1.2.4 二面角(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦“二面角”核心内容，涵盖概念、平面角定义及定义法、三垂线定理、空间向量法等求法，课前通过知识点梳理与诊断分析导入，课中以四个探究点递进构建学习支架，衔接空间向量在立体几何中的应用。 其亮点是融合多方法教学，通过实例培养数学眼光（空间观念）、数学思维（逻辑推理）和数学语言（向量表达）。如空间向量法例题用坐标运算求解，素养小结归纳步骤，助力学生系统掌握，教师可依托资料提升教学效率。

1.2 空间向量在立体几何中的应用 1 1.2.4 二面角 2 探究点一 定义法求二面角的大小 探究点二 利用三垂线定理及其逆定理求 二面角 探究点三 利用空间向量求二面角的大小 探究点四 空间中的翻折与探索性问题 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课堂评价 课后习题 3 【学习目标】 1.掌握二面角的概念、二面角的平面角的定义,会找一些简单图形中 的二面角的平面角; 2.掌握求二面角的基本方法. 4 知识点一 二面角及其范围 1.二面角的定义：平面内的一条直线把一个平面分成两部分,其中的 每一部分都称为一个________.从一条直线出发的两个半平面所组成 的图形称为________,这条直线称为二面角的____,这两个半平面称为 二面角的面. 二面角的范围为______. 半平面 二面角 棱 课 前 预 习 5 2.二面角的平面角 如图所示，在二面角 的棱上任取一 点，以为垂足，分别在半平面 和 内作 平面角 平面角大小 直二面角 3.两个平面所成的角 两个平面相交时，它们所成角的大小，指的是它们所形成的四个二 面角中，不小于 且不大于 的角的大小. 垂直于棱的射线和，则射线和 所成的角称为二面角的 ________.二面角的大小用它的平面角大小来度量，即二面角大小等 于它的____________.特别地，平面角是直角的二面角称为________ __. 课 前 预 习 6 【诊断分析】 判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）两个相交平面所成角的大小和一个二面角的大小是唯一的.( ) √ （2）二面角是指两个平面相交的图形.( ) × （3）平面与平面所成的角的取值范围与二面角的取值范围相同.( ) × （4）如果一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个 半平面，则这两个二面角的大小相等.( ) × 课 前 预 习 7 知识点二 用空间向量求二面角的大小 如果，分别是平面,的一个法向量，设与 所成角的大小 为 ，如图所示，可以看出,或, ,特别地， , . 课 前 预 习 8 【诊断分析】 判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）二面角的范围是 .( ) × （2）若二面角 的两个半平面的法向量分别为， ，则 二面角的平面角与两个法向量的夹角， 一定相等.( ) × （3）二面角的大小通过它的平面角的大小来度量.( ) √ 课 前 预 习 9 探究点一 定义法求二面角的大小 例1 在二面角 中， ，， ， ， 且，，若 ，，， 求二面角 的余弦值. 解：如图，过点在平面 内作 ,且 ,连接，，易知四边形 为矩形, 因为，，所以 即为二面角 的平面角. 课 中 探 究 10 因为，， 平面 ，所以 平面，又 平面，所以，又 ，所以. 在中，由 ,,可得 , 又,,所以 ，所以 . 课 中 探 究 11 变式 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,E,F分别为棱BB1,DD1的 中点,求平面AEC1F与平面ABCD所成角的余弦值. 课 中 探 究 12 解：如图,易知四边形AEC1F为菱形. ∵EB⊥平面ABCD,CC1⊥平面ABCD,FD⊥平面ABCD, ∴正方形ABCD为菱形AEC1F在平面ABCD内的射影. 连接AC1,EF,则EF=a,AC1=a, ， . 设平面AEC1F与平面ABCD所成的角的大小为θ, 则， ∴平面AEC1F与平面ABCD所成角的余弦值为. 课 中 探 究 13 ［素养小结］ 1.定义法求二面角的步骤： （1）作（找）出二面角的平面角; （2）写出（或证明）所作平面角即为所求二面角的平面角; （3）利用解三角形的知识求解. 2.利用射影面积与原图形面积比求二面角时，即使用公式 <m></m>求二面角时，<m></m> 为原图形所在平面与射影图形所在平面的 夹角，若二面角为锐角，<m></m> 即为二面角的大小；若二面角为钝角， <m></m> 即为二面角的大小. 课 中 探 究 14 探究点二 利用三垂线定理及其逆定理求二面角 例2 如图，在四棱锥中，底面 是 正方形，侧面是正三角形，平面 平 面 . （1）证明： 平面 ； 证明： 平面 平面，平面 平面 ， 平面，， 平面 . 课 中 探 究 15 （2）求二面角 的正切值. 例2 如图，在四棱锥中，底面 是 正方形，侧面是正三角形，平面 平 面 . 课 中 探 究 16 解：如图，取的中点，连接， . 