1.2.5 空间中的距离(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教B版）

该高中数学课件聚焦空间向量在立体几何中的距离应用，涵盖点到直线、点到平面、线面距、面面距及异面直线间距离等核心知识点。通过“限高杆”情境导入，从生活实例抽象出距离定义，衔接空间向量工具，搭建从直观到公式推导的学习支架。 其亮点在于以直观想象为起点，通过一题多解（如点到直线距离的向量法与投影法）和母题探究（条件变式训练），强化数学运算与逻辑推理。典例解析结合空间直角坐标系构建，帮助学生形成结构化思维，教师可直接用于课堂教学，提升学生解决复杂几何问题的能力。

1.2　空间向量在立体几何中的应用 1.2.5　空间中的距离 第一章　空间向量与立体几何 1 课标要求 1.了解空间中的距离（直观想象）. 2.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用（数学运算）. 目 录 CONTENTS 基础落实 典例研析 拓视野 异面直线间的距离 课时作业 基础落实 >> 目录 4 　　 在生活中可以看到很多道路上都有限高杆.主要的作用就是为了防止 过高的车辆通过，以保障车辆和路上设施的安全.比如限高路段内有不能 移动的重要电缆、管道，或者涵洞，或者附近有高速路桥、铁路桥等.图 中所示，限高3.1米. 【问题】　（1）同学们，你知道3.1 m指的是哪段距离吗？ （2）数学中的距离是如何定义的呢？ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 知识点　空间距离及向量求法 1. 空间中两点之间的距离 空间中两点之间的距离指的是这 ⁠. 2. 点到直线的距离 给定空间中一条直线l及l外一点A，因为l与A能确定 ，所以 过A可以作直线l的一条 ， 称为点A到直线l的 距离. 两个点连线的线段长　 一个平面　 垂线段　 垂线段的长　 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 3. 点到平面的距离 （1）给定空间中一个平面α及α外一点A，过A可以作平面α的一条垂线 段， 称为点A到平面α的距离； （2）一般地，若A是平面α外一点，B是平面α内一点，n是平面α的一个 法向量，则点A到平面α的距离为d＝ . 垂线段的长　 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 4. 相互平行的直线与平面之间、相互平行的平面与平面之间的距离 （1）当直线与平面平行时，直线上 ⁠称为这条 直线与这个平面之间的距离，如果直线l与平面α平行，n是平面α的一个法 向量，A，B分别是l上和α内的点，则直线l与平面α之间的距离为d＝ ； 任意一点到平面的距离　 （2）当平面与平面平行时，一个平面内任意一点 ⁠ 称为这两个平行平面之间的距离. 如果平面α与平面β平行，n是平面β的一个法向量，A和B分别是平面α和 平面β内的点，则平面α和平面β之间的距离为d＝ ⁠. 到另一个平面的距 离　 　 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 【想一想】 1. 在空间中怎样求两点之间的距离？ 提示：利用向量法转化为求向量的模. 2. 线面距、面面距与点面距有什么关系？ 提示： 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）平面α外一点A到平面α的距离，就是点A与平面α内一点B所成向量 的长度. （　×　） （2）若直线l∥平面α，则直线l到平面α的距离就是直线l上的点到平面α的 距离. （　√　） （3）若平面α∥平面β，则两平面α，β的距离可转化为平面α内某条直线到 平面β的距离，也可转化为平面α内某点到平面β的距离. （　√　） （4）直线l上两点到平面α的距离相等，则l平行于平面α. （　×　） × √ √ × 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 2. 已知点A（1，1，1），B（0，1，0），C（－1，0，1），则点A到直 线BC的距离是（　　） A. 1 B. C. D. 2 解析：　由已知得 ＝（－1，0，－1）， ＝（－1，－1，1），所 以 · ＝－1×（－1）＋0×（－1）＋（－1）×1＝0，所以 ⊥ ，所以点A到直线BC的距离是｜ ｜＝ ＝ .故选B. √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 3. 已知平面α的一个法向量n＝（1，0，1），点A（－1，1，0）在α内， 则平面外点P（－1，1，1）到平面α的距离为 ⁠. 解析： ＝（0，0，1），n＝（1，0，1），d＝ ＝ ＝ . 　 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 典例研析 >> 目录 13 题型一　空间中两点之间的距离 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥DC， AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点. （1）证明：BE⊥PD； 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解：证明：∵PA⊥底面ABCD，AD⊥AB， ∴以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y 轴，AP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，由题 意B（1，0，0），P（0，0，2），C（2，2，0）， E（1，1，1），D（0，2，0）， ＝（0，1，1）， ＝（0，2，－2），∴ · ＝0，∴BE⊥PD. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 （2）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求线段PF的长. 解： ∵ ＝（1，2，0）， ＝（－2，－2， 2）， ＝（2，2，0）， 由点F在棱PC上，设 ＝λ ＝（－2λ，－2λ， 2λ），0≤λ≤1， ∴ ＝ ＋ ＝（1－2λ，2－2λ，2λ）， ∵BF⊥AC，∴ · ＝2（1－2λ）＋2（2－2λ）＝0，解得λ＝ ， ∴｜ ｜＝（1－ ）｜ ｜＝ ＝ ，即线段PF的长为 . 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 规律方法 计算两点间的距离的两种方法 （1）利用｜a｜2＝a·a，通过向量运算求｜a｜，如求A，B两点间的 距离，一般用｜ ｜＝ ＝ 求解； （2）用坐标法求向量的长度（或两点间距离），此法适用于求解的图形 适宜建立空间直角坐标系. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 　已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点A关于直线A1C，BD1的对 称点分别为P，Q，则P，Q两点间的距离是（　　） A. B. C. D. √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析：　以直线DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐 标系（图略），则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），A1 （1，0，1），D1（0，0，1）.在平面A1AC上，点A关于直线A1C的对称 点P的坐标为（ ， ， ）；在平面ABD1上，点A关于直线BD1的对称点 Q的坐标为（ ， ， ）.故｜PQ｜＝ . 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 题型二　点到直线的距离 已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝1，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝ 90°，求点B到直线A1C1的距离. 解：以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 则A1（4，0，1），C1（0，3，1）， 所以 ＝（－4，3，0）. 设E满足 ＝λ ， 且BE⊥A1C1， 则 ＝ ＋ ＝（4，0，1）＋λ（－4，3，0）＝ （4－4λ，3λ，1），又 ⊥ ， 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 ∴（4－4λ，3λ，1）·（－4，3，0）＝0，∴λ＝ . ∴ ＝（4－4× ，3× ，1）， ∴｜ ｜＝ ＝ ， ∴B到直线A1C1的距离为 . 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 【母题探究】 1. （变设问）条件不变，试求点B到AC1的距离. 解： ＝（－4，3，1），设M满足 ＝λ 且 · ＝0， 则 ＝ ＋ ＝（4，0，0）＋λ（－4，3，1）＝（4－4λ，3λ，λ）. 又 · ＝0， ∴（4－4λ，3λ，λ）·（－4，3，1）＝0， ∴λ＝ ， ∴ ＝（4－ ， ， ）＝（ ， ， ）， ∴｜ ｜＝ ＝ ， ∴B到AC1的距离为 . 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 2. （变条件）若将本例中的条件改为“正三棱柱ABC-A1B1C1且所有棱长 均为2”，如何求B到A1C1的距离？ 解：以B为原点，分别以BA所在直线，过B垂直于BA 的直线，BB1所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空 间直角坐标系， 则B（0，0，0），A1（2，0，2），C1（1， ， 2）， ＝（2，0，2）， 所以A1C1的方向向量 ＝（－1， ，0），而 ＝（1， ，2）， 设E满足 ＝λ 且BE⊥A1C1， ＝ ＋ ＝（2，0，2）＋λ（－1， ，0）＝（2－λ， λ，2）， 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 又 ⊥ ，∴（2－λ， λ，2）·（－1， ， 0）＝0， ∴λ－2＋3λ＝0，∴λ＝ ，∴ ＝（ ， ，2）. ∴｜ ｜＝ ＝ ， ∴B到A1C1的距离为 . 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 规律方法 用向量法求点到直线的距离的思路 第一步：建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标； 第二步：在已知直线AB上取一点E，使E满足两个条件：① ＝λ ， ②ME⊥AB（或者求出AB的单位方向向量u，计算所求点M与AB上某一 点所构成的向量a）； 第三步：利用第二步中的两个关系求出λ，进而求得E的坐标，求出 的 模长即可（或者是利用公式d＝ ）. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 〔一题多解〕四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面 ABCD，AD＝2AB＝4，且PD与底面ABCD所成的角为45°.求点B到直 线PD的距离. 解：∵PA⊥平面ABCD，∴∠PDA即为PD与平面ABCD 所成的角，∴∠PDA＝45°，∴PA＝AD＝4，AB＝2. 以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、 z轴建立空间直角坐标系，如图所示. ∴A（0，0，0），B（2，0，0），P（0，0，4），D（0，4，0）， ＝（0，－4，4）. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 法一　设存在点E，使 ＝λ ，且BE⊥DP，设E（x，y，z）， ∴（x，y－4，z）＝λ（0，－4，4）， ∴x＝0，y＝4－4λ，z＝4λ， ∴E（0，4－4λ，4λ）， ＝（－2，4－4λ，4λ）. ∵BE⊥DP，∴ · ＝－4（4－4λ）＋4×4λ＝0，解得λ＝ . ∴ ＝（－2，2，2），∴｜ ｜＝ ＝2 ，故点B到直线 PD的距离为2 . 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 法二　 ＝（－2，0，4）， ＝（0，－4，4），∴ · ＝16， ∴ 在 上的投影的长度为 ＝ ＝2 . ∴点B到直线PD的距离为d＝ ＝ ＝2 . 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 题型三　点到平面的距离 （链接教科书第58页例3）已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面 ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点.求点D到平面PEF的 距离. 解：建立以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线为x 轴，y轴，z轴的空间直角坐标系，如图所示. 则D（0，0，0），P（0，0，1），A（1，0，0），C （0，1，0），E（1， ，0），F（ ，1，0）， ∴ ＝（1， ，－1）， ＝（ ，1，－1）， ＝（1， ，0）. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 则n· ＝x＋ y－z＝0，　① 设n＝（x，y，z）是平面PEF的法向量， n· ＝ x＋y－z＝0，　② ①－②并整理得x－y＝0. 令x＝y＝1，则z＝ . ∴n＝（1，1， ）. ∴点D到平面PEF的距离d＝ ＝ ＝ ＝ . 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 规律方法 求点到平面的距离的四步骤 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 （2026·日照高二期末）如图所示，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面 ABCD是正方形，AB＝2，AA1＝4，M，N分别是BC，CC1的中点，则点 C到平面AMN的距离为（　　） A. 1 B. C. D. √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析：　由题意知，该几何体为长方体，建立空间直角 坐标系如图所示，则A（2，0，0），C（0，2，0），M （1，2，0），N（0，2，2），可得 ＝（－1，2， 0）， ＝（－1，0，2）， ＝（0，0，2），设平面 AMN的一个法向量为n＝（x，y，z），则 设y＝1，则x＝2，z＝1，则n＝（2，1，1），所以点C到平面AMN的距离为 ＝ ＝ .故选D. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 题型四　直线到平面、平面到平面的距离 如图，矩形ADFE和梯形ABCD所在平面互相垂直，AB∥CD，∠ABC ＝∠ADB＝90°，CD＝1，BC＝2，DF＝1. （1）求证：BE∥平面DCF； 解： 证明：∵四边形ADFE为矩形， ∴AE∥DF. 又∵梯形ABCD中AB∥CD， AE∩AB＝A，DF∩DC＝D， AE，AB⊂平面ABE，DF，DC⊂平面DFC， ∴平面ABE∥平面DFC， ∵BE⊂平面ABE，∴BE∥平面DCF. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 （2）求BE到平面DCF的距离. 解： 如图，以D为原点，建立空间直角坐标系. ∵AB∥CD，∠ABC＝∠ADB＝90°， 则△ADB∽△BCD⇒ ＝ ， ∵CD＝1，BC＝2.∴BD＝ ， ∴AD＝2 ，AB＝5，∴F（0，0，1）， D（0，0，0），A（2 ，0，0），B（0， ， 0），C（－ ， ，0）， ＝（0，－ ，1）， ＝（ ，－ ，1）， ＝（－ ， ，0）. 设平面DCF的法向量为n＝（x，y，z）， 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 则 ∴ 令x＝1，y＝2，z＝0.∴n＝（1，2，0）. d＝ ＝2.∴B到平面DCF的距离等于2， 即为直线BE到平面DCF的距离. