棱的中点时，平面平面 . 课 中 探 究 ［素养小结］ 证明线面平行、面面平行的方法： （1）用向量法证明线面平行：①证明直线的方向向量与平面内的某 一向量是共线向量且直线不在平面内；②证明直线的方向向量可以 用平面内两个不共线向量表示；③证明直线的方向向量与平面的法 向量垂直且直线不在平面内. （2）利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行. 课 中 探 究 26 探究点三 利用空间向量证明垂直关系 例3 如图,已知四棱台ABCD-A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为2和4 的正方形,AA1=3,且AA1⊥底面ABCD,点P,Q分别是棱BB1,DD1的中点. 在底面ABCD内是否存在点M,满足C1M⊥平面CPQ?若存在,请说明点 M的位置;若不存在,请说明理由. 课 中 探 究 27 解:存在满足题意的点M,点M到边AB,AD的距离均为,理由如下: 以A为坐标原点,以,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向, 建立如图所示的空间直角坐标系,则C(4,4,0),C1(2,2,3), B(4,0,0),B1(2,0,3),D(0,4,0),D1(0,2,3). 因为点P,Q分别是棱BB1,DD1的中点, 所以P,Q, 所以=,=. 课 中 探 究 28 设M(a,b,0)(0≤a≤4,0≤b≤4),则=(a-2,b-2,-3). 若C1M⊥平面CPQ, 则可得a=b=, 故存在点M,即点M到边AB,AD的距离均为, 使得C1M⊥平面CPQ. 课 中 探 究 29 变式 如图①，在边长为4的菱形中， ， 于点，将沿折起到 的位置，形成四棱锥 ，使 ，如图②. ① ② （1）求证： 平面 . 课 中 探 究 30 证明：，，，, 平面， 平面 ，又 平面， ， 又，，, 平面 ， 平面 . ① ② 课 中 探 究 31 （2）在棱上是否存在一点，使平面 平面 ？若存在， 求出 的值；若不存在，请说明理由. ① ② 变式 如图①，在边长为4的菱形中， ， 于点，将沿折起到 的位置，形成四棱锥 ，使 ，如图②. 课 中 探 究 32 解：以为坐标原点，，，的方向分别为，， 轴的正方 向，建立空间直角坐标系， 易知，则，， ， ，， . 设平面的一个法向量为 ， 则 令，则 . 设，则， ， ① ② 课 中 探 究 33 设平面的一个法向量为 ， 则令，则 . 假设平面 平面 ， 则，解得 ， ， 在棱上不存在一点，使平面 平面 . ① ② 课 中 探 究 ［素养小结］ （1）用向量法证明线面垂直的方法：①证明直线的方向向量与平面 内的两条相交直线的方向向量垂直;②证明直线的方向向量与平面的 法向量平行. （2）证明面面垂直的方法:①利用面面垂直的判定定理转化为线面 垂直、线线垂直去证明；②证明两个平面的法向量互相垂直. 课 中 探 究 35 探究点四 三垂线定理及其逆定理的应用 例4 如图，在正方体中，为底面的中心， 为 的中点. 求证： 平面 . 课 中 探 究 36 证明：方法一：如图，取，分别为 ， 的中点，连接，，， . 由正方体的性质知为在平面 上的 射影，为在平面 上的射影. ， ， ， . 又，， 平面 ， 平面 . 课 中 探 究 37 方法二：如图，连接，，， ， 设正方体的棱长为2，由正方体的性质知 为 在平面 上的射影， ， ， 又 ， ， ， ， ， 又 平面， 平面，且， 平面 . 课 中 探 究 38 变式 ［2024·江苏扬州大学附中高一月考］如图 所示，已知四棱锥 的底面是直角梯形， ，， 侧面 底面.求证： . 课 中 探 究 39 证明：如图，取的中点，连接交 于点，连接 . 因为，所以 . 又平面 平面，平面 平面 ， 平面 ， 所以 平面，所以在平面 内的射影为 . 在直角梯形中，由 ， 易知 ， 所以 ，即 . 由三垂线定理，得 . 课 中 探 究 40 ［素养小结］ 利用三垂线定理及其逆定理证明线线垂直的基本步骤: （1）确定投影面：平面经过其中一条直线,并且和另一条直线斜交; （2）确定射影：过斜线上一点找（作）一条直线和这个平面垂直,垂 足和斜足的连线为斜线在这个平面内的射影; （3）证明：结合图形完成证明. 课 中 探 究 41 1.已知为平面 的一个法向量，为直线 的一个方向向量，则“ ”是“ ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [解析] 当时, 或在平面 内,充分性不成立; 当 时,,必要性成立. 故“”是“ ”的必要不充分条件.故选B. √ 课 堂 评 价 42 2.已知平面 的一个法向量为，平面 的一个法向量 为，若 ，则 ( ) A. B.2 C.1 D. [解析] 因为 ，所以 ，所以 ，解得 .故选D. √ 课 堂 评 价 43 3. [2026·合肥高二月考] 已知平面α的一个法向量为n=(2,-1,1), 若直线l⊥平面α,则直线l的一个方向向量m可以是( ) A.(-4,2,-2) B.(1,1,-1) C.(-2,-1,1) D.(1,1,1) [解析]由题可知m=λn=(2λ,-λ,λ)(λ≠0),当λ=-2时,即为A选项, 对于选项B,C,D,找不到满足条件的λ,故B,C,D错误.故选A. √ 课 堂 评 价 44 4.已知平面 经过点，且平面 的一个法向量为 , 是平面 内任意一点，则( ) A. B. C. D. [解析] 依题意，，因为平面 的一个法向量为 ，所以，即 .