是正三角形，，， 平面， 平面，， 由三垂线定理知 ， 即为二面角 的平面角. ，则二面角的正切值为 . 课 中 探 究 17 变式 已知点，分别在正方体的棱 ， 上，且，，求平面与平面 所成 角的正切值. 解：延长，相交于点，连接 ，如图所示. 设正方体的棱长为3，易知，作 于点，连接，由三垂线定理知 ，则 即为平面与平面 所成的角. 因为，，所以 . 课 中 探 究 18 ［素养小结］ 用三垂线定理及其逆定理求二面角 一个面内找一个特殊点作另一个面的垂线,过垂足作棱的垂线 （或过这个特殊点作棱的垂线,连接两个垂足）,连接这个点和垂足,根 据三垂线定理（或其逆定理）得平面角,再求二面角; 课 中 探 究 19 探究点三 利用空间向量求二面角的大小 例3 [2026·江苏南通高二月考] 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为 长方形,PA⊥平面ABCD,E是PC的中点,已知PA=AB=2,AD=2. (1)证明:PB⊥AD; 课 中 探 究 20 证明:因为PA⊥平面ABCD,AD⊂平面ABCD,所以AD⊥PA, 又底面ABCD为长方形,所以AD⊥AB, 又PA,AB⊂平面PAB,PA∩AB=A,所以AD⊥平面PAB, 又PB⊂平面PAB,所以PB⊥AD. 课 中 探 究 21 例3 [2026·江苏南通高二月考] 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为 长方形,PA⊥平面ABCD,E是PC的中点,已知PA=AB=2,AD=2. (2)求平面ADE与平面ABCD所成角的正弦值. 课 中 探 究 22 解:以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系, 则A(0,0,0),D(0,2,0),E(1,,1),所以=(0,2,0),=(1,,1). 设平面ADE的一个法向量为n=(x,y,z), 则可取n=(1,0,-1). 易知平面ABCD的一个法向量为m=(0,0,1), 设平面ADE与平面ABCD所成的角为θ, 则cos θ===,所以sin θ=, 故平面ADE与平面ABCD所成角的正弦值为. 课 中 探 究 23 变式 [2026·福州高二月考] 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是DD1的 中点,点P是直线DD1上的一点,且B1P⊥平面ACE. (1)请确定点P的位置; 课 中 探 究 24 解:以D为坐标原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向, 建立如图所示的空间直角坐标系. 设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2, 则B1(2,2,2),A(2,0,0),C(0,2,0),E(0,0,1). 设P(0,0,t),则=(-2,-2,t-2),=(0,-2,1),=(-2,2,0). 因为B1P⊥平面ACE,所以B1P⊥CE,B1P⊥AC, 所以·=(-2,-2,t-2)·(0,-2,1)=4+t-2=0,·=4-4+0=0,解得t=-2, 所以点P的坐标为(0,0,-2),故点P在D1D的延长线上,且点P到点D的距离等于DD1. 课 中 探 究 变式 [2026·福州高二月考] 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是DD1的 中点,点P是直线DD1上的一点,且B1P⊥平面ACE. (2)求平面PAC与平面ADD1A1所成角的正弦值. 课 中 探 究 26 解:=(-2,2,0),=(-2,0,-2), 设平面PAC的一个法向量为m=(x,y,z), 则取x=1,则m=(1,1,-1). 易知平面ADD1A1的一个法向量为n=(0,1,0). 设平面PAC与平面ADD1A1所成角的大小为θ, 则cos θ=|cos<m,n>|====, 所以sin θ==,故平面PAC与平面ADD1A1所成角的 正弦值为. 课 中 探 究 ［素养小结］ 用坐标法解题的步骤如下： （1）建系：依据几何条件建立适当的空间直角坐标系． （2）求法向量：在建立的坐标系下求或找两个平面的法向量， . （3）计算：设平面 与平面 所成的角为 ， . （4）定值： 即为平面 与平面 所成的角. 课 中 探 究 28 探究点四 空间中的翻折与探索性问题 例4 如图①，在矩形中，，，为边 的中点， 现将沿折起，形成四棱锥，使得点到达点 的 位置（如图②），且 ． （1）求证：平面 平面 ； 课 中 探 究 29 证明：在矩形中，连接，为的中点， ， ，又， ， ， ． 在四棱锥中，，， ， ， 平面， 平面 ， 又 平面， 平面 平面 ． 课 中 探 究 30 （2）已知点是棱上的动点（不与点，重合），若平面 与平面所成的角为，求点 的位置． 例4 如图①，在矩形中，，，为边 的中点， 现将沿折起，形成四棱锥，使得点到达点 的 位置（如图②），且 ． 课 中 探 究 31 解：过点作 平面，以 为坐标原 点，，，的方向分别为轴、轴、 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， ， ，， ， ， 设， ， 则 . 