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 规律方法 线面距离与面面距离的求解思路 （1）求相互平行的直线与平面间的距离可以转化为求直线上任意一点到 平面的距离，利用求点到平面的距离的方法求解即可； （2）求两个平行平面间的距离可以转化为求点到平面的距离，利用求点 到平面的距离的方法求解即可.　 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 1. 若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底边长为2，∠B1AB＝ ，E是D1D的中点，则A1C1到平面EAC的距离为（　　） A. B. 2 C. D. √ 解析：　由棱柱的几何性质可知，A1C1∥AC，又A1C1⊄平面 EAC，AC⊂平面EAC，则A1C1∥平面EAC，所以点A1到平面 EAC的距离即为直线A1C1到平面EAC的距离，因为正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1的底边长为2，∠B1AB＝，则AA1＝2， 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 以点A为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，则A（0，0，0），A1（0，0，2），C（2，2，0），E（0，2，），所以＝（0，2，），＝（2，2，0），＝（0，0，2），设平面AEC的法向量为n＝（x，y，z），则即令x＝，则y＝－，z＝2，故n＝（，－，2），所以点A1到平面EAC的距离d＝＝＝，故A1C1到平面EAC的距离为.故选C. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 2. 两平行平面α，β 分别经过坐标原点O和点A（2，1，1），且两平面的 一个法向量n＝（－1，0，1），则两平面间的距离是（　　） A. B. C. D. 3 解析：　∵两平行平面α，β 分别经过坐标原点O和点A（2，1，1）， ＝（2，1，1），且两平面的一个法向量n＝（－1，0，1），∴两平面 间的距离＝ ＝ ＝ ，故选B. √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 拓视野 异面直线间的距离 目录 41 通过教材P36例4，我们知道线段MN的长度为异面直线l1与l2的公垂线段的 长度，也就是直线l1与l2间的距离. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 【问题探究】 1. 你认为该如何定义异面直线间的距离？ 提示：与两条异面直线都垂直相交的直线叫做这两条异面直线的公垂线， 异面直线的公垂线在两条异面直线上的垂足间的距离叫做这两条异面直线 间的距离. 2. 你能总结出求异面直线间距离的一般方法吗？ 提示：求异面直线间距离的一般步骤： ①求出与a，b都垂直的向量n； ②在直线a，b上任意取点A，B，得到 ； ③套公式得d＝｜ ｜. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 【迁移应用】 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，M，N分别为 CD，BB1的中点，则直线MN到直线A1B的距离为 ⁠. 　 解析：以A为原点，AD，AB，AA1所在直线为坐标轴， 建立空间直角坐标系，如图.则M（3，2，0）， N（0，4，1），A1（0，0，2），B（0，4，0）， 即 ＝（－3，2，1）， ＝（0，4，－2）. 由题意可知MN与A1B为异面直线，设MN，A1B公垂线的方向向量为n＝（x，y，z）， 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 则有 ⇒ 令y＝1，则z＝2，x ＝ ，即n＝（ ，1，2），｜n｜＝ .又 ＝（－3，－2，2）在n 上的射影的长度为d＝ ＝ ＝ ＝ .即 直线MN到直线A1B的距离为 . 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 1. 已知平面α的一个法向量为n＝（－2，－2，1），点A（－1，3，0） 在平面α内，则点P（－2，1，4）到平面α的距离为（　　） A. 10 B. 3 C. D. 解析：　∵n＝（－2，－2，1）， ＝（1，2，－4），点P到平面α 的距离d＝ ＝ ＝ . √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 2. 如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝ ， E，F分别是平面A1B1C1D1，平面BCC1B1的中心，则E，F两点间的距离 为（　　） A. 1 B. C. D. √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析：　以点A为原点，建立如图所示的空间直角坐标 系，则点E（1，1， ），F（2，1， ），所以｜ ｜＝ ＝ ， 故选C. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 3. 已知直线l过点M（1，1，1），且方向向量为n＝（－1，0，1），则 点A（1，－1，－1）到直线l的距离为（　　） A. 2 B. C. D. 解析：　根据题意可知 ＝（0，2，2）， ＝ （－1，0，1）＝ （－ ，0， ），所以点A（1，－1，－1）到直线l的距离d＝ ＝ ＝ . √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 4. 