1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系 第2课时 空间直角坐标系及空间向量坐标的应用(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦空间直角坐标系及空间向量坐标的应用，涵盖坐标系建立、点与向量坐标表示、对称问题及距离中点计算等核心知识点。课前预习通过诊断分析与知识点梳理，衔接平面到空间的认知过渡，搭建从点坐标到向量运算的学习支架。 其亮点在于课中探究以长方体、正四棱锥等几何体为载体，引导学生从具体模型抽象坐标（数学眼光），通过对称规律总结和向量运算推理（数学思维），用坐标精确表达空间关系（数学语言）。如例3在正方体中用坐标法证明垂直、求夹角，助力学生提升空间观念与运算能力，教师可依托结构化资源高效实施探究式教学。

1.1 空间向量及其运算 1 1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系 第2课时 空间直角坐标系及空间向量坐标的应用 2 探究点一 空间点与向量的坐标表示 探究点二 空间中点的对称问题 探究点三 空间向量坐标的应用 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课堂评价 课后习题 3 【学习目标】 1.了解空间直角坐标系； 2.会求空间中的点的坐标,两点间的距离以及两点的中点坐标； 3.掌握空间向量坐标的简单应用. 4 知识点一 空间直角坐标系的建立 在空间中任意选定一点 作为坐标原点，选择合适的平面先建立平面 直角坐标系______，然后过作一条与_____________的数轴 轴，这 样建立的空间直角坐标系记作______. 平面垂直 （1）轴、轴、 轴是两两互相______的，它们都称为________. （2）通过每两个坐标轴的平面都称为__________，分别记为______ _____、_________、_________. 垂直 坐标轴 坐标平面 平面 平面 平面 课 前 预 习 5 （3）在平面内画空间直角坐标系时，一般把轴、 轴画成水 平放置，轴正方向与轴正方向夹角为_____________，轴与 轴 （或 轴）______.如图①②所示. 或 垂直 课 前 预 习 6 知识点二 空间直角坐标系下点的坐标与向量坐标 1.空间中点的坐标 在空间直角坐标系中，点的坐标为，则，，都称为点 的__________，且称为点的________（或_______），称为点 的________（或坐标），称为点 的________（或_______）. 坐标分量 横坐标 坐标 纵坐标 竖坐标 坐标 2.空间直角坐标系下向量的坐标 在空间直角坐标系下，如果指定空间中的单位向量，， 的始 点都在原点，且它们的方向分别与轴、轴、 轴的正方向相同， 则{，，}是______________，且向量的坐标与 点的坐标 ______，即________ ________. 单位正交基底 相同 课 前 预 习 7 3.空间向量坐标的应用 设, 为空间直角坐标系中的两点,则 （1） _______________________,即空间向量在空间直角坐标系 中的坐标,等于表示这个空间向量的有向线段的终点坐标______始点 坐标. 减去 （2）若是线段的中点,则 的坐标为__________________. （3） __________________________________. 课 前 预 习 8 【诊断分析】 判断正误. （正确的打“√”，错误的打“×”） （1）空间直角坐标系中 轴上的点的纵坐标为0且竖坐标为0.( ) √ （2）空间直角坐标系中 平面上的点的竖坐标为0.( ) √ （3）空间直角坐标系中，点关于 平面的对称点为 .( ) √ （4）空间直角坐标系中的任意一个点都有唯一的实数对 与之 对应.( ) √ 课 前 预 习 9 探究点一 空间点与向量的坐标表示 例1（1）在长方体 中, ,,点是的中点,点是 的中点.建立如图所示的空间直角坐标系. ①写出点,, 的坐标; 解：因为是原点,所以 . 由,,得,,, . 因为是的中点,所以，同理可得 . 课 中 探 究 10 ②求, 的坐标. 解：, . 例1（1）在长方体 中, ,,点是的中点,点是 的中点.建立如图所示的空间直角坐标系. 课 中 探 究 11 （2）若（1）中以为坐标原点，，，的方向分别为 轴、 轴、 轴的正方向，建立空间直角坐标系. ①写出点,, 的坐标; 解： 因为是原点,所以. 由, ,得,,, .因为是 的中点,所以，同理可得 . ②求, 的坐标. 解： , . 课 中 探 究 12 变式 已知正四棱锥 的底面边长为4,侧棱长为10,试建立适当的 空间直角坐标系,并写出各顶点的坐标和向量， 的坐标. 解： 正四棱锥 的底面边长为4,侧棱长为10, 正四棱锥的高为 .设正四棱锥的底面中心为, 的中点 为,的中点为，连接,, ,易知, , 两两垂直. 以为坐标原点,,,的方向分别为轴、 轴、 轴 正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则, ,, , , . 