1.2.4.1 求二面角的方法-【新课程学案】2026-2027学年高中选择性必修第一册配套课件PPT（人教B版）

该高中数学课件聚焦“二面角”核心内容，系统讲解二面角的概念、平面角定义及几何法、向量法求角方法。通过课前预习落实基础，从半平面、二面角定义到平面角度量，再到向量法应用，构建梯度进阶的学习支架。 其亮点在于采用梯度进阶式教学，分定义法、三垂线定理、向量法题型讲解，结合思维建模总结步骤，培养学生数学思维。向量法中建立坐标系实例，提升数学语言表达能力，助力学生系统掌握方法，教师可借此实施分层教学，提高教学效率。

1.2.4 二面角 求二面角的方法 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 第1课时 课时目标 1.掌握二面角的概念，二面角的平面角的定义，会找一些简单图形中的二面角的平面角.能用几何法求二面角. 2.理解平面的法向量的夹角与两平面所成的角的关系.会用平面的法向量求两个平面的夹角. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.二面角及其平面角 半平面 平面内的一条直线把一个平面分成两部分，______________都称为一个半平面 二面角 从_________________________所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，______________称为二面角的面.棱为l，两个面分别为α，β的二面角，记作α-l-β，若A∈α，B∈β，则二面角也可以记作A-l-B 平面角 在二面角α-l-β的棱上_____________O，以O为垂足，分别在半平面α和β内作_______于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角 其中的每一部分 一条直线出发的两个半平面 这两个半平面 任取一点 垂直 2.二面角的度量 二面角的大小用它的________大小来度量，即二面角大小等于它的平面角_______.特别地，平面角是直角的二面角称为____________. 3.两个平面所成的角 两个平面相交时，它们所成角的大小，指的是它们所形成的四个二面角中，__________________________角的大小. 平面角 大小 直二面角 不小于0°且不大于90°的 4.用空间向量求二面角的大小 如果n1，n2分别是平面α1，α2的一个法向量，设α1与α2所成角的大小为θ，如图(1)(2)所示，可以看出θ=<n1，n2>或θ=____________，特别地，sin θ=sin<n1，n2>，|cos θ|=|cos<n1，n2>|=__________. π-<n1，n2> |微|点|助|解| (1)若求两相交平面的所成的角，直接利用公式cos θ=|cos<n1，n2>| =. (2)若求二面角，需要判断要求的是锐二面角还是钝二面角. 基础落实训练 1.(多选)如果一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系可能是 (　　) A.相等 B.互补 C.互余 D.不能确定 解析：由二面角的概念知，这两个二面角大小相等或互补. √ √ 2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角A1-BC-A的余弦值为 (　　) A. B. C. D. 解析：易知∠A1BA为二面角A1 -BC-A的平面角，cos∠A1BA==. √ 3.(多选)已知两平面的法向量分别为m=(0，1，0)，n=(0，1，1)，则两平面所成的二面角的大小可能为 (　　) A.45° B.135° C.180° D.90° √ √ 4.已知点A(1，0，0)，B(0，2，0)，C(0，0，3)，则平面ABC与平面xOy所成锐二面角的余弦值为　　　　.  解析：由题得=(-1，2，0)，=(-1，0，3). 设平面ABC的法向量为n=(x，y，z). 由知令x=2，得y=1，z=，则平面ABC的一个法向量为n=.平面xOy的一个法向量为=(0，0，3). 由此易求出所求锐二面角的余弦值为|cos θ|===. 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　定义法求二面角的大小 [例1]　如图，ABCD是正方形，V是平面ABCD外一点， 且VA=VB=VC=AB，求二面角A-VB-C的余弦值. 解：取VB的中点为E，连接AE，CE， 如图.∵VA=VB=VC=AB， ∴AE⊥VB，CE⊥VB. ∴∠AEC是二面角A-VB-C的平面角. 设AB=a，连接AC，在△AEC中， AE=EC=a，AC=a， 由余弦定理可知cos∠AEC==-， ∴所求二面角A-VB-C的余弦值为-. |思|维|建|模| 用定义法求二面角的步骤 (1)作(找)出二面角的平面角(作二面角时多用三垂线定理)； (2)证明所作平面角即为所求二面角的平面角； (3)解三角形求角. 针对训练 1.如图，已知AB是圆的直径，且AB=4，PA垂直于圆所在的平面，且PA=3，M是圆周上一点，且∠ABM=30°，求二面角A-BM-P的大小. 解：因为AB是圆的直径，所以AM⊥BM. 因为PA⊥平面ABM，BM，AM⊂平面ABM， 所以PA⊥BM，PA⊥AM. 因为AM∩PA=A，AM，PA⊂平面PAM， 所以BM⊥平面PAM. 