课 中 探 究 32 设是平面 的一个法向量，则 即 令 ，则 ． 为平面 的一个法向量， , ， 平面与平面所成的角为 ，，解得 ， 点为棱 的中点． 课 中 探 究 变式 如图所示，正方形与矩形 所在平面互相垂直， ，点为 的中点. （1）求证： . 课 中 探 究 34 证明：连接交于， 四边形 为正方形， ， 正方形与矩形 所在平面互相垂直，交线为，， 平面 ，又 平面， . 又，, 平面， 平面 ， 又 平面， . 课 中 探 究 35 （2）在线段上是否存在点，使得二 面角 的大小为？若存在， 求出线段 的长；若不存在，请说明理由. 解：存在满足条件的点， . 方法一：假设存在满足条件的点.易知 平面，过点作于点 ，如图， 连接，则 ， 变式 如图所示，正方形与矩形 所在平面互相垂直， ，点为 的中点. 课 中 探 究 36 为二面角的平面角， ， 在中，， . 在中，，， . 在中，， . 故在线段上存在点 ，使得二面角的大小为 ，且 . 课 中 探 究 37 方法二：假设存在满足条件的点 .依题意， 以为坐标原点，，， 的方向分别 为轴、轴、 轴的正方向，建立如图所示的 空间直角坐标系. ，，， ， ， . 易知为平面 的一个法向量. 设，则 ， 设平面的一个法向量为 ， 课 中 探 究 38 则即 取，得 . 二面角的大小为 ， ， 即，解得 ，又，. 故在线段 上存在点 ，使得二面角的大小为， 且 . 课 中 探 究 ［素养小结］ 利用空间向量解决空间角中的探索性问题,通常不需要复杂的几何作 图、论证、推理,只需先假设结论成立,建立空间直角坐标系,通过向量 的坐标运算进行推断,把是否存在问题转化为点的坐标是否有解的问 题来处理. 课 中 探 究 40 1. [2026·福建南平高二期中] 已知平面α的一个法向量为m=(2,-2,1), 平面β的一个法向量为n=(0,-3,4),则平面α与平面β所成角的余弦值为 ( ) A. B. C. D. [解析] 设平面α与平面β所成的角为θ,则cos θ===. 故选B. √ 课 堂 评 价 41 2.在三棱锥中,, ,则 二面角 的大小为( ) A. B. C. D. [解析] 如图,在三棱锥中,取的中点 , 连接,,易知,, 即为 二面角的平面角, 易得 , 又, 为等边三角形, .故选B. √ 课 堂 评 价 42 3.已知垂直于正方形所在的平面，若， ，则 平面与平面 所成角的大小是( ) A. B. C. D. [解析] 以为坐标原点，以，， 的方向分 别为轴、轴、 轴的正方向，建立如图所示的空间 直角坐标系，则，， ，， 所以， ,,． √ 课 堂 评 价 43 设平面 的一个法向量为 ，则 令，得． 易知平面 的一个法向量为， 所以 ,， 所以平面与平面 所成角的大小是 ． 课 堂 评 价 4.一间民房的屋顶有如图所示的三种不同的盖法：①单向倾斜；②双 向倾斜；③四向倾斜.记三种盖法的屋顶面积分别为，， ，若 屋顶斜面与水平面所成的二面角的平面角都是 ，则( ) A. B. C. D. √ 课 堂 评 价 45 [解析] 三种盖法的屋顶斜面与水平面所成二面角的平面角都是 ， 故三种盖法的屋顶在水平面上的射影面积都相同， 设屋顶在水平面上的射影面积为，则 ， 所以 . 课 堂 评 价 46 5.［2025·广东东莞高二期中］在正方体中，平面 经过点，，平面 经过点，，当平面 ， 分别截正方体所 得截面的面积最大时，平面 与平面 所成角的余弦值为__. [解析] 由题易知，问题可转化为求平面 与 平面所成角的余弦值，以点 为坐标原点， 建立如图所示的空间直角坐标系.连接, , 设正方体的棱长为1，平面 与平面 所成的角为 ， 因为 平面， 平面 ，所以，又， ， , 平面，所以 平面 . 课 堂 评 价 47 同理 平面，所以为平面 的 一个法向量，为平面 的一个法向量， 因为，， ， 所以， ， 所以 . 课 堂 评 价 课后习题 49 1. 在边长为的正三角形中,,沿 将折起,若折起 后,两点间距离为 ,则二面角 的大小为( ) A. B. C. D. [解析] 折叠前后,都有,,所以 即为二面角 的平面角. 因为,,所以 为等边三角形, 所以 .故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 50 2.［2025·湖南娄底高二期中］已知二面角 中，平面 的一 个法向量为，平面 的一个法向量为 ， 则二面角 的平面角满足( ) A.余弦值为 B.正弦值为 C.大小为 D.大小为 [解析] 设所求二面角的平面角的大小为 ，则 ，所以 或 ， 故C，D错误； ，故A错误，B正确.故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 51 3.攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、 三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖.如图在重檐四角攒尖中，它的上层 轮廓可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面积是底面积的 倍，则侧面与底面所成的角的大小为( ) A.B. C.D. √ [解析] 设侧面与底面所成的角的大小为 ，则由射影面积公式，知 ，又 ， . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 52 4.在正方体中，点为 的中点， 则平面与平面 所成角的余弦值为 ( ) A. B. C. D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 53 [解析] 以为坐标原点，,, 的方向分别 为,, 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设正方体 的棱长为1， 则,, ,所以 ,. 易知平面 的一个法向量为， 设平面 的一个法向量为 ， 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 54 则 令 ，则. 设平面与平面 所成的角为 ， 则 , .故选B. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5. [2026·河南新乡高二月考] 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面α经过 点B1,C1,平面β经过点B1,D1,当平面α,β分别截正方体所得截面面积最 大时,平面α与平面β所成角的余弦值是( ) A. B. C. D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 56 [解析] 如图,因为正方体中过体对角线的截面面积最大,所以题目转化 为求平面BDD1B1与平面AB1C1D所成角的余弦值. 以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz, 设正方体的棱长为1,平面α与平面β所成的角为θ, 连接AC,D1C,因为DD1⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD, 所以DD1⊥AC,又AC⊥BD,BD∩DD1=D,BD,DD1⊂平面BDD1B1, 所以AC⊥平面BDD1B1, 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 57 同理D1C⊥平面AB1C1D, 所以为平面BDD1B1的一个法向量, 为平面AB1C1D的一个法向量. 因为A(1,0,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),所以=(-1,1,0),=(0,1,-1), 所以cos θ===.故选D. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 58 6.在如图所示的六面体中，四边形和 均 为直角梯形，，，， 为直角顶点，其他四个面 均为矩形，,, ，则平面 与平面 所成的角的大小为( ) A. B. C. D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 59 [解析] 方法一：因为四边形和均为直角梯形，， ， ， 为直角顶点，其他四个面均为矩形，所以这个六面体是四棱柱. 由题意可知,,两两垂直，以 为坐标原点建立如图所示的空 间直角坐标系.则，,, ，所以 ,. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 60 根据题意可知 平面 ， 所以为平面的一个法向量. 设为平面 的一个法向量， 则取，则 . 因为,， 所以平面与平面 所成的角的大小为 . 故选B. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 61 方法二：因为四边形与四边形均为直角梯形，， ， ， 是直角顶点，其他四个面均为矩形，所以这个六面体是四棱柱. 由题意可知,,两两垂直，所以 平面.延长, 交于点，延长,交于点，连接. 由题意知 ,所以平面. 又平面 平面，所以 ， 所以 平面， 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以,,所以 即为 平面与平面所成的角. 因为,所以 ，即,所以， 所以 ,所以 ， 所以平面与平面所成的角的大小为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 方法三：因为四边形与四边形均为直角梯形， ， ，， 是直角顶点，其他四个面均是矩形， 所以这个六面体是四棱柱. 由题意可知,,两两垂直，所以 平面， 同理 , ,都垂直于平面，所以矩形是矩形 在 平面上的射影. 设平面与平面所成的角的大小为 ，则 ,所以 .故选B. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7.（多选题）[2026·天津西青区高二期中] 如图,在棱长为1的正方体 ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为DD1,BB1的中点,则下列结论中正确的 是( ) A.