1.2.2 空间中的平面与空间向量(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教B版）

该高中数学课件聚焦空间向量在立体几何中的应用，核心内容包括平面法向量的定义、空间线面和面面位置关系的向量表示及三垂线定理。通过牌楼柱子与地面垂直的情境导入，衔接空间向量基础知识，为线面平行等位置关系的向量证明搭建学习支架。 其亮点在于以数学抽象、逻辑推理和数学运算为核心素养导向，情境导入抽象出法向量概念，典例研析通过一题多解（如坐标法与几何法）培养推理能力，步骤总结（如法向量求法六步）强化运算能力。学生能掌握向量工具解决几何问题，教师可依托系统例题和分层作业提升教学效果。

1.2　空间向量在立体几何中的应用 1.2.2　空间中的平面与空间向量 第一章　空间向量与立体几何 1 课标要求 1.能用向量语言描述平面，理解平面的法向量（数学抽象）. 2.能用向量语言表述线面、面面的垂直与平行关系（数学运算）. 3.能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）（逻辑推理）. 目 录 CONTENTS 基础落实 典例研析 课时作业 基础落实 >> 目录 4 牌楼，与牌坊类似，是中国传统建筑之一，最早见于周朝.在园林、寺 观、宫苑、陵墓和街道常有建造.旧时牌楼主要有木、 石、木石、砖木、琉璃等几种，多设于要道口.牌楼 中有一种柱门形结构，一般较高大.如图，牌楼的柱 子与地面是垂直的，如果牌楼上部的下边线l与柱子 所在的直线l1垂直，我们就能知道下边线l与地面α平行. 【问题】　（1）柱子所在直线的方向向量是否可认为是地面α的法向量？ （2）能否用空间向量表示这一线面位置关系？ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 知识点一　平面的法向量 定义：如果α是空间中的一个平面，n是空间中的一个非零向量，且表示n 的有向线段所在的直线与平面α ，则称n为平面α的一个法向量， 记作 ⁠. 提醒：一个平面的法向量有无数个，且它们互相平行.　 垂直　 n⊥α　 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 知识点二　空间平行、垂直关系的向量表示 1. 直线与平面位置关系的判断 如果v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，则： 当 时，l与α垂直；当 时，l与α平行，或者l在α内. 2. 平面与平面位置关系的判断 如果n1是平面α1的一个法向量，n2是平面α2的一个法向量，则： 当 时，α1与α2垂直；当 时，α1与α2平行，或者α1与α2 重合. n∥v　 n⊥v　 n1⊥n2　 n1∥n2　 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 【想一想】 已知v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，如果n⊥v，那 么直线l一定与平面α平行吗？ 提示：不一定.也可能l⊂α. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 知识点三　三垂线定理及其逆定理 1. 三垂线定理 如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，则它也 和这条斜线垂直. 2. 三垂线定理的逆定理 如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在 该平面内的射影垂直. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 【想一想】 1. 定理中的已知直线是已知平面内的直线吗？ 提示：一定是. 2. 若直线l是平面α外的一条直线，直线m垂直于l在平面α内的投影，l与 m垂直吗？ 提示：不一定.若直线m在平面α外，例如m⊥α，尽管m垂直于直线l在平 面α内的投影，也不能得出m⊥l. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若点A，B是平面α上的任意两点，n是平面α的法向量，则 ·n ＝0. （　√　） （2）若一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行. （　×　） （3）若两个平面平行，则这两个平面的法向量一定平行. （　√　） （4）直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时，直线与平面 垂直.（√　　） √ × √ √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 2. 设平面α的法向量为（1，2，－2），平面β的法向量为（－2，－4， k），若α∥β，则k＝（　　） A. 2 B. －4 C. 4 D. －2 √ 3. 若直线l的方向向量a＝（1，0，2），平面α的法向量为n＝（－2，0， －4），则（　　） A. l∥α B. l⊥α C. l⊂α D. l与α斜交 √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 4. 〔多选〕如图PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于 A，B的任一点，则下列关系正确的是（　　） A. PA⊥BC B. BC⊥平面PAC C. AC⊥PB D. PC⊥BC √ √ √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析： 由题意有，PA⊥平面ABC，∵BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，故A对；∵AC⊥BC，且PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，∴BC⊥平面PAC，故B对；由AC⊥BC，有三垂线定理可得BC⊥PC，故D对；若AC⊥PB，因为AC⊥BC，可得AC⊥平面PBC，则AC⊥PC，与已知矛盾，故C错. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 典例研析 >> 目录 15 题型一　平面法向量的求法 如图所示，已知四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝ 90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝ ，试建立适当的坐 标系. （1）求平面ABCD的一个法向量； 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解：以点A为原点，AD，AB，AS所在的直线分别为x 轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A （0，0，0），B（0，1，0），C（1，1，0），D（ ， 0，0），S（0，0，1）. （1）∵SA⊥平面ABCD，∴ ＝（0，0，1）是平面ABCD的一个法向量. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 （2）求平面SAB的一个法向量； 解： ∵AD⊥AB，AD⊥SA， ∴AD⊥平面SAB， ∴ ＝（ ，0，0）是平面SAB的一个法向量. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解：在平面SCD中， ＝（ ，1，0）， ＝（1，1， －1）. 设平面SCD的法向量是n＝（x，y，z），则n⊥ ， n⊥ ，∴ 得方程组 ∴ 令y＝－1，则z＝1，x＝2，∴n＝（2，－1，1）. ∴n＝（2，－1，1）是平面SCD的一个法向量. （3）求平面SCD的一个法向量. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 规律方法 利用待定系数法求法向量的步骤 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 　如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝ 60°，AB＝2AD＝2，PD⊥底面ABCD，且PD＝AD，求平面PAB的一 个法向量. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解：∵∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得BD＝ AD， 从而BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD，以D点为坐标原点，射线DA， DB，DP为x，y，z轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz，则A（1，0， 0），B（0， ，0），P（0，0，1）. ∴ ＝（－1， ，0）， ＝（0， ，－1）， 设平面PAB的法向量为n＝（x，y，z）， 则 即 即 因此可取n＝（ ，1， ）.∴平面PAB的一个法向量为（ ，1， ）. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 题型二　利用法向量证明空间中的位置关系 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，M分别为棱BB1， CD，AA1的中点.证明： 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 （1）C1M∥平面ADE； 证明： 以D为原点，向量 ， ， 的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立坐标系如图，设正方体的棱长为1. 则D（0，0，0），A（1，0，0），E（1，1， ）， C1（0，1，1），M（1，0， ）， ＝（1，0， 0）， ＝（1，1， ）， ＝（1，－1，－ ）. 设平面ADE的法向量为m＝（a，b，c）， 则 ⇒ 令c＝2，得m＝（0，－1，2）， 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 ∵m· ＝（0，－1，2）·（1，－1，－ ）＝0 ＋1－1＝0， ∴ ⊥m. 又C1M⊄平面ADE， ∴C1M∥平面ADE. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 （2）平面ADE⊥平面A1D1F. 　 证明：由D1（0，0，1），A1（1，0，1）， F（0， ，0）， 得 ＝（1，0，0）， ＝（0， ，－1）， 设平面A1D1F的法向量为n＝（x，y，z）， 则 ⇒ 令y＝2，则n＝（0，2，1）. ∵m·n＝（0，－1，2）·（0，2，1）＝0－2＋2＝0， ∴m⊥n.∴平面ADE⊥平面A1D1F. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 【母题探究】 （变条件，变设问）在本例中设D1B1的中点为N，其他条件不变.试证： EN⊥平面B1AC. 证明：如例题建系，E（1，1， ），N（ ， ，1），A（1，0，0）， B1（1，1，1），C（0，1，0）. ∴ ＝（－ ，－ ， ）， ＝（0，1，1）， ＝（－1，1，0）， ∴ · ＝0， · ＝0，∴ ⊥ ， ⊥ ， 即EN⊥AB1，EN⊥AC. 又AB1∩AC＝A，∴EN⊥平面B1AC. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 规律方法 利用向量法证明空间线面位置关系的思路 （1）线面平行：设直线l的方向向量是a，平面α的法向量是u，则要证明 l∥α，只需证明a⊥u，即a·u＝0； （2）面面平行：若能求出平面α，β的法向量u，v，则要证明α∥β，只需 证明u∥v； （3）线面垂直：设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为u，则要证明 l⊥α，只需证明a∥u即可； （4）面面垂直：①证明两平面的法向量垂直；②证明一个平面的法向量 平行于另一个平面. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 （2026·六安期中）如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD＝2，CD＝4，M为CE的中点.求证： （1）BM∥平面ADEF； 证明：根据题意可知平面ADEF⊥平面ABCD，平 面ADEF∩平面ABCD＝AD， 又四边形ADEF是正方形，所以AD⊥ED. 因为ED⊂平 面ADEF，所以ED⊥平面ABCD，从而可得DA， DC，DE两两垂直. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 又M为CE的中点，所以M（0，2，1），则 ＝（－ 2，0，1），且易知平面ADEF的一个法向量为n＝（0， 1，0）， 因为n· ＝0，所以n⊥ .又BM⊄平面ADEF，所 以BM∥平面ADEF. 以D为原点，以 ， ， 的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，4，0），E（0，0，2），F（2，0，2）. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 （2）BC⊥平面BDE. 证明：由（1）可得 ＝（－2，2，0）， ＝ （2，2，0）， ＝（0，0，2）， 所以 · ＝－4＋4＝0， · ＝0，所以 BC⊥DB，BC⊥DE. 又DB∩DE＝D，DB，DE⊂平面BDE，所以BC⊥平面BDE. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 题型三　三垂线定理及逆定理的应用 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是DD1的中点，O为底面ABCD的中 心.求证：B1O⊥PA. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 证明：如图，可知PA是平面BB1D1D的一条斜线段， B1O是平面BB1D1D内的一条线段. 由条件可知，AO⊥平面BB1D1D，连接PO，则PO为 PA在平面BB1D1D内的射影.连接B1P，设正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则B1D1＝ ，D1P＝ ，DP＝ ，DO＝ ，BO＝ ，BB1＝1，∴B1P＝ ，PO＝ ，B1O＝ ，∴PO2＋B1O2＝B1P2， ∴PO⊥B1O. 根据三垂线定理可得B1O⊥AP. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 规律方法 利用三垂线定理证明垂直的步骤 （1）找平面（基准面）及平面的垂线； （2）找射影线（平面上的直线与斜线在平面上的射影线）； （3）证明射影线与直线垂直，从而得线线垂直，更进一步证明线面垂直 或面面垂直. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 　如图，已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，连接BD1，AC，CB1， B1A，求证：BD1⊥平面AB1C. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 证明：连接BD，A1B，∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD. 又DD1⊥平面ABCD， ∴BD是斜线BD1在平面ABCD上的射影， ∴BD1⊥AC，而A1B是BD1在平面ABB1A1内的射影， ∴BD1⊥AB1. 又AB1∩AC＝A，∴BD1⊥平面AB1C. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 1. 已知u＝（3，a＋b，a－b）（a，b∈R）是直线l的方向向量，n＝ （1，2，3）是平面α的法向量，若l⊥α，则a＋2b＝（　　） A. B. － 解析：　因为u＝（3，a＋b，a－b）（a，b∈R）是直线l的方向向 量，n＝（1，2，3）是平面α的法向量，且l⊥α，则u∥n，则 ＝ ＝ ，所以 解得a＝ ，b＝－ ，因此，a＋2b＝ ＋2× （－ ）＝ . C. 6 D. √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 2. 两个不重合的平面α与平面ABC，若平面α的法向量为n＝（2，－3， 1）， ＝（1，0，－2）， ＝（1，1，1），则（　　） A. 平面α∥平面ABC B. 平面α⊥平面ABC C. 平面α、平面ABC相交但不垂直 D. 以上均有可能 解析：　设平面ABC的法向量为m＝（x，y，z），则 设z＝1，则x＝2，y＝－3，即m＝（2，－3， 1），由n＝m，得平面α∥平面ABC. 故选A. √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 3. 已知平面α的一个法向量为（3λ，6，λ＋6），平面β的一个法向量为（λ ＋1，3，2λ），若α∥β，则λ＝ ⁠. 