1.2.5 空间中的距离(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦空间向量在立体几何中的距离应用，涵盖两点间、点到直线、点到平面及线面与面面距离计算，通过课前预习诊断衔接空间向量知识，搭建从概念理解到问题解决的学习支架。 其亮点在于课中探究结合实例（如正四棱锥中点到直线距离），用向量法与坐标法培养数学思维，素养小结提炼方法强化数学语言表达。助力学生系统掌握距离计算，为教师提供结构化教学资源，提升教学效率。

1.2 空间向量在立体几何中的应用 1 1.2.5 空间中的距离 2 探究点一 空间中两点之间的距离 探究点二 点到直线的距离 探究点三 点到平面的距离 探究点四 线面距离与面面距离 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课堂评价 课后习题 3 【学习目标】 1.掌握向量长度的计算公式; 2.会用空间向量的方法求两点间的距离、点到平面的距离、直线与平 面之间的距离和面与面之间的距离. 4 知识点一 空间中两点之间的距离 空间中两点之间的距离指的是这两个点连线的________，可借助向量 构造三角形利用三角形法则求向量的模或建立空间直角坐标系求解. 线段长 课 前 预 习 5 知识点二 点到直线的距离 给定空间中一条直线及外一点，过 可以 作直线 的一条________，这条垂线段的____ 称为点到直线 的距离，点到直线的距离也 是这个点与直线上点的______连线的长度. 垂线段 长 最短 例如，如图所示，点是直线外一点，若是直线 的垂线段，则 的长度就是点到直线的距离，这一距离也等于 . 直线外一点到直线的距离 . 课 前 预 习 6 知识点三 点到平面的距离 给定空间中一个平面 及 外一点，过 可以 作平面 的一条________，这条垂线段的____ 称为点到平面 的距离，点到平面的距离也 是这个点与平面内点的______连线的长度. 垂线段 长 最短 如图，为平面 外一点，是平面 内一点，是平面 的一个法 向量，则点到平面 的距离 . 课 前 预 习 7 知识点四 相互平行的直线与平面之间、相互平行的平面与平面 之间的距离 （1）当直线与平面平行时，直线上______________________称为这 条直线与这个平面之间的距离.如果直线与平面 平行，是平面 的一个法向量，，分别是上和 内的点，则直线与平面 之间 的距离 . 任意一点到平面的距离 课 前 预 习 8 （2）当平面与平面平行时，一个平面内任意一点________________ _____称为这两个平行平面之间的距离. 如果平面 与平面 平行，是平面 的一个法向量，和 分别是 平面 和平面 内的点，则平面 和平面 之间的距离为 _ ___________. 到另一个平面的距离 （3）与两个平行平面同时______的直线，称为这两个平面的______ ___，________夹在平行平面间的部分，称为这两个平面的________ ___，__________的长即为两个平行平面之间的距离. 垂直 公垂线 公垂线 公垂线段 公垂线段 （4）直线与平面之间的距离和平面与平面之间的距离都可以归结成 点到平面的距离. 课 前 预 习 9 【诊断分析】 判断正误.（正确的打“√”,错误的打“×”） （1）平面 外一点到平面 的距离就是点与平面内一点 所成向 量 的长度.( ) × （2）若直线平面 ，则直线到平面 的距离就是直线 上的点 到平面 的距离.( ) √ （3）若平面平面 ，则两平面 ， 的距离可转化为平面 内 某条直线到平面 的距离，也可转化为平面 内某点到平面 的距 离.( ) √ 课 前 预 习 10 探究点一 空间中两点之间的距离 例1 如图所示，在 的二面角 中， ， 且，，垂足分别为， ，已知 ，试求线段 的长. 课 中 探 究 11 解：，，，， 二面角 的平面角为 ，， ， ， . 课 中 探 究 12 变式 如图所示，正方形，的边长都是1，平面 平面，点在线段上移动，点在线段 上移动，若 . （1）求的长（用 表示）. 课 中 探 究 13 解：因为平面 平面， ，所以 平面，则，故,, 两两垂直， 以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为，且四边形， 为正方形，所以， ，所以 ，所以 . 课 中 探 究 14 （2）为何值时， 的长最小？ 解：由（1）知，所以当时， 的长最小， 最小值为 . 变式 如图所示，正方形，的边长都是1，平面 平面，点在线段上移动，点在线段 上移动， 若 . 课 中 探 究 15 ［素养小结］ 计算两点间的距离的两种方法： （1）利用<m></m>，通过向量运算求<m></m>，如求<m></m>，<m></m>两点间的距 离，一般用<m></m>求解. （2）用坐标法求向量的长度（或两点间距离），当求解的图形适宜 建立空间直角坐标系时适用此法. 课 中 探 究 16 探究点二 点到直线的距离 例2 [2026·河北邢台高二月考] 在正四棱锥P-ABCD中,PA=2,AB=4, E,F分别是棱AB,PC的中点,则点D到直线EF的距离是 ( ) A. B. C. D. √ 课 中 探 究 17 [解析] 如图,连接AC,BD,DE,记AC∩BD=O,连接OP. 由正四棱锥的性质可知OB,OC,OP两两垂直,以O为坐标原点, ,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系. 因为PA=2,AB=4,所以OA=2,PO=4,所以D(-2,0,0),E(,-,0), F(0,,2),所以=(-3,,0),=(-,2,2), 则点D到直线EF的距离是==. 故选B. 