因为PM⊂平面PAM，所以BM⊥PM， 所以∠PMA是二面角A-BM-P的平面角. AB=4，∠ABM=30°，所以AM=2. 因为PA=3，所以tan∠PMA=， 所以∠PMA=arctan. 题型(二)　利用三垂线定理求二面角 [例2]　已知在三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC，AB=BC=CA=PC，求二面角B-PA-C的余弦值. 解：法一：一般法　如图，过点B作BE⊥AC于点E， 则E为AC的中点， 过点E作EF⊥PA于点F，连接BF. 因为PC⊥平面ABC，PC⊂平面PAC， 所以平面PAC⊥平面ABC.又因为BE⊥AC，BE⊂平面ABC， 平面ABC∩平面PAC=AC，所以BE⊥平面PAC，所以BE⊥PA. 由三垂线定理有BF⊥PA，所以∠BFE是二面角B-PA-C的一个平面角. 设PC=1，由E是AC的中点， 得BE=，EF=sin 45°=，所以BF=， 所以cos ∠BFE==.所以二面角B-PA-C的余弦值为. 法二：利用射影面积公式　 如图，过点B作BE⊥AC于点E，连接PE. 因为PC⊥平面ABC，PC∥平面PAC， 所以平面PAC⊥平面ABC， 又因为BE⊥AC，BE⊂平面ABC， 平面ABC∩平面PAC=AC，所以BE⊥平面PAC， 所以△PAE是△PAB在平面PAC上的射影. 设PC=1，则PA=PB=，AB=1，所以在△PAB中，AB边上的高h=，所以S△PAB=.又S△PAE=S△PAC=.设二面角B-PA-C的大小为θ， 由射影面积公式有cos θ==. 所以二面角B-PA-C的余弦值为. |思|维|建|模| 用三垂线定理或逆定理作二面角的平面角的步骤 (1)在其中一个面内找一特殊点A，过A作另一个平面的垂线，垂足为B. (2)过A作棱(两平面的交线)的垂线，垂足为C(或过B作棱的垂线，垂足为C)，连接BC(或AC). (3)由三垂线的逆定理(或定理)得平面角∠ACB. 针对训练 2.如图，设AB为圆锥PO的底面直径，PA为母线，点C在底面圆周上，若△PAB是边长为2的正三角形，且CO⊥AB，则二面角P-AC-B的正弦值是 (　　) A. B. C. D. √ 解析：如图，取AC的中点D，连接OD，PD，因为PO⊥底面，所以PO⊥AC，因为OA=OC，D为AC的中点，所以OD⊥AC.又PO∩OD=O，PO，OD⊂平面POD，所以AC⊥平面POD，又PD⊂平面POD，则AC⊥PD，所以∠PDO为二面角P-AC-B的平面角.因为△PAB是边长为2的正三角形，所以PO=，OA=OC=1，OD=， 则PD==， 所以sin∠PDO===. [例3]　如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD=O，A1C1∩B1D1=O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形. (1)求证：O1O⊥底面ABCD； 题型(三)　向量法求二面角的大小 解：证明：因为四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形，所以CC1⊥AC，DD1⊥BD， 又CC1∥DD1∥OO1，所以OO1⊥AC，OO1⊥BD， 因为AC∩BD=O，所以O1O⊥底面ABCD. (2)若∠CBA=60°，求二面角C1-OB1-D的余弦值. 解：因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形ABCD为菱形，AC⊥BD.又O1O⊥底面ABCD，所以OB，OC，OO1两两垂直.如图，以O为原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系. 设棱长为2，因为∠CBA=60°， 所以OB=，OC=1， 所以O(0，0，0)，B1(，0，2)，C1(0，1，2)， 平面BDD1B1的一个法向量为n=(0，1，0)，设平面OC1B1的法向量为m=(x，y，z)，则由得取z=-，则x=2，y=2，所以m=(2，2，-)， 所以cos<m，n>===. 由图形可知二面角C1-OB1-D的大小为锐角， 所以二面角C1-OB1-D的余弦值为. 本例条件不变，求二面角B-A1C-D的余弦值. 变式拓展 解：建立如图所示的空间直角坐标系.设棱长为2，则A1(0，-1，2)，B(，0，0)，C(0，1，0)，D. 所以=，=(0，2，-2)， =(-，-1，0). 设平面A1BC的一个法向量为n1=(x1，y1，z1)， 则即 取x1=，则y1=z1=3，故n1=(，3，3). 设平面A1CD的一个法向量为n2=(x2，y2，z2)， 则即 取x2=，则y2=z2=-3，故n2=(，-3，-3). 所以cos<n1，n2>==-=-. 由图形可知二面角B-A1C-D的大小为钝角， 所以二面角B -A1C-D的余弦值为-. |思|维|建|模| 利用法向量求二面角的大小的一般步骤 3.如图，已知四棱锥P-ABCD，BC∥AD，CD⊥AD，AD=2DC=2，AP⊥平面PCD.若二面角P-AC-B的正弦值为，求AP. 针对训练 解：因为AP⊥平面PCD，PD，CD⊂平面PCD，所以AP⊥PD，AP⊥CD.又CD⊥AD，AD∩AP=A，AD， AP⊂平面APD，所以CD⊥平面APD， 所以以点P为坐标原点建立如图所示 的空间直角坐标系，设AP=m，PD=n， 则A(m，0，0)，D(0，n，0)，C(0，n，1)，=(m，-n，-1)， =(m，-n，0).