1.2.1 空间中的点、直线与空间向量(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦空间向量在立体几何中的应用，涵盖空间点的位置向量、直线方向向量、线线平行垂直判定及线线角求解等核心内容。通过课前预习填空与诊断分析铺垫基础，课中探究以例题变式逐步深入，构建从概念到应用的学习支架，衔接平面向量与立体几何知识脉络。 其亮点在于结合各地月考真题设计探究案例，如例3用长方体证明线线平行时同步呈现坐标法与基向量法，培养学生数学思维的灵活性。素养小结系统提炼方法步骤，助力学生用数学语言精确表达几何关系，既提升学生空间观念与逻辑推理能力，也为教师提供分层教学资源与清晰的教学路径。

1.2 空间向量在立体几何中的应用 1 1.2.1 空间中的点、直线与空间向量 2 探究点一 确定空间中点的位置 探究点二 直线的方向向量 探究点三 用直线的方向向量处理线线平行、垂直问题 探究点四 利用向量法求空间中两条直线所成的角 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课堂评价 课后习题 3 【学习目标】 1.了解空间中的点与空间向量的关系，理解直线的方向向量; 2.掌握利用空间向量证明两条直线平行或垂直的方法; 3.掌握利用空间向量求空间中两条直线所成的角的方法; 4.了解公垂线段的概念并会求其长度. 4 知识点一 用向量表示点的位置 一般地，如果在空间中指定一点，那么空间中任意一点 的位置， 都可以由向量____唯一确定，此时，通常称为点 的__________. 位置向量 课 前 预 习 5 知识点二 直线的方向向量 一般地，如果是空间中的一条直线， 是空间中的一个非零向量， 且表示的有向线段所在的直线与平行或重合，则称为直线 的一 个方向向量.此时，也称向量与直线平行，记作 . （1）如果，是直线上两个不同的点，则就是直线 的一个 方向向量； （2）如果是直线的一个方向向量，则对任意的实数 ，空间 向量也是直线的一个方向向量，而且直线 的任意两个方向向量 都平行； 课 前 预 习 6 （3）空间中直线的位置可由直线的一个方向向量和 上的一个已 知点唯一确定； （4）如果，分别是直线， 的一个方向向量，则 或与 重合. 课 前 预 习 7 【诊断分析】 判断正误.（正确的打“√”,错误的打“×”） （1）直线 的方向向量是唯一的.( ) × （2）若两条直线平行,则它们的方向向量的方向相同或相反.( ) √ （3）若向量是直线的一个方向向量，则向量也是直线 的一个 方向向量.( ) × 课 前 预 习 8 知识点三 空间中两条直线所成的角 （1）设，分别是空间中直线，的方向向量，且与 所成角 的大小为 ，则________（如图①所示）或 ___________ （如图②所示），所以__________， ____________. ① ② （2）， _______ ___. 0 课 前 预 习 9 【诊断分析】 判断正误.（正确的打“√”,错误的打“×”） （1）两条异面直线所成的角与两直线方向向量所成的角相等或互补. ( ) √ （2）若两直线的方向向量分别为,，两直线所成的角为 ，则 .( ) × （3）空间中两直线所成的角唯一确定，则两条直线对应的方向向量 所成的角也唯一确定.( ) × 课 前 预 习 10 知识点四 异面直线与空间向量 1.异面直线的判定 设，分别是空间中直线， 的方向向量. （1）若与异面，则与 是不可能平行的. （2）若与不平行，则与 的位置关系为____________. （3）若，，则与异面时，，， ________；若 ，，不共面，则与 异面.（如图①②所示） 相交或异面 不共面 课 前 预 习 11 2.异面直线间的距离 一般地，如果与是空间中两条异面直线，， ， _________，_________，则称为与 的公垂线段.两条异面直线的公 垂线段的长，称为这两条异面直线之间的______. 距离 课 前 预 习 12 【诊断分析】 判断正误.（正确的打“√”,错误的打“×”） （1）不相交的直线就是异面直线.( ) × （2）任意两条异面直线的公垂线段都只有一个.( ) √ （3）设,分别是空间中直线,的方向向量，若, 不平行， 则两条直线是异面直线.( ) × 课 前 预 习 13 探究点一 确定空间中点的位置 例1 ［2024·广西南宁东盟中学高二月考］已知是坐标原点， ， ，三点的坐标分别为，， . （1）若，求点 的坐标； 解：， ，则 ，所以点的坐标为 . 课 中 探 究 14 （2）若是线段上的一点，且，求点 的坐标. 解：设点的坐标为，则 ， ，因为是线段上的一点，且 , 所以， 即 解得故点的坐标为 . 例1 ［2024·广西南宁东盟中学高二月考］已知是坐标原点， ， ，三点的坐标分别为，， . 课 中 探 究 15 变式（1）已知点，，为线段 上一点，且 ，则点 的坐标为( ) A. B. C. D. [解析] 设，则 ， 由题知 为线段上一点，且， ， 即，解得， ， . 故选C. √ 课 中 探 究 16 （2）已知点是过点且方向向量为 的直线上的一 点，若，则点 的坐标是_________. [解析] 设，则. 因为 ，所以,即解得 即 ,则，解得, 所以点 的坐标是 . 