课 中 探 究 18 变式 如图，在四棱锥中， 平面，， ，求点 到直线 的距离. 课 中 探 究 19 [解析] 因为 平面， 平面 ， 平面，所以， ，又 ，所以,,两两垂直， 以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， ，所以 ，，则 ， 在上的投影的数量为 ， 所以点到直线的距离为 . 课 中 探 究 20 ［素养小结］ 用向量法求点到直线的距离的一般步骤： 方法一：利用空间向量找垂线段，再求向量的模即可. 方法二：（1）建立空间直角坐标系； （2）求直线的方向向量； （3）求所求点与直线上某一点所构成的向量与直线的单位方向向量 的数量积； （4）利用勾股定理求点到直线的距离. 另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化. 课 中 探 究 21 探究点三 点到平面的距离 例3 [2026·郑州高二月考] 如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAB⊥平面 ABCD,PA=PB=3,AB∥DC,DC=2AB=2BC=4,AB⊥BC,E为PD的中点, 求点D到平面ABE的距离.   课 中 探 究 22 解:取AB的中点为O,连接PO,则PO⊥AB. 因为平面PAB⊥平面ABCD,PO⊂平面PAB,平面PAB∩平面ABCD=AB, 所以PO⊥平面ABCD,又AB⊥BC,所以可如图建立空间直角坐标系. 由PA=PB=3,AB∥DC,DC=2AB=2BC=4,得PO==2, 则B(0,0,0),A(2,0,0),D(4,2,0),P(1,0,2),又因为E为PD的中点, 所以E,所以=(2,0,0),=,=(4,2,0). 设平面ABE的一个法向量为n=(x,y,z), 则令z=1,则n=(0,-,1), 则点D到平面ABE的距离d====. 课 中 探 究 23 变式（1）已知，是平面 的一个法向量，且 是平面 内的一点，则点到平面 的距离为( ) A. B. C. D. [解析] 由题知，则点到平面 的距离 为 .故选D. √ 课 中 探 究 24 （2）［2026·石家庄高二期末］在如图所示的直 四棱柱中，底面 是正方 形，,,是棱的中点，是棱 上的一个动点，则点到平面 的距离的最小 值为( ) A.1 B. C. D. √ 课 中 探 究 25 [解析] 由题意知，该几何体为长方体，以 为坐标 原点建立空间直角坐标系，如图所示，则 , ,，所以 ， 设,则． 设平面 的一个法向量为 ，则 令，得 , 课 中 探 究 26 因为，所以点到平面 的距离为 ，又,所以当时， 点 到平面 的距离取得最小值，最小值为 ．故选D. 课 中 探 究 ［素养小结］ 用向量法求点面距的步骤: （1）建系:建立恰当的空间直角坐标系; （2）求点坐标:写出（求出）相关点的坐标; （3）求向量:求出相关向量的坐标; （4）利用公式即可求得点到平面的距离. 课 中 探 究 28 探究点四 线面距离与面面距离 例4（1）在空间直角坐标系中，，， ， ，其中 ， ， ， ，已知平面 平面 ，则平面 与平面 间的距离为( ) A. B. C. D. √ 课 中 探 究 29 [解析] 由已知得，， ， 设向量与向量，都垂直，则 即取，得， 因为平面平面 ， 所以平面 与平面 间的距离 . 故选A. 课 中 探 究 30 （2）如图，在棱长为1的正方体 中，,分别是, 的中 点，则直线到平面 的距离为( ) A. B. C. D. √ [解析] 以 为坐标原点，建立空间直角坐标系， 如图，则,,, ， 所以, , , 课 中 探 究 31 设平面 的一个法向 量为， 则 令，则. 因为 ， 平面， 平面 ，所以平面，所以直线 到平面的距离即 为点到平面 的距离，所以直线到平面 的距离 .故选D. 课 中 探 究 32 变式 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列结论正确的是( ) A.异面直线AC与BC1所成的角为 B.是平面ABC1D1的一个法向量 C.直线A1B1到平面ABC1D1的距离为 D.平面AB1C与平面A1C1D间的距离为 √ √ √ 课 中 探 究 33 [解析] 如图,以D为坐标原点,建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(1,0,0), C(0,1,0),B(1,1,0),A1(1,0,1),C1(0,1,1),所以=(-1,1,0),=(-1,0,1), 设异面直线AC与BC1所成的角为θ,则cos θ==, 因为θ∈,所以θ=,故A正确; 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB⊥平面ADD1A1,DA1⊂平面ADD1A1, 所以DA1⊥AB,又DA1⊥AD1,AD1∩AB=A,AD1,AB⊂平面ABC1D1, 所以DA1⊥平面ABC1D1,所以是平面ABC1D1的一个法向量,故B正确;   课 中 探 究 因为A1B1∥AB,A1B1⊄平面ABC1D1,所以直线A1B1∥平面ABC1D1, 则直线A1B1到平面ABC1D1的距离等于点A1到平面ABC1D1的距离, 等于点A1到直线AD1的距离,为,故C错误; =(1,0,1),=(0,1,1),=(-1,0,0), 设平面A1C1D的一个法向量为n=(x,y,z), 则即可取n=(-1,-1,1), 则平面AB1C与平面A1C1D之间的距离d===, 故D正确.故选ABD. 