解析：∵α∥β，∴ ＝ ＝ ，解得λ＝2. 2　 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 4. 如图，在四棱锥A1-BCDE中，A1E⊥平面BCDE，四边形BCDE为直角 梯形，EB∥DC，DE⊥EB，EB＝ED＝1，DC＝2，△A1ED为等腰直角 三角形，点F在棱A1C上，若点P为DB的中点，且PF∥平面A1ED，则点 F的坐标为 ⁠. （ ， ， ）　 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析：结合已知条件和题图可知，A1（0，0，1）， E（0，0，0），D（0，1，0），B（1，0，0），C（2，1，0），P （ ， ，0），不妨设F（x0，y0，z0），因为点F在棱A1C上，所以 ＝λ ，λ∈[0，1]，解得x0＝2λ，y0＝λ，z0＝1－λ， 所以F（2λ，λ，1－λ），从而 ＝（2λ－ ，λ－ ，1－λ），又易知 ＝（1，0，0）为平面A1ED的一个法向量，故 · ＝2λ－ ＝0，解得 λ＝ ∈[0，1]，从而点F的坐标为（ ， ， ）. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 课时作业 >> 目录 42 1. 在空间直角坐标系中，平面α的法向量为n＝（1，0，－2），直线l的 方向向量为a＝（－2，0，4），直线m的方向向量为b＝（4，3，2）， 则下列结论中正确的是（　　） A. l∥α且m⊥α B. l⊥α且m∥α C. l⊥m且l⊥α D. l⊥m且m⊂α 解析：　∵n＝（1，0，－2），a＝（－2，0，4），b＝（4，3， 2），∴a＝－2n，a·b＝－2×4＋0×3＋4×2＝0，即a∥n，a⊥b，所 以l⊥α，l⊥m.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 2. 已知向量 ＝（1，2，1）， ＝（0，1，－2），则平面ABC的一 个法向量可以是（　　） A. （5，－2，－1） B. （－6，2，2） C. （3，1，－2） D. （4，－3，1） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析：　设平面ABC的法向量为n＝（x，y，z），由 可 得 令z＝－1，则x＝5，y＝－2.由此可得，平面ABC的 一个法向量为n＝（5，－2，－1）.又B、C、D三个选项的向量均不与n ＝（5，－2，－1）共线，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 3. 若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则可能使l∥α的是 （　　） A. a＝（1，0，0），n＝（－2，0，0） B. a＝（1，3，5），n＝（1，0，1） C. a＝（0，2，1），n＝（－1，0，－1） D. a＝（1，－1，3），n＝（0，3，1） 解析：　选项A，a·n＝－2≠0；选项B，a·n＝1＋0＋5≠0；选项 C，a·n＝0＋0－1≠0；选项D，a·n＝0－3＋3＝0，D可能满足直线l 与平面α平行. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 4. 〔教材变式〕已知空间中点A（1，2，－1），B（－2，1，－1），C （－1，2，0），则平面ABC的一个法向量为　（　　） A. （2，1，3） B. （1，－3，2） C. （1，3，2） D. （－1，2，2） 解析：　由题知 ＝（－3，－1，0）， ＝（－2，0，1），设平面 ABC的法向量为n＝（x，y，z），则 ⇒ ⇒ 令x＝1，得n＝（1，－3，2）.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 5. 已知 ＝（1，5，－2）， ＝（3，1，z），若 ⊥ ， ＝ （x－1，y，－3），且 ⊥平面ABC，则 ＝（　　） A. （ ，－ ，－4） B. （ ，－ ，－3） C. （ ，－ ，4） D. （ ，－ ，－3） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析：　因为 ＝（1，5，－2）， ＝（3，1，z）， ⊥ ，所 以3＋5－2z＝0，解得z＝4，所以 ＝（3，1，4）.因为 ＝（x－1， y，－3），且 ⊥平面ABC，所以 解得x－1＝ ，y＝－ ，所以 ＝（ ，－ ，－3）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 6. 〔一题多解〕如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1的中 点，点F在棱C1D1上，且 ＝λ ，若B1F∥平面A1BE，则λ＝ （　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析：　法一　以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线 为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设 正方体的棱长为1，则B（1，0，0），E（0，1， ）， D1（0，1，1），C1（1，1，1），A1（0，0，1），可 得 ＝（－1，0，1）， ＝（－1，1， ）， 设n＝（x，y，z）是平面A1BE的法向量，则 令z＝2，则x＝2，y＝1，即n＝（2，1，2），由 ＝（1，0，0），且 ＝λ ，可得F（λ，1，1）（0≤λ≤1），又因为B1（1，0，1），则 ＝（λ－1，1，0），由B1F∥平面A1BE，可得n· ＝2（λ－1）＋1×1＋2×0＝0，解得λ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 法二　如图，取CD中点M，连接BM，EM，易证 A1B∥EM，所以平面A1BE即为平面A1BME，易知当F 为C1D1的中点时，B1F∥BM，B1F⊄平面A1BE，BM⊂ 平面A1BE，从而B1F∥平面A1BE，所以λ＝ .