1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系(第2课时）（教学课件）高二数学人教B版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间直角坐标系的构成要素、空间点坐标确定及对称点、距离、中点公式，通过教室吊灯、北斗卫星等现实情境导入，搭建从平面到三维空间的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于以现实问题激发数学眼光，通过互动探究（如正方体坐标确定）和典型例题（直三棱柱长度计算）培养数学思维，用“三维坐标顺口溜”强化数学语言表达。助力学生建立空间观念，为教师提供系统教学资源，提升教学效率。

【新教材】人教B版·高二选择性必修第一册 第一章 空间向量与立体几何 1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系 (第2课时） 1.1 空间向量及其运算 学 习 目 标 1 2 3 能准确复述空间直角坐标系的构成要素：理解三条两两垂直且交于原点的坐标轴（x轴、y轴、z轴）的定义，掌握右手定则判断坐标轴正方向的方法，能清晰说出坐标平面、卦限的划分规则。 能在搭建好的空间直角坐标系中，快速确定任意一点的三维坐标(x,y,z)(x,y,z)，也能根据给定的有序实数组，在坐标系中精准定位出对应的空间点。 可以灵活运用两个公式解决实际问题：比如计算空间几何体顶点间的距离、求解线段中点坐标、处理空间对称点的坐标变换等相关题型。 新课引入 同学们，之前我们在平面直角坐标系里，只用两个有序实数就能精准定位平面上任意一点的位置，不管是地图上的经纬度，还是游戏里2D角色的坐标，都能靠它清晰描述。 但大家不妨想一想：我们身处的教室是一个三维空间，要确定天花板上某盏吊灯的准确位置，光靠平面的两个数字够吗？ 再把视野拉远一点：我国的北斗卫星在距离地面数万公里的轨道上高速运行，地面测控站要实时掌握它的位置，只知道经纬度也远远不够——我们还必须明确它距离地面的高度。 今天这节课，我们就来搭建一套能精准描述空间任意点位置的“空间定位系统”，一起学习空间直角坐标系的建立方法，以后我们就能用这套工具，轻松解决所有三维空间里的定位、测距问题啦。 目标一：空间直角坐标系 互动探究 空间直角坐标系概念 空间直角坐标系 为了刻画空间中点的位置，我们可以按照如下方式建立空间直角坐标系：在空间中任意选定一点 O 作为坐标原点，选择合适的平面先建立平面直角坐标系 xOy，然后过 O 作一条与 xOy 平面垂直的数轴 z 轴。这样建立的空间直角坐标系记作 Oxyz 。 互动探究 坐标轴与坐标平面的概念 空间直角坐标系 在空间直角坐标系Oxyz中，x轴、y轴、z轴是两两互相垂直的，它们都称为坐标轴； 通过每两个坐标轴的平面都称为坐标平面，分别记为xOy平面、yOz平面、zOx平面。 z轴正方向的确定方法：在z轴的正半轴看xOy平面，x轴的正半轴绕O点沿逆时针方向旋转能与y轴的正半轴重合。 互动探究 空间直角坐标系画法 空间直角坐标系 在平面内画空间直角坐标系 Oxyz 时,一般把x 轴、y 轴画成水平 放置,x轴正方向与 y 轴正方向夹角为 135°(或 45°),z轴与 y 轴(或 x 轴)垂直,如图所示: 互动探究 空间向量象限的表示 空间直角坐标系 建立空间直角坐标系后,三个坐标平面把不在坐标平面內的点分成八个卦 限,如图所示. 在坐标平面xOy的上方,分别是第I卦限、第II卦限、第III卦限、第IV卦限; 在坐标平面xOy的下方,分别是第V卦限、第VI卦限、第VII卦限、 第VIII卦限. 互动探究 空间向量象限的坐标特征 空间直角坐标系 卦限 点集集合表示 第 I 卦限 第 II 卦限 第 III 卦限 第 IV 卦限 第 V 卦限 第 VI 卦限 第 VII 卦限 第 VIII 卦限 1:已知棱长为1的正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁中,E是CC₁的中点,F是A₁B₁ 的中点.以D 为原点,DA,DC,DD₁的方向分别为x 轴、y轴、z轴正方向, 建立如图所示的空间直角坐标系.求以下各点的坐标:A, B, B₁, E, F. 解：正方体的棱长为1,因此A(1,0, 0), B(1, 1, 0), B₁(1, 1,1). 又因为E,F分别是CC₁,A₁B₁的中点,所以 E(0,1,2). F(1，2，1). 2:点 在空间直角坐标系中的位置是在( ). A. 