课 中 探 究 17 ［素养小结］ 解决空间中点的位置问题常转化为向量共线、向量相等问题来解决, 设出要求点的坐标,利用已知条件得关于要求点坐标的方程或方程组, 求解即可. 课 中 探 究 18 探究点二 直线的方向向量 例2 （多选题）已知一条直线经过， 两点，下列 向量中可以是该直线的方向向量的为( ) A. B. C. D. [解析] 由题知，，则与向量 共线的非零向量均为 该直线的方向向量 选项中的向量与 不共线，所以不是直线的方向向量， B，C，D中的向量与共线，所以是直线 的方向向量.故选 . √ √ √ 课 中 探 究 19 变式（1）已知直线的一个方向向量为，且直线 经过点 和点，则___， ___. -3 3 [解析] 因为，所以 ，解得 ， . 课 中 探 究 20 （2）已知点,在直线上，写出直线 的一个方向 向量 ______________________. （答案不唯一） [解析] 因为点,在直线上，所以 , ，且都是直线的方向向量.故直线 的一个方向向量 可以为 . 课 中 探 究 21 ［素养小结］ 对直线方向向量的两点说明： （1）方向向量的选取：在直线上任取两点<m></m>，<m></m>，可得到直线的一 个方向向量<m></m>. （2）方向向量的不唯一性：直线的方向向量不是唯一的，可以分为 方向相同和相反两类，它们都是共线向量.解题时，可以选取坐标最 简的方向向量. 课 中 探 究 22 探究点三 用直线的方向向量处理线线平行、垂直问题 例3（1）在长方体中，， ， ，，，，分别是，，， 的中点. 求证： . 证明：方法一：以为坐标原点，，， 的方向分别为轴、轴、 轴的正方向，建立如图 所示的空间直角坐标系，则 ，，， ， 所以，， 所以，所以 ，又 直线，所以 . 课 中 探 究 23 方法二：连接， ， 因为 ， ， 所以，所以， 又 直线 ，所以 . 课 中 探 究 24 （2）在正方体中，，分别是， 的中点. 求证：， . 证明： 不妨设正方体 的棱长为1，以为 坐标原点，，，的方向分别为 轴、轴、 轴 的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， ，，，， ，， . ，， , . 课 中 探 究 25 变式 ［2025·贵州遵义高二期中］ 如图，已知正三棱柱 的各棱长都为1，是的中点，是 上的点，且 .求证： . 课 中 探 究 26 证明：取的中点，取的中点 ，连接，， 易知,,两两垂直，故以 为坐标原点， 建立如图所示的空间直角坐标系，则， ，, ，. 为的中点， ， ， 又， ， ， . 课 中 探 究 27 ［素养小结］ 判定直线平行、垂直的向量法： 设<m></m>，<m></m>分别为<m></m>与<m></m>的一个方向向量. （1）<m></m>或<m></m>与<m></m>重合. （2）<m></m>与<m></m>不平行<m></m>与<m></m>不平行. （3）<m></m>. （4）<m></m>与<m></m>不垂直<m></m>与<m></m>不垂直. 课 中 探 究 28 探究点四 利用向量法求空间中两条直线所成的角 例4（1）[2026·河南周口高二月考] 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中, E,F,G分别是BD,A1B1,C1D1的中点,则异面直线AG与EF所成角的余弦值 是( ) A. B. C. D. √ 课 中 探 究 29 [解析]以D为坐标原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正 方向,建立如图所示的空间直角坐标系. 设AB=2,则A(2,0,0),E(1,1,0),F(2,1,2),G(0,1,2),所以=(-2,1,2),=(1,0,2). 设异面直线AG与EF所成的角为θ, 则cos θ=|cos<,>|===. 故选C. 课 中 探 究 30 （2）［2025·吉林长春高二期末］在如图所示的多 面体中， 平面，平面 平面 ， 且， ，则 异面直线与 所成角的余弦值为( ) A. B. C. D. √ 课 中 探 究 31 [解析] 将该多面体补成底面边长为2，高为2的正 三棱柱，取的中点，连接,.以 为坐标 原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ,,, ， 所以，， 所以 , .故选A. 课 中 探 究 32 变式 [2026·北京海淀区高二月考] 中国古代数学著作《九章算术》中 记载了一种被称为“曲池”的几何体.该几何体是上、下底面均为扇环 的柱体.在如图所示的“曲池”中,AA1与扇形A1B1C1D1所在平面垂直, 记弧AB、弧DC的长度分别为l1,l2,已知AA1=3AD=3,l1=2l2=,E为弧A1B1 的中点,则直线CE与DB1所成角的余弦值为( ) A. B. C. D. √ 课 中 探 究 33 解：上底面圆心为O1,下底面圆心为O,连接OO1,O1D1,O1C1,OD,OC, 在下底面作OF⊥OB,以O为坐标原点,分别以,,的方向 为x轴、y轴、z轴正方向,建立空间直角坐标系,如图. 