1.2.1 空间中的点、直线与空间向量（教学课件）高二数学人教B版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间向量在立体几何中的应用，核心内容包括空间点的位置向量、直线方向向量及两直线所成角，通过从平面向量延伸至空间向量，结合生活“基点+向量”实例，搭建从二维到三维的知识迁移支架。 其亮点在于以互动探究（如长方体模型分析方向向量）和多解法例题（例2向量法与几何法对比），培养数学抽象与逻辑推理素养，小结通过表格和“学海拾贝”梳理知识与易错点，助力学生掌握转化思想，教师可依托结构化资源提升教学效率。

【新教材】人教B版·高二选择性必修第一册 第一章 空间向量与立体几何 1.2.1 空间中的点、直线与空间向量 1.2 空间向量在立体几何中的应用 学 习 目 标 1 2 3 能用向量语言描述直线, 理解空间中直线的方向向量的意义及求法,体现 逻辑推理能力(重点) 了解空间中两条直线所成的角与两直线的方向向量所成的角的关系,会求空 间两条直线所成的角,体现数学计算能力(重点) 了解空间中两条异面直线的公垂线段,体现数学抽象能力(重难点) 新课引入 在高一的学习中，我们借助平面向量，精准量化了平面内点的位置、直线的方向，轻松破解了平面几何中的平行、夹角、位置关系等诸多问题，让几何推理有了简洁的代数工具。但现实世界是三维立体空间，高楼楼宇、飞行航线、立体建筑、天体轨迹，所有实物与运动轨迹都脱离了平面的局限，仅靠平面向量已经无法精准刻画空间中的几何形态与运动规律。 今天这节课，我们就正式开启这一核心探索，学习空间中的点、直线与空间向量。我们将把平面向量的思维延伸到三维空间，学习用位置向量精准确定空间点的位置，用方向向量刻画空间直线的延伸趋势，掌握用向量语言描述空间点、直线的基本方法。这不仅是对平面向量知识的拓展升级，更是后续研究空间直线位置关系、空间角、空间距离，乃至各类立体几何问题的基础。接下来，就让我们一起走进三维向量世界，用代数思维解锁立体几何的全新解法！ 目标一：空间中的点与空间向量 互动探究 空间中点与空间向量 在空间中，我们如何准确地描述一个点的位置呢？ 大家回想一下生活中指路的情景：我们常常会说“从某个标志物出发，往哪个方向走多远”。这实际上已经不经意地用到了“基点”和“向量”的思想 在数学中，为了让空间中任意一点的位置变得可以度量、可以运算，我们首先要在空间中指定一个确定的点 O 作为基准，称它为原点。这样一来，对于空间中的任意一点 P，我们都可以用从原点 O 指向点 P 的有向线段来唯一表示它。这段有向线段所代表的向量 ，就称为点 P 的位置向量。 互动探究 空间中点与空间向量 这个定义很简洁，却极为重要。它在我们脑海中的几何图形与代数工具之间架起了第一座桥梁：空间中每一个点 P，都唯一对应着一个位置向量 ；反过来，给定一个以 O 为起点的向量，它的终点也唯一确定了空间中一个点。 点和位置向量之间，建立起了一种“一一对应”的关系。 更进一步，如果我们在空间中建立起一个直角坐标系，并把这个原点 O 选为坐标原点，那么每一个就可以被它的坐标 (x,y,z) 唯一确定。按照刚才的一一对应关系，向量终点的坐标，自然也就是点 P 的坐标。所以，空间中任意一点的位置，最终都可以用唯一的一组有序实数 (x,y,z) 来精准表达。 P 目标二：空间中的直线与空间向量 互动探究 空间直线方向向量 （1）如图所示的长方体 中，。如果只借助 ，能不能确定直线 AB 在空间中的位置？ （2）一般地，怎样借助空间向量来刻画空间中直线的位置？ 因为 所以只借助向量不能确定直线在空间中的位置，但是向量可以描述所有与直线平行或重合的直线。 先来学习下什么叫直线的方向向量。 