已知点P（1，1，2），A（1，0，1），B（－1，3，0），C（0，0， 2），则点P到平面ABC的距离为 ⁠. 解析：因为P（1，1，2），A（1，0，1），B（－1，3，0），C（0， 0，2），则 ＝（0，1，1）， ＝（－2，3，－1）， ＝（－1， 0，1），设平面ABC的法向量n＝（x，y，z），则 令x＝1，则y＝z＝1，可得n＝（1，1， 1），所以点P到平面ABC的距离d＝ ＝ ＝ . 　 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 课时作业 >> 目录 51 1. 〔一题多解〕在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝a，AA1＝ 2a，则点D1到直线AC的距离为（　　） A. a B. a C. D. 解析：　法一　连接BD，AC交于点O（图略），则d＝D1O＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 法二　如图建立空间直角坐标系，易得C（a，a，0），D1 （0，a，2a），取a＝ ＝（－a，0，2a），u＝ ＝（ ， ，0），则点D1到直线AC的距离为 ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 2. 已知棱长为1的正方体 ABCD-A1B1C1D1，则平面 AB1C 与平面 A1C1D 之 间的距离为（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析：　建立如图所示的空间直角坐标系， 则A1（1，0，0），C1（0，1，0），D（0，0，1）， A（1，0，1），所以 ＝（1，0，－1）， ＝ （0，1，－1） ， ＝（－1，0，0） ，设平面 A1C1D 的一个法向量为m＝（x，y，1） ，则 即解得故m＝（1，1，1），显然平面AB1C∥平面A1C1D，所以平面AB1C与平面A1C1D之间的距离d＝＝＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 3. 在四棱锥P-ABCD中， ＝（4，－2，3）， ＝（－4，1，0）， ＝（－6，2，－8），则这个四棱锥的高h＝（　　） A. 1 B. 2 C. 13 D. 26 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析：　设平面ABCD的一个法向量为n＝（x，y，z），则 即 令y＝4，则x＝1，z＝ ，所以n＝（1，4， ），则 cos ＜n， ＞＝ ＝ ＝－ ，所以h＝ ×2 ＝2.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 4. 如图，已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1A＝5，AB＝12，则直线 B1C1到平面A1BCD1的距离是（　　） A. 5 B. 8 C. D. √ 解析：　易知B1C1∥平面A1BCD1，以D为坐标原点，DA， DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空 间直角坐标系，则C（0，12，0），D1（0，0，5）. 设B（x，12，0），B1（x，12，5）（x＞0）.设平面A1BCD1的一个法向量为n＝（a，b，c）， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 则 所以 令b＝5，则c＝12，所以n＝（0，5，12）.又 ＝（0，0， －5），所以点B1到平面A1BCD1的距离为d＝ ＝ .因为B1C1∥ 平面A1BCD1，所以B1C1到平面A1BCD1的距离为 .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 5. 〔一题多解〕在三棱锥P-ABC中，PC⊥底面ABC，∠BAC＝90°， AB＝AC＝4，∠PBC＝45°，则点C到平面PAB的距离是（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析：　法一　建立如图所示的空间直角坐标系， 则A（0，0，0），B（4，0，0），C（0，4，0）， P（0，4，4 ），∴ ＝（0，4，4 ）， ＝（4，0，0）， ＝（0，0，－4 ）. 设平面PAB的法向量为m＝（x，y，z），则 即 令y＝ ，则z＝－1，∴m＝（0， ，－1）， ∴点C到平面PAB的距离为 ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 法二　∵PC⊥底面ABC，∴PC⊥AB，又AB⊥AC，且PC∩AC＝C， PC，AC⊂平面PAC，∴AB⊥平面PAC，∴AB⊥PA，∵AC＝AB＝4， ∴BC＝4 ，∴PC＝4 ，PB＝8，在Rt△PAB中，PA＝ ＝ 4 ，设点C到平面PAB的距离为d，∵VP-ABC＝VC-PAB，∴ × ×4×4×4 ＝ × ×4×4 ×d，∴d＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 A. B. C. 15 D. 6. （2026·大连高二期末）已知空间四点A（3，0，0），B（3，3， 2），C（0，3，0），D（0，0，3），则四面体ABCD的体积为 （　　 ） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析：　由题设可得△ACD为边长为3 的等边三角形， 且 ＝（3，0，－3）， ＝（3，－3，0）， ＝ （0，3，2），若m＝（x，y，z）是平面ACD的一个 法向量，则 令x＝1， 则m＝（1，1，1），则B到面ACD的距离d＝ ＝ ，所以四面体 ABCD的体积为 d×S△ACD＝ × × ×（3 ）2× ＝ .