直线FC1与直线AE平行 B.直线FC1与平面AB1E平行 C.直线FC1与平面ABCD所成角的正切值为 D.平面AB1E与平面ABCD所成角的正弦值为 √ √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 65 [解析]如图,以D为坐标原点,以DA,DC,DD1所在直线 分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),D(0,0,0), B1(1,1,1),C1(0,1,1),D1(0,0,1),E,F. 对于A,因为=,= ,所以=, 又AE与FC1不重合,所以AE∥FC1,故A正确; 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 66 对于B,=(0,1,1),=,设平面AB1E的一个法向量为n=(x,y,z), 则即令x=1,则n=(1,-2,2), 由·n=·(1,-2,2)=-1+0+1=0,得⊥n, 又FC1⊄平面AB1E,所以直线FC1与平面AB1E平行, 故B正确; 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 67 对于C,=,平面ABCD的一个法向量为=(0,0,1), 则cos<,>===, 设直线FC1与平面ABCD所成的角为θ,则sin θ=, 则cos θ==,则tan θ==,故C正确; 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 68 对于D,由B知平面AB1E的一个法向量为n=(1,-2,2),=(0,0,1), 设平面AB1E与平面ABCD所成的角为α, 则cos α=|cos<,n>|===, 则sin α===, 所以平面AB1E与底面ABCD所成角的正弦值为, 故D错误.故选ABC. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 69 8.［2025·北京一六一中学高二期中］在长方体 中，，，则平面与平面 所成的角的 余弦值为_ __. [解析] 如图，以 为坐标原点，建立空间直角 坐标系，则，， ， ， . 设平面的一个法向量为 ， 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 70 则 取 ，则， 易知平面的一个法向量为 ， 设平面与平面所成的角为 ， 则平面与平面 所成角的余弦值 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 71 9.在矩形中，,，沿对角线将 折起， 若，则二面角 的余弦值为__． [解析] 如图所示，过，分别作 , ，垂足分别为，， 由题易知 , ， 则, ,. 设二面角的平面角为 ， 则 , ， 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 72 因为， 所以 , 即 ，解得 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10.（13分）如图，在空间直角坐标系中有直三 棱柱 ,其底面是等腰直角三角形， ， ,，, 分别是 ，的中点，求平面与平面 所成 角的余弦值. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 74 解：由题知，， ， ，所以， . 设平面的一个法向量为 ， 则即 令 ,得 .， ， 设平面的一个法向量为 , 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 75 则即 令,得 . 设平面与平面所成的角为 ，则 , . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11.在菱形中， ，沿对角线折叠之后，使得点 到点位置，且平面 平面，则平面与平面 所成 角的余弦值为( ) A.2 B. C. D. [解析] 设菱形的边长为1，取的中点 ， 连接,，如图所示， 因为 ，所以，又平面 平面 ，平面 平面， 平面 ， 所以 平面.以 为坐标原点，建立空间直角 坐标系， √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 77 则，, ,， 所以 ,,． 设平面 的一个法向量为，则 即取，得 . 易知平面的一个法向量为 ， 所以, .故选D. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12.（多选题）［2025·辽宁沈阳二十中高二期中］ 如图，正方体 的棱长为1，面对角线上有两个动点, ，且 .则下列结论中正确的有( ) A.三棱锥 的体积为定值 B.当向运动时，二面角 的大小不变 C.二面角的最小值为 D.当向运动时， 总成立 √ √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 79 [解析] 因为为定值，所以为定值，点 到 平面的距离即为点到平面 的距离， 故三棱锥 的体积为定值，故A正确. 