1.2.3 直线与平面的夹角（教学课件）高二数学人教B版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦“直线与平面的夹角”，通过生活实操（笔与草稿纸模拟倾斜）和工程问题（比萨斜塔倾斜度）导入，从直线与平面位置关系探究到斜线射影定义，再到向量法公式推导，构建完整知识支架。 其亮点在于融合数学眼光（情境观察）、思维（逻辑推理如三垂线定理推导）、语言（向量公式规范表达），通过几何法与向量法对比及正方体典例分析，强化公式应用与易错点。帮助学生提升空间观念与运算能力，教师可高效实施教学。

【新教材】人教B版·高二选择性必修第一册 第一章 空间向量与立体几何 1.2.3 直线与平面的夹角 1.2 空间向量在立体几何中 的应用 学 习 目 标 1 2 了解直线与平面的夹角的三种情况，理解斜线和平面所成角的概念。 能用向量语言表述直线与平面的夹角。 能用向量法求线面角。 理解直线方向向量和平面法向量的夹角与线面角的关系，体现逻辑推理能力（重点） 会利用空间向量求直线与平面的夹角，体现逻辑推理能力（重难点） 新课引入 生活实操体验式情境 请同学们拿起桌上的笔和草稿纸，把笔抽象成一条空间直线，草稿纸平铺在桌面上当作一个平面。现在大家随意调整笔的倾斜角度，试着用自己的语言描述“笔和纸面之间的倾斜程度” 再思考一个问题：当笔完全平放在纸面上、笔垂直扎向纸面时，这个“倾斜程度”分别是多少？ 我们今天就来找到一个统一的数学定义，精准刻画这种直线和平面之间的夹角关系。 新课引入 现实工程问题情境 问题：工程师们常年监测比萨斜塔的倾斜状态，却从来不用“斜塔塔身和地面上某一条路的夹角”来定义它的倾斜度，大家想一想这是为什么？ 地面上有无数条不同方向的直线，和塔身的夹角都不一样，那我们要选哪一个角度，才能最客观、最准确地表示斜塔整体的倾斜程度？ 今天我们要学习的直线与平面的夹角，就能完美解决这个工程里的实际问题。 目标一：斜线与平面的夹角 互动探究 直线与平面夹角特殊情况 直线与平面有三种位置关系：平行，相交，直线在平面内 直线与平面夹角特殊情况： 直线与平面的位置关系 直线与平面所成的角 直线与平面垂直 直线与平面平行或直线在平面内 思考： 设 l 是平面 α 的一条斜线，m 是平面 α 内的任意一条直线，能否将 m 与 l 所成的角定义为直线与平面 α 所成的角？如果不能，该怎样规定直线与平面 α 所成的角？ 知识讲解 直线与平面的夹角 斜线与平面所成的角的概念 图中，当 m 的位置不同时，m 与 l 所成角的大小可能也不同，因此不能将其定义为直线 l 与平面 α 所成的角。 平面的一条斜线在平面内的射影是唯一确定的，因此，平面的斜线与它在平面内的射影所成的角，称为这条斜线与平面所成的角。 如图所示，如果直线 AB 是平面 α 的一条斜线， B 为斜足， A'B 是直线 AB 在平面 α 内的射影，则 ∠ABA' 就是直线 AB 与平面 α 所成的角。 互动探究 三垂线定理及余弦关系 直线与平面的夹角 如图所示，设 AO 是平面 α 的一条斜线段， O 为斜足， A' 为 A 在平面 α 内的射影，而 OM 是平面 α 内的一条射线，AM⟂OM。记 ∠AOA'=，∠A'OM=，∠AOM=θ。 (1) 从直观上判断 的大小关系； (2) 说明 AM⟂OM 是否成立，探究 ，θ 三者之间的等量关系。 分析： 注意到 ，所以 ， 都是直角三角形，而且 是 在平面 内的射影。因此，根据 与三垂线定理可知 ，所以 也是直角三角形。 定形 定量 如果设 ，则在 Rt 中， ； 因此在 Rt 中， ； 另一方面，在 Rt 中，有 。 因此得到： 。 互动探究 推论1：最小角 直线与平面的夹角 推论： 一般地，因为 和 θ 都是锐角，所以可得 ≤θ 。这就是说，平面的斜线与平面所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角。 体现了斜线与平面所成角具有唯一性； 空间中任意一条直线与任意一个平面所成的角的大小都是确定的，直线与平面所成的角也称为它们的夹角。 互动探究 推论2：射影平分角 直线与平面的夹角 如图所示，已知 ∠BAC 在平面 α 内，过该角的顶点 A 引平面 α 的斜线 AP 且使 ∠PAB=∠PAC ，求证：斜线 AP 在平面 α 内的射影平分 ∠BAC。 证明： 设点 P 在平面 α 内的射影为点 M ，则 AM 为 AP 在平面 α 内的射影。