因为AA1=3AD=3,l1=2l2=,所以扇环对应的两个圆的半径之比为1∶2, AD=1,所以=,所以OD=1,OA=2, 则D,E, 即D,E(1,,3), 课 中 探 究 34 又C(1,0,0),B1(2,0,3),所以=(0,,3),=, 所以||==2,||==4, ·=×0+×+3×3=, 所以cos<,>===, 所以直线CE与DB1所成角的余弦值为.故选B. 课 中 探 究 35 ［素养小结］ 利用向量法求异面直线所成角的步骤: （1）确定空间两条直线的方向向量； （2）求两个向量夹角的余弦值； （3）确定线线角与向量夹角的关系：当向量夹角为锐角时，即为两 直线的夹角；当向量夹角为钝角时，两直线的夹角为向量夹角的补角. 注意：异面直线所成角的范围是<m></m>，故异面直线所成角的余弦值 一定大于或等于0. 课 中 探 究 36 1.已知点,在直线上,则下列向量中可以是直线 的 方向向量的为( ) A. B. C. D. [解析] 由题得,则与向量 共线的非零向量均为直 线 的方向向量，只有选项A满足题意,故选A. √ 课 堂 评 价 37 2.（多选题）已知向量,分别是直线, 的一 个方向向量,若 ,则下列四个选项中符合题意的有( ) A., B., C., D., [解析] 由题意知,即 ,只有A,C 满足上式.故选 . √ √ 课 堂 评 价 38 3.在四棱锥中, 底面,底面 为正方形, ,,则异面直线与 所成角的余弦值为( ) A. B. C. D. [解析] 以为原点,,,的方向分别为,, 轴的正 方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则 , ,,, , , ,, 异面直线与 所成角的余弦值为 .故选D. √ 课 堂 评 价 39 4.［2026·长春东北师大附中高二月考］在正方体 中，下列关系正确的是( ) A. B. C. D. [解析] 以 为坐标原点，建立如图所示的空间 直角坐标系，设正方体的棱长为1， 则,,, ， ,,, ， 所以, ，, ， , , . √ 课 堂 评 价 40 对于A， ，故A错误； 对于B， ，故B错误； 对于C， ，故C错误； 对于D， ，故D正确.故选D. 课 堂 评 价 5.如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD为正方形 且PD=AD,E,F分别是PC,PB的中点,M,N,P,Q分别为AD,AB,BC,DC的中点, 以F为起点作直线DE的一个方向向量可以为 　　　.(用图中字母表示)  课 堂 评 价 42 [解析] 如图,连接MF,EF.∵E,F分别是PC,PB的中点,∴EF∥BC且EF=BC. 又BC∥AD且BC=AD,∴EF∥AD且EF=AD,则EF∥DM且EF=DM, ∴四边形DEFM是平行四边形,∴MF∥DE, ∴就是直线DE的一个方向向量. 课 堂 评 价 43 证明线线平行的方法与步骤： 新 知 拓 延 44 课后习题 45 1.若点，在直线上，则直线 的一个方向向量为 ( ) A. B. C. D. [解析] ，， 是直线 的一个方向向量.故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 2.［2024·广东汕头一中高二月考］已知直线 的一个方向向量为 ,直线的一个方向向量为,若 ,则 的值是( ) A. B.6 C.14 D. [解析] ,,,, , .故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 3.已知异面直线,的一个方向向量分别是 , ，则, 所成角的大小是( ) A. B. C. D. [解析] 异面直线,的一个方向向量分别是 , ,,， 异面直线,所成角的范围为，,所成角的大小是 .故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 48 4.［2024·河南新乡高二期末］在直三棱柱 中，若 ，，则与 所成角的余弦值为 ( ) A. B. C. D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 [解析] 如图，以 为坐标原点，建立空间直角坐标系， 设，则,, , ，所以, ， 则,， 故 与所成角的余弦值为 .故选C. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.已知圆台的上底面圆O'的半径为1,下底面圆O的半径为2,点A',A分别 在上、下底面的圆周上,且O'A'⊥OA,OO'=1,则AA'与OO'所成角的余弦 值为 ( ) A. B. C. D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 51 [解析]设过A'的母线为A'B,连接OB,则OB∥O'A', 因为O'A'⊥OA,所以OB⊥OA. 以O为坐标原点,OA,OB,OO'所在直线分别为x,y,z轴 建立如图所示的空间直角坐标系, 则A(2,0,0),O(0,0,0),O'(0,0,1),A'(0,1,1), 所以=(0,0,1),=(-2,1,1), 所以|cos<,>|===, 所以AA'与OO'所成角的余弦值为.故选B.   课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 52 6.