故选D. √ 课 堂 评 价 45 5.已知点是平行四边形所在平面外一点， ， ， .给出下列结论： ① ； ② ； ③是平面 的一个法向量. 其中结论正确的是____.（填序号） ① 课 堂 评 价 46 [解析] ， ， ，故①正确； ，与 不 垂直，故②不正确； 与不垂直，不是平面 的一个法向量，故③不正确. 故填①. 课 堂 评 价 1.对于法向量的认识需要注意以下几点： （1）一个平面 的法向量不唯一； （2）平面 的一个法向量一般用非零向量 表示； （3）若非零向量是平面 的一个法向量，则也是平面 的一 个法向量. 2.三垂线定理刻画的是平面内的一条直线、平面的一条斜线及其在平 面内的射影这三条直线的位置关系，需注意以下几个方面： （1）三垂线定理及其逆定理中的“平面内”是不可缺少的，否则就不 一定成立，从证明过程可知，只有在平面内的直线与该平面的斜线 在平面内的射影（或该平面的斜线）垂直时，才能保证该直线垂直 于斜线与垂线所在的平面，从而由线面垂直推出线线垂直. 新 知 拓 延 48 （2）对两个定理应用的选择：从条件上看，定理的条件是“和射影 垂直”，逆定理的条件是“和斜线垂直”；从作用上看，定理的作用是 “已知共面垂直，证明异面垂直”，逆定理的作用是“已知异面垂直， 证明共面垂直”. （3）三垂线定理及其逆定理的应用是广泛的，可以使问题的解决得 以简化，如确定平面的法向量等. 新 知 拓 延 49 课后习题 50 1.在空间直角坐标系中，，，，则，， 三点所在平面的一个法向量的坐标是( ) A. B. C. D. [解析] 由题知,，设平面 的一个 法向量为，则即 令 ，则 .故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 51 2.下列说法中正确的是( ) A.如果直线与平面 外的一条直线在平面 内的射影垂直，则 B.如果直线与平面 外的一条直线垂直，则与在平面 内的射 影垂直 C.如果向量与直线在平面 内的射影垂直，则 D.如果非零向量和平面 平行，且和直线垂直，直线不与平面 垂直，则垂直于在平面 内的射影 [解析] 由三垂线定理的逆定理知D正确. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 52 3. [2026·河北邯郸高二期中] 已知点P0(2,-1,1)在平面α内,向量n=(1,1,-2) 为平面α的一个法向量,则下列各点不在平面α内的是 ( ) A.(1,0,1) B.(0,1,1) C.(-1,2,2) D.(1,-2,0) [解析]设点P(x,y,z)为平面α内任意一点,因为=(x-2,y+1,z-1), 所以·n=(x-2)+(y+1)-2(z-1)=0,可得x+y-2z+1=0. 对于A,1+0-2×1+1=0,故A错误; 对于B,0+1-2×1+1=0,故B错误; 对于C,-1+2-2×2+1=-2≠0,故C正确; 对于D,1-2-2×0+1=0,故D错误.故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 53 4. [2026·广州高二期中] 若平面α的一个法向量为u=(2,1,5),平面β的一个 法向量为v=(m,-3,k),直线l的一个方向向量为t=(n,-2,-10),则下列说法正确 的是 ( ) A.若α⊥β,则2m-3+5k=0 B.若l⊥α,则n=4 C.若n=26,则l∥α D.若α∥β,则m=-6,k=15 √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 54 [解析] 对于A,若α⊥β,则u⊥v,即u·v=2m-3+5k=0,故A正确; 对于B,若l⊥α,则t∥u,则==,解得n=-4,故B错误; 对于C,若n=26,则t=(26,-2,-10),所以t·u=52-2-50=0,所以t⊥u, 所以l∥α或l⊂α,故C错误; 对于D,若α∥β,则u∥v,则==,解得m=-6,k=-15,故D错误.故选A. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 55 5.如图所示，已知 平面，且为 的垂心，则与 的位置关系是( ) A.平行 B.垂直 C.相交 D.不确定 [解析] 连接并延长，交于,为的垂心， . 又为在平面内的射影， 由三垂线定理知 . √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 56 6.［2026·武汉华中师范大学第一附属中学高二月考］在正方体 中，，，分别是，， 的中点， 则( ) A.平面 B.平面 C. 平面 D. 平面 √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 57 [解析] 以 为原点，建立如图所示的空间直角坐 标系，设正方体的棱长为2，取,, 的中点 分别为,,，则平面即为平面 ,故 与平面相交，故A错误. , ,,,, , ,则,, ,因为 ,，所以是平面 的一个法 向量，故 平面，故D正确. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 58 由正方体的性质可得与 不平行，所以 不垂直于平面 ，故C错误. ，因为 ， 所以与不垂直，故 与平面 不平行，故B错误. 故选D. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.