根据前面的结论有 cos∠PAB=cos∠PAMcos∠BAM ， cos∠PAC=cos∠PAMcos∠CAM 余弦关系 角的关系 由 ∠PAB=∠PAC 可得 cos∠BAM=cos∠CAM 。因此 ∠BAM=∠CAM ，即 AM 平分 ∠BAC。 互动探究 推论3：斜线段、射影与线面角的等价关系 直线与平面的夹角 如图所示， P 是平面 α 外一点， P 在平面 α 内的射影为 P' 。过 P 作平面 α 的斜线段 分析 结论 上面的结果可以总结为：经过平面外同一点所作的平面的多条斜线中，斜线段长、射影长及斜线与平面所成的角，只要有一个相等，则另外两个也对应相等。 从上面还可以看出，当线段 AB 所在的直线与平面 α 所成的角为 θ ，且 AB 在平面 α 内的射影为 A'B' 时，有 A'B'=ABcosθ。 目标二：用空间向量求直线与平面的夹角 知识讲解 直线与平面的夹角 向量法求线面角 思考： 如果 是直线 l 的一个方向向量 是平面 α 的一个法向量，设直线 l 与平面 α 所成角的大小为 θ ，通过作图讨论 θ 与 的关系。 结论： 如图可以看出 或 θ。 特别地， cosθ=sin ，即 sinθ=|cos| 。 公式前后正余弦不一致，是由诱导公式奇变引起的 第二个公式含绝对值符号，要理解为什么？ 1.若直线 的一个方向向量为 ，平面 的一个法向量为 ，则 与 所成的角为（） 示例 答案: B 解析：由题意可知 与 ， 且夹角的取值范围为 ， 则夹角为 。 故选：B. 2.若平面 的法向量为 ，直线 的方向向量为 ，直线 与平面 的夹角为 ，则下列关系式成立的是（） 示例 2.答案：D 解析：由题意得 ， 故选：D 3.若直线 的一个方向向量是 ，平面 的一个法向量是 ，则直线 与平面 所成的角为（） 示例 3.答案：A 解析：已知直线 的方向向量是 ，平面 的一个法向量是 ， 设直线 与平面 所成角为 ，则 ， 所以 ， 所以 ，故直线 与平面 所成角为 。 故选：A. 典例分析 向量法求线面角 建系 例2 坐标 法向量 例2： 已知 ABCD-A'B'C'D' 是正方体，求 B'D' 与平面 A'B'CD' 所成角的大小。 传统几何法和向量法，都可以试试，也是个比较 以 为原点， ， ， 的方向分别为 轴、 轴、 轴正方向，正方体的棱长为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系。 则 ， ， ， 。 所以 ， ， 。 角 设平面 的一个法向量为 ，则： ，取 ，可得 。 又因为 ，所以 。 从而可知 与平面 所成角的大小为 。 典例分析 几何求线面角 作角 例2 证角 求角 例2： 已知 ABCD-A'B'C'D' 是正方体，求 B'D' 与平面 A'B'CD' 所成角的大小。 传统几何法和向量法，都可以试试，也是个比较 设 𝐴′𝐵 的中点为 𝐸 ，连接 𝐵′𝐸 ， 𝐷′𝐸 ，如图所示。 。 因为 是正方形，所以 ； 又因为 平面 ，且 平面 ，所以 ； 再根据 可知 平面 。 因此， 在平面 内的射影为 ，所以 就是 与平面 所成角。 因为正方体中有 ，所以在 Rt 中， 。 又因为 是一个锐角，所以 ，即 与平面 所成角的大小为 。 拓展：两种方法的比较 空间向量法步骤 操作要点 常用公式说明 1. 建系，写出相关点的坐标 合理建立空间直角坐标系，标出所有关键点坐标： 向量坐标： 2. 求直线方向向量、平面法向量 ①直线方向向量：取直线上两点构成向量②平面法向量：在平面内找两个不共线向量，联立方程组求解 设平面内， 3. 利用向量夹角公式计算三角函数值 向量夹角公式： 点积：模长： 4. 结合图形关系判定角度，写出结论 区分向量夹角与所求空间角（线线角、线面角、二面角）范围，转化角度关系 1.线线角，取锐角/直角2.线面角，3.二面角看清是锐角还是钝角，对照法向量方向判断 拓展：两种方法的比较 几何步骤 操作要点 关键说明 1 找到（或作出）斜线上一点到平面的垂线（垂线段），并给出证明 垂线是核心，必须论证垂直平面，不可直接默认垂直 2 找到（或作出）斜线在平面内的射影，确定线面角 斜线与射影所成锐角即为线面角 3 依托条件解直角三角形，通过计算或推理求出角度 垂线、斜线、射影构成直角三角形 4 规范写出最终结论 明确写出所求线面角大小 拓展：两种方法的比较 对比项目 几何法（传统几何推理） 向量法（空间直角坐标系） 核心思路 作垂线、找射影，构造直角三角形，依靠空间位置关系推理 建立坐标系，利用坐标运算、向量夹角公式代数求解 优点 1. 计算量小，少有复杂运算2. 