设平面PAC的一个法向量为n1=(x1，y1，z1)， 由得令y1=1，则n1=(0，1，-n). 设平面ABC的一个法向量为n2=(x2，y2，z2)， 由且CB∥DA，得 于是令x2=n，则n2=(n，m，0). 设二面角P-AC-B的平面角为θ， 则sin θ=，所以|cos θ|==， 则|cos θ|=|cos<n1，n2>|= =，　① 又在Rt△APD中，AP2+PD2=AD2，即n2+m2=4，　② 联立①②可得，m=，n=1，所以AP=. 课时检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.已知二面角α-l-β中，平面α的一个法向量为n1=，平面β的一个法向量为n2=，则二面角α-l-β的大小为(　　) A.120° B.150° C.30°或150° D.60°或120° √ 解析：设所求二面角的大小为θ，则|cos θ|==，所以θ=30°或150°. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.如图，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，二面角 D'-AB-D的大小是 (　　) A.30° B.45° C.60° D.90° √ 解析：连接AD'(图略)，由正方体的性质易知AB⊥平面ADD'A'，则AB⊥AD，AB⊥AD'，所以∠D'AD为二面角D'-AB-D的一个平面角，四边形ADD'A'为正方形，据此可知∠D'AD=45°，即二面角D'-AB-D的大小是45°. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.如图，在正四棱锥P-ABCD中，若△PAC的面积与正四棱锥的侧面面积之和的比为∶8，则侧面与底面所成的二面角为(　　) A.　　 B.　　 C.　　 D. √ 解析：设正四棱锥的底面边长为a，侧面与底面所成的二面角为θ，高为h，斜高为h'，则=，∴=，∴sin θ=，即θ=. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.如图，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，棱长为1，过AB作平面α交棱CC1，DD1分别于E，F.若平面α与底面BCD所成的角为30°，则截面ABEF的面积为 (　　) A. B. C. D. √ 解析：截面ABEF在底面的射影为四边形ABCD，∴cos 30°=，∴=，∴S截面ABEF=. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.如图，在四棱锥P-ABCD中，PB⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=PB=3，点E在棱PA上，且PE=2EA，则平面ABE与平面BED所成角的余弦值为 (　　) A. B. C. D. √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：以B为坐标原点，BC，BA，BP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0，0，0)，A(0，3，0)，P(0，0，3)，D(3，3，0)，E(0，2，1)， ∴=(0，2，1)，=(3，3，0). 设平面BED的一个法向量为n=(x，y，z)， 则 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 取z=1，则y=-，x=，∴n=. 易知平面ABE的一个法向量为m=(1，0，0)， ∴cos<n，m>==. ∴平面ABE与平面BED所成角的余弦值为.故选B. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.(多选)正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，下列结论正确的是 (　　) A.AD与BC所成的角为30° B.AC与BD所成的角为90° C.BC与平面ACD所成角的正弦值为 D.平面ABC与平面BCD所成角的正切值是 √ √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：取BD的中点O，连接AO，CO，则AO⊥BD，∵正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，∴平面ABD⊥平面BCD.又平面ABD∩平面BCD=BD，AO⊂平面ABD，∴AO⊥平面BCD. ∴以O为原点，OC所在直线为x轴，OD所在直线 为y轴，OA所在直线为z轴，建立如图所示的空间 直角坐标系，设OC=1，则A(0，0，1)，B(0，-1，0)，C(1，0，0)，D(0，1，0)，∴=(0，1，1)，=(0，1，-1)， =(1，1，0)，=(1，0，-1)， 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 =(0，2，0).∵cos<，>===，又0°≤<，>≤180°，∴<，>=60°.∴异面直线AD与BC所成的角为60°.故A错误.∵·=0，∴AC⊥BD.