课 中 探 究 13 ［素养小结］ 由于所处的坐标系不同,空间点与向量的坐标也会不同.为方便计算, 建立空间直角坐标系时,应使点尽可能多的落在坐标轴上. 课 中 探 究 14 探究点二 空间中点的对称问题 例2（1）在空间直角坐标系中，已知点与 关于 点对称，则点 的坐标是( ) A. B. C. D. [解析] 由题可知点为线段的中点，所以点 的坐标是 ，即 .故选C. √ 课 中 探 究 15 （2）已知点，点关于 平面的对称点的坐标为 ( ) A. B. C. D. [解析] 点关于平面的对称点的坐标为 ，所以 关于平面的对称点的坐标为 .故选C. √ 课 中 探 究 16 变式（1）在空间直角坐标系中，点与点 关 于( ) A.原点对称 B.平面对称 C.轴对称 D. 轴对称 [解析] 在空间直角坐标系中，点关于 轴的对称点的坐标为 ，根据,的坐标，可以判断,关于 轴对称.故选D. √ 课 中 探 究 17 （2）在空间直角坐标系中，点是点在 平面内的射影， 则 ( ) A.5 B.25 C. D. [解析] 由点是点在平面内的射影可得 ，则 .故选A. √ 课 中 探 究 18 ［素养小结］ 求空间对称点的规律方法： 空间中点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，需要 掌握对称点的变化规律，才能准确求解.对称点的问题常常采用“关于 谁对称，谁保持不变，其余互为相反数”这个结论. 课 中 探 究 19 探究点三 空间向量坐标的应用 例3 ［2024·辽宁沈阳高二期末］在棱长为1的正方体 中,,,分别是,, 的中点. 证明 ：以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角 坐标系,则,,, , 所以,, , . 因为 , 所以, 即 . （1）求证: ; 课 中 探 究 20 （2）求, ; 解： 因为 , , , 所以, . 例3 ［2024·辽宁沈阳高二期末］在棱长为1的正方体 中,,,分别是,, 的中点. 课 中 探 究 21 解： ，即的长为 . （3）求 的长； 例3 ［2024·辽宁沈阳高二期末］在棱长为1的正方体 中,,,分别是,, 的中点. 课 中 探 究 变式 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,O是A1D1的中点,AB=BC=2, AA1=,则向量在向量上的投影为 ( ) A. B. C. D. √ 课 中 探 究 23 [解析] 以D为坐标原点,以,,的方向分别为x,y,z轴的正方向, 建立如图所示的空间直角坐标系. 由AB=BC=2,AA1=,O是A1D1的中点, 得A(2,0,0),C(0,2,0),O(1,0,), 所以=(-2,2,0),=(-1,0,), 所以·=(-2)×(-1)+2×0+0×=2, ||2=(-1)2+02+()2=1+3=4, 所以在上的投影为·=.故选D. 课 中 探 究 24 ［素养小结］ 通过分析几何体的结构特征，建立适当的坐标系，使尽可能多的点 落在坐标轴上，以便写点的坐标时便捷.建立坐标系后，先写出相关 点的坐标，再写出相应向量的坐标，把向量坐标化，然后利用向量 的坐标运算求解夹角和距离问题. 课 中 探 究 25 1.在空间直角坐标系中，已知,,则线段 的长度是 ( ) A. B. C. D.4 [解析] 因为, ,所以 .故选A. √ 课 堂 评 价 26 2.［2025·贵州铜仁高二期末］在空间直角坐标系中，已知 以原点为始点，终点为点，，若 关于平面的对称点为，则 ( ) A.2 B. C.5 D. [解析] 因为关于平面的对称点为，所以 ， 所以，即，则 ，所以 .故选C. √ 课 堂 评 价 27 3.（多选题）已知点,,点满足,则点 的坐 标可能为( ) A. B. C. D. √ √ 课 堂 评 价 28 [解析] 设点,由，得或 ， 得 或 , 所以 或解得或 故点 或.故选 . 课 堂 评 价 4.如图，在三棱锥中， 平面， ，且 ，若在上的投影为,则 __. 课 堂 评 价 30 [解析] 由题知，,,以 为坐标 原点，,,的方向分别为,, 轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系. 令,,，则, , ,， , ，在 上的投影为 ，故 . 课 堂 评 价 31 5.已知四面体ABCD的顶点坐标为A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,),D(0,0,0), 则该四面体的外接球的表面积为　　　.  [解析] 设球心O(x,y,z),半径为R,由OA=OB=OC=OD=R, 得解得 所以该四面体的外接球的表面积S=4πR2=4π. 4π 课 堂 评 价 32 1.设点 为空间直角坐标系中的一点，则有： （1）与点关于原点对称的点为 ; （2）与点关于轴对称的点为 ; （3）与点关于轴对称的点为 ; （4）与点关于轴对称的点为 ; （5）与点关于平面对称的点为 ; （6）与点关于平面对称的点为 ; （7）与点关于平面对称的点为 . 新 知 拓 延 33 2.特殊点在空间直角坐标系中的坐标表示 点的 位置 轴 轴 轴 平面 平面 平面 坐标 表示 新 知 拓 延 34 课后习题 35 1.