1.2.3 直线与平面的夹角-【新课程学案】2026-2027学年高中选择性必修第一册配套课件PPT（人教B版）

该高中数学课件聚焦“直线与平面的夹角”，涵盖定义、范围、最小角定理及向量法等核心内容。课前通过自主预习落实基础，课堂采用梯度进阶式教学，从定义法到定理应用再到向量法，构建知识支架衔接前后内容。 其亮点是“思维建模”总结解题步骤，培养数学思维的逻辑性，“微点助解”用辅助记忆深化理解，体现数学眼光的抽象能力。向量法实例中精确计算法向量，展现数学语言表达。助力学生发展空间观念，教师可高效实施分层教学。

1.2.3 直线与平面的夹角 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 课时目标 1.了解直线与平面的夹角的三种情况，理解斜线和平面所成角的概念. 2.了解三个角θ，θ1，θ2的意义，会利用公式cos θ=cos θ1cos θ2求平面的斜线与平面内的直线的夹角.会用向量法求线面角. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.斜线与平面所成的角 注意到平面的一条斜线在平面内的射影是__________的，因此，平面的斜线与它在平面内的射影所成的______，称为这条斜线与平面所成的角. 2.直线与平面所成的角 (1)定义：如图，如果直线AB是平面α的一条斜线，B为________，A'B是直线AB在平面α内的_______，则________就是直线AB与平面α所成的角. 唯一确定 角 斜足 射影 ∠ABA' (2)范围：直线与平面α所成的角θ的范围是______________. ①当θ=0°时，AB____α或AB_____α； ②当θ=90°时，AB_____α. 3.斜线与平面所成角的性质 如图所示，设AO是平面α的一条斜线段，O为斜足，A'为A在平面α内的射影，而OM是平面α内的一条射线， A'M⊥OM.记∠AOA'=θ1，∠A'OM=θ2，∠AOM=θ， 则θ，θ1，θ2之间的关系为__________________，平面 的斜线与平面所成的角，是斜线和这个平面内所有 直线所成角中最小的角.  0°≤θ≤90° ∥ ⊂ ⊥ cos θ=cos θ1cos θ2 |微|点|助|解| (1)辅助记忆：这三个角中，θ是最大的，其余弦值最小，等于另外两个角的余弦值之积，其中θ，θ1，θ2分别称为斜角、立角、平角，它们之间的余弦关系式又称为斜立平公式. (2)从空间一点O引出的三条射线OA，OB，OM满足cos ∠AOM= cos ∠AOB·cos ∠BOM，则平面AOB⊥平面BOM. 4.用空间向量求直线与平面的夹角 如图所示，v为直线l的一个方向向量，n为平面α的一个法向量. θ=_____________或θ=_____________， 特别地，cos θ=sin<v，n>，sin θ=_____________. -<v，n> <v，n>- |cos<v，n>| 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)直线与平面的夹角不是锐角就是直角.(　　) (2)经过平面外同一点所作的平面的多条斜线中，斜线段长、射影长及斜线与平面所成的角，只要有一个相等，则另外两个也对应相等. (　　) (3)直线l与平面α的法向量的夹角的余角就是直线l与平面α所成的角.(　　) (4)当一条直线l与一个平面α的夹角为0°时，这条直线不一定在平面内.(　　) × × √ √ 2.若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于 (　　) A.120°　　　　　　　 B.60° C.30° D.以上均错 解析：设直线l与平面α所成的角为θ，则sin θ=|cos 120°|=，又∵0≤θ≤90°，∴θ=30°. √ 3.正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为侧面BCC1B1的中心，则AO与平面ABCD所成角的正弦值为____________.  解析：如图，取BC中点M，连接AM，OM，易知∠OAM即为AO与平面ABCD所成的角，可求得sin∠OAM=. 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　定义法求直线与平面的夹角 [例1]　如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC， PA=AB，∠ABC=60°，∠BCA=90°. (1)求证：BC⊥平面PAC； 解：证明：因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC， 所以PA⊥BC.又∠BCA=90°，所以AC⊥BC， 又AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，PA∩AC=A， 所以BC⊥平面PAC. (2)若D为PB的中点，试求AD与平面PAC夹角的正弦值. 解：取PC的中点E，连接AE，DE，如图. 因为D为PB的中点， 所以DE∥BC， 所以DE⊥平面PAC， 所以AE是AD在平面PAC内的射影， 所以∠DAE是直线AD与平面PAC的夹角. 设PA=AB=a，在Rt△ABC中，因为∠ABC=60°，∠BCA=90°， 所以BC=，DE=，在Rt△ABP中，AD=a， 所以sin∠DAE===. 即AD与平面PAC夹角的正弦值为. 若本例(2)条件不变，求AD与平面PBC夹角的正弦值，结果如何? 变式拓展 解：由例题(1)知BC⊥平面PAC，所以平面PAC⊥平面PBC. 过A作AE⊥PC，所以AE⊥平面PBC. 连接ED，如图，则∠ADE为AD与平面PBC的夹角. 设PA=AB=2a，所以PB=2a. 故AD=a.在△APC中，AP=2a， AC=AB·sin 60°=2a×=a， 所以PC==a，设∠ACP=θ， 则AE=AC·sin θ=AC×=a×=a=a， 所以sin∠ADE===. 即AD与平面PBC夹角的正弦值为. |思|维|建|模| 用定义法(几何法)求直线和平面所成的角的步骤 (1)作：即作(或找)出直线和平面所成的角； (2)证：即证明所作的角为直线与平面所成的角； (3)算：即解三角形求出直线与平面所成的角. 针对训练 1.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1DCB1所成的角. 解：易知A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，B1C1∩B1B=B1， B1C1，B1B⊂平面BCC1B1， 所以A1B1⊥平面BCC1B1，又BC1⊂平面BCC1B1，所以A1B1⊥BC1. 又易知BC1⊥B1C，A1B1∩B1C=B1，A1B1，B1C⊂平面A1DCB1， 可得BC1⊥平面A1DCB1.因此A1O为斜线A1B在平面A1DCB1上的射影，即∠BA1O为A1B和平面A1DCB1所成的角，在Rt△A1BO中，∠BOA1=90°，A1B=a，BO=a，可得BO=A1B.所以∠BA1O=30°.即直线A1B和平面A1DCB1所成的角为30°. 题型(二)　最小角定理cos θ=cos θ1cos θ2的应用 [例2]　∠BOC在平面α内，OA是平面α的一条斜线，若∠ AOB=∠AOC =60°，OA=OB=OC=a，BC=a，求OA与平面α所成的角. 解：法一　连接AB，AC，∵OA=OB=OC=a，∠AOB=∠AOC=60°， ∴AB=AC=a.又∵BC=a，∴AB2+AC2=BC2. ∴△ABC为等腰直角三角形. 同理△BOC也为等腰直角三角形. 取BC中点为H，连接AH，OH，如图. ∴AH=a，OH=a，又AO=a，则AH2+OH2=AO2. ∴△AHO为等腰直角三角形.∴AH⊥OH. 又∵AH⊥BC，OH∩BC=H，∴AH⊥平面α. ∴OH为AO在平面α内的射影，∠AOH为OA与平面α所成的角. 在Rt△AOH中，sin∠AOH==.∴∠AOH=45°. ∴OA与平面α所成的角为45°. 法二　∵∠AOB=∠AOC=60°，∴OA在α内的射影为∠BOC的平分线， 作∠BOC的角平分线OH交BC于H. 又OB=OC=a，BC=a，∴∠BOC=90°.故∠BOH=45°， 由公式cos θ=cos θ1·cos θ2，得cos∠AOH==， ∴OA与平面α所成的角为45°. |思|维|建|模| 斜线与平面所成角的性质的应用策略 (1)“三相等”结论常用于直接证明角或线段的相等，省去了先证明三角形全等的麻烦； (2)“最小角”结论可以用于比较线面角、线线角的大小，也可以求线面角、线线角，灵活应用这个结论，有时会起到事半功倍的效果. 针对训练 2.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD.若∠PBC=60°，求直线PB与平面ABCD所成角. 解：连接BD，由题意得∠CBD=45°， ∠PBD即为直线PB与平面所成角θ. ∵cos∠PBC=cos θ·cos∠CBD，∠PBC=60°. 即cos 60°=cos θ·cos 45°， ∴cos θ=，θ=45°. [例3]　如图，AE⊥平面ABCD，CF∥AE， AD∥BC，AD⊥AB，AB=AD=1，AE=BC=2. (1)求证：BF∥平面ADE； 题型(三)　向量法求直线与平面所成的角 解：依题意，以A为坐标原点，分别以 的方向为x轴、y轴、z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，可得A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，1，0)，E(0，0，2). 设CF=h(h>0)，则F(1，2，h). 证明：依题意知，=(1，0，0)是平面ADE的法向量， 又=(0，2，h)，可得·=0， 因为直线BF⊄平面ADE， 所以BF∥平面ADE. (2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值. 