（多选题）给出下列命题，其中是真命题的是( ) A.若直线的一个方向向量为，平面 的一个法向量为 ，则 B.若平面 ， 的一个法向量分别为， ， 则 C.若平面 经过，， 三点，向量 是平面 的一个法向量，则 D.已知，，若点是点关于平面 的对称点， 则与两点间的距离为 √ √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 60 [解析] 对于A， 不存在实数 ，使得，与 不共线，故 A是假命题； 对于B，， ，故B是真命题； 对于C，， ， 向量是平面 的一个法向量， ， ，，，解得 ， ，，故C是真命题； 对于D， 点是点 关于平面的对称点，， 与 两点间的距离为， 故D是真命题.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 61 8.在空间直角坐标系中，平面 与平面 的一个法向量分别为 ， ，若，则直线 的一个方向向量为 ________________________（写出一个方向向量的坐标即可）. （答案不唯一） [解析] 设直线的方向向量为，依题意可知 所以 令，则，，所以 （答案不唯一）. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 62 9.已知直线的一个方向向量为，直线 的一个方向 向量为，平面 的一个法向量为 ， ， ，则 ， ， 的值依次为___________. 2，4， [解析] 因为，所以，所以 ， 即，解得. 因为 ，所以 ，所以，即， 所以 解得 故 ， ， 的值依次为2，4， . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 63 10.（13分）如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,DD1=DA=1,AB=2,点E在 棱AB上运动. (1)证明:B1C⊥D1E. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 64 证明:以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系, 则D1(0,0,1),B1(1,2,1),C(0,2,0),所以=(-1,0,-1). 设E(1,t,0),0≤t≤2,则=(1,t,-1), 因为·=-1+0+1=0所以B1C⊥D1E. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 65 10.（13分）如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,DD1=DA=1,AB=2,点E在 棱AB上运动. (2)设E为棱AB的中点,在棱CC1上是否存在一点F,使得BF∥平面DEC1? 若存在,求出的值;若不存在,请说明理由. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 66 解:若E是AB的中点,则E(1,1,0), 又D(0,0,0),C1(0,2,1),所以=(1,1,0),=(0,2,1). 设平面DEC1的一个法向量为n=(x1,y1,z1), 则取y1=1,则x1=-1,z1=-2, 故n=(-1,1,-2)为平面DEC1的一个法向量. 设F(0,2,λ),0≤λ≤1,因为B(1,2,0),所以=(-1,0,λ). 若BF∥平面DEC1,则n·=1-2λ=0,解得λ=,所以F是CC1的中点, 所以=. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 67 11.如图所示,在正方体中, 是 的中点,点在棱上，且 ,若 平面，则 ( ) A. B. C.1 D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 68 [解析] 如图所示,以为坐标原点,,, 的方向 分别为轴、轴、 轴的正方向,建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为1，则, , ,,,所以 , . 设是平面 的一个法向量, 则即 取 , 得平面的一个法向量为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 69 设,因为 ,所以 ,所以 , 易知，所以,故， 又 , 所以. 因为平面 ,所以, 即,解得 .故选C. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.（多选题）在长方体中， ， ，，，分别是，， 上的动点，则下列 结论正确的是( ) A.对于任意给定的点，存在点使得 B.对于任意给定的点，存在点使得 C.当时， D.当时，与平面 的法向量垂直 √ √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 71 [解析] 如图所示，以为原点，以 ， ，的方向分别为轴、轴、 轴 的正方向，建立空间直角坐标系，则 ，， ， ，，，， ， 设，，，，设 ， ，得， ， ，，当时， ，故A正确； 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 72 ， ， 当时，，故B正确； 若，则 ，解得 ，此时 ，故C错误； 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若 ，则， ，又，， 设平面 的一个法向量为，则 即取 ，则，， 所以平面的一个法向量为 ， 则，故D正确.