轴上 B. 平面上 C. 平面上 D. 平面上 答案：C 解析：因为点 的纵坐标为 ，所以点 在 平面上. 目标二：空间向量的坐标 互动探究 空间向量的坐标 空间直角坐标系 思考一下:空间向量的坐标如何表示? 在空间中建立空间直角坐标系之后，如果指定空间中的单位向量，，的始点都在原点，且它们的分别与轴、轴、轴的正方向相同，则向量的坐标与点的坐标相同，即 反之，如果为单位正交基底，则任意选定一点作为原点，并且使得轴、轴、轴的正方向分别与，，的方向相同，则可以建立空间直角坐标系，而且其中向量的坐标与点的坐标相同 如果向量起点不是原点，空间向量在空间直角坐标系中的坐标，等于表示这个空间向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标。 目标三：空间对称点的坐标 互动探究 对称点 空间直角坐标系 在空间直角坐标系中,同样可以讨论轴对称、中心对称等,它们的意义与平面直 角坐标系中的类似,与两点关于直线对称类似,如果连接两点的线段的中点在一 个平面内,且这两点确定的直线垂直于该平面,则称这两点关于该平面对称.   对称平面 坐标变化规律 点的对称点 直观理解 平面 不变，取相反数 水面倒影，上下颠倒 平面 不变，取相反数 左右翻转 平面 不变，取相反数 前后翻转     互动探究 对称点 空间直角坐标系 关于坐标轴的对称（对称轴）   对称坐标轴 坐标变化规律 点的对称点 轴 不变，取相反数 轴 不变，取相反数 轴 不变，取相反数      原点  全反  (−𝐱,−𝐲,-𝐳) 点 A(3,4,5) 关于坐标平面 Oyz 对称的点 B 的坐标为( ) A. (3,4,-5) B. (-3,4,5) C. (-3,4,-5) D. (-3,-4,-5) 答案：B. 解析：关于坐标平面 对称的点，横坐标变换为其相反数，纵坐标、竖坐标不变. 即点 关于坐标平面 对称的点 的坐标为 . 故选：B. 空间直角坐标系 Oxyz 中，点 P(1,2,4) 关于 x 轴对称的点的坐标为（） A. (-1,2,4) B. (1,-2,-4) C. (-1,-2,-4) D. (1,2,-4) 答案： B 解析： 在空间直角坐标系 Oxyz 中，点 P(1,2,4) 关于 x 轴对称的点的坐标为 (1,-2,-4)。 在空间直角坐标系 Oxyz 中, 已知点 P(1,3,5) , 点 Q(-1,3,-5) , 则( ) A. 点 P 和点 Q 关于 x 轴对称 B. 点 P 和点 Q 关于 y 轴对称 C. 点 P 和点 Q 关于 z 轴对称 D. 点 P 和点 Q 关于原点中心对称 答案： B 解析： 由题得点 P 与点 Q 的横坐标与竖坐标互为相反数，纵坐标相同，所以点 P 和点 Q 关于 y 轴对称。 目标四：两个重要公式 知识讲解 空间直角坐标系 中点坐标和两点间距离公式 1.两点之间距离公式 利用空间向量的坐标与空间直角坐标系的关系，我们可以得到空间直角坐标系中两点之间的距离公式与中点坐标公式。 设 为空间直角坐标系中的两点，则 ，所以 因此 。 这就是空间直角坐标系中两点之间的距离公式。 . 知识讲解 空间直角坐标系 中点坐标和两点间距离公式 2.中点坐标公式 设线段 的中点为 ，则 ，又因为 所以 的坐标为 。 这就是空间直角坐标系中的中点坐标公式。 . 示例 在空间直角坐标系中, 已知点 A(1,1,2) , B(-3,1,-2) , 则线段 AB 的中点坐标是( ) A. (-2,1,2) B. (-1,1,0) C. (-2,0,1) D. (-1,1,2) 答案： B 解析： 在空间直角坐标系中，点 ， ，则线段 的中点坐标是 。 示例 在空间直角坐标系中, 答案： A 解析： 因为 ， ，所以线段 的中点 ，点 到坐标原点 的距离 。 示例 设点 是 轴上一点, 且点 到 与点 的距离相等, 则点 的坐标是( ) A. B. C. D. 答案： B 解析： 设 ，则 ，解得 ，所以 的坐标为 。 目标五：典型例题 典例分析 三点共线 向量坐标 例1 向量共线 在空间直角坐标系中,已知 A(-2,-3,5), B(0,2,2), C(2,7, − 1), 求证:A, B, C 三点共线. 转化为向量共线且两向量有公共点 证明 因为 ， 所以 ，因此 ， 又因为这两个向量有公共的始点， 所以 三点共线。 三点共线 典例分析 长度 建系 例2 坐标 如图所示，已知直三棱柱 中， ，且 分别是棱 的中点。建立适当的空间直角坐标系，求 与 的长。 