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 7. 〔多选〕下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正 确的是（　　） A. 两条不重合直线l1，l2的方向向量分别是a＝（2，3，－1），b＝（－ 2，－3，1），则l1∥l2 B. 直线l的方向向量a＝（1，－1，2），平面α的法向量是u＝（6，4， －1），则l⊥α C. 两个不同的平面α，β的法向量分别是u＝（2，2，－1），v＝（－3， 4，2），则α⊥β D. 直线l的方向向量a＝（0，3，0），平面α的法向量是u＝（0，－5， 0），则l∥α √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析： 　对于A，由a＝（2，3，－1），b＝（－2，－3，1），得a＝ －b，所以a∥b，所以l1∥l2，故A正确；对于B，假设a∥u，则存在唯一得实数λ，使得a＝λu，即（1，－1，2）＝（6λ，4λ，－λ），所以 无解，所以a，u不共线，所以l，α不垂直，故B错误；对于 C，因为u·v＝－6＋8－2＝0，所以u⊥v，所以α⊥β，故C正确；对于 D，因为a·u＝－15，所以a，u不垂直，所以l，α不平行，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 8. 已知n＝（1，0，1）为平面α的一个法向量，点P（3，2，1）位于平 面α内，写出平面α内异于点P的另一个点的坐标 ⁠ ⁠. 解析：令平面α内异于点P的另一个点的坐标A（x，y，z），则 ＝ （x－3，y－2，z－1），由n＝（1，0，1）为平面α的一个法向量，则 n· ＝x－3＋0＋z－1＝0，所以x＋z＝4，故A（2，0，2）满足要求. 故答案为（2，0，2）（答案不唯一）. （2，0，2）（答案不唯 一）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 9. 如图，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分别为PD，PB的中点，点G在线段AP上，AC与BD交于点O，PA＝AB＝2，若OG∥平面EFC，则AG＝ . 　 解析：如图所示，以A为坐标原点， ， ， 的 方向分别为x，y， z轴的正方向建立空间直角坐标系，由题意可得 P（0，0，2），B（2，0，0），D（0，2，0）， C（2，2，0），O（1，1，0），则F（1，0，1）， E（0，1，1），所以 ＝（1，2，－1）， ＝（－1，1，0）， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 设平面EFC的法向量为n ＝（x，y，z），则 ⇒ 令x＝1，则得一个法向量为n＝（1，1，3）.因为 OG∥平面EFC，则n· ＝0，设G（0，0，a），则 ＝（－1，－ 1，a），所以－1－1＋3a＝0，解得a＝ ，所以G（0，0， ），即AG ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 10. 〔一题多解〕如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点.求证： （1）PB∥平面EFG； 证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形， △PAD是直角三角形，且PA＝AD，∴AB，AP，AD两 两垂直. 以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz， 则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（0，0，1），F（0，1，1），G（1，2，0）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 法一　 ＝（0，1，0）， ＝（1，2，－1）， 设平面EFG的法向量为n＝（x，y，z）， 则 即 令z＝1，则n＝（1，0，1）为平面 EFG的一个法向量， ∵ ＝（2，0，－2）， ·n＝0，∴n⊥ ， ∵PB⊄平面EFG， ∴PB∥平面EFG. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 法二　 ＝（2，0，－2）， ＝（0，－1，0）， ＝（1，1，－ 1）. 设 ＝s ＋t ， 即（2，0，－2）＝s（0，－1，0）＋t（1，1，－1）， ∴ 解得s＝t＝2. ∴ ＝2 ＋2 ，又 与 不共线， ∴ ， 与 共面. ∵PB⊄平面EFG， ∴PB∥平面EFG. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 证明：由（1）知 ＝（0，1，0）， ＝（0，2，0）， ∴ ＝2 ，∴BC∥EF. 又EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC， ∴EF∥平面PBC， 同理可证GF∥PC，从而得出GF∥平面PBC. 又EF∩GF＝F，EF⊂平面EFG，GF⊂平面EFG， ∴平面EFG∥平面PBC. （2）平面EFG∥平面PBC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 11. （数学文化）《九章算术》是我国古代数学名著.