课 中 探 究 ［素养小结］ 求直线与平面之间的距离，往往转化为点到平面的距离求解，且这个 点要适当选取，以求解最简单为准则，求直线与平面之间的距离的题 目不多，因为直线与平面之间的距离可以用点到平面的距离求解，但 在求点到平面的距离时有时用直线与平面之间的距离进行过渡. 课 中 探 究 36 1.［2025·武汉高二期末］已知空间向量 ， ，则点到直线 的距离为( ) A. B. C. D. [解析] 因为，，所以在 上的投影 的数量为，所以点到直线 的距离为 .故选A. √ 课 堂 评 价 37 2.［2025·安徽合肥一中高二期中］已知异面直线， 所成的角为 ，，在直线上，，在直线上，， ， ，，，则， 间的距离为( ) A.或 B.4 C. D. 或4 √ 课 堂 评 价 38 [解析] 由题知，，，， ， ，,或，则 , . 当,时， ， 所以； 当, 时，， 所以 .故选D. 课 堂 评 价 39 3.在三棱锥中， 底面， ， ， ，则点到平面 的距离为( ) A. B. C. D. √ 课 堂 评 价 40 [解析] 根据题意，以为坐标原点，，， 的方向分别为轴、轴、 轴的正方向，建立如图 所示的空间直角坐标系，则， ， ，，所以 ， ，. 设平面 的一个法向量为，则 取，得，所以点到平面 的距离 .故选B. 课 堂 评 价 41 4.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4,M,N,E,F分别为A1D1,A1B1,C1D1, B1C1的中点,则平面AMN与平面EFBD之间的距离为 　　　.  课 堂 评 价 42 [解析]如图所示,以D为坐标原点,建立空间直角坐标系, 则A(4,0,0),M(2,0,4),B(4,4,0),E(0,2,4),F(2,4,4),N(4,2,4), ∴=(2,2,0),=(2,2,0),=(-2,0,4),=(-2,0,4), ∴=,=,∴EF∥MN,BF∥AM, 又EF∩BF=F,MN∩AM=M,∴平面AMN∥平面EFBD. 设n=(x,y,z)是平面AMN的一个法向量, 则取z=1,得n=(2,-2,1). 平面AMN与平面EFBD之间的距离即为点B到平面AMN的距离, ∵=(0,4,0),∴平面AMN与平面EFBD之间的距离d==. 课 堂 评 价 43 5.如图，在棱长为2的正方体中，直线 到平面 的距离为____. 课 堂 评 价 44 [解析] ， 平面， 平面,平面, 直线 到平面 的距离即为点到平面的距离. 以 为坐标原点，,,的方向分别为,, 轴的正 方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则, , ,, ,, . 设平面的一个法向量为 ， 则 课 堂 评 价 45 取 ，得， 点到平面 的距离，故直线到平面 的距离为 . 课 堂 评 价 求解点到直线 距离的方法： 过作直线的垂线，垂足为，则 的长度即为所求距离.设 ，用 表示出点的坐标，再由，解出参数 ， 进而求距离. 新 知 拓 延 47 课后习题 48 1.已知,,，则点到直线 的距离为( ) A. B. C.1 D. √ [解析] 由,,,得, , 则,, 又, ，所以,,所以点到直线的距离 为 , .故选A. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 2. [2026·辽宁抚顺六校协作体高二期末] 已知平面α的一个法向量为 n=(0,1,-1),点A(1,1,0)在平面α内,则点P(0,1,-2)到平面α的距离为( ) A. B. C. D. [解析]由题意知=(-1,0,-2),所以点P到平面α的距离d===. 故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 50 3.［2025·哈尔滨高二期末］如图，圆柱的轴截面 是正方形，点是底面圆周上异于, 的一点， 若，当三棱锥 的体积最大时， 点到平面 的距离为( ) A.2 B. C. D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 51 [解析] 方法一：因为三棱锥 的高即为圆 柱的高，所以当三棱锥 的体积最大时， 的面积最大，当为弧 的中点时， 的面积最大. 以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 当为弧 的中点时，,,, ，所以 ,,. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 52 设 为平面 的一个法向量，则 即 令 ，则， 所以点到平面 的距离 .故选D. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法二：因为三棱锥 的高即为圆柱的高， 所以当三棱锥的体积最大时， 的 面积最大，当是弧的中点时， 的面积最 大，此时， . 如图，连接交于点，易知为 的中点，所以 点到平面的距离等于点到平面的距离. 过点作 ，交于点，因为平面，平面， 所以 ， 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 54 又，，，平面， 所以 平面，又平面，所以， 又， ，平面，所以平面， 所以点 到平面 的距离即为 .故选D. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法三：因为三棱锥 的高即为圆柱的高， 所以当三棱锥的体积最大时， 的 面积最大，当是弧的中点时， 的面积最 大，此时 ， ， . 如图，连接交于点 ，易知为的中点， 所以点到平面的距离等于点到平面 的距离， 设点到平面的距离为.因为平面， 平 面， 所以， 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 56 又 ，，，平面， 所以 平面，又平面， 所以 ，又 ， 所以 ， 由，解得 . 