直观体现空间图形位置关系，锻炼空间想象能力3. 图形简洁时解题速度快 1. 套路固定，步骤标准化，容易上手2. 不需要复杂辅助线，不用大量几何证明3. 只要能建系，通用性强，容错率高 缺点 1. 难点集中：辅助线难作出，垂线不易寻找与证明2. 对空间想象能力要求很高3. 图形复杂时很难找到合适直角三角形 1. 需要规范建系，坐标书写易出错2. 大量坐标运算，计算量大，容易算错3. 无法直观感受空间角度，弱化空间想象训练 适用场景 图形规整、容易作出垂线与射影的题型 易于建立空间直角坐标系（存在三条两两垂直棱）的立体几何题 典例分析 向量法求线面角 建系 例3 坐标 如图，在正四棱锥 中， 为顶点 在底面 内的射影， 为侧棱 的中点，且 ，则直线 与平面 的夹角是（ ） A. B. C. D. 解析： 以 为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系。 设 ，则 ， ， ， ， 。 > ， ， 。 法向量 设平面 的法向量为 ，则 ，取 。 设直线 与平面 的夹角为 ，则 。又 ，所以 。故选C。 角 目标三：针对训练 举一反三 1.在空间直角坐标系中，已知向量 是平面ABC的一个法向量，且 则直线 与平面ABC所成角的正弦值是（） 答案：C 解析：直线 与平面ABC所成角的正弦值等于 举一反三 2.若直线 的一个方向向量为 ，平面 的一个法向量为 ，则 与 所成的角为（） 答案：A 解析：由已知 所以 与 所成的角为 故选：A. 举一反三 3.已知平面 的一个法向量为 ，直线 的一个方向向量为 ，则直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为 3.答案： 解析：直线 与平面 所成的角为 当 时， 取得最大值，最大值为 故答案为： 举一反三 4.如图，在四棱柱 中，平面 平面ABCD，且四边形 和四边形ABCD都是正方形，则直线BD与平面ABBA所成角的正弦值为 4.答案： 解析：由 和平面 平面ABCD，可知 平面ABCD，以 ， ， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建系， 则 ，平面 的法向量 举一反三 5. 在正方体中ABCD-ABC,D，直线AB与平面BC,D所成的角为（）. A. B. C. D. 5.答案：B 解析：如图所示，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1， 则 ， ， ， ，所以 ， ， ，设平面 的一个法向量为 ，直线 与平面 所成的角为 ， 则 令 即 所以 所以 故选：B. 目标四：小结 学海拾贝 本节是空间向量立体几何的核心计算考点，承接平面法向量知识，重点解决空间直线与平面夹角的定义、范围、向量公式求解。是高考高频考点，常出现在解答题第二问，也是后续二面角学习的基础。 一、核心知识梳理 1. 直线与平面夹角的定义 当直线与平面不垂直、不平行时，直线与平面的夹角为直线与它在平面内的射影所成的锐角。 特殊情况： （1）直线垂直平面：夹角为 ； （2）直线平行平面或在平面内：夹角为 （即0）。 学海拾贝 2. 夹角取值范围（必考） 直线与平面所成角 θ 的范围：θ∈[0,] ⚠️ 区别：异面直线夹角范围是 (0,]，本节范围包含0，做题不可混淆。 3. 核心向量公式（解题万能公式） 设：直线的方向向量为 s，平面的法向量为 n，直线与平面所成角为 θ，s 与 n 的夹角为 φ。 几何关系：θ=|-φ| 由此推出核心计算公式： sin⁡θ=|cos⁡φ 口诀：线面角的正弦 = 方向向量与法向量夹角余弦的绝对值 学海拾贝 1. 公式最易混淆的致命错误 很多同学会记错公式：线面角用正弦，面面角用余弦。绝对不能直接用 cos⁡θ 计算线面角，会直接整题扣分。 原理：线面角是直线“贴着平面”的角，是锐角，和法向量夹角互余，因此取正弦值。 二、重点学习注意事项（高频易错点） 2. 绝对值绝对不能丢 公式中必须加绝对值 |s⋅n|、|cos⁡φ|。 原因：线面角 θ 永远取 非负锐角或直角，不存在负角，计算结果必须≥0。若去掉绝对值，容易算出负角度，结论错误。 3. 角度范围误区 计算结果若算出sin⁡θ=1，则 θ，说明直线垂直平面； 计算结果若算出 sin⁡θ=0，则 ，说明直线平行平面或在平面内。 切忌：算出角度大于90°，说明未取绝对值，步骤出错。 【新教材】人教B版·高二选修第一册 感谢聆听 $