［2025·山东烟台一中高二月考］如图所示， 平行六面体 的所有棱长为2， 四边形是正方形， ， 点是与的交点，则直线与 所成 角的余弦值为( ) A.1 B. C. D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 53 [解析] ， 则 ， 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 54 而，故， 所以 ,，故直线与 所成 角的余弦值为 .故选D. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.（多选题）如图，在正方体 中，是体对角线 上的动 点，是棱 上的动点，则下列说法正确的 是( ) A.异面直线与所成的角的最小值为 B.异面直线与所成的角的最大值为 C.对于任意的，存在点使得 D.对于任意的，存在点使得 √ √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 56 [解析] 以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角 坐标系，设正方体的棱长为1，则 , ,,, , 所以，, , 设， ， 设异面直线与 所成的角为， 则 , . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 57 对于A，当时，，则 ，故A正确； 对于B，当时，，则 ，故B正确； 对于C，设， ，则 ， 所以 ， 当时， ，故C错误； 对于D，任意，令，得 ， 即对于任意的，存在点使得 ，故D正确.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.已知，，则直线 的模为1的方向向量是 ______________________. 或 [解析] 由题知，则，所以直线 的模为1的方 向向量为，即或 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 59 9.圆锥的底面半径为,高为2,点C是底面直径AB所对弧的中点,点D是 母线PB的中点,则异面直线AB与CD所成角的余弦值为 　 　 　. [解析]设O是圆锥底面圆心,以O为坐标原点,建立如图 所示的空间直角坐标系,则A(0,-,0),B(0,,0),C(,0,0), P(0,0,2),D,则=,=(0,2,0), 设直线AB与CD所成的角为θ, 则cos θ===. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 60 10.（13分）[2026·江西萍乡高二期末] 如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中, 底面ABCD为平行四边形,以顶点A为端点的三条棱长都为1,且两两夹角 都为60°,设=a,=b,=c,M为A1C1的中点. (1)用a,b,c表示向量,并求线段AM的长; 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 61 解:由题知,=+=c+=a+b+c. 因为|a|=|b|=|c|=1,<a,b>=<a,c>=<b,c>=60°, 所以==a2+b2+c2+a·b+a·c+b·c=++1+++=, 所以||=,即线段AM的长为. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 62 10.（13分）[2026·江西萍乡高二期末] 如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中, 底面ABCD为平行四边形,以顶点A为端点的三条棱长都为1,且两两夹角 都为60°,设=a,=b,=c,M为A1C1的中点. (2)求异面直线AM与BD1所成角的余弦值. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 63 解: =+=b-a+c,则=(-a+b+c)2=a2+b2+c2-2a·b-2a·c+2b·c=2, 故||=,又·=·(b-a+c)=, 所以cos<,>==, 故异面直线AM与BD1所成角的余弦值为. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 64 11.如图， 平面，四边形 为正 方形，是的中点，是 上一点，则当 时， ( ) A. B. C. D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 65 [解析] 以为坐标原点，，， 的方向分 别为轴、轴、 轴的正方向，建立如图所示的 空间直角坐标系，设， ，则 ，，. 设点 的坐标为，,则， . 因为，所以，即，解得，即点 的 坐标为，所以为的中点，所以 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 66 ★12.