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知点，，， ，若在平面 内存在点，使得 平面，则点 的坐标是________. [解析] 设点的坐标为，平面 的一个法向量为 .因为，，， ，所以 ，， ，. 因为 平面，所以 ，， 所以即 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 75 因为 所以令，则. 由 ，得. 由①②可得，，，，故点 的坐标为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.（15分）如图，在直三棱柱中， , ,,，垂足为，点为线段 上的一点. （1）若为线段的中点，证明： 平面 ； 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 77 证明：连接，则 ， . ,为 的中点，又为的中点， ， 又， ，又 平面, 平面 ， 平面 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 78 （2）若平面 平面，求 的值. 14.（15分）如图，在直三棱柱中， , ,,，垂足为，点为线段 上的一点. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 79 解：以为坐标原点，，， 的方向分 别为轴、轴、 轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，,, , ，所以, , ， 设, ， 则,所以 . 设平面的一个法向量为 ， 则即 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 80 取，得 . 设平面的一个法向量为 ， 则即 取 ，得, , . 平面 平面 ，，解得 ， 当平面 平面时， . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.如图，在正方体中，， ， 则下列说法不正确的是( ) A.若平面平面，则 B.若平面 平面，则 C.的面积最大时， D.的面积最小时， √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 82 [解析] 设为的中点，连接.以点 为坐标 原点，，，的方向分别为轴、轴、 轴 正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，， ， ，，，， ，所以 ，，所以 ， 所以，，线段 的中点为，则 ， 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 83 所以 . 设平面 的一个法向量为 ， 则 取 ，则 . 对于A，设平面的一个法向量为 ，因为 ， ，所以 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 取 ，可得，若平面平面 ，则 ， 则，解得 ，故A中说法正确； 对于B，设平面的一个法向量为 ， 因为， ， 所以 取 ，可得， 若平面 平面 ， 则，即 ，解得 ，故B中说法正确； 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于C，D，，则 ， 故 ， 因为，，所以当时， 取得最小值，则的面积最小，故D中说法错误， 当 时，取得最大值，则 的面积最大，故C中说法正确. 故选D. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.（15分）在如图所示的几何体中，面 为正方形，面为等腰梯形，且 ， ， ， . （1）求证： 平面 . 证明：， ， 在 中，由余弦定理可得 ， ， ， ， 又，， 平面 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 87 （2）棱上是否存在点，使平面 平面 ？证明你的结论. 16.（15分）在如图所示的几何体中，面 为正方形，面为等腰梯形，且 ， ， ， . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 88 解：棱上不存在点，使平面 平面 .证明如下： 因为 平面， 平面，所以 . 因为，，所以 平面， 所以 ，， 两两垂直. 以为原点，,,的 方向分别为,, 轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示. 在等腰梯形中，可得 .设，则，， ， ， ，所以， ， . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 89 设平面的一个法向量为，则 即取，得 . 不妨设 ，所以 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设平面的一个法向量为，则 即取，得 . 要使平面 平面，只需 ， 即，此方程无解， 所以棱上不存在点 ，使平面 平面 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 $