建系，求出端点、中点坐标，代入距离公式 以 为坐标原点， 的方向分别为 轴、 轴、 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系。 可知 的坐标为 ，同理可得 ， 长度 典例分析 长度 建系 例3 点坐标 长度 如图, 在四棱锥 中, 平面 , 四边形 是正方形, , , 点 为 的中点, , 则 ( ) A. B. C. D. 在四棱锥 中, 平面 , 且四边形 为正方形，则直线 , , 两两垂直。以 为原点, 直线 , , 分别为 , , 轴建立空间直角坐标系， 则 , , , 。 的中点 。由 得 。 。 典例分析 数量积 对称点 例4 数量积 在空间直角坐标系中, 点 关于平面 的对称点为 , 则 ( ) A. -10 B. 10 C. -12 D. 12 综合了对称点坐标求法和数量积坐标法。 由题意, 空间直角坐标系中, 点 A(2,-1,3) 关于平面 xOz 的对称点 B(2,1,3) , 所以 , 。则 。 目标一：针对训练 举一反三 1 答案： C 解析： 点 关于 轴的对称点为 , 所以 。 举一反三 2.若△ABC在空间直角坐标系中的位置及坐标如图所示，则BC边上的中线的长是（） A. B. 2 C. D. 3 答案： C 解析： 由图可知： ， ， ，由中点坐标公式可得 的中点坐标为 ，根据空间两点间距离公式得 边上的中线的长为 。 举一反三 3.已知点 ， ，则 的最小值为（） A. B. 27 C. D. 12 答案： A 解析： 因为 ， ，所以 。所以 ，当 时，等号成立。所以当 时， 取得最小值，为 。 举一反三 4.在给定空间直角坐标系中， 轴上到点 的距离为 的点有（） A. 2个 B. 1个 C. 0个 D. 无数个 答案： A 解析： 设点 的坐标是 ，由题意得 ， ，解得 或 。点 的坐标为 或 。因此在给定空间直角坐标系中， 轴上到点 的距离为 的点有2个。 举一反三 5. （多选） 在空间直角坐标系中，下列说法正确的是（） 点 关于坐标平面 的对称点的坐标为 B. 点 在平面 面上 C. 点 ， 的中点坐标是 D. 两点 ， 间的距离为3 答案： BCD 解析： 对A，点 关于坐标平面 的对称点的坐标为 ，A错误； 对于B，点 的 坐标为0，则点 在平面 上，B正确； 对于C，点 与点 ，则 的中点坐标是 ，C正确； 对于D，两点 ， 间的距离为： ，D正确。 目标一：小结 学海拾贝 本节课我们完成了从二维平面坐标系到三维空间坐标系的知识拓展，核心掌握了空间定位的基础方法与相关运算工具，下面梳理本节课的核心内容与学习注意事项： 知识模块 核心内容 要点说明 空间直角坐标系搭建 1. 组成：三条两两垂直、交于原点O的x轴、y轴、z轴2. 坐标轴正方向判定：右手定则3. 平面与区域划分：3个坐标平面、8个卦限4. 认知提升：由平面二维拓展到空间三维 三条坐标轴互相垂直且共原点；卦限有序划分，区分空间不同区域 空间点的坐标确定 空间任意一点 ↔ 有序实数组，二者一一对应两类基础操作：① 已知坐标系中点，读取三维坐标② 已知坐标，在坐标系中定位对应点 分别代表点到yOz、xOz、xOy平面的距离，正负由所在卦限决定 核心公式应用 1. 空间两点距离公式已知，2. 空间线段中点坐标公式线段中点： 距离公式是平面两点距离公式向三维空间的拓展；中点公式为横、纵、竖坐标分别取平均值 学海拾贝 二、学习这一节的关键注意事项 1.坐标系判定误区规避：必须牢记右手定则的操作逻辑，避免把z轴正方向搞反，一旦坐标轴方向判定错误，后续所有点的坐标符号都会出现偏差。 2. 坐标书写规范：空间点的坐标是三元有序数组，不能遗漏z轴分量，很多同学会惯性沿用平面坐标系的习惯，只写出x、y两个坐标，导致定位完全错误。 3. 公式使用细节：代入距离公式计算时，要注意坐标差的平方运算可以消除符号影响，但计算过程中不要漏写任意一个坐标的差值项，否则就退化成平面距离的计算结果，不符合空间场景的要求。 学海拾贝 4. 维度思维转换：要主动跳出二维平面的思考惯性，遇到空间几何体相关问题时，可以借助长方体、墙角这类具象的三维模型辅助理解，建立空间直观想象能力，避免把空间问题强行套用到平面坐标系中求解。 空间直角坐标系复习顺口溜 三维坐标不难搞，三轴垂直原点交， 右手定则辨方向，卦限八个要记牢。 点找坐标三步瞄，x y z值别漏标， 两点距离公式巧，差方相加开根号。 中点坐标不用挠，三分相加对半削， 避坑别忘三条窍：z轴反了全错掉， 丢了z维平面套，差项漏算功白耗~ 【新教材】人教B版·高二选修第一册 感谢聆听! $