（多选题）在三棱锥中，平面 平面 ， ，，为等边三角形，是棱 的中点， 是棱上一点，若异面直线与所成角的余弦值为，则 的值可能为( ) A. B.1 C. D. √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 67 [解析] 取的中点，连接,则 ，又平面 平面，且平面 平面 ， 所以 平面，过作与平行，交 于 ，则，，两两垂直，故以 为坐标原点， 建立如图所示的空间直角坐标系. 为等边三角形，所以，, , ，因为是 的中点，所以 .设，其中 ， 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 68 则， ，则 ， ，整理得 ，解得或 ， 所以或， 故 或.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ［技巧点拨］ 本题条件中有面面垂直和线线垂直，故可建立空间直角 坐标系，求解线段长度问题，可以将其转化为求解参数值问题，应用异 面直线所成角公式进行求解即可. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.［2025·长春高二期中］“曲池”是《九章算术》中 记载的一种几何体，该几何体是上、下底面均为扇 环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）. 现有一个如图所示的“曲池”， 平面， ，底面扇环所对的圆心角为， 的长度 是长度的2倍，，则异面直线 与 所成角的余弦值为__. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 71 [解析] 设上底面圆心为，下底面圆心为 ，连接 ，，，, ,由底面扇环所对的圆心角 为，的长度是长度的2倍， ，可知. 以为原点，以，，的方向分别为 轴、轴、 轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，， ， ，，所以 , ，故异面直线 与所成角的余弦值为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 72 14.（15分）已知斜三棱柱 的各棱 长都为4, ，点在下底面 的投 影为的中点.在棱上是否存在一点 使 ？若存在，求出 的长；若不存在， 请说明理由. 解：因为点在下底面的投影为的中点 ， 所以 平面 . 连接，由题意知为正三角形，故 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 73 以为原点，,,的方向分别为，， 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则,， , , ， 所以 ， ，， ， 所以 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 74 设, ， 则 . 假设在棱上存在一点使 ， 则 ， 解得，所以在棱上存在一点 使 ，此时 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.设正方体的棱长为2， 为空间中一点，若 ，则异面直线和 所成角的取值不可能是 ( ) A. B. C. D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 76 [解析] 如图所示，以为原点，,, 的 方向分别为,, 轴正方向，建立空间直角坐标 系，则，， ， ，， 因为 ，，所以 ， ，.设直线和 所成的角为， ，则 , . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 77 时，，； 当 时，设，则 ， 故 , 函数在 上单调递减， 故，则，所以 . 综上所述 .故选A. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.（15分）如图所示,在四棱锥中,底面 是直角梯形, ,,,,且 底面 , 与底面所成角为 . （1）若,为垂足,求证: ; 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 79 证明: 底面, 平面 ， ，又,,, 平面， 平面 , 平面， ， 又,,, 平面 ， 平面 , 平面， . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 80 （2）求异面直线与 所成角的余弦值. 16.（15分）如图所示,在四棱锥中,底面 是直角梯形, ,,,,且 底面 , 与底面所成角为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 81 解：如图,过点作,垂足为点.以 为原点,,,的方向分别为轴、轴、 轴的正方向,建立空间直角坐标系,则 ，, . 底面 , 是与底面所成的角, . 在中,由,得 ， 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 82 在中,由, , 得,, . 于是, ， 则, , 异面直线与所成角的余弦值为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 $