1.2.5 空间中的距离 第1课时课件——2023-2024学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

1.2.5 空间中的距离 第1课时 新授课 1.理解两点之间、点到直线的距离的概念. 2.会用向量法求两点之间、点到直线的距离. 新课讲授 学习目标 课堂总结 情境：在生活中可以看到很多道路上都有限高杆.主要的作用就是为了防止过高的车辆通过，以保障车辆和路上的设备设施的安全.比如限高路段内有不能移动的重要电缆、管道，或者涵洞，或者附近有高速路桥、铁路桥等.图中所示，限高3.1米.同学们，你知道3.1 m指的哪段距离，数学中的距离是如何定义的呢? 新课讲授 学习目标 课堂总结 例如，如图所示△ABC中，高AD的长就是顶点A到直线BC的距离，即A与直线BC上的点的最短连线的长度. 点与点 这些距离都可以归结为点与点的距离，而且是所有的点与点之间最短连线的长度. 平面中 三种距离： 点与直线 平行线：直线与直线 思考：这三种距离有什么共同的特点？ 新课讲授 学习目标 课堂总结 F1 F2 在几何学中，一个图形F1内的任意一点与另一图形F2内的任意一点的距离中的最小值，叫做图形F1与图形F2的距离. a b c 概念生成 新课讲授 学习目标 课堂总结 点与点 A B 空间中两点之间的距离：两个点连线的线段长. 知识点一：空间中两点之间距离 思考：如上图，若已知向量n，那么如何求空间中A，B两点之间的距离? n |AB|=| n | 新课讲授 学习目标 课堂总结 例1 如图所示，已知ABCD-A'B'C'D'是平行六面体AD=3，AB=4， AA'=5，∠BAD=90°，∠BAA'=∠DAA'=60°，求AC'的长. 解：由已知可得AD，AB，AA不共面，而且 ||=3，||=4，||=5， 从而 又因为 新课讲授 学习目标 课堂总结 所以 即所求长度为 因此 思考：还有其他方法解答吗？ 新课讲授 学习目标 课堂总结 练一练 1.如图，60°的二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面 角的两个半平面内，且都垂直于AB.己知AB=2，AC=3，BD=4，求CD的长. 解：如图， ∴CD的长为 新课讲授 学习目标 课堂总结 知识点二：点到直线的距离 空间中点A到直线l的距离：经过A点的直线l的垂线段的长. B A l 思考：如图，可以如何求空间中点A到直线l的距离? |AB|=|| 点到直线的距离也是这个点与直线上点的最短连线的长度. 新课讲授 学习目标 课堂总结 例2 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，求点C1到直线BD1的距离. 解：以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 设E满足=λ，且C1E⊥BD1， (1-λ，-λ，λ-1). 即E(1-λ，1-λ，λ)，所以 因此=(-1，-1，1). B(1，1，0)，D1(0，0，1)，C1(0，1，1)， 则 =+λ=(1，1，0) + λ(-1，-1，1) =(1-λ，1-λ，λ) 则 新课讲授 学习目标 课堂总结 又因为C1E⊥BD1， 解得λ=，因此=(，，)， 从而可知的点C1到直线BD1的距离为 所以·=0，即(-1)×(1-λ)+(-1)×(-λ)+1×(λ-1)=0， 新课讲授 学习目标 课堂总结 解法二： 连接BC1，BD1，作CE⊥BD1交BD1于E点. 因此△BC1D1∽△C1ED1，BC1：BD1=C1E：C1D1， 得C1E=. A B C D A1 B1 C1 D1 E 或由 得C1E=. BC1=，BD1=，D1C1⊥BC1 由ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方形，可得 新课讲授 学习目标 课堂总结 归纳总结 用空间向量求点到直线距离的基本方法： ①在空间直角坐标系内，用已知线段的向量表示出直线的一个方向向量； ②用已知线段的向量刻画垂足； ③根据直线与垂线段的垂直关系（数量积为0)求垂足的坐标； ④求出垂线段的向量； ⑤求出垂线段的向量的模. 新课讲授 学习目标 课堂总结 问题：如图，设l是过点P平行于单位向量s0的直线，A是直线l外一定点，如何表示点A到直线l的距离？ A′ A l P s0 作AA′⊥l，则A到直线的距离d=|AA′|， 向量在s0上的投影的大小|·s0|=|PA′|， 所以根据勾股定理有点A到直线l的距离 新课讲授 学习目标 课堂总结 例3 如图，在空间直角坐标系中，有长方体ABCD-A'B'C'D'，AB=1，BC=2，AA'=3，求点B到直线A'C的距离. 解：因为AB=1，BC=2，AA'=3， 又=(0，2，0)， 所以在上的投影长为=. 所以点B到直线A'C的距离 所以A'(0，0，3)，