知识讲解 空间直线方向向量 一般地，如果 是空间中的一条直线， 是空间中的一个非零向量，且表示 的有向线段所在的直线与 平行或重合，则称 为直线 的一个方向向量。此时，也称向量 与直线 平行，记作 。 关键解读 方向向量 ≠ 直线位置 这是最容易误解的地方，也是教材通过长方体举例想强调的重点： * 方向向量只决定“方向”：如图片所说，向量 ，同时也等于 、、。 * 无法确定位置：如果只知道向量 ，你只知道这条直线的“走向”，但不知道它在三维空间中的具体位置。它可以在长方体的底面，也可以在顶面，或者在空间的任意一个平行位置。 知识讲解 空间直线方向向量 关键解读二：如何在空间中“确定”一条直线？ 既然方向向量不够，那要怎么确定空间中的一条直线呢？ 需要两个核心要素： 1. 一个定点（直线经过的具体点位置）； 2. 一个方向向量（直线的朝向）。 关键解读三：实战应用价值： 证明线线平行：在空间几何中，要证明两条直线平行，只需证明它们的方向向量平行（即方向向量成倍数关系）。 求异面直线夹角：求两条异面直线的夹角，只需要转化成求它们的方向向量的夹角（注意取锐角或直角）。 证明线线垂直：证明两条直线垂直，等价于证明它们的方向向量数量积为 0。 知识讲解 空间直线方向向量 小结 序号 结论 具体内容 1 方向向量的定义 若 是直线 上两个不同的点，则 就是直线 的一个方向向量 2 方向向量的性质 若 是直线 的一个方向向量，则对任意实数 ， 也是直线 的方向向量；直线 的任意两个方向向量都互相平行 3 直线的确定条件 若 为直线 的方向向量， 为直线 上一点，则对 上任意一点 ，存在唯一实数 使得 ；空间中直线 的位置可由 和点 唯一确定 4 两直线的位置关系 若 、 分别是直线 、 的方向向量，则 或 与 重合 平行 例 1 已知正方体 中， 为 的中点，求证：直线 与直线 不平行。 建系 证明 以 D 为原点的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴正方向，正方体的棱长为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系。 坐标 则 ， 所以 . 判断 又因为 ，所以 与 不平行. 因为 为直线 的一个方向向量， 为直线 的一个方向向量，当 时，必有 . 由上可知直线 与直线 不平行. 目标三：空间中两条直线所成的角 平行与异面 设v₁, v₂分别是空间中直线l₁, l₂的方向向量. 如果l₁与l₂异面, 那么v₁与v₂可能平行吗? 如果v₁与v₂不平行, 那么l₁与l₂一定异面吗? 如果l₁与l₂异面, 则v₁与v₂是不可能平行的; 反之, 如果v₁与v₂不平行, 则 l₁与l₂可能异面, 也可能相交. 这就是说, “v₁与v₂不平行”是“l₁与l₂异面”的 必要不充分条件. 互动探究 两种描述 两条直线成的角 我们已经知道，空间中两条相交直线所成角的大小，指的是它们相交所得到的不大于直角的角的大小；两条异面直线 a,b 所成角的大小，等于两条相交直线 a',b' 所成角的大小，其中 a' 与 a 平行或重合，b' 与 b 平行或重合；空间中两条平行直线所成角的大小规定为 。这就是说，空间中任意两条直线所成角（即它们之间的夹角）的大小都是确定的。特别地，当空间中两条直线 l,m 所成角的大小为 时，l 与 m 垂直，记作 l⟂m。 传统描述 向量描述 设 分别是空间中直线 的方向向量，且 与 所成角的大小为 ，通过作图讨论 与 的关系。 如下图(1)(2)所示，可以看出 或 。 特别地， 而且， 角 例2：如图所示，在三棱锥中，两两互相垂直，为的中点，且，求直线与所成角的大小。 基底法 根据已知可得，，不共面，且 又因为 所以 类似地，所以 因此，即直线 与 所成角的大小为. 