故选D. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.如图，在正四棱柱 中， ，点和分别是线段和 上的动 点，则， 间的最小距离为( ) A. B.1 C. D. √ [解析] 因为点和分别是线段和 上的动点， 所以，间的最小距离即为异面直线与 间的距离， 以 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则 ,,, ，所以 ,， . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 58 设与异面 直线与都垂直的一个向量为 ，则 取 ，得，则异面直线间的距离 为 ，即，间的最小距离为 .故选C. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 59 5. [2026·山西晋中高二月考] 如图,四棱锥P-ABCD的底面是边长为4的 正方形,E为棱BC上的点,F为棱PC的中点,PD⊥底面ABCD,PD=2,CE=1, 则点A到平面DEF的距离为 ( ) A. B. C. D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 60 [解析] 以D为坐标原点,DA,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示 的空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(4,0,0),E(1,4,0),F(0,2,1), ∴=(1,4,0),=(0,2,1). 设平面DEF的一个法向量为n=(x,y,z), 则令x=-4,则n=(-4,1,-2). 又=(4,0,0),所以点A到平面DEF的距离为==.故选B. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.如图，在长方体 中， ，，则直线 与平面 之间的距离是( ) A.5 B.8 C. D. [解析] 以为坐标原点，，， 的方向 分别为，， 轴的正方向,建立如图所示的空 间直角坐标系，则， . 设，则 ， √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 62 的一个法向量为， 由， ，得， ，所以 ，， 可取.因为， 所以点 到平面 的距离. 易知平面 ， 所以直线与平面之间的距离为 .故选C. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.（多选题）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩 形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，在阳马 中， 平面，若，， 分别 为棱， 的中点，则( ) A. 平面 B.平面 C.点到直线的距离为 D.与平面所成的角的正弦值为 √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 64 [解析] 对于A，连接，易知,因为， 分别为，的中点，所以,因为 平 面，平面，所以 , 又,,平面，所以 平面 ，又，所以平面 ，故A正确； 对于B，因为平面，,平面，所以 , ,又,所以以为坐标原点，,, 的方向分别为 ,,轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，则 ， ，，，, 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 65 ，， 设平面 的一个法向量为， 则 令，则， 因为 ，所以与平面 不平行， 故B错误； 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于C，设点到直线的距离为， 因为 ， ， 所以，所以 ，故C正确； 设与平面所成的角为，因为 , 所以 ，故D错误. 故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.［2025·广东东莞五校高二期中］已知平面 的一个法向量为 ，点在平面 内，若点到平面 的距离，则 _________. 或 [解析] 由题知，所以 ，即 ，解得或 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 68 9. [2026·石家庄高二期中] 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形, PD⊥平面ABCD且PD=AD=1,AB=2,点E是棱AB上一点,当平面PEC与 平面ABCD所成的角为时,点D到平面PEC的距离为  　 　　.  课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 69 [解析] 因为底面ABCD是矩形,PD⊥平面ABCD, 所以PD⊥DA,PD⊥DC,DA⊥DC. 以D为原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向, 建立如图所示的空间直角坐标系,则P(0,0,1),C(0,2,0), 设E(1,y,0)(0≤y≤2),则=(0,-2,1),=(1,y-2,0). 设平面PEC的一个法向量为n=(a,b,c),则即 令b=1,则n=(2-y,1,2).