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 7. 〔多选〕下列命题中正确的是（　　） A. 可以用｜ ｜2＝ · 求空间两点A，B的距离 B. 设n是平面α的法向量，AB是平面α的一条斜线，点A在平面α内，则点 B到α的距离为d＝ C. 若直线l与平面α平行，直线l上任意一点与平面α内任意一点的距离就 是直线l与平面α的距离 D. 若平面α与平面β平行，则平面α内任意一点到平面β的距离就是平面α与 平面β之间的距离 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析： 　根据向量数量积的定义可知A显然正确；由点到平面的距 离、平行平面间距离的定义以及向量公式易知B、D正确；C中，直线l上 任意一点到平面α的垂线段的长度为直线l与平面α的距离，故C错误.故选 A、B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 8. 平面α经过点B（1，0，0），且α的法向量n＝（1，1，1），则P（1， 2，3）到平面α的距离为 ⁠. 解析：因为平面α经过点B（1，0，0），所以 ＝（0，2，3），又平面 α的法向量n＝（1，1，1），所以点P（1，2，3）到平面α的距离d＝ ＝ ＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 9. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若AB＝AA1＝2BC＝2，则直线BD1与 CD之间的距离为 ⁠. 解析：以AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴建立空间直线 坐标系Axyz，则 ＝（－2，1，2）， ＝（－2，0， 0）， ＝（0，1，0），设与BD1，CD都垂直的一个 向量n＝（x，y，z），则 取z＝1，则x＝0，y＝－2，所以与BD1， CD都垂直的一个向量n＝（0，－2，1），所以直线BD1与CD之间的距离 为 ＝ ＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 10. 〔一题多解〕如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点. （1）证明：FC1∥平面AB1E； 解：证明：以D为原点， DA，DC，DD1所在的直线分别为x，y，z轴，建立如 图所示的空间直角坐标系， 则A（2，0，0），E（0，0，1），B1（2，2，2），F （2，2，1），C1（0，2，2）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 法一　因为 ＝（－2，0，1）， ＝（－2，0，1），则 ＝ ， 所以 ∥ ， 又因为A，E，F，C1四点不共线，所以AE∥FC1，又因为AE⊂平面 AB1E，FC1⊄平面AB1E， 所以FC1∥平面AB1E. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 法二　因为 ＝（－2，0，1）， ＝（0，2，2），设平面AB1E的一 个法向量为n＝（x，y，z）， 则有 即 取x＝1，所以n＝（1，－2，2）， 因为 ＝（－2，0，1），所以 ·n＝（－2）×1＋0×（－2）＋ 1×2＝0，得 ⊥n， 又因为FC1⊄平面AB1E，所以FC1∥平面AB1E. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 （2）求直线BB1与平面AB1E所成角的正弦值； 解： 直线BB1与平面AB1E所成角为θ， ＝（0，0，2）， 所以 sin θ＝｜ cos ＜ ，n＞｜＝ ＝｜ ｜＝ ， 所以直线BB1与平面AB1E所成角的正弦值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解： 设点F到平面AB1E的距离为d，因为 ＝（0，2，1）， 所以d＝ ＝ ＝ ，所以点F到平面AB1E 的距离为 . （3）求点F到平面AB1E的距离. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 11. 埃及金字塔是世界古代建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥. 若正四棱锥P-ABCD的高为3，AB＝3 ，点E满足 ＝2 ，则点D 到平面AEC的距离为（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析：　如图，连接BD，设AC与BD相交于点O，连 接PO，故以点O为坐标原点，OA，OB，OP所在直线 分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，又由题意可 得AB＝3 ，PO＝3，所以OA＝OB＝OC＝OD＝OP ＝3，所以O（0，0，0），A（3，0，0），P（0，0， 3），B（0，3，0），C（－3，0，0），D（0，－3，0），不妨设E（x，y，z），因为 ＝2 ，所以（x，y，z－3）＝2（－x，3－y，－z），即x＝－2x，y＝6－2y，z－3＝－2z，解得x＝0，y＝2，z＝1，即E（0，2，1），所以 ＝（－3，－3，0）， ＝（6，0，0）， ＝（－3，2，1）.