平面即为平面，而平面 即为平面 ，故当向运动时，二面角 的 大小不变，故B正确. 以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则,, ,因为,在上，且 ， 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 80 所以可设,， ，所以 , ，所以 ， 故不恒为零，故D错误. 设平面 的一个法向量为，又 ，所以 取 ，则， 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 易知平面 的一个法向量为，所以, ，设二面角的平面角为 ，则 为锐角，故 ，因为 ，所以 ，所以 ，当且 仅当时， 取得最大值，此时 取得 最小值 ，故C正确.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13.如图，在四棱锥中， 平面 ， ，， ，已知 是四边形 内部一点（不包 括边界），且二面 角的平面角的大小为 ， 则 的面积的取值范围是_ ________. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 83 [解析] 以 为坐标原点，建立如图所示的空间 直角坐标系，因为二面角 的平面角 的大小为 ，点是四边形 内部一点 （不包括边界），所以点 的轨迹是一条线段 （不包括端点），易知这条线段的一个端点为 ， 设另一个端点为，易知点在轴上，设 .由题意 可知，，所以， ，易知 平面的一个法向量为. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 84 设平面 的一个法向量为 ，则 即令，得 ， 则, ，可得， 因为点在线段 （不包括端点）上运动， 所以 的面积的取值范围为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14.（15分）如图，在多面体中，平面 平面 ， 四边形为菱形，，底面 为直角梯形， ，，， ． （1）证明： . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 86 证明：如图①，连接，因为四边形 为 菱形，所以 ， 因为四边形为直角梯形， , ，所以 ， 又平面 平面，平面 平 面, 平面，所以 平面 ， 又 平面，所以 ， 又, 平面,，所以 平面，又 平面，所以 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 87 （2）在棱上是否存在点，使得平面 与平面所成角的余弦值为 ？若存在，求 出 的值；若不存在，请说明理由． 14.（15分）如图，在多面体中，平面 平面 ， 四边形为菱形，，底面 为直角梯形， ，，， ． 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 88 解：设的中点为，连接，则 ， 因为平面 平面，平面 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，如图②， 为坐标原点，，， 的方向 分别为,, 轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，， ， 所以,, ， 设 ，则 , 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 89 所以 . 设平面 的一个法向量为 ， 则 令，则 . 易知平面 的一个法向量为 ， 所以 , ， 解得，此时 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱AA1上的一个动点,F为棱B1C1 上的一个动点,则平面EFB与平面ABCD所成角的余弦值的最大值是 ( ) A. B. C. D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 91 [解析]设平面EFB与平面ABCD所成的角为θ,以D为坐标原点, 建立空间直角坐标系如图所示,设正方体的棱长为1,则B(1,1,0), 设E(1,0,m)(0≤m≤1),F(n,1,1)(0≤n≤1),则=(0,-1,m),=(n-1,0,1). 设平面EFB的一个法向量为n=(x,y,z),则 即令x=-1,则  y=m(n-1),z=n-1,故n=(-1,m(n-1),n-1). 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 92 易知平面ABCD的一个法向量为m=(0,0,1), 所以cos θ=|cos<n,m>|==, 因为m,n∈[0,1],所以cos θ=. 当n=1时,cos θ=0,当n≠1时,cos θ=, 因为n∈[0,1),m∈[0,1],所以(1-n)2∈(0,1],m2∈[0,1], 所以∈[1,+∞),则当n=0,m=0时,分母取到最小值, 此时cos θ取得最大值.故选A. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 93 $