故B正确.设平面ACD的一个法向量为t=(x，y，z)，则取z=1，得x=1，y=1.∴t=(1，1，1).设BC与平面ACD所成的角为θ，则sin θ= |cos<，t>|===，故C错误. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 易知平面BCD的一个法向量为n=(0，0，1)，设平面ABC的一个法向量为m=(x'，y'，z')，则取x'=1，得y'=-1，z'=1.∴m=(1， -1，1).设两个平面所成的角为α(α为锐角)，则 cos α=|cos<m，n>|==，故sin α=，故tan α=. ∴平面ABC与平面BCD所成角的正切值是.故D正确.故选BD. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.(多选)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段A1A上的一个动点，F为线段B1C1上的一个动点，则平面EFB与底面ABCD所成的二面角可以是 (　　) A. B. C. D. √ √ √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段AA1上一个动点，F为线段B1C1上的一个动点，当F与B1重合时，平面EFB即为平面ABB1A1.此时，平面EFB与底面ABCD所成二面角最大为.当E与A重合，F与C1重合时，平面EFB是平面ABC1D1，此时平面EFB与底面ABCD所成的二面角最小为.所以平面EFB与底面ABCD所成的二面角的范围是，故选ACD. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.如图，P是二面角α-AB-β棱上的一点，分别在α，β平面内引射线PM，PN，如果BPM=∠BPN=45°，∠MPN=60°，那么二面角α-AB-β的大小为 (　　) A.60° B.70° C.80° D.90° √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：不妨设PM=a，PN=b，作ME⊥AB交AB于点E，NF⊥AB交AB于点F(图略)，因为∠EPM=∠FPN=45°，故PE=，PF=，于是·=(-)·(-)=·-·-·+· =abcos 60°-a·cos 45°-·bcos 45°+·=--+=0. 因为EM，FN分别是α，β内的两条与棱AB垂直的线段，所以EM与FN之间的夹角就是所求二面角的大小，所以二面角α-AB-β的大小为90°. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.在三棱锥P-ABC中，点P在底面的正投影恰好是等边△ABC的边AB的中点，且点P到底面ABC的距离等于底面边长.设△PAC与底面所成的二面角的大小为α，△PBC与底面所成的二面角的大小为β，则tan(α+β)的值是(　　) A. B. C.- D.- √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：如图，设点P在边AB上的射影为H，作HF⊥BC，HE⊥AC，连接PF，PE.依题意，∠HEP=α，∠PFH=β.不妨设等边△ABC的边长为2，则PH=2，AH=BH=1.∴HE=，HF=，则tan α= tan β==，故tan(α+β)===-. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)若二面角内一点到两个面的距离分别为5和8，两垂足间的距离为7，则这个二面角的大小是_____________.  解析：设二面角大小为θ，由题意可知|cos θ|===， 所以θ=60°或120°. 60°或120° 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角A1-BD-C1的余弦值是___________.  解析：如图，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1， 则D(0，0，0)，B(1，1，0)，A1(1，0，1)， =(1，0，1)，=(1，1，0). 设n=(x，y，z)是平面A1BD的一个法向量， 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 则即令x=1，则y=-1，z=-1，∴n=(1，-1，-1). 同理，求得平面BC1D的一个法向量m=(1，-1，1)， 则cos<m，n>==. 由图知二面角A1-BD-C1为锐角， 所以二面角A1-BD-C1的余弦值为. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(5分)若P是△ABC所在平面外一点，且△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，PA=，则二面角P-BC-A的大小为________.  解析：取BC的中点O，连接PO，AO(图略)，则∠POA就是二面角P-BC-A的平面角.又PO=AO=，PA=，所以∠POA=90°. 90° 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)如图，四边形ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成的角为60°.