平面ABCD的一个法向量为m=(0,0,1). 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 70 因为平面PEC与平面ABCD所成的角为, 所以cos=|cos<n,m>|== =,可得y=2-,则n=(,1,2), 又=(0,-2,0),所以点D到平面PEC的距离为 ===. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 71 10.（13分）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E为棱D1C1的中点. (1)求异面直线D1B与A1E之间的距离; 解:如图,以D为原点,建立空间直角坐标系,则D(0,0,0), B(1,1,0),C(0,1,0),A1(1,0,1),B1(1,1,1),D1(0,0,1),E, 所以=,=(1,1,-1). 设n=(x,y,z)是与和都垂直的一个向量, 则即令x=1,得n=(1,2,3),又=(1,0,0), 所以A1E与BD1之间的距离d1===. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 72 10.（13分）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E为棱D1C1的中点. (2)求点B1到平面A1BE的距离; 解： =(0,1,-1),=(0,1,0). 设m=(a,b,c)为平面A1BE的一个法向量, 则即 令a=1,得m=(1,2,2),又=(0,1,0), 所以点B1到平面A1BE的距离d2==.   课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 73 10.（13分）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E为棱D1C1的中点. (3)求直线D1C到平面A1BE的距离; 解:  由(2)可知,平面A1BE的一个法向量为m=(1,2,2), 又=(1,0,0),所以直线D1C到平面A1BE的距离 d3==. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 74 10.（13分）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E为棱D1C1的中点. (4)求平面A1DB与平面D1CB1之间的距离. 解:=(1,0,1),=(1,1,0),=(0,1,-1),=(1,1,0), 设n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2)分别为平面A1DB与平面 D1CB1的一个法向量,则 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 75 令x1=1,得n1=(1,-1,-1), 令x2=1,得n2=(1,-1,-1),所以n1=n2,所以平面A1DB∥平面D1CB1, 可得点A1到平面D1CB1的距离即为所求,又=(1,0,0), 所以点A1到平面D1CB1的距离d4===, 故平面A1DB与平面D1CB1之间的距离为. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 76 11.如图，在长方体 中， ，，点在侧面 上.若点到直线和 的距离相等，则 的最小值是( ) A. B. C.2 D. [解析] 以为坐标原点，,, 的方向分别为 ,, 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则,,，设 ，其中 ,，所以， . √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 77 点到直线的距离为，点到直线 的距离为 ，所以. 因为 ，所以 ， 因为，所以当, 时， 取得最小值，最小值为 .故选B. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.（多选题）已知正方体的棱长为1，点， 分别 是，的中点， 在正方体内部且满足 ，则下列说法正确的是( ) A.点到直线的距离为 B.点到平面的距离为 C.平面与平面间的距离为 D.点到直线的距离为 √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 79 [解析] 如图，以 为原点建立空间直角坐标系， 则，，， ， ，，， , 所以，. 设 ，则 ，所以 ，则点到直线 的距离 ，故A错误. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 80 ，易知平面的一个法 向量为，则点到平面 的距 离 ，故B正确. ，，,设平面 的一个法向量为 ，则即 令，得，所以点到平面 的距离. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为 ，所以，又平面，平面，所以平面， 同理平面，所以平面平面，所以平面与平面间的距离等于点到平面的距离，所以平面与平面 间的 距离为 ，故C正确. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为，所以 ， 又，所以，所以点到 的 距离 ， 故D错误.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.