书中将底面为矩形， 且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，在阳马P-ABCD中， PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，E，F分别为PD，PB的中点，G 为直线CP上的动点，PA＝2，AB＝1，若AG⊥平面EFC，则 ＝ （　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析：　因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，在A处建立空间直 角坐标系如图所示，设AD＝a，则A（0，0，0），P（0，0，2），C （1，a，0），E（0， ，1）， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 F（ ，0，1），所以 ＝（ ，－ ，0）， ＝（0，0，2）， ＝ （1，a，－2）， ＝（1， ，－1），设平面EFC的法向量为n＝ （x，y，z），则 即 令x＝a，得y＝ 1，z＝ ，所以法向量为n＝（a，1， ），设 ＝λ ，因为 ＝ ＋ ＝ ＋λ ＝（λ，aλ，2－2λ），因为AG⊥平面EFC，则 ∥n，所以 ＝ ＝ ，解得λ＝ ，则 ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 12. 〔多选〕如图，以等腰直角三角形ABC斜边BC上的高AD为折痕，把 △ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出如下结论，其中 正确的是（　　） A. · ＝0 B. AB⊥DC C. BD⊥AC D. 平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析： 　建立以D为坐标原点，分别以DB，DC，DA所在直线为x 轴、y轴、z轴的空间直角坐标系（图略），设等腰直角三角形ABC的斜 边BC＝2，则B（1，0，0），C（0，1，0），D（0，0，0），A（0， 0，1），所以 ＝（1，0，－1）， ＝（0，1，－1）， ＝（0， 1，0）， ＝（－1，0，0），从而有 · ＝0＋0＋1＝1，故A错 误； · ＝0，故B正确； · ＝0，故C正确；易知平面ADC的 一个法向量为 ＝（－1，0，0），设平面ABC的法向量为n＝（x， y，z），由 ·n＝x－z＝0， ·n＝y－z＝0，取z＝1，则x＝1， y＝1，故n＝（1，1，1）， ·n＝－1，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 13. 在△ABC中，A（1，－2，－1），B（0，－3，1），C（2，－2， 1）.若向量n与平面ABC垂直，且｜n｜＝ ，则n的坐标为 ⁠ ⁠. （－2， 4，1）或（2，－4，－1）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析：据题意，得 ＝（－1，－1，2）， ＝（1，0，2）.设n＝ （x，y，z），∵n与平面ABC垂直，∴ 即 可得 ∵｜n｜＝ ，∴ ＝ ，解得y＝4或y＝－4.当y＝4时，x＝－2，z＝1；当y＝－4时，x＝ 2，z＝－1.∴n的坐标为（－2，4，1）或（2，－4，－1）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 14. 〔一题多解〕如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，垂足为 A，AB⊥AD，垂足为A，AC⊥CD，垂足为C，∠ABC＝60°，PA＝ AB＝BC，E是PC的中点.求证： （1）AE⊥CD； 证明：法一　∵PA⊥底面ABCD，PA⊂平面PAC， ∴平面PAC⊥底面ABCD， ∴过E作EF⊥底面ABCD交AC于F， ∴AF是AE在底面ABCD上的射影. ∵AF⊂AC，AC⊥CD，∴AE⊥CD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 法二　如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分 别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 设PA＝AB＝BC＝1，则A（0，0，0），B（1，0，0），P（0，0，1）. 因为∠ABC＝60°，AB＝BC，所以△ABC为正三角形. 所以C（ ， ，0），E（ ， ， ）， ＝（ ， ，0）， 设D（0，y1，0），则 ＝（－ ，y1－ ，0）， 由AC⊥CD得 · ＝0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 即－ ＋ （y1－ ）＝0，解得y1＝ ， 则D（0， ，0），所以 ＝（－ ， ，0）. 又 ＝（ ， ， ）， 所以 · ＝－ × ＋ × ＝0， 所以 ⊥ ，即AE⊥CD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 证明：法一　由（1）知 ＝（1，0，0）， ＝（ ， ， ）， 设平面ABE的法向量为n＝（x，y，z）， 则 即 令y＝2，则n＝（0，2，－ ）. 又 ＝（0， ，－1），显然 ＝ n，所以 ∥n， 所以 ⊥平面ABE，即PD⊥平面ABE. （2）PD⊥平面ABE. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 法二　由（1）知 ＝（ ， ， ）， ＝（0， ，－1）. 所以 · ＝ × ＋ ×（－1）＝0， 所以 ⊥ ，即PD⊥AE. 又 ＝（1，0，0），所以 · ＝0，所以PD⊥AB. 又AB∩AE＝A，AB，AE⊂平面ABE，所以PD⊥平面ABE. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 $