求平面BEF与平面BDE所成角的余弦值. 解：因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系，如图所示. 因为BE与平面ABCD所成角为60°，即∠DBE=60°，所以=. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 由AD=3可知DE=3，AF=， 则A(3，0，0)，F(3，0，)，E(0，0，3)，B(3，3，0)，C(0，3，0). 所以=(0，-3，)，=(3，0，-2). 设平面BEF的一个法向量为n=(x，y，z)， 则即 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 令z=，则n=(4，2，).由题意知AC⊥平面BDE， 所以=(3，-3，0)为平面BDE的法向量. 所以cos<n，>===. 故由题意知平面BEF与平面BDE所成角的余弦值为. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(10分)如图，在底面为菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=1，PB=PD=，点E在PD上，且=2. (1)求证：PA⊥平面ABCD；(4分) 解：证明：因为底面ABCD是菱形，∠ABC=60°， 所以AB=AC=AD=1，在△PAB中，PA=1，PB=， 由PA2+AB2=PB2，可得PA⊥AB. 同理，PA⊥AD，又AB∩AD=A， 所以PA⊥平面ABCD. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)求二面角E-AC-D的正弦值.(6分) 解：作EG∥PA交AD于点G，由PA⊥平面ABCD. 则EG⊥平面ABCD，作GH⊥AC于H，连接EH， 则EH⊥AC，∠EHG即为二面角E-AC-D的一个平面角. 又=2，所以EG=PA=，AG=AD=，GH=AGsin 60°=，从而EH==， 所以sin∠EHG==. 即二面角E-AC-D的正弦值为. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 15.(15分)(2024·新课标Ⅰ卷)如图，四棱锥P-ABCD中， PA⊥底面ABCD，PA=AC=2，BC=1，AB=. (1)若AD⊥PB，证明：AD∥平面PBC；(6分) 解：证明：因为PA⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD， 所以PA⊥AD，又AD⊥PB，PB∩PA=P，PB， PA⊂平面PAB，所以AD⊥平面PAB， 又AB⊂平面PAB，所以AD⊥AB. 因为BC2+AB2=AC2，所以BC⊥AB，因为A，B，C，D四点共面，所以AD∥BC，又AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以AD∥平面PBC. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)若AD⊥DC，且二面角A-CP-D的正弦值为，求AD.(9分) 解：法一　如图所示， 过点D作DE⊥AC于E，再过点E作EF⊥CP于F， 连接DF，因为PA⊥平面ABCD，所以平面 PAC⊥平面ABCD，而平面PAC∩平面ABCD=AC， 所以DE⊥平面PAC，所以DE⊥CP.又EF⊥CP， DE∩EF=E，DE，EF⊂ 平面DEF，所以CP⊥平面DEF， 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 根据二面角的定义可知，∠DFE即为二面角A-CP-D的平面角， 即sin∠DFE=，即tan∠DFE=.由AD⊥DC，设AD=x(0<x<2)， 则CD=，由等面积法可得，DE=， 又CE==，而△EFC为等腰直角三角形， 所以EF=，故tan∠DFE==，解得x=，即AD=. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 法二　如图，以D为原点，分别以DA，DC所在直线为x轴、y轴，过点D且与平面ABCD垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系. 令AD=t，则A(t，0，0)，P(t，0，2)，D(0，0，0)， C(0，，0).所以=(-t，，0)， =(0，0，2)，=(-t，0，-2)， =(0，-，0). 设平面PAC的一个法向量为m=(x，y，z)， 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 则即 不妨设x=，则y=t，z=0， 所以m=(，t，0). 设平面PCD的一个法向量为n=(r，s，v)， 则即 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 不妨设v=t，则r=-2，s=0，所以n=(-2，0，t). 因为二面角A-CP-D的正弦值为， 所以其余弦值的绝对值为， 所以|cos<m，n>|===， 解得t=，所以AD=. 15 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $