第1章 06-1.2.2 空间中的平面与空间向量（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（人教B版）

该高中数学课件聚焦空间向量在立体几何中的应用，核心内容包括平面法向量的求法及用法向量解决平行、垂直问题。课堂导入从复习空间向量坐标运算入手，通过求平面ABC法向量等例题搭建支架，衔接向量运算与立体几何证明，形成完整知识脉络。 其亮点在于结构化解题模板（如待定系数法求法向量步骤）培养学生推理能力（数学思维），创新题型结合正方体、直三棱柱实例，用坐标语言表达几何关系（数学语言），分层题组帮助学生用数学眼光观察空间形式。学生能提升逻辑推理和空间想象，教师可获得分层教学资源与清晰教学路径。

第一章 空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 1.2 空间向量在立体几何中的应用 1.2.2 空间中的平面与空间向量 基础过关练 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　平面的法向量 1.[2026河北衡水阜城实验中学月考]已知A(1,2,-1),B(-2,1,-1),C(-1,2,0),则平面ABC的一个法向量为  ( ) A.(2,1,3)　　    B.(1,-3,2) C.(1,3,2)　　    D.(-1,2,2) B     解析　易得 =(-3,-1,0), =(-2,0,1). 设平面ABC的法向量为n=(x,y,z), 则 取x=1,得n=(1,-3,2). 第1讲　描述运动的基本概念 解题模板　利用待定系数法求平面法向量的步骤 (1)设平面的法向量为n=(x,y,z). (2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量a,b(用坐标表示). (3)利用 建立关于x,y,z的方程组. (4)解方程组,取其中的一组解,即得法向量(注:平面的法向量不是唯一的). 第1讲　描述运动的基本概念 2.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E为棱DD1的中点,以A为坐标原点建立空间直角坐标系(如图), 则平面ABE的一个法向量为 ( )   A.(1,0,-2)　　    B.(0,1,2) C.(0,2,-4)　　    D.(-2,1,4)     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　易得A(0,0,0),E(0,2,1),B(2,0,0), 所以 =(0,2,1), =(2,0,0). 设平面ABE的法向量为m=(x,y,z), 则 取y=1,得m=(0,1,-2), 所以平面ABE的一个法向量为m=(0,1,-2), 所以2m=(0,2,-4)也是平面ABE的一个法向量. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[创新题·新考法][2026北京第五中学阶段检测]我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向 量,在平面直角坐标系中,过A(-3,4)的直线l的一个法向量为(1,-3),则l的点法式方程为1×(x+3)+(-3)×(y-4) =0,化简得x-3y+15=0.类比以上做法,在空间直角坐标系中,经过点M(1,-3,4)的平面的一个法向量为m=(1, 2,-4),则该平面的方程为 ( ) A.x+2y-4z+21=0　　    B.x-3y+4z+7=0 C.x-3y+4z+21=0　　    D.x-3y+4z-11=0     A     解析　与平面向量类比,得到空间直角坐标系中,若经过点M(1,-3,4)的平面的一个法向量为m=(1,2,-4), 则该平面的方程为1×(x-1)+2×(y+3)+(-4)×(z-4)=0,即x+2y-4z+21=0. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026广东顺德德胜学校月考]已知四边形ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AB=1,AD= ,点M,N分 别在线段PB,DC上(不含端点),且满足 =λ , =λ ,其中λ>0. (1)求平面PBD的一个法向量; (2)是否存在λ,使 是平面PAB的一个法向量?请说明理由.   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)依题意,PA,AB,AD两两互相垂直,以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴,建立如图 所示的空间直角坐标系,   由题意得,P(0,0,1),B(1,0,0),D(0, ,0),则 =(0, ,-1), =(-1, ,0), 设平面PBD的法向量为n=(x,y,z), 可知 即  第1讲　描述运动的基本概念 令x= ,解得y=1,z= ,则平面PBD的一个法向量为n=( ,1, ). (2)由(1)及题意可知C(1, ,0), 设M(a1,b1,c1),N(a2,b2,c2), 则 =(a1-1,b1,c1), =(-a1,-b1,1-c1), =(a2,b2- ,c2), =(1-a2, -b2,-c2), 由 =λ 得(a1-1,b1,c1)=λ(-a1,-b1,1-c1), 解得 故M  ,0,  . 由 =λ 得(a2,b2- ,c2)=λ(1-a2, -b2,-c2), 第1讲　描述运动的基本概念 解得 故N , 可得 =  , ,-  , 因为平面PAB与坐标平面zAx重合,所以平面PAB的一个法向量为(0,1,0),记m=(0,1,0), 若 是平面PAB的一个法向量,则 ∥m,则 =- =0,无解,所以不存在λ,使 是平面PAB的一个 法向量. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　用法向量解决平行问题 5.[2026安徽A10联盟学情诊断]已知平面α的一个法向量为n=(1,-2,3),若直线l∥平面α,则直线l的一个方 向向量u可以是 ( ) A.(-2,4,-6)　　    B.(0,0,1)　　     C.(0,3,2)　　     D.(1,1,1)     C     解析　若l∥α,则l垂直于α的法向量,因此u·n=0,逐项分析,只有u=(0,3,2)时,u·n=-6+6=0,所以C符合题意. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2025北京第十九中学期中]已知两个不重合的平面α与平面ABC,若平面α的一个法向量为n=(2,-3,1), 向量 =(1,0,-2), =(1,1,1),则( ) A.平面α∥平面ABC B.平面α⊥平面ABC C.平面α与平面ABC相交但不垂直 D.以上均有可能     A     解析　因为n· =0,n· =0,AB∩AC=A,AB,AC⊂平面ABC,所以n也是平面ABC的一个法向量,又平面α 与平面ABC不重合,所以平面α与平面ABC平行. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2025北京首都师范大学附属中学月考]已知n1=(1,y,-2),n2=(x,-2,1)分别是平面α,β的法向量,若α∥β,则x +y= ( ) A.- 　　    B.- 　　    C.3　　    D.      D     解析　∵α∥β,∴n1∥n2,∴ = = ,解得x=- ,y=4,∴x+y= . 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026北京第十五中学期中]已知n为平面α的一个法向量,l为一条直线,则“l⊥n”是“l∥α”的  ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 B     解析　若l⊥n,则l在平面α内或l∥α.若l∥α,则l⊥n.故“l⊥n”是“l∥α”的必要不充分条件. 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2025河北承德圣泉高级中学月考]在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E在BD上,且BE= BD,点F 在CB1上,且CF= CB1,若平面ADD1A1内存在一点G,使得B1G∥平面DEF,则满足条件的一个点G的坐标 为________________.      (答案不唯一)     第1讲　描述运动的基本概念 解析　建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),E(2,2,0),F(1,3,1),B1(3,3,3),所以 =(2,2,0), =(1,3, 1).   设G(a,0,b),则 =(a-3,-3,b-3). 设平面DEF的法向量为n=(x,y,z), 则 即  令x=1,得n=(1,-1,2). 第1讲　描述运动的基本概念 因为B1G∥平面DEF,所以n· =a-3+3+2(b-3)=a+2b-6=0,即a+2b=6. 取a=3,得b= ,所以满足条件的一个点G的坐标为 . 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　用法向量解决垂直问题 10.[2025辽宁沈阳东北育才学校月考]已知直线l的方向向量为v=(1,2,-4),平面α的法向量为n=(x,1,-2),若 直线l⊥平面α,则实数x的值为 ( ) A.-10　　    B.10　　    C.- 　　    D.      D     解析　因为直线l⊥平面α,所以v∥n. 设v=kn,则 解得x= . 第1讲　描述运动的基本概念 11.[教材习题改编]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,BC的中点,则下列结论正确的是  ( )   A.BD1⊥平面B1EF　　     B.BD⊥平面B1EF C.A1C1∥平面B1EF　　     D.A1D∥平面B1EF     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　以D为坐标原点,建立空间直角坐标系Dxyz,如图所示.   设正方体的棱长为2,则B1(2,2,2),E(2,1,0),F(1,2,0),B(2,2,0),A1(2,0,2),C1(0,2,2),D1(0,0,2),D(0,0,0),所以 = (-1,1,0), =(0,1,2), =(-2,-2,2), =(2,2,0), =(-2,2,0), =(2,0,2). 设平面B1EF的法向量为m=(x,y,z), 则 令z=-1,则y=2,x=2, 所以m=(2,2,-1). 第1讲　描述运动的基本概念 因为 与m不平行,所以BD1与平面B1EF不垂直,故A错误; 因为 与m不平行,所以BD与平面B1EF不垂直,故B错误; 因为 ·m=0,且A1C1⊄平面B1EF,所以A1C1∥平面B1EF,故C正确; 因为 ·m=2≠0,所以A1D与平面B1EF不平行,故D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 12.[2026河南周口太康一高月考]如图,已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,AB= BC=PB=PC=2CD=2,侧面PBC⊥底面ABCD.求证: (1)PA⊥BD; (2)平面PAD⊥平面PAB.   第1讲　描述运动的基本概念 证明    (1)取BC的中点O,连接PO,因为BC=PB=PC,所以PO⊥BC, 又因为侧面PBC⊥底面ABCD,且侧面PBC∩底面ABCD=BC,PO⊂侧面PBC,所以PO⊥底面ABCD. 过O作OE∥AB,交AD于E. 因为四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形,所以OE⊥BC,所以PO,BC,OE两两互相垂直.以O点为坐标原点, 建立如图所示的空间直角坐标系,   则B(0,1,0),A(2,1,0),D(1,-1,0),P(0,0, ), 所以 =(2,1,- ), =(1,-2,0),因为 · =2×1+1×(-2)+(- )×0=0,所以PA⊥BD. 第1讲　描述运动的基本概念 (2)由(1)知 =(2,1,- ), =(-1,-2,0), =(-2,0,0). 设平面PAD的法向量为n1=(x1,y1,z1), 则  令x1=2,则y1=-1,z1= ,可得平面PAD的一个法向量为n1=(2,-1, ). 设平面PAB的法向量为n2=(x2,y2,z2), 则  则x2=0,令y2= ,得z2=1,可得平面PAB的一个法向量为n2=(0, ,1), 又因为n1·n2=2×0-1× + ×1=0, 所以n1⊥n2,故平面PAD⊥平面PAB. 第1讲　描述运动的基本概念 题组四　三垂线定理的应用 13.[2024黑龙江佳木斯三校联考]在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为A1C1的中点,则直线CE垂直于  ( ) A.AC　　    B.BD　　    C.A1D　　    D.A1A     B 解析　连接AC,BD,交于点O,则CE在平面ABCD内的射影为CO,又CO⊥BD,∴BD⊥CE. 第1讲　描述运动的基本概念 14.[2024宁夏固原期末]如图所示,在矩形ABCD中,AB=1,BC=a,PA⊥平面ABCD.若在BC上有且仅有一个 点Q满足PQ⊥QD,则a=_________.       2     第1讲　描述运动的基本概念 解析　连接AQ(图略),∵PA⊥平面ABCD,∴AQ是PQ在平面ABCD内的射影. 由PQ⊥QD,得AQ⊥QD,则△AQD为直角三角形. 设BQ=x,则CQ=a-x,∴AQ2=1+x2,QD2=1+(a-x)2, 所以a2=1+x2+1+(a-x)2,整理得x2-ax+1=0. 由题意知,该方程有两个相等的实数根, ∴Δ=a2-4=0.又∵a>0,∴a=2. 第1讲　描述运动的基本概念 15.如图所示,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,若O,Q分别是△ABC,△PBC的垂心,求证:OQ⊥平面 PBC.   第1讲　描述运动的基本概念 证明　如图,连接AO并延长,交BC于点E,连接PE.   ∵PA⊥平面ABC,AE⊥BC(由O是△ABC的垂心可得AE⊥BC),∴PE⊥BC(三垂线定理),∴点Q在PE上. ∵AE⊥BC,PE⊥BC,AE∩PE=E,AE,PE⊂平面PAE, ∴BC⊥平面PAE, ∵OQ⊂平面PAE,∴BC⊥OQ.① 同理,连接BO并延长,交AC于点F,则BF⊥AC. 第1讲　描述运动的基本概念 连接BQ并延长,交PC于点M,则BM⊥PC. 连接MF. ∵PA⊥平面ABC,BF⊥AC,∴BF⊥PC(三垂线定理). ∵BM⊥PC,BF⊥PC,BM∩BF=B,BM,BF⊂平面BMF,∴PC⊥平面BMF,∵OQ⊂平面BMF,∴PC⊥OQ.② 由①②,且BC,PC⊂平面PBC,BC∩PC=C知,OQ⊥平面PBC. 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 1.2 空间向量在立体几何中的应用 1.2.2 空间中的平面与空间向量 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　利用空间向量研究平行、垂直问题 1.[多选题]在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2 ,AD=AA1=2,P,Q,R分别是AB,BB1,A1C上的动点,下列结论 正确的是( ) A.对于任意给定的点P,存在点Q使得D1P⊥CQ B.对于任意给定的点Q,存在点R使得D1R⊥CQ C.当AR⊥A1C时,AR⊥D1R D.当A1C=3A1R时,D1R∥平面BDC1     ABD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　如图所示,建立空间直角坐标系,   则D(0,0,0),D1(0,0,2),A(2,0,0),A1(2,0,2),C(0,2 ,0),C1(0,2 ,2),B(2,2 ,0). 设P(2,a,0),a∈[0,2 ],Q(2,2 ,b),b∈[0,2], =λ ,λ∈[0,1],可得R(2-2λ,2 λ,2-2λ). 易得 =(2,a,-2), =(2,0,b),所以 · =4-2b,所以当b=2时,D1P⊥CQ,故A正确. 易得 =(2-2λ,2 λ,-2λ),所以 · =2(2-2λ)-2λb,取λ= ,此时D1R⊥CQ,故B正确. 第1讲　描述运动的基本概念 当AR⊥A1C时, · =(-2λ,2 λ,2-2λ)·(-2,2 ,-2)=4λ+12λ-4+4λ=0,解得λ= ,此时 · = ·  =- ≠0,故C错误. 当A1C=3A1R时,λ= ,则 = . 易得 =(-2,-2 ,0), =(0,2 ,2), 设平面BDC1的法向量为n=(x,y,z), 则 即 取y=-1,得x= ,z= ,∴n=( ,-1, ),故 ·n=0, 又D1R⊄平面BDC1,∴D1R∥平面BDC1,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2024山西大同期中]如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2AC=4,AA1=2 ,AB⊥AC,AD⊥BC1,垂足 为D,E为线段A1B上一点. (1)若E为线段A1B的中点,证明:DE∥平面ABC; (2)若平面ADE⊥平面A1BC1,求 的值.   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)证明:连接AC1(图略),易得AC1= =4,∴AC1=AB.又AD⊥BC1,∴D为BC1的中点.又E为 A1B的中点,∴DE∥A1C1. ∵AC∥A1C1,∴DE∥AC, 又DE⊄平面ABC,AC⊂平面ABC,∴DE∥平面ABC. (2)因为三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱,且AB⊥AC,所以AB,AC,AA1两两互相垂直.以A为坐标原点, ,  , 的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略),则A(0,0,0),C1(2,0,2 ),A1(0,0,2  ),B(0,4,0),D(1,2, ),所以 =(2,0,0), =(0,4,-2 ), =(1,2, ). 设 =λ ,0≤λ≤1,则E(0,4λ,2 -2 λ), 所以 =(0,4λ,2 -2 λ). 设平面A1BC1的法向量为n=(x1,y1,z1), 第1讲　描述运动的基本概念 则  取z1=2,得n=(0, ,2). 设平面ADE的法向量为m=(x2,y2,z2), 则  取z2=-2λ,得m=(4 λ-2 , - λ,-2λ). ∵平面ADE⊥平面A1BC1, ∴n·m=3-3λ-4λ=0,解得λ= . ∴当平面ADE⊥平面A1BC1时, = . 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　利用空间向量解决立体几何中的探索性问题 3.[2026北京中国人民大学附属中学月考]如图,在直角梯形AA1B1B中,∠A1AB=90°,A1B1∥AB,AB=AA1=2A 1B1=2.