角 例2：如图所示，在三棱锥中，两两互相垂直，为的中点，且，求直线与所成角的大小。 坐标法 因为，，两两互相垂直，所以能以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系.则由可知所以,因此 因此，即直线 与 所成角的大小为. 角 例2：如图所示，在三棱锥中，两两互相垂直，为的中点，且，求直线与所成角的大小。 几何法 设的中点为，连接，.由，分别为，中点可知为的中位线，从而，因此直线与所成角的大小等于直线与所成角的大小. 又易知，而且，，两两互相垂直，因此 所以是等边三角形，从而 . 因此，直线 与 所成角的大小为. 线线垂直 利用上述直线与直线所成的角与它们的方向向量的夹角之间的关系，可以方便地证明我们在必修部分中归纳出的线面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直. 证明过程如下. 应用线线垂直 例 3 已知 a,b 是平面 α 内的两条相交直线，直线 n 满足 n⟂a,n⟂b . 求证：n⟂α . 证明 设 m 是 α 内的任意一条直线，且 n,a,b,m 分别为直线 n,a,b,m 的方向向量，如图所示. 则根据已知有 n⋅=0,n⋅b=0. 共面向量 因为 a 与 b 相交，所以 a,b 不共线，又因为 a,b,m 共面，所以由共面向量定理可知，存在唯一的实数对 (x,y) ，使 m=xa+yb 证明线线垂直 n⋅m=xn⋅a+yn⋅b=0,从而可知 n⟂m ，所以 n⟂m . 垂直 例 4 在正方体 中，判断满足下列条件的点 是否存 在： . 坐标化 解：以 为原点， 的方向分别为 轴、 轴、 轴正方向，正方体的棱长为单 位长度，建立如图所示的空间直角坐标系. 则 所以 , 向量法 假设满足条件的 存在，而且 ， 则 , 因为 ，所以 ，从而 解得 . 因此，满足条件的 是存在的. 目标四、异面直线与空间向量 互动探究 异面直线 异面直线与空间向量 我们已经知道，异面直线指的是空间中既不平行也不相交的直线. 这里我们要讨论的是怎样用空间向量来研究异面直线. 设 显然，如果 与 异面，则 与 是不可能平行的； 反之，如果 与 不平行，则 与 可能异面，也可能相交. 这就是说，” 与 不平行” 是” 与 异面” 的必要不充分条件. 更进一步，如下图 (1) (2) 所示，如果 ：则 与 异面时，可知 是不共面的；反之，如果 不共面，则 与 是异面的. 也就是说，此时，” 不共面” 是” 与 异面” 的充要条件. 互动探究 异面直线之间的距离 异面直线与空间向量 可以证明空间中任意两条异面直线的公垂线段都存在并且唯一. 两条异面直线的公垂线段的长，称为这两条异面直线之间的距离. 目标五、针对训练 举一反三 1. 若 ， 在直线 上，则直线 的一个方向向量为( ) A. B. C. D. 解析： 由于直线经过点 (2,-3) 和点 (0,-4) ，故直线的方向向量与向量 (2-0,-3+4)=(2,1) 平行的向量，故选：A 2. 已知两条异面直线的方向向量分别是 m=(1,-2,3) ， n=(2,1,0) ，这两条异面直线所成的角为（） A. B CD. 解析： 两条异面直线的方向向量分别是 ， ，，即这两条异面直线所成的角为 。故选：A。 举一反三 3. 正方体 中， 为 中点，则直线 ， 所成角的余弦值为（） A. B. C. D. 解析： 如图，以 为坐标原点， ， ， 分别为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为 2，则 ， ， ， ，可得 ， ，则 所以直线 ， 所成角的余弦值为 。故选：B。 举一反三 4.经过 ， 两点的直线的方向向量为 ，则 的值为（） A. 8 B. -8 C. -2 D. 2 解析： 由已知 ，由题知 ，解得 。故选：C。 5.已知向量 ， 都是直线 的方向向量，则 的值是（） A. - 1或1 B. – 1 C. - 3 D. 1 解析： 依题意，向量 ， 共线，则 所以 。故选：B。 举一反三 6.在平行六面体 中，若 所在直线的方向向量为 ，则 所在直线的方向向量可能为（） A. B. C. D. 解析： 由已知可得 ，故它们的方向向量共线，对于 B 选项， ，满足题意；对于 C 选项， ，满足题意；由于 A、D 选项不满足题意。故选：BC。 举一反三 7.正三棱锥 的侧棱两两垂直， ， 分别为棱 ， 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为（） A. B. C. D. 解析： 设 ，以A为坐标原点， ， ， 分别为 ， ， 轴的正方向，建立空间直角坐标系 ，则 ， ， ， ， ， ，则 从而异面直线 与 所成角的余弦值为 。故选：D。 目标六、小结 学海拾贝 本节课核心是建立空间几何元素与空间向量的对应关系，用向量工具量化空间中点的位置、直线的方向，实现立体几何问题向向量运算问题的转化，是后续求解空间角度、距离、位置关系的基础，核心分为点的向量表示、直线的向量表示、空间两直线位置关系判定三大模块，同时包含高频易错注意事项。 一、核心知识点梳理 1. 空间中点的向量表示（位置向量） 在空间中选定任意定点O（基点），空间中任意一点P的位置可唯一由向量确定，向量称为点P的位置向量。在空间直角坐标系中，点的坐标与位置向量的坐标完全一一对应。 拓展：空间中任意两点A、B构成的向量，可通过两点位置向量作差求解，是坐标运算的核心公式。 学海拾贝 2. 空间直线的方向向量 定义：若非零向量所在直线与空间直线l平行或重合，则称为直线l的一个方向向量。 核心性质：一条直线的方向向量有无数多个，所有方向向量互相共线（成实数倍关系），即若是直线l的方向向量，则对任意非零实数，也是该直线的方向向量。 直线的向量表达式：已知直线过点A，方向向量为，则直线上任意一点P满足：，对应向量式。 3. 空间两直线位置关系的向量判定 设直线、的方向向量分别为、： 平行或重合：，即存在实数，使得； 垂直：，即； 异面或相交（不垂直）：、不共线且点积不为0。 学海拾贝 二、重点易错注意事项（高频考点） 1. 位置向量易错点 位置向量必须依托定点（基点），无基点则无法确定点的向量位置，做题时需明确坐标原点或题目指定基点； 区分位置向量与线段向量：位置向量起点固定为基点，线段向量（如）起点、终点任意，仅表示两点相对位置。 2. 方向向量核心误区 方向向量一定是非零向量，零向量无方向，绝对不能作为直线的方向向量； 仅由方向向量共线，只能判定两直线平行或重合，无法直接区分平行与重合，需额外验证：若两直线有公共点则重合，无公共点则平行； 直线方向向量不唯一，解题时可按需选取最简向量（坐标含最小整数），简化运算。 学海拾贝 二、重点易错注意事项（高频考点） 3. 线线位置关系判定注意事项 空间中向量共线≠直线平行：平面中向量共线直线必平行，空间中需排除重合情况，这是空间几何与平面几何的核心区别； 两直线垂直分为相交垂直和异面垂直，只要方向向量点积为0，即可判定空间两直线垂直，无需判断是否共面； 不可通过向量不共线直接判定直线异面，向量不共线仅说明直线不平行，可能相交也可能异面。 4. 运算与解题规范注意事项 求直线方向向量时，可选取直线上任意两个不同点，构造向量即为该直线方向向量，坐标运算需准确对应横、纵、竖坐标； 利用求解直线上动点坐标时，参数为全体实数，无取值限制； 异面直线所成角范围为，求解时需对向量夹角取绝对值，避免出现钝角结果。 【新教材】人教B版·高二选修第一册 感谢聆听! $