在空间直角坐标系中，设点是点关于 平面的对 称点，则 ( ) A.8 B. C.29 D. [解析] 因为点是点关于 平面的对称点，所以点 ，所以，所以 .故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 36 2.［2025·湖南长沙高二期末］在平行四边形中， ， ，，则点 的坐标为( ) A. B. C. D. [解析] 设，则， ， 因为，所以解得即 .故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 37 3.如图，圆锥的底面直径 ，高 ， 为底面圆周上的一点，且 ，则点 的坐标为( ) A. B. C. D. [解析] 易知点在平面上，设，因为 ，所以 ，则, ，所以点 的坐标为 ，故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 38 4. 在空间直角坐标系Oxyz中,已知A(1,1,0),B(2,-1,1),则线段AB的中点 到点O的距离为 ( ) A. B. C. D. [解析]易知线段AB的中点为M,则点M到点O的距离为 =.故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 39 5.已知点，，，则 的形状是 ( ) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 [解析] 根据题意得，， ， 所以 ， , ， 因为，所以 为直角三角 形.故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 40 6.已知空间中三点，，，在直线 上有一 点满足，则点 的坐标为( ) A. B. C. D. [解析] 由已知得, 点在直线上, 可设 ,则， 又， ,即， 即，解得， 点 的坐标为 .故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 41 7.（多选题）如图，在四棱锥中， 平面，底面为矩形，， 分别为 ， 的中点，则( ) A.在上的投影向量为 B.在上的投影向量为 C.在上的投影向量为 D.在上的投影向量为 √ √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 42 [解析] 因为 平面，, 平面 ，所以,，又底面 为矩形，所以，故以 为坐标原点， ,,的方向分别为,, 轴的正方向，建 立如图所示的空间直角坐标系， ,，则,, ,, ,.因为,，所以在 上的 投影向量为 , ,故A正确； 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 43 因为，所以在 上 的投影向量为 , ，故B不正确； 因为， ， 所以在上的投影向量为 , ，故C正确； 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为，所以在 上的投影向量为 , ，故D正确．故选 ． 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8.光源经过 平面反射后经过，则反射点 的坐标 为_______. [解析] 设点关于平面的对称点为，则 ，则 点为与平面的交点.设，则 ， 又,，所以 解得 所以 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 46 9.如图,在棱长为2的正方体OBCD-O1B1C1D1中,以O为坐标原点, ,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角 坐标系,则向量与的夹角为 　　.  [解析]因为正方体的棱长为2,所以O(0,0,0), B(0,2,0),C1(2,2,2),所以=(0,2,0),=(2,0,2), 所以·=0×2+2×0+0×2=0, 则⊥,所以向量与的夹角为. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 47 10.（13分） [2026·安徽阜阳高二期中] 如图,在空间直角坐标系中, 正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E1是棱A1B1上靠近点A1的四等分点, F1在棱C1D1上,且D1F1=3F1C1. (1)求向量,的坐标; 解：由题意可得B(1,1,0),E1,D(0,0,0),F1, 所以=,=.   课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 48 10.（13分） [2026·安徽阜阳高二期中] 如图,在空间直角坐标系中, 正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E1是棱A1B1上靠近点A1的四等分点, F1在棱C1D1上,且D1F1=3F1C1. (2)求在上的投影的坐标. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 49 解： 由(1)可知=,=, 所以||==,·=0×0+×+1×1=, 所以在上的投影的坐标为·===. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 50 11.已知正方体 的棱长为1， ,分别是面对角线, 上的点，且 ，,则 的长为( ) A. B. C. D. √ [解析] 以为原点，,，的方向分别为 轴、轴、 轴的正方向，建立如图所示的空间直 角坐标系，则，， ， ,, . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 51 设 ,，则, ， , 解得 ， .故选C. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 52 12.（多选题）在菱形纸片中，， 分别为 ，的中点，是菱形 的中心， ，，将菱形纸片 沿对角线 折叠，使平面 平面，以 为原点， A. B. C. D. ，，的方向分别为轴、轴、 轴的正方向，建立如图所示 的空间直角坐标系，则 ( ) √ √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 53 [解析] 由题意可知，, ， 所以,,, , ,, ， 所以， ， ，所以 , ， 故A，C，D正确，B错误.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 54 13.如图，在四棱锥中， 平面 ， ，，，为 的中点， ，则 的长度为_ ___. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 55 [解析] 连接，因为 平面， 平 面，所以，又 ， ，所以 ， 所以，即，又，所以 ， 过点作直线，则 平面，故以为坐标原点， 以,, 的方向分别为轴、轴、 轴的正方向，建立如图所示 的空间直角坐标系，则,,，又为 的中 点，所以 ，所以 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 56 14.（15分）如图所示，在四棱锥中， 为等腰直角三 角形，且 ，四边形为直角梯形，满足 , ,, . （1）求证： ； 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 57 证明：因为 为等腰直角三角形， ， ，所以 ， 又 ， ，所以 ， 因为，，所以 ， 因为，, 平面，所以 平 面，又 平面，所以 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 58 （2）若点为的中点，点为的中点， 点为棱 上一点.当时，求 的值. 14.（13分）如图所示，在四棱锥中， 平面，底面 是边长为1的正方形， ，是棱上一点，且 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 59 解：如图，以点 为坐标原点建立空间直角坐标系， 则,, , ，所以 , . 设 ， 则 ， 所以 ，所以 ， 因为，所以 ， 所以 ，解得， 所以 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 60 15.（17分）［2024·湖北宜荆高二期中］ 空间中， 两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐 标系.如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样 的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系， 它任意两条数轴的夹角均为 ，我们将这种坐标系称为“斜 坐标系”. 我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜 坐标系”下向量的斜 坐标： ,, 分别为“斜 坐标系”下三条数轴轴，轴， 轴正方向上的单位向 量，若向量，则 与有序实数组一一对应，称向量 的斜 坐标为，记作 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 61 （1）若,，求的斜 坐标. 解：, ， , 的斜 坐标为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 62 （2）在平行六面体 中， , , ， 建立“空间斜 坐标系”如图所示. 解：设,,分别为与,, 同方向的单位向量， 则,, . ①若，求向量的斜 坐标； . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 63 ②若，且，求 . 解： 由题得 ， 由，知 ， ， , ， ，解得 ， 则 . （2）在平行六面体 中，, , ，建立“空间斜 坐标系”如图所示. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 64 $