以直线AA1为轴,通过旋转直角梯形AA1B1B得到直角梯形AA1C1C,且使平面AA1C1C⊥平面AA1B1B, 已知M为线段BC的中点,P为线段BB1上的动点. (1)求证:AC⊥AB; (2)是否存在点P,使得直线A1C∥平面AMP?请说明理由.   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)证明:在直角梯形AA1B1B中,∠A1AB=90°,即AA1⊥AB, 因为直角梯形AA1C1C是由直角梯形AA1B1B绕直线AA1旋转得到的,所以AA1⊥AC, 则∠CAB是二面角B-AA1-C的平面角, 又平面AA1C1C⊥平面AA1B1B,所以∠CAB=90°,所以AC⊥AB. (2)由(1)知,直线AC,AB,AA1两两垂直, 以A为原点,直线AC,AB,AA1分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图,   第1讲　描述运动的基本概念 则A(0,0,0),C(2,0,0),B(0,2,0),A1(0,0,2),B1(0,1,2),M(1,1,0), 所以 =(0,-1,2), =(0,2,0), =(1,1,0), =(2,0,-2). 假设在线段BB1上存在点P,使得直线A1C∥平面AMP,设 =t =(0,-t,2t),0≤t≤1,则 = + =(0,2-t, 2t), 设平面AMP的法向量为n=(x,y,z), 于是  取y=-2t,得n=(2t,-2t,2-t). 由直线A1C∥平面AMP,得 ⊥n,则 ·n=4t-2(2-t)=0,解得t= , 所以在线段BB1上存在点P,使得直线A1C∥平面AMP,且点P为线段BB1上靠近B1的三等分点. 第1讲　描述运动的基本概念 解题模板　用空间向量解决线面关系中的探索性问题的核心思路是通过建立坐标系将几何关系转化 为代数运算.具体步骤如下: 1.建系:根据垂直关系建立空间直角坐标系,写出关键点的坐标; 2.设参:用参数表示动点的坐标(如直线上的点用1个参数,平面上的点用2个参数); 3.列式:根据线面平行(方向向量与法向量垂直)或垂直(方向向量与法向量平行)列方程或方程组; 4.求解:解方程或方程组,若参数存在且符合范围则存在这样的点,否则不存在; 5.结论:将代数方程的解翻译为几何存在性. 第1讲　描述运动的基本概念 创新题型 创新点　空间立体几何中的探索性问题与定值问题的结合 4.[2026广东八校联盟质检]如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,AA1=2,N是A1B1的中 点. (1)求证:A1B⊥C1N; (2)若F为线段AB上的动点,是否存在F使得AB⊥平面C1CF?若存在,请求出 的值,若不存在,请说明理 由; (3)若M为AB的中点,G为△AMC的重心,H为C1G上一点,且C1H∶HG=3∶1,过H作一平面 分别交C1A,C1C,C1M于点P,Q,R,若 =m , =n , =t ,求证: + + 为定值. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)证明:依题意,以C为原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图,   所以C(0,0,0),A(1,0,0),B(0,1,0),A1(1,0,2),B1(0,1,2),C1(0,0,2), 因为N是A1B1的中点,所以N , 则 =(-1,1,-2), = , 因为 · =-1× +1× +(-2)×0=0, 所以 ⊥ ,即A1B⊥C1N. 第1讲　描述运动的基本概念 (2)假设存在F使得AB⊥平面C1CF, 由(1)得 =(-1,1,0), =(0,0,-2), 设 =λ =λ(-1,1,0)=(-λ,λ,0),其中0≤λ≤1,则F(1-λ,λ,0),故 =(1-λ,λ,0), 易知CC1⊥平面ABC,又AB⊂平面ABC, 故CC1⊥AB,又CC1∩CF=C,CC1,CF⊂平面C1CF,所以若AB⊥平面C1CF,则只需 · =0,即-(1-λ)+λ=0,解 得λ= ,所以 =1,(也可根据AB⊥CF,在Rt△ABC中求解) 故存在点F使得AB⊥平面C1CF,此时 =1. (3)证明:如图, 第1讲　描述运动的基本概念   因为G为△AMC的重心,所以 + + =0, 即 - + - + - =0,可得 = ( + + ), 因为H为C1G上一点,且C1H∶HG=3∶1, 所以 =  = ( + + ). 由题知P,R,Q,H四点共面,则存在α,β∈R,使得 =α +β ,即 - =α( - )+β( - ), 所以 =(1-α-β) +α +β =(1-α-β)m +αn +βt , 第1讲　描述运动的基本概念 又因为 = ( + + ),且 , , 不共面, 所以由空间向量基本定理可得  因此 + + =4(1-α-β)+4α+4β=4,为定值. 第1讲　描述运动的基本概念 $