设平面AEC的法向量为m＝（x，y，z），则m· ＝0，m· ＝0，即 取y＝1，得m＝（0，1，－2），所以点D到平面AEC的距离d＝ ＝ ＝ .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 12. 〔多选〕如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为面 A1ABB1的中心，E，F分别为BC和D1C1的中点，则（　　） A. B1D⊥平面A1EF B. 平面ACD1与平面A1EF相交 C. 点O到直线A1E的距离为 D. 点O到平面A1EF的距离为 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则A（1， 0，0），C（0，1，0），D（0，0，0），E（ ，1， 0），F（0， ，1），O（1， ， ），A1（1，0， 1），B1（1，1，1），D1（0，0，1），C1（0，1， 1），设平面A1EF的法向量为n＝（x，y，z），由 ＝（－1， ，0）， ＝（－ ，1，－1），则 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 令x＝2，则y＝4，z＝3， 则n＝（2，4，3），设平面ACD1的法向量为m＝（a，b，c），由 ＝（－1，1，0）， ＝（0，－1，1）， 则 令a＝1，则b＝c＝1，则m＝（1，1，1），对A，∵ ＝（1，1，1），则 ≠ ≠ ，即 与n不共线，∴B1D与平面A1EF不垂直，A错误；对B，∵ ≠ ≠ ，则m与n不共线， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 ∴平面ACD1与平面A1EF相交，故B正确；对C， ＝（－ ， ，－ ）， ＝（－ ，1，－1），则点O到直线A1E的距离为 ＝ ， 故C正确；对D， ＝（0， ，－ ），点O到平面A1EF的距离 为 ＝ ，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 13. 在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中，AA1＝2AB＝4，M，N分别 为EE1，BB1的中点，平面CMN与直线DD1交于点G，则D1G＝ ⁠； 点A到平面CMN的距离为 ⁠. 4　 　 解析：连接AD，BF，设其交点为O. 由正六棱柱的性质 知，AD⊥BF，且OB＝OF，取B1F1的中点P，连接OP， 则OP⊥平面ABCDEF. 以O为坐标原点，OB，OD， OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系. 因为AA1＝2AB＝4，M，N分别为EE1，BB1的中点， 所以A（0，－1，0），C（ ，2，0），M（－ ， 2，2），N（ ，0，2），则 ＝（ ，3，0）， ＝（－2 ，0，2）， ＝（0，－2，2）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 设平面CMN的一个法向量为n＝（x，y，z），则 令y＝1，则n＝（ ，1，1）.设G（0， 3，a），则 ＝（－ ，1，a）.由 ·n＝－ × ＋1＋a＝0， 解得a＝0，又D1（0，3，4），所以D1G＝4.点A到平面CMN的距离d＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 14. （2024·天津高考17题）如图，已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD⊥AB，AB∥CD，AA1＝2，AB＝2AD＝2，DC＝1，N是B1C1的中点，M是DD1的中点. （1）求证D1N∥平面CB1M； 解：证明：以A为坐标原点，以AB，AD，AA1所在直 线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 依题意得，B（2，0，0），C（1，1，0），D（0，1， 0），B1（2，0，2），C1（1，1，2），D1（0，1，2）， 则M（0，1，1），N（ ， ，2）， 所以 ＝（ ，－ ，0）， ＝（1，－1，2）， ＝（－1，0，1）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 设平面CB1M的法向量为n＝（x1，y1，z1）， 则 即 取x1＝1，得z1＝1，y1＝3，则n＝（1，3，1）. ·n＝（ ，－ ，0）·（1，3，1）＝ － ＝0， 所以 ⊥n，显然D1N⊄平面CB1M，所以D1N∥平面 CB1M. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 （2）求平面CB1M与平面BB1C1C夹角的余弦值； 解：易知 ＝（1，－1，2）， ＝（－1，1，0）， 设平面BB1C1C的法向量为m＝（x2，y2，z2）， 则 即 取x2＝1，得y2＝1，z2＝0，则m＝（1，1，0）. 设平面CB1M与平面BB1C1C的夹角为θ， 则 cos θ＝｜ cos ＜n，m＞｜＝ ＝ ＝ ， 所以平面CB1M与平面BB1C1C夹角的余弦值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 （3）求点B到平面CB1M的距离. 解：易知 ＝（0，0，2）. 设点B到平面CB1M的距离为d， 则d＝ ＝ ＝ ， 所以点B到平面CB1M的距离为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 $