我们知道用平面截正方体可以得到不同形状的截面，若棱长为1的 正方体被某平面截得的多边形为正六边形，则以该正六边形为底， 此正方体的顶点为顶点的棱锥的体积的最大值是__. [解析] 如图，在棱长为1的正方体 中，取，，， ，， 的中点分别为，，，，， ，顺次连接， 由正方体的几何性质可知，六边形为正六边形， 且其边长为 ， 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 84 所以正六 边形的面积. 以 为坐标原点，，，的方向分别为 ， ， 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， ， ，，所以 ， ，， . 因为 ， ， 所以 ，， 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为，， 平面， 所以平面 ， 当棱锥的顶点为点或 时，棱锥的高最大， 则该棱锥的高的最大值为 ， 所以该棱锥的体积的最大值是 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.（15分）如图,在三棱锥P-ABC中,平面PAC⊥平面ABC,△PAC是边长 为2的等边三角形,AB=2,∠BAC=45°. (1)证明:BC⊥PA; 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 87 证明:在△ABC中,AC=2,AB=2,∠BAC=45°, 由余弦定理可得BC2=AC2+AB2-2AB·AC·cos 45°=4,则BC=2, 所以BC2+AC2=AB2,所以BC⊥AC. 因为平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC, 且BC⊥AC,BC⊂平面ABC, 所以BC⊥平面PAC,又PA⊂平面PAC, 所以BC⊥PA. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 88 14.（15分）如图,在三棱锥P-ABC中,平面PAC⊥平面ABC,△PAC是边长 为2的等边三角形,AB=2,∠BAC=45°. (2)若棱PC上的点Q满足直线AP与直线BQ所成角的余弦值为, 求点Q到直线AB的距离. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 89 解:取AC,AB的中点分别为O,M,连接OP,OM. 由△PAC为正三角形知,OP⊥AC, 结合(1)中BC⊥平面PAC,由OM∥BC, 可知OM⊥平面PAC,则AC,OM,OP两两垂直. 如图所示,以O为坐标原点,,,的方向分别为x轴、y轴、 z轴的正方向,建立空间直角坐标系, 则A(1,0,0),C(-1,0,0),B(-1,2,0),P(0,0,), 所以=(1,0,),=(-1,0,),=(-2,2,0). 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 90 设=λ=(λ,0,λ)(0≤λ≤1),则Q(λ-1,0,λ), 则=(λ,-2,λ),所以cos<,>==, 由|cos<,>|=,解得λ=或λ=-(舍去),则Q, 则=,所以点Q到直线AB的距离 d===. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 91 15.已知正方体的棱长为2，为棱的中点， 为棱上一动点（包括端点），则点到直线 的距离的最小值为 ____. [解析] 以为坐标原点，,,的方向分别为,, 轴的正方向， 建立空间直角坐标系，则有,,设 . 设于点，因为，点在直线 上，所以设 ,所以，因为 ，所以 ，即，可得 ， 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 92 所以 ， 当，即时，取得最小值，此时,故点 到 直线的距离的最小值为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.（15分）［2025·福建福州十八中高二期中］ 如图，在直四棱柱 中，底面四边形为梯形， ， ，， . （1）证明： ； 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 94 证明：因为， ， 所以 ，所以， 因为 为直四棱柱， 所以平面 ， 又平面，所以 ， 又，，平面 ， 所以平面，又平面 ， 所以，又 ，所以 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 95 （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求直线 到平 面 的距离. 16.（15分）［2025·福建福州十八中高二期中］ 如图，在直四棱柱 中，底面四边形为梯形， ， ，， . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 96 解：以为坐标原点，，， 的方向分别为 ，， 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系. 设 ， 则,,, , ， 所以,, . 设为平面 的一个法向量， 则即 令，则 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 97 设直线与平面所成的角为 ， 因为直线与平面所成角的正弦值为 ， 所以 ,， 可得 ，所以 . 直线到平面的距离可转化为点 到平面 的距离，因为 ， 所以直线到平面 的距离为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 $