解：依题意，=(-1，1，0)，=(-1，0，2)，=(-1，-2，2). 设n=(x，y，z)为平面BDE的一个法向量， 则即 不妨令z=1，可得n=(2，2，1). 因此有cos<，n>==-. 所以直线CE与平面BDE所成角的正弦值为. |思|维|建|模| 向量法求直线与平面所成角的步骤 　　用向量法求直线与平面所成角可利用向量夹角公式或法向量.利用法向量求直线与平面所成角的基本步骤： (1)建立空间直角坐标系； (2)求直线的方向向量； (3)求平面的法向量n； (4)计算与n所成的角的余弦值，则直线与平面所成的角等于. 3.在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD， CD∥AB，AD=DC=CB=1，AB=2，DP=. (1)证明：BD⊥PA； 针对训练 解：证明：取AB中点为O，连接DO，CO，则OB=DC=1. 又DC∥OB，所以四边形DCBO为平行四边形. 又BC=OB=1，所以四边形DCBO为菱形，所以BD⊥CO. 同理可得，四边形DCOA为菱形，所以AD∥CO， 所以BD⊥AD. 因为PD⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，所以PD⊥BD， 又AD∩PD=D，AD，PD⊂平面ADP，所以BD⊥平面ADP. 因为PA⊂平面ADP，所以BD⊥PA. (2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值. 解：由(1)知BD⊥AD，又AB=2AD，所以∠DAO=60°，所以三角形ADO为正三角形. 过点D作垂直于DC的直线为x轴，DC所在直线为y轴，DP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A，B， P(0，0，)，D(0，0，0).则=(0，2，0)， ==(0，0，). 设平面PAB的一个法向量为n=(x，y，z)，则⇒ 令x=2，则y=0，z=1，所以n=(2，0，1). 设直线PD与平面PAB所成的角为α，则sin α=|cos<n，>|= ==，所以直线PD与平面PAB所成的角的正弦值为. 课时检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量、法向量，若cos<m，n>=-，则直线l与平面α所成的角为(　　) A.30° B.60° C.120° D.150° √ 解析：由cos<m，n>=-，得<m，n>=120°，∴直线l与平面α所成的角为|90°-120°|=30°. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.直线l的一个方向向量是v1，平面α的一个法向量为v2，若v1与v2所成的角为θ，直线l与平面α所成的角为φ，则 (　　) A.φ=θ B.φ=π-θ C.cos θ=|cos φ| D.sin φ=|cos θ| √ 解析：φ=θ-或φ=-θ，且φ∈，因而sin φ=|cos θ|. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.已知E，F分别是棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1，AD的中点，则直线EF与平面BDD1B1所成的角的正弦值为 (　　) A. B. C. D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则点D1(0，0，0)，F(1，0，2)，E(2，2，1)，A1(2，0，0)，C1(0，2，0)，则=(-1，-2，1).显然=(-2，2，0)为平面BDD1B1的一个法向量，设EF与平面BDD1B1所成的角为θ，则sin θ=|cos <>|==. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.如果∠APB=∠BPC=∠CPA=60° ，则PA与平面PBC所成角的余弦值为 (　　) A. B. C. D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：如图，设A在平面BPC内的射影为O，∵∠APB=∠APC. ∴点O在∠BPC的角平分线上， ∴∠OPC=30°，∠APO为PA与平面PBC所成的角. ∴cos∠APC=cos∠APO·cos∠OPC， 即cos 60°=cos∠APO·cos 30°，∴cos∠APO=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是D1C1，AB的中点，则A1B1与截面A1ECF所成的角的正切值为 (　　) A. B. C. D. √ 解析：设棱长为2，建立以A1为原点，A1B1，A1D1，A1A为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，如图所示，则A1(0，0，0)，E(1，2，0)，F(1，0，2)，= (1，2，0)，=(1，0，2).设平面A1ECF的一个法向量n=(x，y，z)， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 则即令x=-2，得y=1，z=1， 所以平面A1ECF的一个法向量为n=(-2，1，1). 又A1B1的方向向量为(2，0，0)，设A1B1与截面A1ECF所成的角为θ，则sin θ=|cos<n，>|==，cos θ=，所以tan θ=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.设E，F是正方体AC1的棱AB，D1C1的中点，在正方体的12条面对角线中，与截面A1ECF成60°角的对角线的条数是 (　　) A.0 B.2 C.4 D.6 √ 解析：如图，以点D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系，并设正方体的棱长为1，由题意知 A1(1，0，1) ，E，C(0，1，0)， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 则==.设平面A1ECF的一个法向量为n=(x，y，z)，由可得令x=1，则y=2，z=1，则n=(1，2，1)为平面A1ECF的一个法向量.== (0，1，1)，==(1，1，0)，而且通过计算可得到这4个向量与向量n所成的角均为30°，于是这4个向量与平面A1ECF所成的角均为60°，而其他的面对角线所在直线的方向向量均不满足条件. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.(多选)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB，则(　　) A.AC1与底面ABC所成角的正弦值为 B.AC1与底面ABC所成角的正弦值为 C.AC1与侧面AA1B1B所成角的正弦值为 D.AC1与侧面AA1B1B所成角的正弦值为 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：取A1C1中点E，AC中点F，A1B1中点K，并连接EF，EB1，C1K，则EB1，EC1，EF三条直线两两垂直，则分别以这三条直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系，设AB=2，则AA1=2. ∴A1(0，-1，0)，C1(0，1，0)，A(0，-1，2)， C(0，1，2)，B1(，0，0).∴=(0，2，-2). ∵底面ABC的其中一个法向量为m=(0，0，2)， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 ∴AC1与底面ABC所成角的正弦值为|cos<m，>|== =.∴A错，B对.∵A1B1的中点K的坐标为， ∴侧面AA1B1B的其中一个法向量为=.∴AC1与侧面AA1B1B所成角的正弦值为|cos<>|===. ∴C对，D错.故选BC. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.(5分)若直线l的一个方向向量a=(-2，3，1)，平面α的一个法向量n= (4，0，1)，则直线l与平面α所成角的正弦值为_____________. 解析：由题意，得直线l与平面α所成角的正弦值为= =. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)等腰Rt△ABC的斜边AB在平面α内，若AC与α成30°角，则斜边上的中线CM与平面α所成角的大小为___________.  解析：如图，过C作CO⊥平面α，O为垂足，连接OA，OM，则∠OMC为CM与平面α所成的角，∠CAO=30°. 设AC=BC=1，则AB=，OC=，CM=AB=， ∴sin∠OMC=，∴∠OMC=45°，即CM与平 面α所成角的大小为45°. 45° 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)已知三棱锥S-ABC中，底面为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA=3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为 _____________.  解析：建立如图所示的空间直角坐标系， 则S(0，0，3)，A(0，0，0)，B(，1，0)，C(0，2，0). ∴=(，1，0)，=(，1，-3)，=(0，2，-3). 设平面SBC的一个法向量为n=(x，y，z)， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 则 令y=3，则z=2，x=，∴n=(，3，2). 设AB与平面SBC所成的角为θ， 则sin θ===. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)如图，正△ABC与正△BCD所在的平面互相垂直， 则直线CD与平面ABD所成角的正弦值为____________.  解析：取BC的中点O，连接AO，DO，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.设BC=1， 则A，B，C，D，所以=， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2   ==.设平面ABD的一个法向量为n=(x，y，z)， 则所以取x=1，则y=-，z=1，所以n=(1，-，1)，所以cos<n，>==，因此直线CD与平面ABD所成角的正弦值为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(10分)如图，正方形ACDE所在的平面与平面ABC 垂直，M是CE与AD的交点，AC⊥BC，且AC=BC. (1)求证：AM⊥平面EBC；(6分) 解：∵四边形ACDE是正方形，∴EA⊥AC，AM⊥EC. ∵平面ACDE⊥平面ABC， ∴EA⊥平面ABC. 以点A为原点，过A点平行于BC的直线为x轴， 分别以AC和AE所在直线为y轴和z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 设EA=AC=BC=2， 则A(0，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，E(0，0，2). ∵M是正方形ACDE的对角线的交点，∴M(0，1，1). 证明：∵=(0，1，1)，=(0，2，0)-(0，0，2)=(0，2，-2)，=(2，2，0)-(0，2，0)=(2，0，0)， ∴·=0，·=0. ∴AM⊥EC，AM⊥CB.又∵EC∩CB=C，∴AM⊥平面EBC. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)求直线AB与平面EBC所成角的大小.(4分) 解：∵AM⊥平面EBC，∴为平面EBC的一个法向量. ∵=(0，1，1)，=(2，2，0)， ∴cos<>==. ∴<>=60°.∴直线AB与平面EBC所成的角为30°. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(15分)如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，CP=m，试确定m，使直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为3. 解：建立如图所示的空间直角坐标系.则A(1，0，0)， B(1，1，0)，P(0，1，m)，C(0，1，0)，D(0，0，0)， B1(1，1，1)，所以=(-1，-1，0)， =(0，0，1)，=(-1，1，m)， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 =(-1，1，0)，又由·=0，·=0，知为平面BDD1B1的一个法向量.设AP与平面BDD1B1所成的角为θ， 则sin θ===.cos θ==，依题意=3，解得m=，故当m=时，直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(15分)如图，在四棱台ABCD-A1B1C1D1中， 底面ABCD和A1B1C1D1均为正方形，平面 A1B1BA⊥平面ABCD，B=2BB1=2AA1=2A1B1， E为线段CD上一点. 若直线AB与平面A1D1E所成角的正弦值为，求. 解：分别取AB，A1B1的中点O，F，连接OF.易证OF⊥AB. ∵平面A1B1BA⊥平面ABCD，平面A1B1BA∩平面ABCD=AB，∴OF⊥平面ABCD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 设A1B1为2个单位长度，以O为坐标原点， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则A1(-1，0，)，D1(-1，2，)，A(-2，0，0)，B(2，0，0). 设E(a，4，0)，-2≤a≤2，得=(a+1，4，-)，=(0，2，0)，=(4，0，0).设平面A1D1E的一个法向量为n=(x，y，z)， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 则 取z=a+1，得x=，则n=(，0，a+1). 由直线AB与平面A1D1E所成角的正弦值为|cos<n，>|== =，解得a=1，所以CE=1.又因为CD=AB=2A1B1=4， 所以DE=4-1=3，故=3. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $